特殊三角形3等腰三角形的性質(zhì)定理一專(zhuān)項(xiàng)同步練習(xí)

1、2.3等腰三角形的性質(zhì)定理（一）A組七（第1題）（ 一。（第2題）在 ABC中,AB= AC Z A= 30° , AB的垂直平分線l交AC于點(diǎn)D,則/ CBDC . 50A.30B . 45D . 752.如圖, 的度數(shù)為（B）3.如圖，在 ABC中，AB= AC過(guò)點(diǎn)A作AD/ BC 若Z 1 = 70° ,則/ BAC勺度數(shù)為（A）A. 40 ° B , 30 ° C . 70 ° D , 50 °4.如圖，在 ABC中，AB= AC, / ABC / ACB的平分線 BD CE交于點(diǎn)O,且BD交AC 于點(diǎn)D, CE交AB于點(diǎn)E.

2、某同學(xué)分析圖形后得出以下結(jié)論： ABC國(guó)ACBE BA里 BCD * BD率 CEA BO陵 COD AC9 BCE上述結(jié)論一定正確的是（D）A.B .C.D .1.如圖，在等腰三角形（C）A. 36 ° B , 60 °。（第4題）（第3題）ABC中，AB= AG BD平分/ABC /A= 36° ,則/I的度數(shù)為C . 72 °D , 108°EA（第6題）6.如圖，在 ABC 中，AB= AC, BD±AC, Z ABC= 72° ,求/ ABD的度數(shù).【解】1. AB= AC, Z ABC= 72° , .

3、/ ACB= Z ABC= 72° ,/ A= 36° .BD± AC, ./ ABD- 90° 36° = 54° .A【解】口是AB的中點(diǎn)，. BD= AD由折疊的性質(zhì)，得 A' D= AD，BD= A' D. ./ BA D= / B= 50 ./ B+ / BA D+ / BDA =180 , ./ BDA =180° / B / BA D= 80 .ABi-_（第8題）8.如圖，在 ABC 中，已知 AB= AC, AD- AE, / 【解】AB= AC / B= / C.BAD- 28°

4、 ,求/ EDCW度數(shù).fiAr C（第7題）7.如圖，將4ADE沿DE折疊，點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)A'處.若D為AB邊的中點(diǎn), /B= 50° ,求/ BDA的度數(shù).（第5題）5.如圖，在 ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且 AC= CD= BD= BE.若/ A= 50° ,則/ CD曲度數(shù)為（D）A.50° B ,51°C. 51 . 5° D , 52 . 5°同理，/ ADE= Z AED設(shè)/ EDG= a , / C= 3 ,則/ ADE= / AED= / EDG / C= a + 3 ,/ ADC=

5、 / ADEF / EDC= a + 3 + a= 2a + 3 . /ADC= / BADF / B= 28° + 3,.2a + 3 =28° + 3 ,:i=14° ,即/ EDC= 14B組（第9題）9.如圖，在 PAB中，P好PB, M N, K分別是PA, PB, AB上的點(diǎn)，且 AMk BK, BN= AK若Z MKN= 44° ,則/ P的度數(shù)為（D）A. 44° B ,66° C .88° D ,92°【解】 PA= PRZ A= / B.'A陣 BK在4AM博口ABK時(shí)，. </A

6、= / B,AQ BN. .AM監(jiān) BKI（ISAS . ./ AMK= / BKN / MKB= / MKM / BKN= / A+ / AMKA= / MKN= 44 , ./ P= 180° /A Z B= 92 .10.如圖，已知 AB= AB, AiBi = AA, A=XX,小白=白人，.若/ A= 70° ,則/ BiAAi的度數(shù)為（C）7070j070 oA. gn J B . n+1J C . qnT J D . +2 /【解】在ABA中，.一/ A= 70 , AB= AB, ./ BAA= / A= 70 . .AA=AB, / BAA是AAzB 的外

