圓圓與直線位置關(guān)系總復(fù)習(xí)

1、圓圓與直線位置關(guān)系總復(fù)習(xí)作者:日期:圓、圓與直線圓與圓的位置關(guān)系n R1801. 在半徑為R的圓上，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的的計(jì)算公式為I2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系? 圓是到定點(diǎn)(圓心的距離等于定長(zhǎng)半徑的點(diǎn)的集合。? 圓的內(nèi)部是到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合。? 圓的外部是到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合。? 由此，你發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是由什么來(lái)決定的呢?3. 圓的有關(guān)性質(zhì)思考：由幾個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓呢 ？討論:經(jīng)過(guò)一個(gè)點(diǎn)，能作出多少個(gè)圓？?經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)，如何作圓，能作多少個(gè)？經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)，如何作圓，能作多少個(gè) ？4. 經(jīng)過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心， 三

2、角形叫做圓的內(nèi)接三角形。5. |垂徑定理| :垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。? 如圖，P為O O的弦BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA=AB= 2,PO = 5,求O O的半徑。關(guān)于弦的問(wèn)題，常常需要過(guò)圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的輔助線。 圓心到弦的距離、 半徑、弦長(zhǎng)構(gòu)成直角三角形， 便將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題。6. 1平分弦(不是直徑的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。? 2弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；(3平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦并且平分弦所對(duì)的另一條弧。(4)圓的兩條平行弦所夾的弧相等7. 圓的相關(guān)性質(zhì)圓是軸對(duì)稱圖形，|中心對(duì)稱圖形。

3、圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊者E和圓相交的角。 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角.定理：同弧或等弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。思考：(1弧相等，圓周角是否相等？反過(guò)來(lái)呢？(2)什么時(shí)候圓周角是直角？反過(guò)來(lái)呢 ？ (3直角三角形斜邊中線有什么性質(zhì)？反過(guò)來(lái)呢？ 同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。.思考：(1、同圓或等圓的條件能否去掉 ？2)、判斷正誤：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩 個(gè)圓周角中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。推論？半圓或直徑所對(duì)的圓周角是90°9 0。的圓周角所對(duì)的弦是直徑。8. 由弧長(zhǎng)公式可推出：n9.如果扇形的半徑為

4、Rn R23601IR2（注意:要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)墓絹?lái)求扇形面積）。10.如果弓形的面積是S,弓形所在扇形的面積是S1,圓心角是n0,扇形的兩條半徑與，圓心角為n°,扇形的弧長(zhǎng)為I，那么扇形面積的計(jì)算公式為:弓形的弦所成的三角形面積是S2,那么（1當(dāng)n=1800時(shí)，s = Si；等于半圓）2當(dāng) n V 180°時(shí),S=S 1-S2;小于半圓3）當(dāng) n > 180°時(shí)，S= S1+S2 大于半 圓11. 圓錐可以看做是一個(gè)直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周所成的圖形，斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做面錐的側(cè)面 無(wú)論轉(zhuǎn)到什么位置，這條斜邊都叫做圓錐的母線，另一條直角邊

5、旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面如果記圓錐的高線長(zhǎng)為h,地面半徑為r,母線長(zhǎng)為I，那么h 2 + r 2=|2.12. 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，這個(gè)扇形的半徑是圓錐的母線長(zhǎng)I，弧長(zhǎng)是圓錐的底面周長(zhǎng)C =2 r ,側(cè)面積S側(cè)=rl。213. 圓錐的側(cè)面積與底面積的和叫圓錐的全面積（或外表積）.S全=rl r例題精講:1 .鐘表的軸心到分針針端的長(zhǎng)為5 cm,那么經(jīng)過(guò)40分鐘,分針針端轉(zhuǎn)過(guò)的弧長(zhǎng)是 (A必 cm (B)320cm325cm32.有一張矩形紙片ABCD,其中AD =4 cm,上面有一個(gè)以A、50（D） cm3D為直徑的半園，正好與對(duì)邊E C相切，如圖（甲）。將它沿DE折疊，是A點(diǎn)落在B

