最新奧數(shù)幾何-三角形五大模型帶解析

1、精品文檔三角形五大模型修U【專題知識(shí)點(diǎn)概述】本講復(fù)習(xí)以前所學(xué)過(guò)的有關(guān)平面幾何方面的知識(shí),旨在提高學(xué)生對(duì)該部分知精品文檔識(shí)的綜合運(yùn)用能力。重點(diǎn)模型重溫一、等積模型等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如右圖G § a：b夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖 &acd反之,如果SxacdSa bcd ，則可知直線,I平行于CD .等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四 邊形）；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)

2、平行四邊形底相等,面積比等于它們的高之比.、等分點(diǎn)結(jié)論（“鳥頭定理”）21如圖，二角形AED占二角形ABC面積的乂一二 34三、任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”) Si : S2=S 4 : S3 或者 Si XS3=S 2 XS4 AO : OC= (S1+S2) : (S4+S3)梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”) Si : S3=a 2 : b2Si : S3 ： S2 ： S4= a 2 ： b2 ： ab : ab ；S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為(a+b) 2模型四：相似三角形性質(zhì)如何判斷相似(1)相似的基本概念：兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊城比例，對(duì)應(yīng)角相等。判斷相似的方法：兩個(gè)三角形若有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等

3、則這兩個(gè)三角形相似；兩個(gè)三角形若有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例， 且這兩組對(duì)應(yīng)邊所夾的角相等則兩個(gè)三角形相似。a b c一一一ABC Si : S2=a 2:A2模型五：燕尾定理SzABG: SMGC = SzBGE: Sz2GEC=BE: EC;SzBGA: SzBGC = S9GF: Sz2GFC = AF: FC;SzAGC: SzBCG = SADG: SzDGB = AD: DB;【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1.模型一與其他知識(shí)混雜的各種復(fù)雜變形2.在紛繁復(fù)雜的圖形中如何辨識(shí)“鳥頭”1.三角形面積等高成比2. “鳥頭定理”3. “蝴蝶定理”D【習(xí)題精講】【例1】（難度等級(jí)派）如圖，長(zhǎng)方形 ABCD勺面積是5

4、6平方厘米，點(diǎn) E、F、G分別 是長(zhǎng)方形ABCM上的中點(diǎn)，H為AD邊上的任意一點(diǎn)，求陰影 部分的面積.【例2】（難度等級(jí)派）如右圖，ABFE和CDEFtB是矩形，AB的長(zhǎng)是4厘米，BC的長(zhǎng)是3厘米，那么圖中陰影部分的面積是 平方厘米.【例3】（難度等級(jí)派）如圖，在三角形 ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E F分別為AB和AC的中點(diǎn)，那么三角形 EBF的面積是多少平方厘米？【例4】（難度等級(jí)派）如圖，在面積為 1的三角形 ABC中，DC=3BD,F是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng) CF交AB邊于E,求三角形AEF和三角形CDF的面積之和。【例5】（難度等級(jí)派）如右圖BE= BC, CD= AC,那么三角

5、形AED的面積是三角形 ABC面積的幾分之幾?【例6】（難度等級(jí)派）如圖所示，四邊形 ABCDW AEG嘟是平行四邊形，請(qǐng)你證明 它們的面積相等.【例7】（難度等級(jí)派）如圖，在長(zhǎng)方形 ABCD43, Y是BD的中點(diǎn)，Z是DY的中點(diǎn)，如果 AB=24厘米，BC=8厘米,求三角形ZCY的面積.【例8】（難度等級(jí)）如圖，正方形 ABCDW邊長(zhǎng)為4厘米，EF和BC平行，ECH 的面積是7平方厘米，求 EG的長(zhǎng)。32,則圖中陰影部分的面【例10（難度等級(jí)派）如圖已知四邊形 ABCDF口 CEFGTB是正方形，且正方形 ABCDW邊長(zhǎng)為10厘米，那么圖中陰影三角形 BFD的面積為多少平方厘米 ？【例11

6、（難度等級(jí)派）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被切成 8塊，其中三塊的面積分別為12, 23,積為？【例12（難度等級(jí)派）如圖，平行四邊形 ABCD周長(zhǎng)為75厘米，以BC為底時(shí)高是14厘米；以CD為底時(shí)高是16 厘米。求平行四邊形 ABCD勺面積?！纠?3（難度等級(jí)）如右圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為6厘米， ABE ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形 AEF的面積.【例14（難度等級(jí)）如圖，三角形ABC被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分，BD=DC=4 BE=3, AE=6,甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾？ADDF【例15（難度等級(jí)M）某公園的外輪廓是四邊形 ABCD被對(duì)角線AC BD分成四個(gè)部分

