非奇異終端滑模

1、非奇異終端滑?？刂?讀書筆記)王蒙1、非奇異終端滑模控制特點非奇異終端滑?？刂剖墙陙沓霈F(xiàn)的一種新型滑?？刂品椒?，它通過有目 的地改變切換函數(shù)，直接從滑模設(shè)計方面解決了現(xiàn)有終端滑?？刂拼嬖诘钠娈?性問題，實現(xiàn)了系統(tǒng)的全局非奇異控制；同時它又繼承了終端滑模的有限時間 收斂特性，與傳統(tǒng)的線性滑?？刂葡啾龋闪羁刂葡到y(tǒng)有限時間內(nèi)收斂到期望 軌跡，且具有較高的穩(wěn)態(tài)精度，特別適用于高速、高精度控制。2、線性滑模控制方法(1) 這對不確定二階非線性系統(tǒng)片=X2X2 = f (x,t) u(t) d(t)其中，x(t)二(t), X2(t); f (x,t)為未知函數(shù)，表示系統(tǒng)內(nèi)部擾動，假設(shè)其估計值為?(x

2、,t)，且滿足 f(x, t) - ？(x,t)蘭 F(x,t) =0.1x； ； d(t)=0.1sin(t)表示系統(tǒng)外部擾動，且假設(shè) d(t)蘭D=0.1;系統(tǒng)初始狀態(tài) x, =0.3,x2 =0.5。(2) 線性滑模通常設(shè)計為系統(tǒng)狀態(tài)的線性組合s(t)：x2 =0，其中，“ :0。(3) 等效控制律 為U(t) =Ueq(t) Un(t)，其中，Ueq為等效控制項，Un為非線性控制項。(4) 下面詳細(xì)給出控制律的設(shè)計過程當(dāng)系統(tǒng)處于滑動狀態(tài)時，暫且不考慮系統(tǒng)的參數(shù)攝動和外部擾動(d (t) = 0)由等效控制原理，如果達(dá)到理想的滑動模態(tài)，則s( x)=0，即s( x= 0X -t對滑模 s

3、求時間的一階導(dǎo)數(shù) s = N： X2=x2x2=x2 ： ( ?(x,t) ueq(t)二 01從而得到 等效控制項 為Ueq = - 1X2 ?(X,t)Lyapunov 函數(shù)為滿足滑模到達(dá)條件，考慮系統(tǒng)的參數(shù)攝動和外部擾動，選取V(t) =o.5s2(t)考慮系統(tǒng)的參數(shù)攝動和外部擾動，對V(t)求時間的一階導(dǎo)數(shù)V(t)二s(t)s(t) =SX2(f(x,t) Ueq(t) Un(t) d(t) 詔X2f(X,t)Ueq(t)Un(t)d(t) 詔X2：f(X,t)Ueq(t)U(t)d(t)= SX2- f (X,t) (-X2 - - ?(x,t)：Un(t) d(t)Ff(X,t)

4、- ?(X,t) Un(t)d(t)令非線性控制項 un(t)二F(x,t) D(t) sgn(s)控制增益為n >0通常用符號函數(shù)sgn(.)實現(xiàn)切換控制作用，且符號函數(shù)具有如下重要性質(zhì)1,s =0sgn-1“0 ssg n(s)二 s|則當(dāng)滑模SM 0 , V(t)的一階導(dǎo)數(shù)V(t) =s"(x,t)-?(x,t) Un(t) d(t)= S"(X,t)-?(X,t) Un(t)d(t)= s"(x,t)-?(x,t)-(F(x,t) D(t)sg n(s) d(t)二 s ： (f (x,t) - ？(x, t)-s ： F(x,t)sg n(s) -

5、 s ： D(t)sg n(s) d(t)-s： sgn(s) = sP( f (x,t) - ？(x, t) - s ®F(x,t) sP D(t) +sPd(t) sP11 sgn(s) 乞-sq sgn(s)=s v0滿足滑模到達(dá)條件。3、終端滑模控制方法(1) 終端滑?？刂苾?yōu)點在傳統(tǒng)線性滑?？刂浦?，系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面后，按指數(shù)規(guī)律漸近趨近于原點，雖然收斂速度可以通過參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)，但其穩(wěn)態(tài)誤差無法在有限時間內(nèi)收斂為零的缺點限制了其應(yīng)用 。1988年Zak提出了終端滑模，采用非線性滑模 取代傳統(tǒng)線性滑模，使得 系統(tǒng)狀態(tài)收斂到平衡點是有限時間的，而不是漸近的。(2) 終端滑模通常由

