學(xué)年論文模板(1)

1、學(xué)號： 20145034043學(xué)年論文學(xué) 院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計算科學(xué) 年 級 2014級 姓 名 周小靜 論文題目 淺談二重積分的計算方法 指導(dǎo)教師 張艷艷 職稱 講師 2015 年 12 月 23 日目 錄摘 要.1關(guān)鍵詞.1Abstract.1keywords.1前 言.11 二重積分的計算方法.2 1.1 化累次積分計算法.2 1.2 換元計算法. .2 1.3 極坐標計算法.3 1.4 幾何意義計算法.32 二重積分的應(yīng)用.4 2.1 求平面圖形的面積.4 2.2 求空間立體的體積和平面薄片的質(zhì)量 .4參考文獻.5淺談二重積分的計算 學(xué)生姓名：周小靜 學(xué)號：2045

2、034043 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 信息與計算科學(xué) 指導(dǎo)教師：張艷艷 職稱：講師 摘 要: 二重積分的計算是數(shù)學(xué)分析的一項重要內(nèi)容，其計算方法多樣靈活，本文著重從二重積分從累次積分的計算、變量代換等方法闡述二重積分的計算，同時研究二重積分的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞: 二重積分；換元法；極坐標.Discussion on the calculation method of double integral Abstract: This paper introduces several double integral calculation method, emphatically from the itera

3、ted integrals, variable substitution method of the double integral calculation, paper also studied the use of these methods and matters needing attention, with some examples.Keywords: Double integral; Method of substitution; Polar coordinates.前言 在解決一些幾何和物理問題時，我們會用得到一些積分的計算，二重積分是三重積分的基礎(chǔ)，在建立了二重積分概念以后，

4、三重積分是其自然的推廣，沒有本質(zhì)折差別。在計算上看來，二重積分與三重積分都是最終化為定積分來計算的，但三重積分不論是采用“先二后一”還是“先一后二”，都要通過二重積分的計算，所以二重積分在多元函數(shù)積分學(xué)中有重要的作用，深入理解二重積分的概念，熟練掌握二重積分的計算方法，是學(xué)好多元函數(shù)積分學(xué)的關(guān)鍵.而二重積分又是基本，常見的積分.二重積分的概念是曲頂柱體體積和小薄片面積的過程引起的.二重積分計算的基本途徑是將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分計算，轉(zhuǎn)化二次積分的方法靈活多變，選擇不當將會使積分更加復(fù)雜，甚至無法計算，本文針對在數(shù)學(xué)分析中的學(xué)習(xí)總結(jié)了二重積分計算的相關(guān)知識及應(yīng)用.二重積分是定積分的推廣；被積函

5、數(shù)由一元函數(shù)推廣為二元函數(shù)；積分范圍由數(shù)軸上的區(qū)域推廣為平面區(qū)域.雖然在學(xué)習(xí)中二重積分計算感到相對有些繁瑣，但重積分的計算方法還是有規(guī)可循的.1 二重積分的計算方法1.1化累次積分計算法二次積分在直角坐標系下可分為兩種不同次序積分.定理1.1 設(shè)在矩形區(qū)域上可積，且對每個，積分其存在，則累次積分也存在，且：.定理1.2 設(shè)在矩形區(qū)域上可積，且對每個，積分存在，則累次積分也存在，且：特別當在矩形區(qū)域上連續(xù)時，則有：例1 計算，其中是有圍成的區(qū)域.解：區(qū)域為 若先對后對積分，則由知： = 如果先對后對積分，由于不能用初等函數(shù)表示，這時重積分“積不出來”.這就體現(xiàn)了重積分可以換次序的作用.1.2 換

6、元計算法計算定積分困難在于被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得.適當?shù)乩脫Q元法可以把被積函數(shù)的形狀進行轉(zhuǎn)化，以便于用基本求積公式.下面以定理時間給出.定理1.3 設(shè)在有界閉區(qū)域上可積，變換將平面由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域一一地映成平面上的閉區(qū)域，且滿足：、函數(shù)在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).、在上有雅可比行列式則.1.3極坐標計算法 當積分的區(qū)域是圓域或圓域的一部分，或被積函數(shù)的形式為時，可以設(shè)廣義極坐標變換將平面上的有界閉區(qū)域一一地變成平面上有界閉區(qū)域，在上連續(xù)，則： .特別當： 時，公式變?yōu)闃O坐標公式： 1.4幾何意義計算法 積分區(qū)域有時是特殊面，如圓柱面、球面、橢球面等我們可以利用它們所表示的幾

7、何意義來計算，利用幾何意義計算二重積分往往要先考慮積分區(qū)域和被積函數(shù)有無對稱性.此類方法就題而論，不易總結(jié)，下面舉一個例子加以說明.例:求兩個底面半徑相同的直角圓柱所圍立體的體積V.解：求兩個圓柱底面半徑為a，兩個圓柱方程為：與.利用對稱性，只要求出在第一卦限部分，然后再乘以8即得所求體積，第一卦限部分的立體是以為曲頂，以四分之一圓域為底的曲頂柱體，所以： 于是2 重積分的應(yīng)用2.1 求平面圖形的面積 由二重積分的幾何解釋可以知道：以曲面Z=為頂，以D為底的直曲頂柱體的體積為：.特別當時，平面的面積為：例2 求由拋物線和直線所圍成圖形的面積.解: 記其面積為則 . 由 得與作平行于軸的直線與軸相交,沿軸正方向看,入口曲線為,出口曲線為.因此,區(qū)域在軸上的投影區(qū)間為. 故 2.2 求空間立體的體積在2.1中我們已經(jīng)提及到以曲面Z=為頂，以D為底的直曲頂柱體的體積為：.例： 求由坐標平面及，所圍成的角柱體的體積解:所截得的形體是一個曲頂直柱體,其曲頂為:,其底為： 因此,由二重積分的幾何應(yīng)用得到:= 由二重積分的幾何解釋可以知道以曲面Z=為頂，以D為底的直曲頂柱體的體積為：.特別當時，平面的面積為：2.3求平面薄片的質(zhì)量由二重積分的物理解釋可以知道，密度為的平面薄片的質(zhì)量為：.參考文獻:1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析M. .北京:高等教育出版