7、，4AOB面積為1平方 千米，BOC®積為2平方千米，ACOD勺面積為3平方千米，公園陸地的面積是 6.92 平方千米，求人工湖的面積是多少平方千米？【例16（難度等級(jí)派）圖中是一個(gè)正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米.問(wèn)：陰影部分的面積是多少平方厘米？型【作業(yè)】1 .如圖，三角形 ABC中，DC 2BD, CE 3AE,三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形 ABC的面積是多少？2 .如右圖所示，在長(zhǎng)方形內(nèi)畫出一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13, 35, 49.那么圖中陰影部分的面積是多少？小正方形的邊長(zhǎng)是E3 .右圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的, 求三角形ABC的面積。4 .如圖

8、，平行四邊形 ABCD BE=AB CF=2CB GD=3DCHA=4AD平行四邊形ABCD勺面積是2,求平行四邊 形ABCM四邊形EFGH的面積比.5 .如圖，在4ABC中，延長(zhǎng)BD=AB CE=1 BC, F是AC的中點(diǎn), 2若 ABC的面積是2,則4 DEF的面積是多少？【例1】（難度等級(jí)派）如圖，長(zhǎng)方形 ABCD勺面積是56平方厘米，點(diǎn) E、F、G分別是長(zhǎng)方形 ABCD邊上的中點(diǎn)，H 為AD邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積 .【分析與解】如右圖，連接BH、HC,由E、F、G分別為AB、BC、CD 三邊的中點(diǎn)有 AE=EB、BF=FC、CG= CD.因此S1= S2, S3= S4 ,

9、S5= S6,而陰影部分面積= S2+ S3+ S6,空白部分面積=S1+ S4+ S5.所以陰影部分面積與空白部分面積相等，均為長(zhǎng)方形的一半，即陰 影部分面積為28.【例2】（難度等級(jí)M）如右圖，ABFE和CDEF都是矩形, 厘米，那么圖中陰影部分的面積是 【分析與解】上排4個(gè)陰影三角形的高都等于BF,底邊之和恰好為 AB ,他們AB的長(zhǎng)是4厘米，BC的長(zhǎng)是3平方厘米.1 _. 、，一一 的面積之和為 一BF AB ;下排4個(gè)三角形的圖都等于 CF,底邊之和恰好為 CD,他們的2一，1 -之和為CF CD21 1 一BF AB CF2 2面積1 -一一，CF AB.所以陰影部分面積為：21

10、-1、一，AB-BCAB-3 46（平方厘米）.2 21 cS ABC 6平方厘米.4【例3】（難度等級(jí)派）如圖，在三角形 ABC中，BC=8厘米，AD=6厘米，E F分別為AB和AC的中點(diǎn)，那么三角形 EBF的面積是多少平方厘米？【分析與解】一 八1 一一，一 一一首先，S ABC BC AD 24平方厘米，而F是AC中點(diǎn)，211八所以 S ABF S ABC .又 E AB 中點(diǎn)，所以 S ebf - S ABF22【例4】（難度等級(jí)派）如圖，在面積為 1的三角形 ABC中，DC=3BD,F是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng) CF交AB邊于E,求三角 形AEF和三角形CDF的面積之和。【分析與解】連接DE

11、,于是三角形AEF的面積二三角形EFD的面積，所求被轉(zhuǎn)化為三角形 EDC的面積。因?yàn)镕是AD中點(diǎn)，所以三角形 AEC的面積和三角形 EDC的面積相等，設(shè) S BDE為1份，貝U S AEC=S EDC為3份 因此S ABC 一共7份,每份面積為所以S EDC占3份為。77【例5】（難度等級(jí)）如右圖BE=（ BC, CD= AC,那么三角形 AED的面積是三角形 ABC面積的幾分之幾?【分析與解】上圖中，三角形 AEC與三角形ABC的高相等，而BE= * BC,于又由于三角形 AED與三角形 AEC的高相等，而 CD= 1AC,于4BC,SAECSABCAD= 3 AC,4SAEDSAEC所以，

