最新7-解三角形應用舉例練習題

1、精品文檔§ 4.7 三角形應用舉例一、選擇題1 .在某次測量中，在A處測得同一平面方向的B點的仰角是50° ,且到A的距 離為2, C點的俯角為70° ,且到A的距離為3,則B、C間的距離為（）A. 16B.17C. 18D.19解析：因/ BA4 120° , AB= 2, A盤3.BC= AB2+AC 2AB ACcos / BAC= 4+92X2X3Xcos 120 0 = 19.BC= 19.答案：D2.如圖所示，為了測量某障礙物兩側 A, B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能 確定A, B間距離的是（）.A. a,a,bB.a,B,aC. a,

2、b, yD. a , B , b解析 選項B中由正弦定理可求b,再由余弦定理可確定 AB選項C中可由余弦 定理確定AB選項D同B類似，故選A.答案 A3 .某人向正東方向走xkm后，向右轉150° ,然后朝新方向走3 km,結果他離 出發(fā)點恰好是小km,那么x的值為（）.A.V3B .2#C. #或 2木D . 3解析 如圖所示，設此人從 A出發(fā)，則A五x, B最3, A輸V3, /AB生30° , 由余弦定理得（43）2= x2 + 32 2x - 3 - cos 30° ,整理得 x2- 3lV3x + 6 = 0,解得 x = #或2#.答案 C4 .如圖，

3、設A B兩點在河的兩岸，一測量者在 A的同側，在所在的河岸邊選定一點C,測出AC的距離為50 m, /AC氏45° , / CAB= 105°后，就可以計算出A、B兩點的距離為（）精品文檔A. 502 mB. 50/3 mC. 25 2 mD.-2 m解析由題意，得B= 30°、 .一 AB AC.由正弦止理，行sin / ACB"而B，AB=AC- sin Z ACBsin B50 x -22150V2(m).2答案A5.兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東20° ,燈塔B在觀察站C的南偏東40°

4、; ,則燈塔A與燈塔B的距離為（A. a kmC. 2a kmB.D.解析 依題意得/ AC氏120° oAC+ BC2-AE2cos120 =-.2AC- BC2a km3a km,由余弦定理，得.A4= AC+BC 2AC- BCcos1200= a2+a2 2a2xAB=#a,故選 D.答案D6.據(jù)新華社報道，強臺風“珍珠”在廣東饒平登陸.臺風中心最大風力達到12級以上，大風降雨給災區(qū)帶來嚴重的災害， 不少大樹被大風折斷.某路邊一樹干被臺風吹斷后，折成與地面成 45°角，樹干也傾斜為與地面成 750角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則折斷點與樹干底部的距離是（）.A

5、.粵6米B - 10V6米C.與6米D . 20V2米解析 如圖所示，設樹干底部為O,樹尖著地處為B,折斷點為A,則/ABd45/AO&75° , . ./OA& 60. AO邛(米). 3答案 Asin 60207.如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機的高度為海拔18 km,速度為1 000 km/h ,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?30° ,經(jīng)過1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5° ,則山頂?shù)暮０胃叨葹椋ň_到0.1 km）（)A. 11.4C.6.5150 000解析 AL 1 000 X1 000 X 獷(m),. BOABsin 4

6、5- sin 3050 000* (m)-= 11.4 (km). .50 000航線曷山頂h = rxsin 75 山高為 1811.4=6.6 (km).答案 B、填空題8 .一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為 km.解析：如圖所示，依題意有AB= 15X4=60,ZMAB= 30° , / AMD45° ,在 AMBK吐ABt 60BM由正弦止理得.。=.。,sin 45 sin 30解得B舊30也.答案：30 29 .如圖，為測得河對岸塔

7、AB的高，先在河岸上選一點C,使C在塔底B的正東 方向上，測得點A的仰角為60° ,再由點C沿北偏東150方向走10米到位置D,測得/ BDC= 45° , M塔AB的高是米.解析 在ABCDt, CD= 10, ZBDC= 45° , / BC由 15° +90° =105° , / DBC= 30°BC CD一-二sin 4 5 sin 30CESin 45,B最高歹=1072.在 RQABC中，tan 60°ABBBCAB= BCan 60 0 = 10v6（米）.10 610 . 2010年11月12日廣州

8、亞運會上舉行升旗儀式.如圖，在坡度為15°的觀禮臺上，某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MNft面，在該列的第一個座位A和最后一個座位B測得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30° ,且座位A、B的 距離為10冊米，則旗桿的高度為 米.解析 由題可知/ BAN= 105° , / BN號30° ,由正弦定理得sV'=唐，解得AN= 20響米），在 RtzXAMNfr, MNb 2073 sin 60 ° =30（米）.故旗桿的高度為 30 米.答案 3011 .如圖，在日本地震災區(qū)的搜救現(xiàn)場，一條搜救狗從 A處沿正北方向行進xm