6、C上,如圖（乙）。這時(shí)，半圓還露在外面的局部（陰影局部）的面積是（(An 2 3cm21L2(B(1n 2cmc m (D)( n +y 3cm33.如上右圖，圓心角都是90°的扇形 OAB與扇形OCD疊放在一起，OA =3, OC= 1,分別連結(jié)AC、BD,那么圖中陰影局部的面積為 ()1(A)( B )(C) 2(D)424.將如右圖所示的圓心角為90°的扇形紙片AO B圍成圓錐形紙帽，使扇形的兩條半徑OA與0B重合(接縫粘貼局部忽略不計(jì)),那么圍成的圓錐形紙帽是5 .圓錐側(cè)面展開(kāi)圖圓心角為9 0°,那么該圓錐的底面半徑與母線長(zhǎng)的比為()(A)1 : 2(B)

7、2: 1 C)1 : 4(D)4: 16. 如圖，點(diǎn)P在圓 O外,0A丄PA于 A點(diǎn)，OP與圓周相交于 C點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線P O對(duì)稱，OA= 4, PA = 4錯(cuò)誤!.求1 ) ZP OA的度數(shù); (2 )弦A B的長(zhǎng)；3 )陰影局部的面積.廠(°|A7. 如圖，梯形 AB CD中，AD/ BC, ZD =9 0°,以 AB為直徑的OO與CD相切于E,與BC相交于F,假設(shè)AB=4,A D=1，那么圖中兩陰影局部面積之和為多少 ？8. 如圖，AAB C內(nèi)接于O O, AD丄BC于D, A E是O O的直徑.假設(shè)AB = 6, AC=8,AE=10 , 求AD的長(zhǎng).AC、

8、圓與直線的位置關(guān)系1.|直線與圓的位置關(guān)系(O O的半徑為r,圓心O到直線I的距離為 d)1 )相交:直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相交，這時(shí)的直線叫做圓的割線道線I和O 0相交-d <r;|相切：直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相切，這條直線叫做圓的切線，公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)；直線1和O 0相切- d= r;3直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相離；直線I和OO相離" d >r ;離2. 判斷直線與圓相切有哪些方法?1利用切線的定義;(2禾9用圓心到直線的距離等于圓的半徑;(3)利用切線的判定定理。3. 圓的切線的性質(zhì)定理：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑垂直于圓的切線 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直

9、于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。及時(shí)例題：例1如圖,AB為O O的直徑，C為O 0上一點(diǎn)，AD和過(guò)C 點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為 D。求證:A C平分/ D AB。分析：從條件想,CD是O 0的切線，可考慮連結(jié) CO,利用 切線的性質(zhì)定理可知 0C丄CD，由AD丄CD ,易知 OC / AD。如果從結(jié)論看，要證 AC平分/ DAB,須證 明/ DAC= / CA B，由于/ C AB = / AC0,所以只要證 明/ DAC = / AC0 即可。例2、木工師傅可以用角尺測(cè)量并計(jì)算出圓的半徑如圖，用角尺的較短邊緊靠O 0于點(diǎn)A,并使較長(zhǎng)邊與O 0 相切于點(diǎn)C,記角尺的直角頂點(diǎn)為 B，量得AB=8 cm,

10、BC=16cm .求O 0的半徑。分析：要求O O的半徑，可以考慮建立與圓的半徑有關(guān) 的直角三角形，因?yàn)锽C是O O的切線，所以連結(jié)O C,這樣四邊形A BCO是直角梯形，過(guò)A點(diǎn)作0C的垂線，求得圓的半徑。例3、如圖,直線AB與OO相切于點(diǎn)C,AO與OO交于點(diǎn)D，連CD。2求證:(1 ) ACDCOD。2假設(shè)AC = 4cm,OO的半徑為 3c求A D ,CE的長(zhǎng)。1分析:要證明 ACD 丄2COD的一半，或者是/ ACD的兩倍。因?yàn)橹本€A 與O O相切于點(diǎn)C,所以0C丄AB,因此考慮作 / COD的平分線。例4、（補(bǔ)充例題如圖，AB是O O的直徑，BC是與圓相切于點(diǎn) B的切線，弦AD / O

11、Co求證：DC是OO的切線。COD，需要找到一個(gè)角等于5（補(bǔ)充三角形的幾個(gè)“心"重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍。該點(diǎn)叫做三角形的重心。外心：三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的外心。垂心：三角形的三條高交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的垂心。內(nèi)心：三角形的三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。旁心：三角形一內(nèi)角平分線和另外兩頂點(diǎn)處的外角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的旁心。三角形有三個(gè)旁心。6 圓與圓的位置關(guān)系兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)：兩圓內(nèi)切一d=R-r兩圓外切 d =R+r;兩圓相交R -r<d< R +r; 兩圓外離匚

