基本定義與運算定律

1、基本定義與運算定律 數(shù)與數(shù)字的區(qū)別：數(shù)字（也就是數(shù)碼），是用來記數(shù)的符號，通常用國際通用的阿拉伯數(shù)字 09這十個數(shù)字。其他還有中國小寫數(shù)字，大寫數(shù)字，羅馬數(shù)字等等。數(shù)是由數(shù)字和數(shù)位組成。 0的意義：0既可以表示“沒有”，也可以作為某些數(shù)量的界限。如溫度等。0是一個完全有確定意義的數(shù)。0是最小的自然數(shù)，是一個偶數(shù)。0是最小的自然數(shù)，是一個偶數(shù)。是任何自然數(shù)(0除外)的倍數(shù)。0不能作除數(shù)。 自然數(shù)：用來表示物體個數(shù)的0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10叫做自然數(shù)。簡單說就是大于等于零的整數(shù)。 整數(shù)： 自然數(shù)都是整數(shù)，整數(shù)不都是自然數(shù)。 小數(shù)：小數(shù)是特殊形式的分數(shù)，所有分數(shù)都可以表示成小數(shù)，

2、小數(shù)中的圓點叫做小數(shù)點。 但是不能說小數(shù)就是分數(shù)。 混小數(shù)（帶小數(shù)）：小數(shù)的整數(shù)部分不為零的小數(shù)叫混小數(shù)，也叫帶小數(shù)。 純小數(shù)：小數(shù)的整數(shù)部分為零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。 有限小數(shù)：小數(shù)的小數(shù)部分只有有限個數(shù)字的小數(shù)（不全為零）叫做有限小數(shù)。 無限小數(shù)：小數(shù)的小數(shù)部分有無數(shù)個數(shù)字（不包含全為零）的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。循環(huán)小數(shù)都是無限小數(shù)，無限小數(shù)不一定都是循環(huán)小數(shù)。例如，圓周率也是無限小數(shù)。 循環(huán)小數(shù)：小數(shù)部分一個數(shù)字或幾個數(shù)字依次不斷地重復出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如：0.333，1.2470470470都是循環(huán)小數(shù)。 純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從十分位就開始的循環(huán)小數(shù)，叫做純循環(huán)小數(shù)。 混循環(huán)小

3、數(shù)：與純循環(huán)小數(shù)有唯一的區(qū)別，不是從十分位開始循環(huán)的循環(huán)小數(shù)，叫混循環(huán)小數(shù)。 無限不循環(huán)小數(shù)：一個小數(shù)，從小數(shù)部分起到無限位數(shù)，沒有一個數(shù)字或幾個數(shù)字依次不斷的重復出現(xiàn)，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。 分數(shù)：表示把 “單位1”平均分成若干份，取其中的一份或幾份的數(shù)，叫做分數(shù)。 真分數(shù)：分子比分母小的分數(shù)叫真分數(shù)。 假分數(shù)：分子比分母大，或者分子等于分母的分數(shù)叫做假分數(shù)。 帶分數(shù)：一個整數(shù)（零除外）和一個真分數(shù)組合在一起的數(shù)，叫做帶分數(shù)。帶分數(shù)也是假分數(shù)的另一種表示形式，相互之間可以互化。 十進制：十進制計數(shù)法是世界各國常用的一種記數(shù)方法。特點是相鄰兩個單位之間的進率都是十。10個較低的單位等于

4、1個相鄰的較高單位。常說“滿十進一”，這種以“十”為基數(shù)的進位制，叫做十進制。     加法：把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算，叫做加法，其中兩個數(shù)都叫“加數(shù)”，結果叫“和”。                 減法：已知兩個加數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算，叫做減法。減法是加法的逆運算。其中“和”叫“被減數(shù)”，已知的加數(shù)叫“減數(shù)”，求出的另一個加數(shù)叫“差”。 乘法：求n個相同加數(shù)的和的簡便運算