6、如下一階動態(tài)方程描述s(t) = X2Xq/p3>0, p, q 是奇數(shù)，且 p>q>0。(3) 等效控制律為U(t)二q(t) Un(t)，其中，q為等效控制項，人為非線性控制項。(4) 下面詳細(xì)給出控制律的設(shè)計過程當(dāng)系統(tǒng)處于滑動狀態(tài)時，暫且不考慮系統(tǒng)的參數(shù)攝動和外部擾動(d(t) = 0)由等效控制原理，如果達(dá)到理想的滑動模態(tài)，則s( x)=0，即s( X = 0對滑模s求時間的一階導(dǎo)數(shù)x>Px(q/pJ)xxPqx1q/pA)X2p 從而得到等效控制項為ueq=i?(x,t)_ gx(q/p)x2p 1 為滿足滑模到達(dá)條件，考慮系統(tǒng)的參數(shù)攝動和外部擾動，選取Lya

7、punov函數(shù)2V(t) =0.5s (t) 對V(t)求時間的一階導(dǎo)數(shù)V(t) =s(t)s(t) =S(X2： 9乂丁2,2)p= s(f(x,t) u(t) d(tr ：£x(q/pJ)X2)pPf(X,t)Ueq(t)Un(t)d(t)qX：q/p)X2)p心-仏力氏卩妝Un(t) d(t)9x92x2)pp= s(f(X,t)-?(X,t) Un(t) d(t) 令非線性控制項 un(t)二 -F(x,t) D(t)sgn(s)控制增益為n >0通常用符號函數(shù)sgn(.)實現(xiàn)切換控制作用，且符號函數(shù)具有如下重要性質(zhì)ssgn(s)二 s則當(dāng)滑模sm 0 , V(t)的一

8、階導(dǎo)數(shù)V(t) =s(f(x,t)?(x,t) Un(t)d(t)= s(f(x,t)-f?(x,t)-(F(x,t) D(t)sgn(s) d(t)Q=s( f (x,t) - f?(x,t) -sF(x,t)sgn(s) - sD(t)sgn(s) sd(t) -s sgn(s) =s( f (x,t) _ f?(x,t) _F(x,t)'s +sd(t) _D(t) s s sgn(s)匕-s sgn(s) = - s滿足滑模到達(dá)條件。(5) 終端滑模的收斂特性系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)到達(dá)滑模面的時間tr為s(0)n系統(tǒng)沿滑模面到達(dá)原點的時間 ts為tsP：(p -q)Xi(ts)(p

9、 -q)/ p終端滑?？刂破骺墒沟孟到y(tǒng)從任意初始狀態(tài)有限時間(tr ts)內(nèi)收斂到原點。(6) 終端滑?？刂破娈愋詥栴}現(xiàn)有的終端滑?？刂破鞯脑O(shè)計方法存在控制奇異問題，即當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)空間的某個特定子空間時，終端滑?？刂破鞯?輸出信號可能出現(xiàn)無窮大 情況。例如，在終端滑模控制策略%q 二-？(x,t) - ： q xJW?中，因為 p>q,所以(q-p)/p<0，在狀態(tài)空間 x仁0, x2m 0 區(qū) P域，等效控制無窮大，這是物理不可實現(xiàn)的。4、非奇異終端滑模的控制方法(1) 對于終端滑模的控制奇異性問題，現(xiàn)有的一種解決方法是在終端滑模和線性滑模之間進(jìn)行切換，或者令系統(tǒng)軌跡運動到一個

10、預(yù)先指定的保證終端滑?？刂品瞧娈惖膮^(qū)域，然而這些方法都是間接的。馮勇等人提出一種非奇異終端滑模控制方法，可直接從滑模設(shè)計方面解決上述問題。1(2) 非奇異終端滑模通?？擅枋鰹閟(t)=Xj. x2p/q其中，3 >0 , p, q為奇數(shù)，且 1<p/q<2。(3) 等效控制律為U(t)二q(t) 厲，其中，q為等效控制項，厲為非線性控制項。(4) 下面詳細(xì)給出控制律的設(shè)計過程當(dāng)系統(tǒng)處于滑動狀態(tài)時，暫且不考慮系統(tǒng)的參數(shù)攝動和外部擾動(d(t) = O)，由等效控制原理，如果達(dá)到理想的滑動模態(tài)，則s( x)=0，即s( x)0ex ct對滑模s求時間的一階導(dǎo)數(shù)Sn% .Ex2p/

11、2)X2 =X2 .Rx2p/2)X2pqpqf £x2P/q)(？(X,t) Ueq(t)q= Ex2P/q)nx25q)X2x2p2(?(x,t) Ueq(t) qp- q二Rx2P2f(X,t) %q(t) dxgMQqp= Rx2p/q)(？(x,t)Ueq(t) dx2")roqp 從而得到 等效控制項 為ue-f?(x,t-qx(2/q)p 2 為滿足滑模到達(dá)條件，考慮系統(tǒng)的參數(shù)攝動和外部擾動，選取Lyapunov函數(shù)V(t) =o.5s2(t) 考慮系統(tǒng)的參數(shù)攝動和外部擾動，對V(t)求時間的一階導(dǎo)數(shù)V(t) =s(t)s(t) =s(X2 -x2p/q J)

