常微分方程試題及答案

1、常微分方程模擬試題一、填空題(每小題3分，本題共15分)1 . 一階微分方程的通解的圖像是2維空間上的一族曲線.2 .二階線性齊次微分方程的兩個(gè)解yi(x), y2(x)為方程的基本解組充分必要條件是3 .方程y 2y y 0的基本解組是.4 . 一個(gè)不可延展解的存在在區(qū)間一定是 區(qū)間.5 .方程曳/1 y2的常數(shù)解是.dx二、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，本題共15分)6 .方程* x 3 y滿足初值問(wèn)題解存在且唯一定理?xiàng)l件的區(qū)域是().(A)上半平面7.方程曳處dx(A)有一個(gè)(B) xoy平面1 ()奇解.(B)有兩個(gè)(C)下半平面(D)除y軸外的全平面(C)無(wú)(D)有無(wú)數(shù)個(gè)8. f (y)連

2、續(xù)可微是保證方程 曳 dx(A)必要(B)充分f(y)解存在且唯一的()條件.(C)充分必要(D)必要非充分9. 二階線性非齊次微分方程的所有解().(A)構(gòu)成一個(gè)2維線性空間(B)構(gòu)成一個(gè)3維線性空間(C)不能構(gòu)成一個(gè)線性空間(D)構(gòu)成一個(gè)無(wú)限維線性空間210. 方程3y3過(guò)點(diǎn)(0, 0)有(B ). dx(D)只有三個(gè)解(A)無(wú)數(shù)個(gè)解(B)只有一個(gè)解(C)只有兩個(gè)解三、計(jì)算題(每小題6分，本題共 30分)求下列方程的通解或通積分：dy11. yln y dx12. 乎.1(y)21dxxxdy513. y xydx22、14. 2xydx (x y )dy 0315. y xy 2( y)

3、四、計(jì)算題(每小題10分，本題共20分)2 .16 .求萬(wàn)程y 5y 5x的通解.17 .求下列方程組的通解.dx dt dy dt1sin tx五、證明題(每小題10分，本題共20分)18 .設(shè)f (x)在0,)上連續(xù)，且Jim f(x) 0,求證：方程的一切解y(x),均有l(wèi)im y(x) 0 .xdydxf(x)19.在方程 y p（x） y q（x）y 0 中，p（x）, q（x）在（恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式川儀）是（）上連續(xù)，求證：若p（x）上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù).常微分方程模擬試題參考答案一、填空題（每小題3分，本題共15分）1. 22.線性無(wú)關(guān)（或：它們的朗斯基行

4、列式不等于零）3. ex, xex4.開5. y 1二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，本題共15分）6. D7, C 8. B 9. C 10. A三、計(jì)算題（每小題6分，本題共 30分）11.解： y 1為常數(shù)解當(dāng)y 0, y 1時(shí)，分離變量取不定積分，得dyyln ydx C通積分為ln y Cex1包含在常數(shù)解中，當(dāng)c 0時(shí)就是常數(shù)解，因此常數(shù)解可以不專門列出。13.解: 5方程兩端同乘以y ,得5 dy 4y ydxz ,貝U 4y 5 dx1 dz z x4 dx，代入上式，得dx這是一階線形微分方程，對(duì)應(yīng)一階線形齊次方程的通解為4xz ce利用常數(shù)變易法可得到一階線形微分方程的通解為4x

5、 1z Ce x - 4因此原方程通解為4 c 4x1y Ce x -414.解： 因?yàn)楫?2x N,所以原方程是全微分方程. yx取（x°, y0）（0, 0）,原方程的通積分為xy 2o2xydx0 ydy C計(jì)算得15.解:（1分）（3分）（6分）（1分）（3分）（4分）（5分）（6分）（2分）（4分）（6分）原方程是克萊洛方程，通解為一 _ 3（6分）y Cx 2C四、計(jì)算題(每小題10分，本題共20分)16.解： 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為0,（1分）特征根為1齊次方程的通解為0,25,（2分）ClC2e5x（4分）因?yàn)?是特征根。所以，設(shè)非齊次方程的特解為2y1 (x) x

6、( Ax Bx代入原方程，比較系數(shù)確定出C）（6分）1cle一，B , C25（9分）原方程的通解為17.解:特征根為CiC2e5x齊次方程的特征方程為1 22-x x525（10 分）(1分)（2分）求得特征向量為1（3分）i因此齊次方程的通解為xC1 y 令非齊次方程特解為cost-sintsintC2cost（4分）CMt）cost-sintC2sintcost（5分）C1 （t）,C2滿足costsin tsin t ccost c（t）（t）sin t0（6分）解得Ci （t）cost，C2 （t） sin t（8分）積分，得C1(t)ln sint ,C2（t）（9分）通解為cos

7、ty五、證明題C1 -sintC2(每小題10分,sin tcost本題共cost ln sin tt sin t-sint ln sint t cost20分）（10 分）18 .證明：取極限limx19 .證明：基行列式在（，由于W（Xo）故川仁）是（,設(shè)y y（x）是方程任一解，滿足 y（xo）y(x)yoyo,該解的表達(dá)式為x f (s)e(s xo)ds xoxo(s xo)x f(s)e dsy(x) limlim -xex x xex xo-、 (s Xo) io,右f(s)e(dsxo=of (x)e(x x°),、(x)e(s xo)lim rr- o,右 f (s)e dsxex xxo設(shè)yi (x), y2 (x)是方程的基本解組，則對(duì)任意x (,),)上有定義，且 W(x) o .又由劉維爾公式xp(s) dsW(x) W(x0