教案：三角形中的邊角關系、命題與證明

1、第13章三角形中的邊角關系、命題與證明13.1三角形中的邊角關系第1課時三角形中的邊角關系(一)教學目標【知識與技能】1.認識三角形,理解三角形的邊角關系.2.知道三角形的高、中線、角平分線等概念,并能作出三角形的一邊上的高.3.理解等腰三角形及其相關概念.【過程與方法】1.經(jīng)歷三角形邊長的數(shù)量關系的探索過程,理解三角形的三邊關系.2.掌握判斷三條線段能否構(gòu)成一個三角形的方法,并運用此方法解決有關問題.【情感、態(tài)度與價值觀】1.帶領學生探究三角形的邊角關系問題,引起學生的好奇心,激發(fā)學生的求知欲.2.幫助學生樹立幾何知識源于生活并服務于生活的意識.重點難點【重點】理解并掌握三角形的三邊關系.【

2、難點】已知三條線段能構(gòu)成三角形,求表示線段長度的代數(shù)式中字母的取值范圍.教學過程一、創(chuàng)設情境,導入新知教師多媒體出示:教師把事先收集的與三角形有關的生活圖片運用多媒體播放,讓學生對三角形有一個感性認識,如圖所示.教師活動:通過播放圖片,引導學生認識三角形,并提出:圖(b)中能找出幾個三角形,這些三角形具有怎樣的特性?學生活動:回顧小學學過的三角形,與同桌交流,找出圖(b)中的三角形.教師歸納:由不在同一條直線上的三條線段首尾依次相接所組成的圖形叫做三角形.教師多媒體出示:師:你能指出這個三角形的頂點有幾個嗎?分別是什么?生:這個三角形的頂點有三個,分別是A、B、C.師:這個三角形的邊呢?生:邊

3、有三條,分別是AB、BC和CA.師:對.我們把這個三角形記作“ABC”,讀作“三角形ABC”.三角形的三邊有時用它所對角的相應小寫字母表示.如邊AB對著C,記作c;邊BC對著A,記作a;邊CA對著B,記作b.也就是說,一邊可用兩個大寫字母或一個小寫字母表示,角可用“”加上一個大寫字母表示.師:按邊分類時,你知道的都有哪些三角形?生:等邊三角形.師:等邊三角形是三條邊都相等的三角形.如果不是三條邊都相等,比如兩條邊相等,這類三角形叫什么三角形呢?生:等腰三角形.師:對,等邊三角形是等腰三角形的特例.如果三條邊都不相等呢?學生思考.師:我們把這類三角形叫做不等邊三角形.教師多媒體出示:教師板書:三

4、角形(按邊分)師:在等腰三角形中,你能區(qū)分哪條邊是腰,哪條邊是底嗎?生:相等的兩邊叫做腰,第三邊叫做底邊.師:對.我們現(xiàn)在再來認識一下頂角和底角.兩腰的夾角叫做頂角,腰與底邊的夾角叫做底角.二、共同探究,獲取新知師:請大家任意畫出一個三角形,用刻度尺測量一下,并說說任意兩邊之和與第三邊的關系.學生操作.生:任意兩邊之和大于第三邊.師:對,你有沒有其他的方法來證明三角形的任意兩邊之各大于第三邊呢?生:由所有兩點之間的連線中線段最短得到.教師板書:三角形中任何兩邊的和大于第三邊.師:對.根據(jù)不等式的性質(zhì),我們能得到三角形中任意兩邊的差小于第三邊.(教師板書)如果三條線段要構(gòu)成一個三角形,它們就要滿

5、足這兩個條件,但是在實際計算中,需要驗證六個不等式都成立嗎?學生思考,討論.師:不等式a+b>c,你把a移到不等式的右邊,這個不等式如何表示?生:b>c-a.師:對,也就是c-a<b,由此你能得到什么啟示?學生思考.生甲:同樣的道理,由兩個三角形兩邊之和大于第三邊,可以得到兩個三角形兩邊之差小于第三邊.生乙:我們只要驗證“三角形中任何兩邊的和大于第三邊”和“三角形中任何兩邊的差小于第三邊”,因為第二個條件由第一個得到,所以我們只要滿足第一個條件即可.下面請大家看一個例題.教師多媒體出示:【例】等腰三角形中,周長為18cm.(1)如果腰長是底邊長的2倍,求各邊長;(2)如果一邊