9、 到達B處發(fā)現(xiàn)一個生命跡象，然后向右轉 105° ,進行10 m到達C處發(fā)現(xiàn)另一 生命跡象，這時它向右轉1350后繼續(xù)前行回到出發(fā)點，那么 x=.解析由題知，/ CB今750 ,10sin 450 sin 60x=10 ；63m./ BC上 45° , ./ BAC= 180° 75° 45° =12 .如圖，一船在海上自西向東航行，在 A處測得某島M的方位角為北偏東a 角，前進m海里后在B處測得該島的方位角為北偏東 B角，已知該島周圍n海里范圍內(nèi)（包括邊界）有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當 a與B滿足條件時，該船沒有觸礁危險.解析 由題可知，在 A

10、BM中,根據(jù)正弦定理得BMsin 民=,解得BM= cs ',要使該船沒有觸礁危險需滿足S I fl a pmcos a. cos RBhsin（90。一 0）1Os ：P >3所以當a與。的關系滿足 o I N a pmcos a cos B >nsin（ a B ）時，該船沒有觸礁危險.答案 mcos a cos B >nsin（ a B）三、解答題13 .隔河看兩目標A與B,但不能到達，在岸邊先選取相距 43千米的C, D兩點, 同時，測得/ AC氏75° , / BC氏45° , / ADC= 30° , / AD氏45°

11、; （A, B, C, D在同一平面內(nèi)），求兩目標A, B之間的距離.解析 如圖所示，在 ACDt, =/AD由30° , / AC氏120° ,/CA& 30。，AG= C*曲千米），在BDCt, / GB氏 180° 45° 75° =60° .由正弦定理得，B提噂*二嶺2 （千米） sin 602在ABGt,由余弦定理，可得A仁 AG+BG_ 2AG. BCCos/BGA即 a百=（V3）2+ 近N2 ）-273- 玳;。cos 75 ° =5.< 2 J2 .AB-木（千米）.所以兩目標A B間的距離為

12、小千米.14.如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海若漁船甲同時從里，漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行,B處出發(fā)沿北偏東a的方向追趕漁船乙，剛好用 2小時追上，此時到達 G處.（1）求漁船甲的速度;求sin a的值.解析 （1）依題意知，/ BAG= 120° , A五 12（海里），AG= 10X 2= 20（海里），/BG是 a ,在ABGt,由余弦定理，得BG= A抖AG 2AB AC- cos / BAG= 122+ 202-2X 12X20Xcos 120° = 784.解得BO 28（海里）.BG所以漁

13、船甲的速度為 萬=14海里/時.（2）在AB。,因為 AB= 12（海里），/ BAG 120° , BG= 28（海里），/ BGA= a ,由正弦定理，得ABBCsin a sin 120即 sin aABin 120BC312X-28 14 .15.如圖所示,15 2 n mile/h甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行，速度為,在甲船從A島出發(fā)的同時，乙船從 A島正南40 n mile處的B島出發(fā)，朝北偏東9 tan 01 ,=2 的方向作勻速直線航仃，速度為 mn mile/h.(1)若兩船能相遇，求m 當1045時，求兩船出發(fā)后多長時間距離最近，最近

14、距離為多少n mile?解析(1)由 tan 0所以sin設t小時后，兩船在M處相遇，1 /口.八 5八2.5=2，得 sin 0 =玄, cos 8 =-5-， /AM&sin(45 8)=.、 AM由正弦定理，s同理得BM= 40 5.=3 2處402婭8,15J2-3,m="5:15店.83(2)以A為原點，BA所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，設在 t時 刻甲、乙兩船分別在 P(xi, yi), Qx2, y2)處，則 |Ap=15>/2t, |BQ = 1075t.由任意角三角函數(shù)的定義，可得他i=15j2tcos45° =15t, 

15、9;|yi=15j2tsin45 ° = 15t , 即點P的坐標是(15t, 15t), x2=10j5tsin 8 =10t, |y2=10j5tcos 9 40 = 20t 40, 即點Q的坐標是(10t, 20t -40),. | PQ = q 5t2+ 5t 4。 2 = q50t2 400t +1600=取亡 4 2+800 > 20a/2 ,當且僅當t =4時，| PQ取得最小值20吸，即兩船出發(fā)4小時時，距離最近，最 近距離為20 2 n mile.16.某港口 O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上. 在小艇出發(fā) 時，輪船位于港口 O北偏西30

16、76;且與該港口相距20海里的A處，并正以30海 里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/時的航 行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇.(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？(2)假設小艇的最高航彳T速度只能達到 30海里/時，試設計航行方案(即確定航行 方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.思路分析 第(1)問建立航行距離與時間的函數(shù)關系式；第(2)問建立速度與時間 的函數(shù)關系式.解析(1)設相遇時小艇航行的距離為S海里，則S: 900t2+ 400-2 - 30t - 20 ( COS 90" -30"= V900t2 600t +400=900 t -1 2+300.< 3 J故當 I：1 時，Smin=10d3(海里), 3此時v =岬&= 30g3(海里/時).3即小艇以30眼海里/時的速度航行相遇時小艇的航行距離最小.(2)設小艇與輪船在 B 處相遇，貝U v2t2= 400+ 900t 2 2 20 30t - cos(90 °600 40