學(xué)年論文模板(1)

1、學(xué)號(hào)： 20145034043學(xué)年論文學(xué) 院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 專 業(yè) 信息與計(jì)算科學(xué) 年 級(jí) 2014級(jí) 姓 名 周小靜 論文題目 淺談二重積分的計(jì)算方法 指導(dǎo)教師 張艷艷 職稱 講師 2015 年 12 月 23 日目 錄摘 要.1關(guān)鍵詞.1Abstract.1keywords.1前 言.11 二重積分的計(jì)算方法.2 1.1 化累次積分計(jì)算法.2 1.2 換元計(jì)算法. .2 1.3 極坐標(biāo)計(jì)算法.3 1.4 幾何意義計(jì)算法.32 二重積分的應(yīng)用.4 2.1 求平面圖形的面積.4 2.2 求空間立體的體積和平面薄片的質(zhì)量 .4參考文獻(xiàn).5淺談二重積分的計(jì)算 學(xué)生姓名：周小靜 學(xué)號(hào)：2045

2、034043 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 信息與計(jì)算科學(xué) 指導(dǎo)教師：張艷艷 職稱：講師 摘 要: 二重積分的計(jì)算是數(shù)學(xué)分析的一項(xiàng)重要內(nèi)容，其計(jì)算方法多樣靈活，本文著重從二重積分從累次積分的計(jì)算、變量代換等方法闡述二重積分的計(jì)算，同時(shí)研究二重積分的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞: 二重積分；換元法；極坐標(biāo).Discussion on the calculation method of double integral Abstract: This paper introduces several double integral calculation method, emphatically from the itera

3、ted integrals, variable substitution method of the double integral calculation, paper also studied the use of these methods and matters needing attention, with some examples.Keywords: Double integral; Method of substitution; Polar coordinates.前言 在解決一些幾何和物理問(wèn)題時(shí)，我們會(huì)用得到一些積分的計(jì)算，二重積分是三重積分的基礎(chǔ)，在建立了二重積分概念以后，

4、三重積分是其自然的推廣，沒(méi)有本質(zhì)折差別。在計(jì)算上看來(lái)，二重積分與三重積分都是最終化為定積分來(lái)計(jì)算的，但三重積分不論是采用“先二后一”還是“先一后二”，都要通過(guò)二重積分的計(jì)算，所以二重積分在多元函數(shù)積分學(xué)中有重要的作用，深入理解二重積分的概念，熟練掌握二重積分的計(jì)算方法，是學(xué)好多元函數(shù)積分學(xué)的關(guān)鍵.而二重積分又是基本，常見(jiàn)的積分.二重積分的概念是曲頂柱體體積和小薄片面積的過(guò)程引起的.二重積分計(jì)算的基本途徑是將二重積分轉(zhuǎn)化為二次積分計(jì)算，轉(zhuǎn)化二次積分的方法靈活多變，選擇不當(dāng)將會(huì)使積分更加復(fù)雜，甚至無(wú)法計(jì)算，本文針對(duì)在數(shù)學(xué)分析中的學(xué)習(xí)總結(jié)了二重積分計(jì)算的相關(guān)知識(shí)及應(yīng)用.二重積分是定積分的推廣；被積函

5、數(shù)由一元函數(shù)推廣為二元函數(shù)；積分范圍由數(shù)軸上的區(qū)域推廣為平面區(qū)域.雖然在學(xué)習(xí)中二重積分計(jì)算感到相對(duì)有些繁瑣，但重積分的計(jì)算方法還是有規(guī)可循的.1 二重積分的計(jì)算方法1.1化累次積分計(jì)算法二次積分在直角坐標(biāo)系下可分為兩種不同次序積分.定理1.1 設(shè)在矩形區(qū)域上可積，且對(duì)每個(gè)，積分其存在，則累次積分也存在，且：.定理1.2 設(shè)在矩形區(qū)域上可積，且對(duì)每個(gè)，積分存在，則累次積分也存在，且：特別當(dāng)在矩形區(qū)域上連續(xù)時(shí)，則有：例1 計(jì)算，其中是有圍成的區(qū)域.解：區(qū)域?yàn)?若先對(duì)后對(duì)積分，則由知： = 如果先對(duì)后對(duì)積分，由于不能用初等函數(shù)表示，這時(shí)重積分“積不出來(lái)”.這就體現(xiàn)了重積分可以換次序的作用.1.2 換

6、元計(jì)算法計(jì)算定積分困難在于被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得.適當(dāng)?shù)乩脫Q元法可以把被積函數(shù)的形狀進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以便于用基本求積公式.下面以定理時(shí)間給出.定理1.3 設(shè)在有界閉區(qū)域上可積，變換將平面由按段光滑封閉曲線所圍成的閉區(qū)域一一地映成平面上的閉區(qū)域，且滿足：、函數(shù)在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).、在上有雅可比行列式則.1.3極坐標(biāo)計(jì)算法 當(dāng)積分的區(qū)域是圓域或圓域的一部分，或被積函數(shù)的形式為時(shí)，可以設(shè)廣義極坐標(biāo)變換將平面上的有界閉區(qū)域一一地變成平面上有界閉區(qū)域，在上連續(xù)，則： .特別當(dāng)： 時(shí)，公式變?yōu)闃O坐標(biāo)公式： 1.4幾何意義計(jì)算法 積分區(qū)域有時(shí)是特殊面，如圓柱面、球面、橢球面等我們可以利用它們所表示的幾

7、何意義來(lái)計(jì)算，利用幾何意義計(jì)算二重積分往往要先考慮積分區(qū)域和被積函數(shù)有無(wú)對(duì)稱性.此類方法就題而論，不易總結(jié)，下面舉一個(gè)例子加以說(shuō)明.例:求兩個(gè)底面半徑相同的直角圓柱所圍立體的體積V.解：求兩個(gè)圓柱底面半徑為a，兩個(gè)圓柱方程為：與.利用對(duì)稱性，只要求出在第一卦限部分，然后再乘以8即得所求體積，第一卦限部分的立體是以為曲頂，以四分之一圓域?yàn)榈椎那斨w，所以： 于是2 重積分的應(yīng)用2.1 求平面圖形的面積 由二重積分的幾何解釋可以知道：以曲面Z=為頂，以D為底的直曲頂柱體的體積為：.特別當(dāng)時(shí)，平面的面積為：例2 求由拋物線和直線所圍成圖形的面積.解: 記其面積為則 . 由 得與作平行于軸的直線與軸相交,沿軸正方向看,入口曲線為,出口曲線為.因此,區(qū)域在軸上的投影區(qū)間為. 故 2.2 求空間立體的體積在2.1中我們已經(jīng)提及到以曲面Z=為頂，以D為底的直曲頂柱體的體積為：.例： 求由坐標(biāo)平面及，所圍成的角柱體的體積解:所截得的形體是一個(gè)曲頂直柱體,其曲頂為:,其底為： 因此,由二重積分的幾何應(yīng)用得到:= 由二重積分的幾何解釋可以知道以曲面Z=為頂，以D為底的直曲頂柱體的體積為：.特別當(dāng)時(shí)，平面的面積為：2.3求平面薄片的質(zhì)量由二重積分的物理解釋可以知道，密度為的平面薄片的質(zhì)量為：.參考文獻(xiàn):1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析M. .北京:高等教育出版