6、長為4cm,求另外兩邊長.師:請同學們思考后回答.生:設等腰三角形的底邊長為xcm,則腰長為2xcm,根據(jù)題意,得x+2x+2x=18,解方程得x的值,即底邊長,然后求出腰長.師:當已知一邊長為4cm,但并未指明它是腰還是底時,應該怎么求另外兩邊的長呢?生:要分4cm是腰長和底邊長兩種情況來討論.師:對.還要注意對得到的三條線段能否構(gòu)成一個三角形進行討論.教師找兩名學生板演,其余同學在下面做,然后集體訂正.解:(1)設等腰三角形的底邊長為 xcm,則腰長為2xcm.根據(jù)題意,得x+2x+2x=18.解方程,得x=3.6.所以三角形的三邊長分別為3.6cm、7.2cm、7.2cm.(2)若底邊長

7、為4cm,設腰長為xcm,則有 2x+4=18.解方程,得x=7.若一條腰長為4cm,設底邊長為xcm,則有2×4+x=18.解方程,得x=10.因為4+4<10,所以,以4cm為一腰不能構(gòu)成三角形.所以,三角形的另外兩邊長都是7cm.三、練習新知師:請同學們判斷用下列長度的三條線段能否組成一個三角形.(1)1cm、2cm、3cm;(2)2cm、3cm、4cm;(3)4cm、5cm、6cm;(4)5cm、6cm、10cm.教師找四名同學回答,然后集體訂正.師:同學們可以總結(jié)出判斷三條線段能否構(gòu)成一個三角形的簡便方法嗎?以題(2)為例,根據(jù)三角形任意兩邊的和大于第三邊,我們要作幾

8、個判斷?生:三個.師:哪三個?生:2+3>4,2+4>3,3+4>2.師:你能不能用一個判斷的結(jié)果得到這三條線段能否構(gòu)成三角形?生:師:2+4一定大于3,3+4一定大于2,因為長度為4的這一條邊長已經(jīng)大于3了,同樣的長度為3或4的一條邊長已經(jīng)大于2了.生:只要看最長的一邊是否小于其他兩邊之和.師:很好.四、課堂小結(jié)師:今天我們又學習了什么內(nèi)容?生:我們學習了三角形的分類,等腰三角形的底邊和腰,三角形三邊的關系等.教師補充完善.教學反思通過本節(jié)課的學習,使學生認識到不是任意的三條線段都能構(gòu)成三角形,并讓學生知道怎樣判斷三條線段是否能構(gòu)成三角形.在判斷三條線段能否構(gòu)成三角形時,我

9、們不對任意兩邊之和是否大于第三邊、任意兩邊之差是否小于第三邊一一驗證,因為后面的式子可由前面的變形得到.事實上,只要看最長的一邊是否小于其他兩邊之和即可,因為當這個條件成立時,其他的兩邊之和大于第三邊的式子也成立.通過這些方法的探討使學生養(yǎng)成積極思考、簡化計算的習慣.第2課時三角形中的邊角關系(二)教學目標【知識與技能】1.掌握三角形的內(nèi)角和定理.2.能應用三角形的內(nèi)角和定理解決一些簡單的實際問題.【過程與方法】經(jīng)歷實驗探究,得出三角形的內(nèi)角和定理.【情感、態(tài)度與價值觀】1.通過帶領學生探究三角形的角的數(shù)量關系,引起學生的好奇心,激發(fā)學生的求知欲.2.發(fā)展學生的合情推理能力,使學生養(yǎng)成獨立思考

10、的習慣.重點難點【重點】三角形的內(nèi)角和定理.【難點】三角形內(nèi)角和定理的證明過程.教學過程一、創(chuàng)設情境,導入新知師:上節(jié)課我們把三角形按邊來分類,并研究了三角形三邊之間的關系,同學們還記得三角形的三邊之間是什么關系嗎?生:記得.三角形中任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.師:對.那么如果按角來分類呢?生:分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.師:你能說說它們分別是怎樣定義的嗎?生:能.三角形中,三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形,有一個角是直角的三角形叫做直角三角形,有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形.師:在介紹等腰三角形時,我們對它的邊進行了區(qū)分,分為腰和底邊.直角三角形中,

