天體運動中的追及相遇問題

1、天體運動中的追及相遇問題信陽高中陳慶威 2013.09.17在天體運動的問題中，我們常遇到一些這樣的問題。比如， A、B兩物體都 繞同一中心天體做圓周運動，某時刻 A、B相距最近，問A、B下一次相距最近或 最遠需要多少時間，或“至少”需要多少時間等問題。而對于此類問題的解決和我們在直線運動中同一軌道上的追及相遇問題在 思維有上一些相似的地方，即必須找出各相關物理量間的關系，但它也有其自身 特點。根據(jù)萬有引力提供向心力，即當天體速度增加或減少時，對應的圓周軌道就 會發(fā)生相應的變化，所以天體不可能在同一軌道上實現(xiàn)真正意義上的追及或相 遇。天體運動的追及相遇問題中往往還因伴隨著多解問題而變得更加復雜

2、，成為同學們學習中的難點。而解決此類問題的關鍵是就要找好角度、角速度和時間等 物理量的關系。一、追及問題【例1】如圖1所示，有A B兩顆行星繞同一顆恒星 M做圓周運動，旋轉(zhuǎn)方向相 同，A行星的周期為，B行星的周期為T2，在某一時刻兩行星相距最近，則 經(jīng)過多長時間，兩行星再次相距最近？ 經(jīng)過多長時間，兩行星第一次相距最遠？圖1解析：A、B兩顆行星做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力B還沒有達到一周，但是要它們的相距最近，只有 A B行星和恒星M的連線再次在一 條直線上，且A B在同側(cè)，從角度上看，在相同時間內(nèi)， A比B多轉(zhuǎn)了 2n;如果A、B在異側(cè)，貝尼們相距最遠,n。所以再次相距最近的時間11

3、,從角度上看，在相同時間內(nèi)，A比B多轉(zhuǎn)了2頁2tt n葛罵“L=-tt 1 rif 11Tn由；第一次相距最遠的時間t2,由打' 兒-：。如果在問題中把“再次”或“第一次”這樣的詞去掉，那么就變成了多解性問題。太陽R33話，得:T曲繞向相同,行星的角速度比地球大，行星相對地球22 (1、sin3 )jj/行星/視角.地球圖2T T sin3某時刻該行星正好處于最佳觀察期， 剛看到；二是馬上看不到，如圖3所示。 觀察期至少需經(jīng)歷時間分別為有兩種情況： 到下一次處于最佳兩者都順時針運轉(zhuǎn):ti2_)上sin 3_ ?T2 (1、sin3 )太陽* * 1 l r、二 * ；?行星/-0-0地

4、球圖3兩者都逆時針運轉(zhuǎn):t2(2_)丄sin3_ ?T2 (1 vsin3)【例2】如圖2,地球和某行星在同一軌道平面內(nèi)同向繞太陽做勻速圓周運動。 地球的軌道半徑為R,運轉(zhuǎn)周期為T。地球和太陽中心的連線與地球和行星的連 線的夾角叫地球?qū)π行堑挠^察視角（簡稱視角）。已知該行星的最大視角為B, 當行星處于最大視角處時，是地球上天文愛好者觀察該行星的最佳時期。若某時 刻該行星正好處于最佳觀察期，問該行星下一次處于最佳觀察期至少需經(jīng)歷多長 時間？ 解析：由題意可得行星的軌道半徑r Rsin 設行星繞太陽的運行周期為 ，由開普勒大三定律有：二、相遇問題【例3】設地球質(zhì)量為M繞太陽做勻速圓周運動，有一質(zhì)量

5、為 m的飛船由靜止 開始從P點沿PD方向做加速度為a的勻加速直線運動，1年后在D點飛船掠過地 球上空，再過3個月又在Q處掠過地球上空，如圖4所示（圖中“ S”表示太陽）c 根據(jù)以上條件，求地球與太陽之間的萬有引力大小。時 Sr SFff 解析：飛船開始與地球相當于在 D點相遇，經(jīng)過3個月后，它們又在Q點相遇,因此在這段時間內(nèi)，地球與太陽的連線轉(zhuǎn)過的角度二。設地球的公轉(zhuǎn)周期為T，飛船由靜止開始做加速度為a的勻加速直線運動，則地球的公轉(zhuǎn)半徑為R斗應=繪曲所以，地球與太陽之間的萬有引力大小為16【例4】從地球表面向火星發(fā)射火星探測器，設地球和火星都在同一平面上繞太 陽做同向圓周運動，火星軌道半徑r火

6、為地球軌道半徑r地的1. 50倍，簡單而又 比較節(jié)省能量的發(fā)射過程可分為兩步進行：第一步：在地球表面用火箭對探測器進行加速，使之獲得足夠動能，從而脫 離地球引力作用成為一個沿地球軌道運動的人造衛(wèi)星（如圖5）;第二步：在適當時刻點燃與探測器連在一起的火箭發(fā)動機，在短時間內(nèi)對探 測器沿原方向加速，使其速度數(shù)值增加到適當值，從而使得探測器沿著一個與地 球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個橢圓軌道正好射到火星上（如圖6）。當探測器脫離地球并沿地球公轉(zhuǎn)軌道穩(wěn)定運行后，在某年3月1日零時測得探測器與火星之間的角距離為 60°（火星在前，探測器在后），如圖 7所示。 問應在何年何月何日點燃探測

7、器上的火箭發(fā)動機， 方能使探測器恰好落在火星表 面？（時間計算僅需精確到日），已知：沐；''0布磊Sn/ -火星O:圖6宀火星點火太陽 /探測器 J地球 /0一 4探測器：-太陽.凡、/地球 /解析：根據(jù)根據(jù)開普勒第三定律，可求出火星的公轉(zhuǎn)周期 T火:33與，題設r火1.5r地,T地得：T火.(1.5)3T地 =1.840 X 365=671d初始相對角距離=60°。點火前，探測器與地球在同一公轉(zhuǎn)軌道同向運行,周期跟地球的公轉(zhuǎn)周期相同，故相對火星的角位移為360°360°1?七1 (需討？七1探測器在適當位置點火后，沿橢圓軌道到與火星相遇所需時間t

8、 Td2.5r第 3I)得：t 牛 “25）孑=255d在這段時間t內(nèi)，探測器的絕對角位移為1800，火星的絕對角位移為火3600255137探測器相對火星的角位移為2 1800 137° 43°至滌測器與火星相遇時，初始相對角距離（=60°）,應等于點火前探測器相對火星的角位移1,與探測器沿橢圓軌道運動時間內(nèi)相對火星的角位移 9 2之和，即故得:60° 43°17°t1t117°360°360°38 d365671已知某年3月1日零時，探測器與火星角距離為60° （火星在前，探測器在后）， 點燃發(fā)動機時刻應選在當年3月1日后38天，注意到“ 3月大”（有31號）， 即應在4月7日零時點