5、，叫做乘法。其中相同的這個數(shù)及n個這樣的數(shù)都叫“因數(shù)”，結果叫“積”。 除法：已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算，叫做除法。除法是乘法的逆運算。其中“積”叫做“被除數(shù)”，已知的一個因數(shù)叫做“除數(shù)”，求出來的另一個因數(shù)叫做“商”。 加法交換律：兩個數(shù)相加，交換兩個加數(shù)的位置，和不變，叫做加法交換律。 a+b=b+a 加法結合律：三個數(shù)相加，先把前二個數(shù)相加，再加第三個數(shù)，或者，先把后二個數(shù)相加，再加上第一個數(shù)，其和不變。這叫做加法結合律。   a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c) 減法性質(zhì)：在減法中，被減數(shù)、減數(shù)同時加上或者減去一個數(shù)，差不變。 a-b=

6、(a+c)-(b+c)       ab=(a-c)-(b-c)            在減法中，被減數(shù)增加多少或者減少多少，減數(shù)不變，差隨著增加或者減少多少。反之，減數(shù)增加多少或者減少多少，被減數(shù)不變，差隨著減少或者增加多少。 在減法中，被減數(shù)減去若干個減數(shù)，可以把這些減數(shù)先加，差不變。     a b - c = a - (b + c) 乘法的交換律：兩個數(shù)相乘，交換兩個因數(shù)的位置，積不變，叫

7、做乘法的交換律。a×b = b×a 乘法的結合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù)，或者，先把后兩個數(shù)相乘，再和第一個數(shù)相乘，積不變。這叫做乘法結合律。a×b×c = a×(b×c) 乘法分配律：兩個數(shù)的和（或差）與一個數(shù)相乘，等于把這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把兩個積相加（或相減）。這叫做乘法分配律。 (a + b) ×c= a×c + b×c (a - b)×c= a×c - b×c 乘法的其他運算性質(zhì)：一個因數(shù)擴大若干倍，必須把另一個因數(shù)縮小相同的倍數(shù)，其積

8、不變。a×b = (a×c) ×( b÷c) 除法的運算性質(zhì):商不變性質(zhì),兩個數(shù)相除，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或者縮小相同的一個數(shù)（0除外），商的大小不變。   a÷b=(a×c)÷(b×c)     a÷b=(a÷c)÷(b÷c ) 一個數(shù)連續(xù)用兩個數(shù)除，可以先把后兩個數(shù)相乘，再用它們的積去除這個數(shù)，結果不變。a÷b÷c = a÷(b×c) 乘法的意義: 求幾個相同加數(shù)的和是多少

9、？例如：27×13，表示求13個27的和是多少？也可以表示求27的13倍是多少？ 求一個數(shù)的若干倍是多少？例如：27×0.3或者的意義：求27的十分之三是多少？ 除法的意義： 一個數(shù)里有幾個除數(shù)。簡稱“包含除法”。 例如，24÷3表示24里面包含有幾個3。 一個數(shù)是另一個數(shù)的多少倍。例如：24÷3，表示24是3的多少倍？ 把一個數(shù)平均分成若干份，每份是多少？簡稱“等分除法”。例如：24÷3，表示把24平均分成3份，每份是多少？ 已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)。 例如：，表示：已知一個數(shù)的三分之一是24，求這個數(shù)。 整除與除盡 整除：甲數(shù)除

10、以乙數(shù)（甲、乙為自然數(shù)），商是整數(shù)，余數(shù)為零。就說甲數(shù)能被乙數(shù)整除。 除盡：甲數(shù)除以乙數(shù)（乙數(shù)不為零），商是有限數(shù)。就說甲數(shù)能被乙數(shù)除盡。 整除可以說是除盡，但除盡就不能說一定叫整除。例如：1÷50.2，叫除盡，但不叫整除。因為商是小數(shù)。又如：10÷331，既不叫整除，（因為余數(shù)不為零）也不叫除盡。 約數(shù)和倍數(shù)：當甲數(shù)能被乙數(shù)整除時，就說甲數(shù)是乙數(shù)的倍數(shù)，乙數(shù)是甲數(shù)的約數(shù)。這兩個概念都是相對而存在。一個自然數(shù)，不存在是否倍數(shù)與約數(shù)。例如：“3是約數(shù)”，就是一個錯誤說法。只能是對3、6、9、等數(shù)而言，是其中某個數(shù)的約數(shù)。奇數(shù)與偶數(shù)：凡是能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)，反之，不能被2整除