11、我們怎么對它的邊長加以區(qū)分呢?生:直角三角形中夾直角的兩邊叫做直角邊,直角相對的邊叫做斜邊.師:對.我們分別給它們?nèi)∫粋€名字,這樣以后就容易指出了.直角三角形可以寫成“RtABC”,我們把不是直角三角形的歸為一類,稱為斜三角形,所以斜三角形包括銳角三角形和鈍角三角形.二、共同探究,獲取新知師:我們再回憶一下,在一個三角形中三個內(nèi)角之間有什么關系?生:三角形的三個內(nèi)角和是180°.師:你還記得在小學時,我們是怎樣知道這個關系的嗎?生:用折疊和剪拼的方法得到的.師:好.請同學們拿出一張紙,畫出一個三角形,并將它剪下來.學生交流討論后操作.師:將紙片三角形的一角折向其對邊,使頂點落在對邊上

12、,折線與對邊平行,然后把另外兩角相向?qū)φ?使其頂點與已折角的頂點嵌合.學生操作.教師多媒體出示:師:這樣我們就得到了什么結(jié)論?生:三角形的內(nèi)角和是180°.教師多媒體出示:師:現(xiàn)在請同學們自己用剪拼的方法證明一下,看你們能不能得到這樣的結(jié)果.學生操作.生:能得到同樣的結(jié)論:三角形的內(nèi)角和是180°.師:很好!你們還有什么方法來證明這個結(jié)論嗎?生:用量角器量.師:對,你們在紙上畫出一個三角形,然后用量角器量它的三個內(nèi)角,看它們有什么關系?學生操作后回答.師:同學們思考一下一個三角形中最多有幾個鈍角?學生計論后回答:一個.師:你是怎樣得出的結(jié)論?生:因為一個三角形的內(nèi)角和是18

13、0°,鈍角是大于90°的角,若有兩個鈍角,三個內(nèi)角的和就超過180°了,所以至多有一個鈍角.師:最多有幾個直角呢?生:一個.師:為什么呢?生:與鈍角情況類似,若有兩個直角,它們的和就已經(jīng)是180°了,再加上第三個角的度數(shù),內(nèi)角和就超過180°了.師:你分析得很好!三、鞏固練習,加深理解教師多媒體出示:【例】已知:如圖所示,ABC中,BDAC,垂足為D,ABD=54°,DBC=18°.求A和C的度數(shù).師:怎么求A的大小?把它看作哪個三角形的內(nèi)角求?生:A是ABD的內(nèi)角,因為BDAC,所以BDA=90°,ABD的度數(shù)已

14、知,所以用三角形的內(nèi)角和定理就可以求出A的大小.師:很好!C的度數(shù)怎么求呢?把它作為哪個三角形的內(nèi)角來求呢?生:可以放在ABC中求,也可以放在DBC中求.師:對.當C作為ABC的內(nèi)角時怎么求呢?生:A+ABD+DBC+C=180°,所以C=180°-A-(ABD+DBC),然后把各個角的度數(shù)代入即可.師:當C作為DBC的內(nèi)角時怎么求呢?生:因為BDAC,所以BDC=90°,BDC+DBC+C=180°,所以C=180°-BDC-DBC,然后把各角的度數(shù)代入即可.教師板書計算過程.解:由于BDAC,(已知)所以ADB=CDB=90°.在

15、ABD中,A+ABD+ADB=180°,(三角形的三個內(nèi)角和等于180°)ABD=54°,ADB=90°,(已知)A=180°-ABD-ADB=180°-54°-90°=36°.在ABC中,C=180°-A-(ABD+DBC)=180°-36°-(54°+18°)=72°.四、課堂小結(jié)師:我們今天學習了什么內(nèi)容?學生回答,教師補充完善.師:你還有什么疑問嗎?學生提問,教師解答.教學反思本節(jié)課學生通過自主探索、合作交流、認真探究,從而證明出三角形的

16、內(nèi)角和等于180°,并按照“探究性學習方式”的三個層次要素設計學生的學習過程:“回憶舊知、引入新知”,“分析交流、探索規(guī)律”,“學以致用、提高能力”,使整節(jié)課既有規(guī)律性又有藝術性.教學過程中,不浪費任何一個促使學生動手操作、實踐獲得真知的機會,以師生互動、生生互動使學生主動自覺地發(fā)現(xiàn)結(jié)果,找到方法,培養(yǎng)學生的操作、觀察,分析能力和思維的全面性.第3課時三角形中的邊角關系(三)教學目標【知識與技能】1.了解并掌握三角形的高、中線和角平分線的概念,會用直尺、量角器等工具作出三角形的高、中線與角平分線.2.通過作圖了解三角形的三條高、三條中線與三條角平分線分別交于一點.【過程與方法】經(jīng)歷探

