【初高一銜接】專題03二次根式-走進新高一之2020年暑假初升高數(shù)學完美銜接課(解析版)

1、二次根式1. 二次根式的定義：一般地，形如 的式子叫做二次根式2. 二次根式的性質1 ） ；2 ） ；3）4 ） ；5）如 是無理式， 而3. 無理式的定義： 根號下含有字母的式子并且開不盡方的根式叫做無理式，不是無理式 .4. 分母有理化：把分母中的根號化去，叫做分母有理化方法：分子、分母同時乘分母的有理化因式，或通過約分的方法達到分母有理化的目的5. 有理化因式：兩個含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含根式，那么這兩個代數(shù)式叫做互為 有理化因式，常用的有理化因式有：（ 1） 與 ；（ 2）與 ；（ 3）與 .4. 分子有理化：把分子中的根號化去，叫做分母有理化 .方法：分子、分母同時乘分

2、子的有理化因式 5. 二次根式的大小比較：二次根式比較大小的方法有平方比較法、作差比較法、求商比較法、求倒 數(shù)比較法等，其中，比較常用的是平方比較法 .6. 二次根式的運算：二次根式的加減類似于多項式的加減，先化成最簡二次根式，再對同類二次根 式進行合并；二次根式的乘法類似于多項式的乘法；二次根式的除法，通常寫成分數(shù)的形式，再進行 分母有理化 .例 1 ：二次根式的意義已知實數(shù) 滿足 ，求 的值是多少？解答】 2019 【解析】二次根式有意義，即 ，解得 ， 等式兩邊平方，整理得 . 例 2 ：二次根式的性質與化簡 若實數(shù) 、 滿足 ，求 、 之間的數(shù)量關系？解答】解析】 ，同理可得 ，可得

3、， . 例 3 ：分母有理化當 時，原式例 4 ：比較大小試比較 與 的大小 .【解答】解析】化簡后分母相同，分子不同，所以倒數(shù)大的反而小，所以例 5 ：雙重二次根式化簡 已知 ，則 .解答】解析】將 的左邊分子有理化得化簡得 ， 兩式相加得 ， 解得 ，二次根式鞏固練習選擇題1 若 x2+y21 ，則的值為（ ）A0B1C2D3解答】 C【解析】因為 x 2+y21，所以 1x1 ，1y1，因為 ，其中 y2<0，所以 x+1 0，又因為 1 x 1，所以 x+1 0，x1，所以 y 0，所以原式2+022 已知 x 2 ，x4+8x 3+16x 2的值為（）ABC3D 9【解答】 D

4、解析】 x 2，x2（2 ）2（）22××2+2274+411 4，則原式 x 2（x 2 +8x+16 ） x2 ( x+4 ) 211 2+4 )112+) 21111+4 )1124）121 11293 若二次根式有意義，且關于 x 的分式方程有正數(shù)解，則符合條件的整數(shù)m 的和是（A7B6C5D 4解答】 D解析】去分母得，m+2 （x1 ） 3，解得 關于 x 的分式方程 有正數(shù)解， m > 5 ，又x1 是增根，當 x1時，即 m3 m 3 ， 有意義， 2 m 0 ，m2，因此 5<m2 且 m 3， m 為整數(shù)，m 可以為 4，2，1，0，1，2

5、，其和為 4.4 設 x 、y 、z 是兩兩不等的實數(shù)， 且滿足下列等式：，則 x3+y 3+z33xyz 的值是（）A0B 1C3D 條件不足，無法計算【解答】 A【解析】依題意得：，解得 x0 ，把 x0，yz 代入 x3+y3+z33xyz 得：原式（ z）3+z30.5 設 ，則 S 最接近的整數(shù)是 （ ）A2015【解答】 C【解析】B2016C 2017D 2018所以 S 最接近的整數(shù)是 2017.二填空題6 已知 a 、 b 滿足，則 ab 的值為解答】 【解析】 a+3 ， 若 a 2，則 a2 a+3 ，不成立， 故 a <2， 2 a a+3 ， a ，a b+1

