高三二輪專題輔導(dǎo)（5）：數(shù)學(xué)方法之特殊解法

1、專題五：數(shù)學(xué)方法之特殊解法【考情分析】近年高考題盡量減少繁煩的運(yùn)算，著力考查學(xué)生的邏輯思維與直覺思維能力，以及觀察、分析、比較、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算方法和推理技巧，突出了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的考查。試題運(yùn)算量不大，以認(rèn)識(shí)型和思維型的題目為主，許多題目既可用通性、通法直接求解,也可用 “特殊”方法求解。其中，配方法、待定系數(shù)法、換元法、參數(shù)法是幾種常用的數(shù)學(xué)解題方法。這些方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)，是解決問題的手段，它們不僅有明確的內(nèi)涵，而且具有可操作性，有實(shí)施的步驟和作法，事半功倍是它們共同的效果。縱觀近幾年高考命題的趨勢(shì)，在題目上還是很注意特殊解法應(yīng)用，應(yīng)為他起到避繁就簡(jiǎn)、避免分類討論、避免轉(zhuǎn)化等作用。預(yù)測(cè)2

2、012年的高考命題趨勢(shì)為：（1）部分涉及函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)變形及求值、方程不等式的參數(shù)最值、解析幾何求值等知識(shí)點(diǎn)的題目會(huì)用到這幾種特殊解法；（2）這些解題方法都對(duì)應(yīng)更一般的解法，它們的規(guī)律不太容易把握，但它們?cè)趯?shí)際的考試中會(huì)節(jié)省大量的時(shí)間，為后面的題目奠定基礎(chǔ)；【知識(shí)交匯】1換元法解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分

3、散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡(jiǎn)化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。例如解不等式：4220，先變形為設(shè)2t（t>0），而變?yōu)槭煜さ囊辉尾坏仁角蠼夂椭笖?shù)方程的問題。三角換元，應(yīng)用于去根號(hào)，或者變換為三角形式易求時(shí)，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識(shí)中有某點(diǎn)

4、聯(lián)系進(jìn)行換元。如求函數(shù)y的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x0,1，設(shè)xsin ，0,，問題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域。為什么會(huì)想到如此設(shè)，其中主要應(yīng)該是發(fā)現(xiàn)值域的聯(lián)系，又有去根號(hào)的需要。如變量x、y適合條件xyr（r>0）時(shí)，則可作三角代換xrcos、yrsin化為三角問題。均值換元，如遇到xyS形式時(shí)，設(shè)xt，yt等等。我們使用換元法時(shí)，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對(duì)應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。如上幾例中的t>0和0,。2待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法

5、，其理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等，也就是利用了多項(xiàng)式f(x)g(x)的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的a值，都有f(a)g(a)；或者兩個(gè)多項(xiàng)式各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個(gè)問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第

6、一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式；第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程；第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。3參數(shù)法參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對(duì)象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內(nèi)在聯(lián)系。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運(yùn)動(dòng)與變化的思想，其觀點(diǎn)已經(jīng)

7、滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)分支。運(yùn)用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，溝通已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題。4配方（湊）法（1）配方法是對(duì)數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡(jiǎn)。何時(shí)配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測(cè)，并且合理運(yùn)用“裂項(xiàng)”與“添項(xiàng)”、“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時(shí)也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解等問題。（2）配湊法：從整體考察，通過恰當(dāng)?shù)呐錅?，使問題

8、明了化、簡(jiǎn)單化從而達(dá)到比較容易解決問題的方法。常見的配湊方法有：裂項(xiàng)法，錯(cuò)位相減法，常量代換法等?！舅枷敕椒ā?配方（湊）法典例解析例1（1）（11江蘇7）已知 則的值為_解析：（2）已知長(zhǎng)方體的全面積為11，其12條棱的長(zhǎng)度之和為24，則這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)為（ ）(A)(B)(C)5(D)6分析：設(shè)長(zhǎng)方體三條棱長(zhǎng)分別為x、y、z，則依條件得： 2(xy+yz+zx)=11，4(x+y+z)=24。而欲求的對(duì)角線長(zhǎng)為，因此需將對(duì)稱式寫成基本對(duì)稱式x+y+z及xy+yz+zx的組合形式，完成這種組合的常用手段是配方法，故=6211=25。 ，應(yīng)選C。點(diǎn)評(píng)：本題解答關(guān)鍵是在于將兩個(gè)已知和一個(gè)