12、三角形AED三角形ABC的面積.3的面積=X三角形AEC的面積=41=一 X二角形ABC的面積2【例6】（難度等級(jí)派）如圖所示，四邊形 ABCDW AEGF都是平行四邊形,們的面積相等.【分析與解】連接BE日顯然有S abe1s S八 SABCD ， S ABE21s八 SAEGF2所以SABCDSAEGF【例7】（難度等級(jí)派）如圖，在長(zhǎng)方形 ABCD43, Y是BD的中點(diǎn)，Z是DY的中點(diǎn)，如果AB=24厘米，BC=8厘米,求三角形ZCY的面積.【分析與解】SABCDAB BC 192平方厘米因?yàn)閅是BD中點(diǎn)，Z是DY中點(diǎn)，所以c1 ,1 c 、1,1 ,1 cV.1 CS ZCY二 US C

13、DB ）二二（二 SABCD）二 SABCD242 22 2 28【例8】（難度等級(jí)派）233212如圖，正方形ABCDW邊長(zhǎng)為4厘米，EF和BC平行，ECH 的面積是7平方厘米，求 EG的長(zhǎng)?！痉治雠c解】-XEGXAE + - XEGXEB = 7 平方厘米即_XEGXAB=7平方厘米；EG=3.5厘米A HDFE2【例10（難度等級(jí)派）如圖已知四邊形 ABCD CEFGtB是正方形，且正方形 ABCD B的邊長(zhǎng)為10厘米，那么圖中陰影三角形 BFD的面積為多少平方厘米？【分析與解】連接CF由ABCD和CEFG都是正方形有 BDC DCF 45所以BD PCF .由平行線間距離相等知三角形B

14、DF和三角形BDC同底等高BFD S BCD二 SABCD2【例11 （難度等級(jí)派）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被切成 8塊，其中三塊的面積分別為 12, 23, 32,則圖中陰影部分的面積為？【分析與解】如右圖，已知a+b+x=23+a+32+12+b所以 x=23+32+12x=67.【例12（難度等級(jí)）如圖，平行四邊形 ABCD周長(zhǎng)為75厘米，以BC為底時(shí)高是14厘米；以CD為底時(shí)高是16厘米。求平行四邊形 ABCD勺面積?！痉治雠c解】BCX14=CD X16,BC: CD=16 : 14 ,BC+CD=752，BC=75216x16 14=20ABCD面積=14 X20=280 （平方厘米）【例1

15、3（難度等級(jí)派）如右圖，正方形 ABCD勺邊長(zhǎng)為6厘米， ABE 4ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形 AEF的面積.【分析與解】因?yàn)锳BE、9DF與四邊形AECF的面積彼此相等，所以四邊形AECF的面積與 ABE、AADF的面積都等于正方形面積的三分之一，也就是:SI邊形 AECF & ABESA ADF1-6 6 123【例14】如圖，三角形在GABE中，因?yàn)?AB=6.所以BE=4,同理 DF = 4,因此 CE=CF = 2, ，ZECF 的面積為 2X2+2 =2.所以Sa AEFS四邊形 AECF SaECF =12 2=10 （平方厘米）（難度等級(jí)派）ABC被

16、分成了甲（陰影部分）、乙兩部分，BD=DC=4BE=3, AE=6,甲部分面積是乙部分面積的幾分之幾?【分析與解】由 BD DC BD=DC_1 _有 BD -BC ;由 BE23,AE 6 ,有 BE5c二 S ABC，故 S甲61，AB .由鳥頭定理31 S乙.51 3 2 1.5 7.5平方千米，人工湖面積為7.5 6.92 0.58平方千米【例15（難度等級(jí)派）某公園的外輪廓是四邊形 ABCD被對(duì)角線 AC BD分成四個(gè)部分， AOB面積為1平方千米， BOC®積為2平方千米， COD勺面積為3平方千米，公園陸地的面積是 6.92平方千米，求人工湖的 面積是多少平方千米？【分

17、析與解】由任意四邊形的蝴蝶定理有S AOB S COD S AOD S BOC所以Saod 1 3 2 1.5平方千米，故公園總面積為io【例16（難度等級(jí)派）圖中是一個(gè)正方形，其中所標(biāo)數(shù)值的單位是厘米.問(wèn)：陰影部分的面積是多少平方厘米？【分析與解】 如下圖所示，為了方便所敘，將某些點(diǎn)標(biāo)上字母，并連接 BG.設(shè)GAEG的面積為x,顯然AEBG、ABFG、AFCG的面積均為 x,則4DCBABF的面積為3x , S abf1202內(nèi)空白部分的面積為 4x400113所以原題中陰影部分面積為2020rr 10010 100即x ，那么正萬(wàn)形3400800 丁、一 （平萬(wàn)厘米）.33副【作業(yè)】1.如圖，三角形ABC 中，DC 2BD, CE 3AE,三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形 ABC的面積是多少?4厘米,【答案】1202