江蘇省前黃中學(xué)溧陽(yáng)中學(xué)2016屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

1、前黃中學(xué)、溧陽(yáng)中學(xué)2016屆高三下學(xué)期聯(lián)考試題數(shù)學(xué)2016.4一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上1. 已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為 2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的實(shí)部為 .3I0While I <9S2I + 1 II+3End WhilePrint S第4題圖3. 已知樣本7，8，9，x，y的平均數(shù)是8，且xy = 60，則此樣本的方差是 24. 運(yùn)行如圖所示的偽代碼，其輸出的結(jié)果S為 135.從1、2、3、4這4個(gè)數(shù)中一次性隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則所取兩個(gè)數(shù)的和為4或5的概率為 .6.已知，則 . 7.已知正三棱錐的體積為9cm3，

2、高為3cm則它的側(cè)面積為 cm2188. 已知雙曲線 (，)的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過(guò)作垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且滿足，則該雙曲線的離心率是 9. 設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，若，則的值是 .210.已知，則不等式的解集為 . 11. 如圖，已知是圓的直徑，在圓上且， 則 .212.已知圓與圓 相交于 兩點(diǎn)，且滿足 ，則 . 13. 若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍是 .14.已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得，則的最小值為 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15.在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足（1）求角的大小；（2）若點(diǎn)為中點(diǎn)，且

3、，求（），即，所以，由 ,解得 7分 （范圍不說(shuō)明扣1分） （）解法一：取中點(diǎn),連,則,則，則，由（）知，由正弦定理知，得. 14分解法二：由（）知，又為中點(diǎn)，在中，由余弦定理分別得： 又，由正弦定理知，得. 14分16. 如圖，在三棱錐中，已知平面平面（1）若，求證：；（2）若過(guò)點(diǎn)作直線平面，求證：平面16（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?3分因?yàn)槠矫妫?又因?yàn)?，且，平?所以平面，又因?yàn)槠矫妫?7分（2）在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，垂足為因?yàn)槠矫嫫矫妫制矫嫫矫鍮C，平面，所以平面10分又平面，所以/又平面，平面，/平面 14分17.某生物探測(cè)器在水中逆流行進(jìn)時(shí)，所消耗的能量為，其

4、中為行進(jìn)時(shí)相對(duì)于水的速度，為行進(jìn)時(shí)的時(shí)間（單位：小時(shí)），為常數(shù)，為能量次級(jí)數(shù)如果水的速度為4 km/h，該生物探測(cè)器在水中逆流行進(jìn)200 km（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）(i)當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為2時(shí)，求該探測(cè)器消耗的最少能量；(ii)當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為3時(shí)，試確定的大小，使該探測(cè)器消耗的能量最少解：（1）由題意得，該探測(cè)器相對(duì)于河岸的速度為， 又該探測(cè)器相對(duì)于河岸的速度比相對(duì)于水的速度小4 km/h，即， 所以，即，； 4分 （2）() 當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為2時(shí)，由（1）知， （當(dāng)且僅當(dāng)即km/h時(shí)，取等號(hào)）9分 () 當(dāng)能量次級(jí)數(shù)為3時(shí)，由（1）知， 所以得， 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 所以當(dāng)時(shí)， 答：() 該

5、探測(cè)器消耗的最少能量為； () km/h時(shí)，該探測(cè)器消耗的能量最少 14分18.如圖,已知橢圓：的上頂點(diǎn)為,離心率為. （）求橢圓的方程；（）若過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線分別與橢圓相交于點(diǎn)(不同于點(diǎn)).當(dāng)變化時(shí),試問(wèn)直線是否過(guò)某個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（） 由已知可得, ,所求橢圓的方程為 5分（）設(shè)切線方程為，則，即，設(shè)兩切線的斜率為，則是上述方程的兩根，所以 ； 8分 由得：， 所以， 同理可得：， 12分 所以， 于是直線方程為， 令，得， 故直線過(guò)定點(diǎn). 16分19. 定義：從一個(gè)數(shù)列an中抽取若干項(xiàng)(不少于三項(xiàng))按其在an中的次序排列的一列數(shù)叫做an的子數(shù)列，成等差

6、(比)的子數(shù)列叫做an的等差(比)子列 （1）求數(shù)列1，的等比子列； （2）設(shè)數(shù)列an是各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列，且公比q1 （i）試給出一個(gè)an，使其存在無(wú)窮項(xiàng)的等差子列（不必寫出過(guò)程）； （ii）若an存在無(wú)窮項(xiàng)的等差子列，求q的所有可能值解：（1）設(shè)所求等比子數(shù)列含原數(shù)列中的連續(xù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為k（1k3，kN*）， 當(dāng)k2時(shí)， 設(shè)，成等比數(shù)列，則×，即mn2， 當(dāng)且僅當(dāng)n1時(shí)，mN*，此時(shí)m4，所求等比子數(shù)列為1，；設(shè)，成等比數(shù)列，則×，即mn12ÏN*；3分 當(dāng)k3時(shí)，數(shù)列1，；，；，均不成等比， 當(dāng)k1時(shí)，顯然數(shù)列1，不成等比； 綜上，所求等比子數(shù)列為1， 5