9、未知轉(zhuǎn)換為三個(gè)數(shù)學(xué)表示式，觀察和分析三個(gè)數(shù)學(xué)式，容易發(fā)現(xiàn)使用配方法將三個(gè)數(shù)學(xué)式進(jìn)行聯(lián)系，即聯(lián)系了已知和未知，從而求解。這也是我們使用配方法的一種解題模式。例2（1）設(shè)F1和F2為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上且滿足F1PF2=90°，則F1PF2的面積是（ ）(A)1(B)(C)2(D)分析：欲求(1)，而由已知能得到什么呢？由F1PF2=90°，得(2)，又根據(jù)雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=4(3)，那么(2)、(3)兩式與要求的三角形面積有何聯(lián)系呢？我們發(fā)現(xiàn)將(3)式完全平方，即可找到三個(gè)式子之間的關(guān)系.即，故 ， 選(A)。點(diǎn)評(píng)：配方法實(shí)現(xiàn)了“平方和”與“和

10、的平方”的相互轉(zhuǎn)化。（2）設(shè)方程xkx2=0的兩實(shí)根為p、q，若()+()7成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解析：方程xkx2=0的兩實(shí)根為p、q，由韋達(dá)定理得：pqk，pq2，()+()7，解得k或k。又 p、q為方程xkx2=0的兩實(shí)根， k80即k2或k2綜合起來，k的取值范圍是：k 或者 k。點(diǎn)評(píng)：關(guān)于實(shí)系數(shù)一元二次方程問題，總是先考慮根的判別式“”；已知方程有兩根時(shí)，可以恰當(dāng)運(yùn)用韋達(dá)定理。本題由韋達(dá)定理得到pq、pq后，觀察已知不等式，從其結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到先通分后配方，表示成pq與pq的組合式。假如本題不對(duì)“”討論，結(jié)果將出錯(cuò)，即使有些題目可能結(jié)果相同，去掉對(duì)“”的討論，但解答是不嚴(yán)密、不完

11、整的，這一點(diǎn)我們要尤為注意和重視。2待定系數(shù)法典例解析例3（11江蘇，12）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P是函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，該圖象在P處的切線交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作的垂線交y軸于點(diǎn)N，設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t，則t的最大值是_解析：設(shè)則，過點(diǎn)P作的垂線：，；所以，t在上單調(diào)增，在單調(diào)減，。例4（11安徽文，17）設(shè)直線（I）證明與相交；（II）證明與的交點(diǎn)在橢圓分析：本題考查直線與直線的位置關(guān)系，線線相交的判斷與證明，點(diǎn)在曲線上的判斷與證明，橢圓方程等基本知識(shí)，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力.證明：（I）反證法，假設(shè)是l1與l2不相交，則l1與l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0

12、，得此與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾. 從而相交. （II）（方法一）由方程組解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為而此即表明交點(diǎn)（方法二）交點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足整理后，得所以交點(diǎn)P在橢圓3換元法典例解析例5（1）（06江蘇卷）設(shè)a為實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)的最大值為g(a)。（）設(shè)t，求t的取值范圍，并把f(x)表示為t的函數(shù)m(t)；（）求g(a)。解析：（）令要使有t意義，必須1+x0且1-x0，即-1x1，t0 t的取值范圍是由得m(t)=a()+t=（）由題意知g(a)即為函數(shù)的最大值。注意到直線是拋物線的對(duì)稱軸，分以下幾種情況討論。（1）當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=m(t), 的圖象是開口向上的拋物線的一段，由<0知m(

13、t)在上單調(diào)遞增，g(a)=m(2)=a+2(2)當(dāng)a=0時(shí)，m(t)=t, ,g(a)=2.(3)當(dāng)a<0時(shí),函數(shù)y=m(t), 的圖象是開口向下的拋物線的一段，若，即則若，即則若，即則綜上有 點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、方程等基本知識(shí)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力。（2）設(shè)a>0，求f(x)2a(sinxcosx)sinx·cosx2a的最大值和最小值。解析：設(shè)sinxcosxt，則t-,，由(sinxcosx)12sinx·cosx得：sinx·cosx，f(x)g(t)(t2a)（a>0），t-,，t