12、一d>R+r ;兩圓內(nèi)含一d<R-r精典例題：【例】?jī)蓤A半徑之比是 5: 3,如果兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距等于6,問(wèn)當(dāng)兩圓的圓心距分別是2 4、5、20、0時(shí)，相應(yīng)兩圓的位置關(guān)系如何？解：設(shè)大圓半徑R=5x兩圓半徑之比為 5: 3 ,小圓半徑r=3x ,兩圓內(nèi)切時(shí)圓心距等于6, 5x- 3 x= 6 , x=3,大圓半徑 R=15,小圓半徑r=9,當(dāng)兩圓圓心距di = 2 4時(shí)，有di=R +r, 此時(shí)兩圓外切；當(dāng)兩圓圓心距d2 =5時(shí)，有d2<R-r,此時(shí)兩圓內(nèi)含；當(dāng)兩圓圓心距 d3=20時(shí),有R -r<d 3< R+r, 此時(shí)兩圓相交； 當(dāng)兩圓圓心距 d4=0時(shí),兩

13、圓圓心重合,兩圓為同心圓.說(shuō)明：此題考察學(xué)生對(duì)兩圓位置的數(shù)量認(rèn)識(shí)與形象思維的聯(lián)想能力考察數(shù)形結(jié)合能力.【例】如圖,AC為O O的直徑，B是OO外一點(diǎn),AB交OO于E點(diǎn)，過(guò)E點(diǎn)作O O的切 線，交BC于D點(diǎn)，D E = DC,作 E F丄A C于F點(diǎn)，交A D于M點(diǎn)。1求證:B C是O O的切線；(2E M = FM。分析：(1由于AC為直徑，可考慮連結(jié) EC,構(gòu)造直角三角形來(lái)解題，要證BC是OO的切線，證到/ 1 + Z 3=900即可；2)可證到E F / B C ,考慮用比例線段證線段相等。證明：1連結(jié)EC , / DE= CD, aZ1=Z 2BDC/ DE BO O 于 E,./ 2=

14、 / BA C/ AC 為直徑，/ BAC + Z3 =9 0 0 / 1+Z 3 = 9 0 0 故 BC 是O O 的切線。/ 1 + Z3 =90°,二 BC丄 AC又 TE F± AC , E F/ BC EM AM MF BD AD CD/ BD = CD , EM = F M【例】如圖 ABC中,A B = A C ,O是B C的中點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓與AB相切于點(diǎn)D。求證：A C是O O的切線。分析：由于OO與AC有無(wú)公共點(diǎn)未知，因此我們從圓心 O 向A C作垂線段 OE，證O E就是O O的半徑即可。證明：連結(jié)O D、OA,作OE丄A C于E/ AB=AC ,

15、 OB= O C,. AO 是/ BA C 的平分線/ A B是O O的切線， OD丄A B又 OE丄 AC , OE = OD A C是O O的切線?！纠咳鐖D，AB是OO的直徑,BC為O O的切線，切點(diǎn)為B, OC平行于弦 AD,OA= r。(1求證:CD是O O的切線;(2求AD OC的值;93)假設(shè)A D + OC = - r，求CD的長(zhǎng)。2分析:(1)要證C D是O O的切線，由于D在O O上，所以只須連結(jié) 0D,證0D丄DC即可;2求AD 0C的值，一般是利用相似把 AD 0C轉(zhuǎn)化為其它線段長(zhǎng)的乘積，假設(shè)其它兩9條線段長(zhǎng)的乘積能求出來(lái)， 那么可完成；3由AD OC , AD + O

16、 C二一r可求出A D、OC,2根據(jù)勾股定理即可求出CD。證明：(1丨連結(jié)OD,證/O D C= 9 0 0即可；(2連結(jié)EDBV/O B C=900, / AD B=/ OB C又/ A =/3,.山 ADBOBC ADAB OBOC AD OCOBAB 2r23由(2)知 ADOC292r，又知 AD+OC= r2 AD、OC是關(guān)于292x的方程xrx 2r0的兩根/ AB 為O O 的直徑，/ ADB = 90°r解此方程得捲,X2 4r2/ OC> r, OC= 4rCD= OC2 OD2,16r2 r215r探索與創(chuàng)新：，圓心為O,F CD 中,FC2 FD 2 CD