7、角，BAA . / BAA = 2 = 35 .一 1 一 / BAA _1 一 /BAA同理，/ BAA=2/BAAi= £ , / BAA = 2/B2AA =-2,c Z BAA./ Eh-iA1A1-1 = -21i-1連結(jié)(第11題)11.如圖，在 ABC中，分別以AG BC為邊作等邊三角形 ACDf口等邊三角形 BCE AE BD交于點(diǎn)O,求/AOB的度數(shù).【解】設(shè)AC與BD交于點(diǎn)H. A ACQ 4BCE都是等邊三角形，.CD=CA CB=CE, Z ACD=Z BC60 ,DCB=Z ACE.DC空 ACSA§ , .Z CDB=Z CAE又 / DCH-Z

8、 DHGZ CDB=180 ,Z AON- Z AHQ- Z CAE= 180 ,Z DHeZ AHQ ./ AOH=Z DCH=60 . .Z AOB=180 -Z AOH=120 .12 .如圖，在 ABC中，AB= AC, BQ CE是 ABC的兩條高線，BD與CE相交于點(diǎn)求證：OB=OC(2)若/ ABG=70° ,求/ BOM度數(shù).(第12題)【解】(1) -. AB= AC, Z ABG= Z ACB BD, CE是AABC的兩條高線， .Z BEG=Z CDB=90 .又.BG=CBBE(A CD6AA§ , BE=CD又. / BOE=Z COQ Z BEG

9、=Z CD=90 ,. BOA COgA§ ,. OB=OC(2)連結(jié)DE. ZABG=70 , AB= AQ Z /180 -2X70 =40 .一/田 / AEDF Z ADE= 180 , Z OEID- Z ODE- Z DOE= 180 , /爾 Z AEO Z ADQ- Z DOE= 360 .又. / AEO= / ADO= 90 ,. / A+ / DOE= 180 , /BOC /DOE 180° -40° =140° ./? CD（第13題）13 .如圖，在4ABC中，已知BC= AC, / BAC的外角平分線交 BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) D

10、.若/ADC1 =-C CAD求/ ABC的度數(shù).U CD（第13題解）【解】 如解圖，設(shè)/ ABC= x, / CAD= y,_ 11貝U/ACD= 2x, /ADC= -ZCAD= -y,x + 2y=180° ,“/口 x=36,/-。卜 +3 go。 解得 j 72。，/ABC= 36 .數(shù)學(xué)樂(lè)園14. （1）已知在 ABC中，/ A= 90° , / B= 67. 5° ,請(qǐng)畫(huà)一條直線，把這個(gè)三角形分 割成兩個(gè)等腰三角形（請(qǐng)你選用下面給出的備用圖，把所有不同的分割方法都畫(huà)出來(lái).只需 畫(huà)圖，不必說(shuō)明理由，但要在圖中標(biāo)出相等兩角的度數(shù)）.（2）已知在 ABC

11、中，/C是其最小的內(nèi)角，過(guò)頂點(diǎn)B的一條直線把這個(gè)三角形分割成了 兩個(gè)等腰三角形，請(qǐng)?zhí)角? ABC與/C之間的關(guān)系.導(dǎo)學(xué)號(hào)：91354010【解】（1）如解圖（共有2種不同的分割法）.月A,歙&瓢X、（第14題解）（第14題解）（2）設(shè)/ABG= v, / C= x,過(guò)點(diǎn)B的直線交邊 AC于點(diǎn)D.在4DBC中，1.若/C是頂角，如解圖，則/ CBD= Z CDB= 90 萬(wàn)*, Z A= 180 xy.一。1故/ADB= 180 -Z CDB= 90 +/XA90 ,此時(shí)只能有/ A= Z ABD即 180° - x-y=y- 90° gx ；,，一 。3 _.-.3