14、-時(shí)，取最小值：2a2a，當(dāng)2a時(shí)，t，取最大值：2a2a；當(dāng)0<2a時(shí)，t2a，取最大值： 。 f(x)的最小值為2a2a，最大值為。點(diǎn)評(píng)：此題屬于局部換元法，設(shè)sinxcosxt后，抓住sinxcosx與sinx·cosx的內(nèi)在聯(lián)系，將三角函數(shù)的值域問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題，使得容易求解。換元過程中一定要注意新的參數(shù)的范圍（t-,）與sinxcosx對(duì)應(yīng)，否則將會(huì)出錯(cuò)。本題解法中還包含了含參問題時(shí)分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，即由對(duì)稱軸與閉區(qū)間的位置關(guān)系而確定參數(shù)分兩種情況進(jìn)行討論。一般地，在遇到題目已知和未知中含有sinx與cosx的和、差、積等而求三角式的最大值

15、和最小值的題型時(shí)，即函數(shù)為f(sinx±cosx，sinxcsox)，經(jīng)常用到這樣設(shè)元的換元法，轉(zhuǎn)化為在閉區(qū)間上的二次函數(shù)或一次函數(shù)的研究。例6點(diǎn)P(x，y)在橢圓上移動(dòng)時(shí)，求函數(shù)u=x2+2xy+4y2+x+2y的最大值。解析：點(diǎn)P(x,y)在橢圓上移動(dòng)，可設(shè)，于是 = =令，|t|。 于是u=，(|t|) 當(dāng)t=,即時(shí)，u有最大值。=2k+(kZ)時(shí)，。4參數(shù)法典例解析例7（11遼寧文，21）如圖，已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)O，長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線lMN，l與C1交于兩點(diǎn)，與C2交于兩點(diǎn)，這四點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為A

16、，B，C，D（I）設(shè)，求與的比值；（II）當(dāng)e變化時(shí)，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由解：（I）因?yàn)镃1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè)設(shè)直線，分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得 4分當(dāng)表示A，B的縱坐標(biāo)，可知 （II）t=0時(shí)的l不符合題意.時(shí)，BO/AN當(dāng)且僅當(dāng)BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即解得因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，不存在直線l，使得BO/AN；當(dāng)時(shí)，存在直線l使得BO/AN. 點(diǎn)評(píng)：設(shè)問形式的存在性問題很常規(guī)，但是題目?jī)?nèi)容卻多年不見，考查了點(diǎn)參數(shù)問題，根本不需要設(shè)直線方程，更沒有直線與圓錐曲線的聯(lián)立，這是大部分學(xué)生所不適應(yīng)的。本題設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù),“設(shè)而不求”，以這些參數(shù)為橋梁

17、建立t的表達(dá)式求解。例8實(shí)數(shù)a、b、c滿足abc1，求abc的最小值。分析：由abc1 想到“均值換元法”，于是引入了新的參數(shù)，即設(shè)at，bt，ct，代入abc可求。解析：由abc1，設(shè)at，bt，ct，其中ttt0，abc（t）（t）(t)(ttt)tttttt，所以abc的最小值是。點(diǎn)評(píng)：由“均值換元法”引入了三個(gè)參數(shù)，卻將代數(shù)式的研究進(jìn)行了簡(jiǎn)化，是本題此種解法的一個(gè)技巧。本題另一種解題思路是利用均值不等式和“配方法”進(jìn)行求解，解法是：abc(abc)2(abbcac)12(abc)，即abc。兩種解法都要求代數(shù)變形的技巧性強(qiáng)，多次練習(xí)，可以提高我們的代數(shù)變形能力。【思維總結(jié)】1配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項(xiàng)完全平方公式(ab)a2abb，將這個(gè)公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：ab(ab)2ab(ab)2ab；aabb(ab)ab(ab)3ab(a)（b）；abcabbcca(ab)(bc)(ca)abc(abc)2(abbcca)(abc)2(abbcca)結(jié)合其它數(shù)