17、2, (ab)2(ab)2a2 ,解得a 4b。 cos FCDCDa4b4FC a b5b54VA B / CD , / G= / FCD ,- cosG5(2連結(jié)B E,v-CG切半圓于E, /A EG= / GB Ev/ G為公共角, AEGEBG ae ge16 丄be gb322C G切半圓于E,交A D于F,交BA的延長(zhǎng)線于 G,GA=8。求/ G的余弦值；2)求AE的長(zhǎng)。略解：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a,FA = F E=6，在RtDC【問(wèn)題一】如圖，以正方形A BCD的邊AB為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓在Rt AEB中，可求得AE24 55【問(wèn)題二】如圖 AAB C中,AC =

18、B C, / CAB = 定值，OO的圓心 0在AB上，并 分別與A C、B C相切于點(diǎn)P、Q。1)求/ POQ;2設(shè)D是CA延長(zhǎng)線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D E與O 0相切于點(diǎn)M,點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上試判斷/ DOE的大小是否保持不變，并說(shuō)明理由。分析：1)連結(jié)O C,利用直角三角形的性質(zhì)易求/POQ；(2)試將/ D OE用含的式子表示出來(lái)，由于 為定值，那么/D 0E為定值。解：1)連結(jié)0C/ BC 切O 0 于 P、Q ,/ 1= Z2 ,0P丄CA , 0Q 丄 C B/ CA= C B, C0 丄 AB/C 0P = /C AB, / C0Q= / CBA/ CAB= ，/ POQ = /

19、C0P + /C 0Q = 2 2由CD、DE、CE都與OO相切得：11/O DE= / CDE , /OE D= / C E D22 / D O E=1 8 00-/ODE + /OE D0 1=180(/C DE+ / CED)21=1800-(1800/ A CB )21=1800 1 8 00-(1 8 00-2 2=1800 / DOE為定值。隨堂訓(xùn)練：一、選擇題：1、“圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑"的逆命題是A、經(jīng)過(guò)半徑外端點(diǎn)的直線是圓的切線；B、 垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑的直線是圓的切線；C、垂直于半徑的直線是圓的切線 ；D、經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

20、。2、在Rt ABC中，/A=90°,點(diǎn)O在B C上，以O(shè)為圓心的O O分別與AB、 F，假設(shè)AB = a , AC = b MENO O的半徑為(A、 abB、-AC相切于abC、-a b3、正方形 A B CD中,A E切以BC為直徑的半圓于E ,交CD于F ,那么CF :ab2FD =()C、 1： 4A、1： 2 54、如圖，過(guò)O O外一點(diǎn)P作O O的兩條切線PA、PB ,切點(diǎn)分別為 A、B,連結(jié)A B,在A B、PB、PA 上分別取一點(diǎn) D、E、F,使 A D = B E,BD = A F,連結(jié) DE、DF、EF,那么/ ED F =( )ZPF第3題圖900-丄 / P2

21、C、1800P0丄2二、填空題：5、P A、PE是O O的切線，A、B是切點(diǎn)，/AP B = 780，點(diǎn)C是OO上異于A、 B的任一點(diǎn)，那么/ ACB=。6、如圖，AB丄BC, D C丄EC, BC與以 A D為直徑的O O相切于點(diǎn)E ,AB = 9, CD =4,那么四邊形ABCD的面積為7、 如圖，O O為Rt A EC的內(nèi)切圓，點(diǎn)D、E、 F為切點(diǎn)，假設(shè) AD=6 , BD = 4,那么 AB C的面積為。8、 如圖,AB是O O的直徑，E C是和OO相切于點(diǎn)E的切線，過(guò)OO上A點(diǎn)的直線 AD /OC,假設(shè) O A = 2且 AD + OC= 6,那么 CD =。第7題圖B9、如圖，O

