高數(shù)同濟(jì)18函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)ppt課件

1、一、函數(shù)的連續(xù)性 增量 函數(shù)連續(xù)二、函數(shù)的間斷點(diǎn) 第一類間斷點(diǎn) 第二類間斷點(diǎn)1.8 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)上頁(yè)下頁(yè)完畢返回首頁(yè)考慮：如何描述這種現(xiàn)象？一、函數(shù)的連續(xù)性0 xxx 0 xy0)(xfy x y 0 xxx 0 x y xy0)(xfy 曲線不斷曲線不斷曲線斷開(kāi)曲線斷開(kāi)函數(shù)函數(shù)f(x)隨隨x的改變而逐漸改變的改變而逐漸改變; 突變現(xiàn)象突變現(xiàn)象下頁(yè) 數(shù)學(xué)語(yǔ)言：增量v1.增量的概念：.,),(000的的增增量量稱稱為為自自變變量量在在點(diǎn)點(diǎn) xxxxxUx .)(),()(0的的增增量量相相應(yīng)應(yīng)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)xxfxfxfy 一、函數(shù)的連續(xù)性0 xxx 0 xy0)(xfy x y

2、0 xxx 0 x y xy0)(xfy 曲線不斷曲線不斷曲線斷開(kāi)曲線斷開(kāi).),()(0內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) xUxf 注注: : 也記也記x=x1-x0,x=x1-x0,即自變量即自變量x x從初值從初值x0 x0變到終值變到終值x1x1； 增量增量 x x和和 y y可正可負(fù)可正可負(fù); ; 在第在第2 2章的導(dǎo)數(shù)部分將再次研究增量章的導(dǎo)數(shù)部分將再次研究增量. .下頁(yè)v2 2 函數(shù)的連續(xù)性定義函數(shù)的連續(xù)性定義提示提示: :下頁(yè)下頁(yè)0lim0yx設(shè)設(shè)x=x0+Dx 則當(dāng)則當(dāng)Dx0時(shí)時(shí) xx0 因而因而 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義

3、 那么就稱函數(shù)那么就稱函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)處連續(xù) 0lim0yx 或yf(x0 x)f(x0)yf(x0 x)f(x0) 0lim0yx0)()(lim00 xfxfxx0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 假如假如0lim0yx0lim0yx0)()(lim00 xfxfxx0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 考慮：如何用考慮：如何用e-d 語(yǔ)言敘述函數(shù)的連續(xù)性定義？語(yǔ)言敘述函數(shù)的連續(xù)性定義？ e 0 d 0 當(dāng)當(dāng)|x-x0|d 有有|f(x)-f(x0)|e 提示：提示：)()(lim00 xfxfxx 下頁(yè)下

4、頁(yè)v2 2 函數(shù)的連續(xù)性定義函數(shù)的連續(xù)性定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義的某一個(gè)鄰域內(nèi)有定義 假假如如那么就稱函數(shù)那么就稱函數(shù) y=f(x) 在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)處連續(xù) 0lim0yx 或0lim0yx0lim0yx0)()(lim00 xfxfxx0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函數(shù)數(shù) xxxxxxf證證xxx1sinlim0, 0)0( f又又.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在函函數(shù)數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 下頁(yè), 0 0lim0yx0lim0yx

5、0)()(lim00 xfxfxx0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 左連續(xù)與右連續(xù)左連續(xù)與右連續(xù)結(jié)論結(jié)論 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)處連續(xù) 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處左連續(xù)且右連續(xù)處左連續(xù)且右連續(xù) 下頁(yè)下頁(yè) 如果)()(lim00 xfxfxx 則稱 yf(x)在點(diǎn)0 x處左連續(xù) 如果)()(lim00 xfxfxx 則稱 yf(x)在點(diǎn)0 x處右連續(xù) 0lim0yx0lim0yx0)()(lim00 xfxfxx0)()(lim00 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx 例例2 2.0, 0, 0, 0,)(/1處處的的連連續(xù)續(xù)性

6、性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxexfx解解xxxexf/100lim)(lim ),0(f ),0(f 左連續(xù)但不右連續(xù)左連續(xù)但不右連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxfxxxexf/100lim)(lim 0 下頁(yè)下頁(yè) 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)處連續(xù) 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處左連續(xù)且右連續(xù)處左連續(xù)且右連續(xù) 注注: :v3 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù) 叫做在該區(qū)間上的叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)連續(xù)函數(shù)舉例連續(xù)函數(shù)舉例 （1） 多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)P(

7、x)在區(qū)間在區(qū)間(- +)內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?函數(shù)函數(shù)P(x)在在(- +)內(nèi)任意一內(nèi)任意一點(diǎn)點(diǎn) x0處有定義處有定義 并且并且)()(lim00 xPxPxx 下頁(yè)下頁(yè) 如果區(qū)間包括端點(diǎn)如果區(qū)間包括端點(diǎn) 那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)續(xù) 在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù) （2正弦函數(shù)正弦函數(shù) y=sin x 在區(qū)間在區(qū)間(- +)內(nèi)是連續(xù)內(nèi)是連續(xù)的的 這是因?yàn)檫@是因?yàn)?函數(shù)函數(shù)y=sin x在在(- +)內(nèi)任意內(nèi)任意一點(diǎn)一點(diǎn)x處有定義處有定義 并且并且sin)sin(limlim00 xxxyxx0)2cos(2sin2lim0 x