6、， a b+1 1 或 0 ， 或 ， ab 解答】 2015【解析】 ， 4x 2+4x 2017（ 2x+1 ）22018 32018 2015 8若，則 a2004 ×b2005 【解答】 3+【解析】 ， a 3+ 0 ， b 3 0 ， a3，b3+， ab （ 3 ）（ 3+） 9 8 1 ， a2004 ×b2005 （ ab ）2004 ×b1×（3+）3+9 已知 xy 3，那么的值是 【解答】±解析】因為 xy 3，所以 x、y 同號，于是原式當 x > 0，y> 0 時，原式；當 x < 0，y<

7、0 時，原式故原式± 10 當 x，y時， 的值為解答】解析】由題意，知： x+y 4，xy2，（x+1 ）（y+1 ） 6；三解答題11 已知 ，求代數(shù)式 的值解答】 40解析】當 時，12 已知 x， y 都是有理數(shù)，并且滿足，求 的值解答】 3 【解析】 ， x ， y 都是有理數(shù)， x2+2y 17 與 y+4 也是有理數(shù)，解得，有意義的條件是 xy，取 x5 ，y 4，13 已知： ，求的值解答】解析】，14已知，且 19x 2+123xy+19y 2 1985試求正整數(shù) n 解答】 2 【解析】化簡 x 與 y 得 ， x+y 4n+2 ，將 xy 1 代 入方程，化簡得

8、： x 2+y 298 ，（ x+y ）2x2+y 2+2xy 98+2 ×1100 ， x+y 10 4n+2 10 ，解得 n 2 15 已知矩形的周長為 cm ，一邊長為 cm ，求此矩形的另一邊長和它的面 積？【解答】另一邊長是 cm ，矩形的面積是 cm 2 【解析】矩形的另一邊長是：矩形的面積是：16 觀 察 下 列 格 式 ，1）化簡以上各式，并計算出結果；2）以上格式的結果存在一定的規(guī)律，請按規(guī)律寫出第5 個式子及結果3）用含 n （n 1的整數(shù)）的式子寫出第 n 個式子及結果，并給出證明的過程解 答 】（ 1 ） ， ，解析】 4 ；（ 2 ）3）1）1），2）3）

9、17 先閱讀下面的解題過程，然后再解答：形如 的化簡， 只要我們找到兩個數(shù) a，b，使 a+b m ，ab n，即，那么便有：根據(jù)上述方法化簡：（ 1）；（ 2）【解答】（ 1 ）；（ 2）【解析】（ 1 ）；（ 2）18 閱讀下列解題過程：請回答下列問題：1）觀察上面的解題過程，請直接寫出式子2）觀察上面的解題過程，請直接寫出式子3）利用上面所提供的解法請求的值解答】（1）；（2）；（ 3）9解析】（1）2）19 閱讀材料：像b 1 （b 0 ）兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因 式例如 與 ， 與 ， 與 等都是互為有理化因式在進行二次根式計算時

10、，利用有理化因式，可以化去分母中的根號解答下列問題：互為有理化因式，將2）計算：3）已知有理數(shù) a、b 滿足，求 a 、b 的值解答】（1）， ；（ 2）；（3）a1，b 2解析】（1）與 互為有理化因式，解得， a 1 ， b 220 某同學在解答題目：，其中，”時：解答過程是：化簡并求值（n 為正整數(shù)） ，1）請判斷他的解答是否正確；如果不正確，請寫出正確的解答過程2）考察所求式子的結構特征： 先化簡通項公式 ； 求出與 S 最接近的整數(shù)是多少？S 最接近的數(shù)是 1 或 2 ；當解答】（1）不正確，過程見解析； （2），當 n1 時， n > 1 時， S 最接近的整數(shù)是 n+1 【解析】（1）他的解答不正確，正確過程如下：原式 ，當 a 時，原式 ；（2