17、究三角形的高、角平分線、中線的過程,掌握其應用方法,發(fā)展空間觀念.【情感、態(tài)度與價值觀】1.經(jīng)歷作圖的實踐過程,認識三角形的高、中線與角平分線,幫助學生養(yǎng)成實事求是、具體問題具體分析的習慣.2.發(fā)展學生合情推理的能力,提高學生學習數(shù)學的興趣,形成合作交流的意識.重點難點【重點】三角形的三條高、中線和角平分線的畫法.【難點】鈍角三角形三條高的畫法.教學過程一、創(chuàng)設情境,導入新知師:我們在上節(jié)課把三角形按角進行了分類,我請幾個同學回答一下什么是銳角三角形、什么是直角三角形、什么是鈍角三角形.生甲:在三角形中,三個角都是銳角的三角形叫做銳角三角形.生乙:在三角形中,有一個角是直角的三角形叫做直角三角

18、形.生丙:在三角形中,有一個角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形.師:很好!我們上節(jié)課學習了一個重要的定理,大家還記得嗎?生:記得.三角形三個內(nèi)角的和等于180°.師:很好!這節(jié)課我們繼續(xù)學習三角形的有關知識.二、共同探究,獲取新知師:三角形中三條邊、三個角是它的六個基本元素,除此之外,同學們通過預習,知道它還有什么元素嗎?生:角平分線.師:什么是角平分線呢?生:三角形中,一個角的平分線與這個角的對邊相交,頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.師:還有什么元素?生:中線.師:什么是中線呢?生:三角形中,連接一個頂點與它對邊中點的線段叫做三角形的中線.師:還有什么元素呢?生:高.師:什么

19、是高呢?生:從三角形的一個頂點到它對邊所在直線的垂線段叫做三角形的高.學生熟記定義.師:你能根據(jù)這些線的定義作出這些線嗎?生:能.師:現(xiàn)在請大家畫一個三角形,并作出各個角的平分線.學生操作,教師巡視.教師在黑板上演示畫一個角的平分線.1=2,BD是ABC的平分線.師:現(xiàn)在請大家重新畫一個三角形,并作出這個三角形的三條中線.學生操作,教師巡視.教師在黑板上演示畫一條中線.BD=DC,AD是BC邊上的中線.師:現(xiàn)在請大家重新畫一個三角形,并作出這個三角形的三條高.學生操作,教師巡視.教師在黑板上演示畫三種類型的三角形的一條高線.銳角三角形BC邊上的高直角三角形BC邊上的高鈍角三角形BC邊上的高師:

20、你能用折疊的方法作出一個角的平分線嗎?學生思考,交流.生:能.師:你是怎樣做的?生:先作出一個三角形,把它裁剪下來,我折疊要平分的這個角使它的兩邊重合,這樣得到的折痕與這個角的對邊有一個交點,連接這個角的頂點與這個交點得到的線段就是這個三角形的角平分線.師:你太聰明了.大家現(xiàn)在都知道怎么作的嗎?生:知道.師:那么請同學們動手做一做.學生操作.師:你能用折疊的方法作出三角形的一條中線嗎?學生思考,交流.生:能.師:你是怎么做的?生:要作出三角形一邊上的中線,我折疊這條邊,使其兩端點重合,折痕與這條邊的交點,就是這條邊的中點.連接這條邊所對角的頂點與這個中點,所得的線段就是這條邊上的中線.師:現(xiàn)在請大家動手作出中線.學生操作.師:你能用折疊的方法作出三角形一邊上的高嗎?學生討論.生:過這邊所對角的頂點折疊三角形,使這條邊的兩段重合,這樣就得到了三角形的高.師:很好,請大家動手做一做.學生操作,教師巡視指導.三、作圖練習,理解定義師:三角形的角平分線的定義給出了角平分線的作法,請同學們在紙上畫出一個三角形,并根據(jù)角平分線的定義,畫出三個角的平分線.學生操作,教師巡視指導.師:請同學們再畫出一個三角形,然后根據(jù)中線的定義,作出中線.學生操作,教師巡