8、xxx 首頁(yè)首頁(yè) 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù) 叫做在該區(qū)間上的叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) 或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)連續(xù)函數(shù)舉例連續(xù)函數(shù)舉例v3 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)實(shí)際上實(shí)際上,初等函數(shù)在定義區(qū)間上都是連續(xù)的，（見(jiàn)下節(jié)）初等函數(shù)在定義區(qū)間上都是連續(xù)的，（見(jiàn)下節(jié)）.二、函數(shù)的間斷點(diǎn) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0的某去心鄰域的某去心鄰域內(nèi)有定義內(nèi)有定義 在此前提下在此前提下 如果函如果函數(shù)數(shù) f(x)有下列三種情形之一有下列三種情形之一 (1)在在x0沒(méi)有定義沒(méi)有定義則函數(shù)則函數(shù) f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0不連續(xù)不連續(xù) 而點(diǎn)而點(diǎn)x0稱為函數(shù)稱為函

9、數(shù) f(x)的不連的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn) (2)雖然在雖然在x0有定義有定義 但但 f(x)不存在不存在 0limxx (3)雖然在雖然在x0有定義且有定義且 f(x)存在存在 但但 f(x)f(x0)0limxx0limxx下頁(yè)下頁(yè)v1 1 間斷點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)的定義間斷點(diǎn)不連續(xù)點(diǎn)的定義0 xxx 0 xy0)(xfy v2 間斷點(diǎn)舉例間斷點(diǎn)舉例 例例1 例例 1 正切函數(shù) ytan x 在2 x處沒(méi)有定義 所以點(diǎn)2 x是函數(shù) tan x 的間斷點(diǎn) 因?yàn)閤xtanlim2 故稱2 x為函數(shù) tan x 的無(wú)窮間斷點(diǎn) 下頁(yè)下頁(yè)為函數(shù) tan x 的無(wú)窮間斷點(diǎn) 例例 2 函數(shù)xy1sin在點(diǎn)

10、x0 沒(méi)有定義 例例2 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)時(shí) 函數(shù)值在函數(shù)值在-1與與+1之間變動(dòng)無(wú)限多次之間變動(dòng)無(wú)限多次 所以點(diǎn)所以點(diǎn)x=0是函數(shù)的間斷點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn) 所以點(diǎn)所以點(diǎn)x=0稱為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)稱為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn) 下頁(yè)下頁(yè)v2 間斷點(diǎn)舉例間斷點(diǎn)舉例xy1sin所以點(diǎn)所以點(diǎn)x=1是函數(shù)的間斷點(diǎn)是函數(shù)的間斷點(diǎn) 如果補(bǔ)充定義如果補(bǔ)充定義 令令x=1時(shí)時(shí)y=2 則所給函數(shù)在則所給函數(shù)在x=1成成為連續(xù)為連續(xù) 所以所以x=1稱為該函數(shù)的可稱為該函數(shù)的可去間斷點(diǎn)去間斷點(diǎn) 例例3 例例 3 函數(shù)112xxy在 x1 沒(méi)有定義 因?yàn)?1lim21xxx2) 1(lim1xx 下頁(yè)下頁(yè)v2 間斷點(diǎn)舉例間斷點(diǎn)舉例112

11、xxy 因函數(shù)因函數(shù)f(x)的圖形在的圖形在x=0處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象 我們稱我們稱x=0為函數(shù)為函數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn)的跳躍間斷點(diǎn) 例例4 例例 5 設(shè)函數(shù)0 10 00 1)(xxxxxxf 所以極限)(lim0 xfx不存在 x0 是函數(shù) f(x)的間斷點(diǎn) 不存在 x0 是函數(shù) f(x)的間斷點(diǎn) 下頁(yè)下頁(yè) 因?yàn)?) 1(lim)(lim00 xxfxx 1) 1(lim)(lim00 xxfxx )(lim)(lim00 xfxfxx v2 間斷點(diǎn)舉例間斷點(diǎn)舉例 通常把間斷點(diǎn)分成兩類通常把間斷點(diǎn)分成兩類 設(shè)設(shè) x0是函數(shù)是函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn) 如果左極限如果左極限f(x

12、0-)及右及右極限極限f(x0+)都存在都存在 那么那么x0稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x)的第一類間斷的第一類間斷點(diǎn)點(diǎn) 不屬于第一類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)不屬于第一類間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn) 稱為第二類間斷稱為第二類間斷點(diǎn)點(diǎn) 在第一類間斷點(diǎn)中在第一類間斷點(diǎn)中 左、右極限相等者稱為可去左、右極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) 不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn) 無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二類間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二類間斷點(diǎn) v3 間斷點(diǎn)的類型間斷點(diǎn)的類型下頁(yè)下頁(yè)可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)跳躍型跳躍型無(wú)窮型無(wú)窮型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x下頁(yè)oyx振蕩型

13、振蕩型 , 0, 1)(是是無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)在定義域在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間且都是第二類間斷點(diǎn)斷點(diǎn). ,)(是是無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxf僅在僅在x=0處連續(xù)處連續(xù), 在定義域在定義域 R內(nèi)其余各點(diǎn)處處間內(nèi)其余各點(diǎn)處處間斷斷. 但其絕對(duì)值處處連續(xù)但其絕對(duì)值處處連續(xù).下頁(yè)小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):無(wú)窮型無(wú)窮型,振蕩型振蕩型.間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)下頁(yè)練習(xí)：練習(xí)：研究下列函數(shù)在研究下列函數(shù)在x=0的連續(xù)性，若是間斷的，指的連續(xù)性，若是間斷的，指出間斷點(diǎn)類型。出間斷點(diǎn)類型。.0,10,sin)()1 xxxxxf.0,10,sin)()2 xxxxxf1sinlim)(lim00 xxxfxx.0),0()(lim0是是連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) xfxfx解：解：1)1sinlim|sinlim)(lim000 xxxxxfxxx2)1|sinlim)(lim00 xxx