7、分 （2）（i）形如：a1，a1，a1，a1，a1，a1，（a10，q1）均存在無(wú)窮項(xiàng) 等差子數(shù)列： a1，a1，a1， 或a1，a1，a1， 7分 （ii）設(shè)a(kN*，nkN*)為an的等差子數(shù)列，公差為d， 當(dāng)|q|1時(shí)，|q|n1，取nk1log，從而|q|， 故|aa|a1qa1q|a1|q|·|q1|a1|q|(|q|1)|d|， 這與|aa|d|矛盾，故舍去； 12分 當(dāng)|q|1時(shí)，|q|n1，取nk1log，從而|q|， 故|aa|a1|q|q1|a1|q|q|1|2|a1|q|d|， 這與|aa|d|矛盾，故舍去； 又q1，故只可能q1，結(jié)合(i)知，q的所有可能值

8、為1 16分20.設(shè)函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，試判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）求證：對(duì)任意的正數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，滿足：對(duì)任意的，解：（1）當(dāng)a0時(shí)，f(x)xlnxx，f(x)lnx，令f(x)0，x1，列表分析x(0，1)1(1，)f(x)0f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，) 3分（2）方法一、f(x)(xa)lnxxa，f(x)lnx，其中x0， 令g(x)xlnxa，分析g(x)的零點(diǎn)情況g(x)lnx1,令g(x)0，x，列表分析x(0，)(，)g(x)0g(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增g(x)ming()a，

9、 5分而f()lnae1ae，f(e2)2ae2(2ae2)，f(e2)2(2e2a)，若a，則f(x)lnx0，故f(x)在(e2，e2)內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)；若a，則f()lnae0，f(e2)(2ae2)0，f(e2)(2e2a)0，因此f(x)在(e2，e2)有兩個(gè)零點(diǎn)，f(x)在(e2，e2)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)；若a0，則f()lnae0，f(e2)(2ae2)0，f(e2)(2e2a)0，因此f(x)在(e2，e2)有一個(gè)零點(diǎn)，f(x)在(e2，e2)內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)；綜上所述，當(dāng)a(，時(shí)，f(x)在(e2，e2)內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)a(，)時(shí)，f(x)在(e2，e2)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a，0)時(shí)，

10、f(x)在(e2，e2)內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn). 10分方法二、f(x)(xa)lnxxa，f(x)lnx，令 （不用零點(diǎn)存在定理說(shuō)明扣3分）（3）猜想：x(1，1a)，f(x)a1恒成立 11分證明如下：由（2）得g(x)在(，)上單調(diào)遞增，且g(1)a0，g(1a)(1a)ln(1a)a因?yàn)楫?dāng)x1時(shí)，lnx1(*)，所以g(1a)(1a)(1)a0故g(x)在(1，1a)上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)為x0 由x(1，x0)x0(x0，1a)f(x)0f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增 知，x(1，1a)，f(x)maxf(1)，f(1a) 13分 又f(1a)ln(1a)1，而x1時(shí)，lnxx1(*)， 所以f(1

11、a)(a1)11a1f(1) 即x(1，1a)，f(x)a1 所以對(duì)任意的正數(shù)a，都存在實(shí)數(shù)t1，使對(duì)任意的x(t，ta)，使 f(x)a1 15分 補(bǔ)充證明（*）： 令F(x)lnx1，x1F(x)0，所以F(x)在1，)上單調(diào)遞增 所以x1時(shí)，F(xiàn)(x)F(1)0，即lnx1 補(bǔ)充證明（*）令G(x)lnxx1，x1G(x)10，所以G(x)在1，)上單調(diào)遞減 所以x1時(shí)，G(x)G(1)0，即lnxx1 16分2016屆高三下學(xué)期聯(lián)考 數(shù)學(xué)附加題21【選做題】在A、B、C、D四小題中只要選做2題，每小題10分，共計(jì)20分請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定區(qū)域內(nèi)作答解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟A選修4

12、1：幾何證明選講ABCDEO·（第21題（A）圖）在圓O中，AB，CD是互相平行的兩條弦，直線AE與圓O相切于點(diǎn)A，且與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求證：AD2AB·ED證明：連接BD， 因?yàn)橹本€AE與圓O相切，所以EADABD 4分 又因?yàn)锳BCD， 所以BADADE， 所以EADDBA 8分 從而，所以AD2AB·ED 10分B選修42：矩陣與變換已知，點(diǎn)在變換:作用后，再繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到點(diǎn)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)解： 4分設(shè)，則由，得8分所以，即 10分C選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程若以直角坐標(biāo)系的為極點(diǎn)，為極軸，選擇相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系，得曲線的極坐標(biāo)

13、方程是（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并指出曲線是什么曲線；（2）若直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），當(dāng)直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求解：（1）由，得， 4分所以曲線表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線 5分（2）將 代入得， 8分 10分解法二：代入得， 8分 10分D選修45：不等式選講設(shè)函數(shù)（）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；（）若存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（）當(dāng)時(shí)， 2分函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以 4分（），即，令，則存在，使得成立，即 7分當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得，當(dāng)時(shí)，原不等式為，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是 10分22.設(shè)集合，從S的所有非空子集中，等可能地取出一個(gè).（1）設(shè)，若，則，就稱子集A滿足性質(zhì)，求所取出的非空子集滿足性質(zhì)的概率；（2）所取出的非空子集的最大元素為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：可列舉出集合S的非空子集的個(gè)數(shù)為：個(gè).（