12、x + 4y=540 , . . / ABC= 135 - 4ZC.若/C是底角，第一種情況：如解圖，當(dāng)DB= DC時(shí)，/ DBC= x,在4ABD中，Z ADB= 2x, / ABD= y若 AB= AD,則 2x=y x,此時(shí)有 y=3x, ./ ABC= 3/C.若 AB= BD,貝U 180° - x-y= 2x,此時(shí)有 3x+y=180° , . . / ABC= 180° -3ZC.若 AD= BD,則 180° - x-y=y-x,此時(shí)有 y=90° ,即/ABC= 90° , /C 為小于 45 的任意銳角.（第14題

13、解）第二種情況：如解圖，當(dāng) BD= BC時(shí)，Z BDC= x, Z ADB= 180° -x>90° ,此時(shí)只能,11有AD= BD / A= / ABD= 5/ BDC=萬(wàn)/ Cv / C,這與題設(shè)/ C 是最小角矛盾.，當(dāng)/C是底角時(shí)，BD= BC不成立.綜上所述，/ ABC與/C之間的關(guān)系是/ ABC= 135° -ZC或/ABC= 3ZC 或/ABC=4180° 3/C或/ABC= 90° （ ZC是小于45°的任意銳角）.1.1認(rèn)識(shí)三角形（一）A組1 .如圖，圖中共有_6_個(gè)三角形，以 AD為邊的三角形有 ABD AA

14、DE ADC 以E為頂點(diǎn)的三角形有 ABE ADE AEC / AD% ABD的內(nèi)角, ADE的三個(gè)內(nèi) 角分別是/ ADE / AED / DAE2 .在“三角尺拼角實(shí)驗(yàn)”中，小明同學(xué)把一副三角尺按如圖所示的方式放置，則 71=120° .3 .在 ABC+,/A： /B：/0= 2： 3 ： 4,則/A的度數(shù)為40° .4 . （1）若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和8,則第三邊長(zhǎng)可能是（B）A. 14B.(2)若長(zhǎng)度分別為A. 4 B .10C. 3 D. 2x的值可以是（C）2, 7, x的三條線段能組成一個(gè)三角形，則（第5題）5 C. 6D. 95 .如圖，在 ABC中

15、，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，DE/ BC 若Z A= 62° , / AED = 54。，則/ B的度數(shù)為(C)A. 54 ° B , 62 °C. 64 ° D , 74 °6 .若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比是2 ： 3： 7,則這個(gè)三角形一定是（C）A.C.直角三角形B.銳角三角形 鈍角三角形D.不能確定（第7題）7 .如圖，BCD+, BC= 4, BD= 5.求CD的取值范圍.(2)若 AE/ BD, /A= 55° , / BDE= 125° ,求/ C的度數(shù).【解】.在 BCD, BC= 4, BD= 5,

16、. 1<C及9.AE/ BD / BDE= 125° ,：/AEC= 55° ,：/C= 180° -Z AEO/A= 70° .B組8 .現(xiàn)有3 cm, 4 cm, 7 cm, 9 cm 長(zhǎng)的四根木棒，任取其中三根組成一個(gè)三角形， 那么可以組成的三角形的個(gè)數(shù)是 （B）A. 1B. 2C. 3D. 4【解】四根木棒任取三根的所有組合為3, 4, 7; 3, 4, 9; 3, 7, 9和4, 7, 9,其中3, 7, 9和4, 7, 9能組成三角形.9 .已知a, b, c是 ABC勺三條邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|a +b-c| |c ab|的結(jié)果為（D）A. 2

17、 a+ 2b2c B . 2a+2bC. 2 c D . 0【解】ai+ b>c,：a+ b c>0, c ab<0,：| a + b - c| 一 |c 一 a 一 b|=a+ b c+ ( c-a- b)=a+ b c+ c-a- b= 0.10 .各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為 8的三角形共有多少個(gè)？【解】二.各邊長(zhǎng)度都是整數(shù)、最大邊長(zhǎng)為 8,:三邊長(zhǎng)可以為：1, 8, 8; 2, 7, 8; 2, 8, 8; 3, 6, 8; 3, 7, 8; 3, 8, 8; 4, 5, 8; 4, 6, 8; 4, 7,8;4,8,8;5, 5,8; 5, 6,8; 5,7, 8;