22、O的直徑為A B, E D= OE, ZC A E = 3 0 0,請(qǐng)根據(jù)條件和所給圖形寫(xiě)出4個(gè)正確的結(jié)論（除O A= O B =E D夕卜：:；:。10、 假設(shè)圓外切等腰梯形ABC D的面積為 2 0, AD與BC之和為1 0,那么圓的半徑為。三、計(jì)算或證明題：11、如圖，AB是半O O的直徑，點(diǎn)M是半徑OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段A M上運(yùn)動(dòng)（不與 點(diǎn)M重合，點(diǎn)Q在半O O上運(yùn)動(dòng)，且總保持PQ= PO,過(guò)點(diǎn)Q作O O的切線交B A的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C。1當(dāng)ZQP A = 60°時(shí)，請(qǐng)你對(duì)厶QC P的形狀做出猜測(cè)，并給予證明；（2）當(dāng)QP丄AB時(shí)， Q C P的形狀是 三角形；3）那么1得出的

23、結(jié)論，請(qǐng)進(jìn)一步猜測(cè) ，當(dāng)點(diǎn)P在線段A M上運(yùn)動(dòng)到任何位置時(shí), QCP 一定是三角形。1 2、如圖，割線 AB C與OO相交于E、 C兩點(diǎn)，D為O O上一點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn), OE 交 E C 于 F,D E 交 AC 于 G , / AD G = ZA GD。1）求證:AD是O O的切線；2 ）如果 AB= 2, A D =4,E G= 2,求O O 的半徑。第11題圖1 3、如圖,在AA B C中，/A圓與AB交于點(diǎn)E,與A C 切于點(diǎn) D, AD=2,AE = 1,求 S BCD。1 4、如圖，A B是半圓（圓心為O）的直徑，O D是半徑，BM切半圓于B , OC與弦A D平行且交BM于C

24、。1求證：CD是半圓的切線；（2假設(shè)AB長(zhǎng)為4,點(diǎn)D在半圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)A D長(zhǎng)為X ,點(diǎn)A到直線C D的距離為y，試 求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 x的取值范圍。MC第14題圖15、如圖，A B是O O的直徑，點(diǎn) PT切OO于T ,PC=2.5。1當(dāng)C E正好是O O的半徑時(shí),C在O O的半徑AO上運(yùn)動(dòng)，P C丄A E交O O于E,PT=2,求O O的半徑;2設(shè)PT2 y , AC x ,求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;（ PTC能不能變?yōu)橐訮C為斜邊的等腰直角三角形？假設(shè)能，請(qǐng)求出厶PTC的面積;假設(shè)不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。跟蹤訓(xùn)練參考答案一、選擇題：DC BB二、填空題：5、51 或1 2

25、9;6、78;7、24; 8、2 一 3;9、/ AC B =90°,A B=2 B C,DC 是O O 的切線，BD= BC等；10、2三、計(jì)算或證明題：11、 QC P是等邊三角形；2）等腰直角三角形；（3 ）等腰三角形12、 1證 OD 丄 A D; （22 3 ;13、過(guò) D 作D F丄 BC于F, S bcd514、 (1證/O DC = 90°(2 丨連結(jié) BD,過(guò) A 作 A E丄 CD于 E,證厶 ADBAED，那ADABB vx12/么有，即，y x (0 x 4)AEAD x442 2 2 15 1OO的半徑為1.5;(2連結(jié)OP、OT,由勾股定理得y

26、2.5(1.5 X) 1.5化簡(jiǎn)得y x2 3x 6.25(0w x < 1. 5； 3AP T c不可能變?yōu)橐訮C為斜邊的等腰直角三角形。理由如下：當(dāng)P T丄CT時(shí)，由于PT切OO于T,所以CT過(guò)圓心，即 C T就是O O的半徑，由(1 )知,CT = 1.5, PT= 2,即卩PT MC故厶PTC不可能變?yōu)橐?PC為斜邊的等腰直角三角形。2【問(wèn)題】點(diǎn)M p , q)在拋物線y x 1上,假設(shè)以M為圓心的圓與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A、B ,且A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是關(guān)于x的方程x2 2px q 0的兩根如圖)。(1)當(dāng)M在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，O M在x軸上截得的弦長(zhǎng)是否變化？為什么？(2假設(shè)O M與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)和拋物線的頂點(diǎn)C構(gòu)成一個(gè)等腰三角形， 試求p、q的值。跟蹤訓(xùn)練：一、選擇題：