11、的數(shù)叫奇數(shù)。 質(zhì)數(shù)（素數(shù)）與合數(shù)：一個數(shù)的約數(shù)只有1和它本身的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫素數(shù)。反之，一個數(shù)的約數(shù)除了1和它本身以外，還有其他的約數(shù)，這個數(shù)就叫合數(shù)。 由于1的約數(shù)只有1個，所以1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。 公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做公約數(shù)。它的個數(shù)是有限的，既有最大的，也有最小的。 互質(zhì)數(shù)：兩個數(shù)的公約數(shù)只有1，而沒有其他公約數(shù)的，這兩個數(shù)就叫互質(zhì)數(shù)。 質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)：兩個質(zhì)數(shù)，不能肯定就是互質(zhì)數(shù)。只有兩個不相同的質(zhì)數(shù)，才能肯定是互質(zhì)數(shù)。另外，兩個合數(shù)既可能是互質(zhì)數(shù)，也可能不是互質(zhì)數(shù)，但不能說兩個合數(shù)一定不是互質(zhì)數(shù)。 質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)分解成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式，這樣的質(zhì)數(shù)叫做質(zhì)因數(shù)。 分

12、解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)分解成幾個質(zhì)數(shù)相同的形式，就叫做分解質(zhì)因數(shù)。 公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做公倍數(shù)。它的個數(shù)是無限的，只有最小的，沒有最大的。 最大公約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)中，最大的一個就叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。 最小公倍數(shù)：幾個數(shù)公有的無限個倍數(shù)中，最小的一個，就叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。 能被2整除的判斷方法：一個數(shù)能否被2整除，只要看這個數(shù)的末尾是否有0、2、4、6、8這五個數(shù)的其中一個即可。 能被5整除的判斷方法：一個數(shù)能否被5整除，只要看這個數(shù)的末尾是否有0、5這兩個數(shù)的其中一個即可。 能被3整除的判斷方法：一個數(shù)能否被3整除，只要看這個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字和能否被3整除。 分

13、數(shù)單位：分子為1分母不為零的真分數(shù)，叫這個分數(shù)的分數(shù)單位（帶分數(shù)要化成假分數(shù)）。 分數(shù)化有限小數(shù)的判斷方法：一個分數(shù)能否化成有限小數(shù)，主要看分母（這里的分數(shù)一定是最簡分數(shù)）是不是只有質(zhì)因數(shù)“2或5”。摻雜任何其他質(zhì)因數(shù)，都不能化成有限小數(shù)，反之，就一定能化成有限小數(shù)。 分數(shù)的基本性質(zhì)：一個分數(shù)的分子、分母同時乘上或除以相同的數(shù)（零除外），分數(shù)的大小不變，這叫分數(shù)的基本性質(zhì)。分數(shù)的通分、約分 通分：把幾個單位不同的分數(shù)，化成相同單位，且大小不變的分數(shù)，叫做通分。 約分：把一個分數(shù)化成同它相等的，分子、分母較小的分數(shù)，叫做約分。 最簡分數(shù)：分子、分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù)，叫做最簡分數(shù)。分數(shù)計算到最后，得

14、數(shù)必須化成最簡分數(shù)。 分數(shù)的加、減法則：同分母的分數(shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。異分母的分數(shù)相加減，先通分，然后再加減。 分數(shù)的乘法法則：用分子的積做分子，用分母的積做分母。 分數(shù)的除法則：除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。 分數(shù)大小的比較：同分母的分數(shù)相比較，分子大的大，分子小的小。異分母的分數(shù)相比較，先通分然后再比較；若分子相同，分母大的反而小。 分數(shù)乘整數(shù)：用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變。 分數(shù)乘分數(shù)：用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作為分母。 分數(shù)除以整數(shù)（0除外）：等于分數(shù)乘以這個整數(shù)的倒數(shù)。 百分數(shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫做百分數(shù)。百分數(shù)又叫百分率或百分比。百分數(shù)是特殊分數(shù)。特征是分母為100，采用符號“”（叫做百分號）來表示。分子可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)。 小數(shù)化成百分數(shù)：只要把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面添上百分號。其實，把小數(shù)化成百分數(shù)，只要把這個小數(shù)乘以100%