12、X2)Pq二 s(X2£x2p2(f(x,t)Ueq(t)Un(t)d(t)pqyRx2p2dx21®q)X2Rx2p2(f(x,t) Ueq(t) Un(t) d(t)-qp- q二 s£x2p2(f(X,t)%q(t) Un(t) d(t) -22恥)qp=s 上 x2p2(f(x,t) -仔(X,t) -厘 x(2M Un(t) d(t) dx22®q)qpp= s£x2p2(f (x,t) - 1?(x,t) Un(t)d(t)q令非線性控制項 Un(t)二-F(x,t) D(t) sgn(s)控制增益為n >0通常用符號函數(shù)sg

13、n(.)實現(xiàn)切換控制作用，且符號函數(shù)具有如下重要性質(zhì)ssg n(s) = s則當(dāng)滑模sm 0 , V(t)的一階導(dǎo)數(shù)V(t) =sEx2p2(f (x,t)- ?(x,t) -F(x,t) D(t) sgn(s) d(t)x2p/q J)(s(f (x,t ?(x,t) -sF(x,t)sgn(s) d(t) - sD(t)sgn(s)-s sgn(s)<-x2P/qJ)s旳伏盼(x,t) - ?(x,t) - s F(x,t) +sd(t) - s D(t) - s")-q 2當(dāng)滑模sm 0時，由于p、q為奇數(shù)且1<p/q<2，因此滿足xp/qJ -0，故V乞0。

14、滿足 滑模到達(dá)條件。(5) 非奇異終端滑模的收斂特性系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)x(0)有限時間內(nèi)達(dá)到滑模面 s(t)=0，有限時間tr可表示為,x，(0)sgn(s(0) 一0”2畝(0) sgn(s(t)X2(tri)|s(tri)| tr -,X2(0)sgn( s(0) =0系統(tǒng)沿滑模面s=0收斂到原點的時間ts為非奇異終端滑模控制器可使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)有限時間(tr，ts)內(nèi)收斂到原點。5、二階非奇異終端滑?？刂品椒?1) 考慮如下簡單的單變量非線性系統(tǒng)x = 2x u(t) f (t)式中，假設(shè)f(t)=2sin(t)，表示系統(tǒng)不確定性，且f (t)蘭di = 2, f (t)蘭d2 =

15、2 以狀態(tài)x及其導(dǎo)數(shù)X為變量(二階滑模)，設(shè)計非奇異終端滑模s = xXp/q其中,3 >0, p, q 為奇數(shù)，且 p q . 0 ,1<p/q<2。從控制實現(xiàn)角度考慮，根據(jù)非奇異終端滑模收斂特性，通過設(shè)計適當(dāng)?shù)幕？刂坡煽墒沟没有限時間內(nèi)到達(dá) s=0,之后系統(tǒng)沿滑模面運動，且系統(tǒng)狀態(tài) 滿足x 1xp/q = 0,這也就意味著系統(tǒng)狀態(tài)x及其導(dǎo)數(shù) x將有限時間內(nèi)收斂到零，即有X = x = 0，且對控制信號進(jìn)行一次積分或濾波作用，消除或削弱了抖振現(xiàn)象。下面給出 相關(guān)的魯棒控制律。(2) 等效控制律為U(t)二Ueq(t) * Un(t)，其中，Ueq為等效控制項，Un為非

16、線性控制項。 暫不考慮不確定項f(t)由等效控制原理，如果達(dá)到理想的滑動模態(tài)，則s( x)=0，即s( x)=蘭= 0ex ct令x = 0，即可得到等效控制項Ueq(t)=2Xt 非線性控制項為積分形式un (t) v(t)dt其中 V(t) =Veq(t) Vn(t)，Veq(t)二-旦 X?，Vn(t) - -(d?應(yīng)(S)，控制增益PP0。(3) 下面詳細(xì)給出控制律的設(shè)計過程Lyapunov 函數(shù) V(t) = 0.5s2(t)為滿足滑模到達(dá)條件，考慮不確定項，選取 對V(t)求時間的一階導(dǎo)數(shù)V(t) =s(t)s(t) =s(x xp/q'x)qPp ”p/q/ q1_p/q

17、 -丄飛=s x ( x x x)q: p= sxp/q(2x2/q2x u f(t)q: pP P "p/qq'2_p/q 丄 c"丄" 丄" 丄 £”/4-s x ( x2x Ueq Un f(t)q : p= sxp/q(2x2/q2x-2x v(t) f (t)q: p二 s_£xp/q(2x2q Veq(t) Vn(t)f(t)q: pPp p/q/ q'2_p/qq"2_p/q林/ 丄s x ( xx -(d2)sg n(s)f(t)q: p: ppp ,.=s ”xp/q(d2)sg n(s) f(t)q