18、5, 8, 8; 6, 6,8; 6,7, 8; 6,8,8; 7,7,8;7,8,8; 8,8, 8.故各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為8的三角形共有20個(gè).(第11題)11 .在農(nóng)村電網(wǎng)改造中，四個(gè)自然村分別位于如圖所示的A, B, C, D處，現(xiàn)計(jì)劃安裝一臺(tái)變壓器，使到四個(gè)自然村的輸電線路的總長(zhǎng)最短， 那么這個(gè)變壓器應(yīng)安裝在 AC, BD的交點(diǎn)E處，你知道這是為什么嗎？【解】 如圖，另任取一點(diǎn)E'(異于點(diǎn)E),分別連結(jié)AE , BE' , CE' , DE .在4BDE 中，DE +BE' >DB在4ACE 中，AE +CE' >AC：AE

19、' + BE' +CE + DE >AO BD 即 AE+ BE+ CE+ DE最短.數(shù)學(xué)樂(lè)園12 .觀察并探求下列各問(wèn)題:(1)如圖，在ABC+, P為邊 BC上一點(diǎn)，則 BP PC v AB+ AC(填“>” “V” 或 “=” ).(2)將(1)中的點(diǎn)P移到 ABC內(nèi)，得圖，試觀察比較 BPC的周長(zhǎng)與乙ABC的周長(zhǎng) 的大小，并說(shuō)明理由.(3)將(2)中的點(diǎn)P變?yōu)閮蓚€(gè)點(diǎn)R, P2,得圖，試觀察比較四邊形BPP2c的周長(zhǎng)與 ABC的周長(zhǎng)的大小，并說(shuō)明理由. (第12題)【解】(1)BP+PC<AB+ AC.理由：三角形兩邊的和大于第三邊. 4BPC的周長(zhǎng)&l

20、t; ABC的周長(zhǎng).理由如下：如解圖，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)M V PC<PM MC BP+ PC<BIM- MC . BM<ABAM ： BM MC<AB BC, ：BP+PCv AB+AC,：BP+ PC+ BC< AB+ AC+ BC, 即BPC勺周長(zhǎng)< ABC的周長(zhǎng).AI） （第12題解）（3）四邊形BPP2c的周長(zhǎng)< ABC的周長(zhǎng).理由如下:如解圖，分別延長(zhǎng) BP, CB交于點(diǎn)M由（2）知,BM CM： AB+ AC又 PiBPiM+ P2M,：BP + PiP2+ P2C< BM CM AB+ AC：BP+ PiP2+ P2C+ BC&l

21、t;AB-AC+ BC即四邊形BPP2c的周長(zhǎng)<4ABC的周長(zhǎng).1.1 認(rèn)識(shí)三角形（一）A組1 .如圖，圖中共有 6 個(gè)三角形,以 AD為邊的三角形有 ABD MDE MDC以E 為頂點(diǎn)的三角形有 ABE MDE MEC /ADB是 jD的內(nèi)角， ADE的三個(gè)內(nèi)角分別是 /ADE AED DAE（第1題）（第2題）2 .在“三角尺拼角實(shí)驗(yàn)”中，小明同學(xué)把一副三角尺按如圖所示的方式放置，則/=120°.3 .在 ABC 中，/ A： Z B ： Z C= 2 ： 3 ： 4,則/ A 的度數(shù)為 _40 ° _.4 . （1）若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和8,則第三邊長(zhǎng)可

22、能是（B）A. 14B. 10C. 3D. 2（2）若長(zhǎng)度分別為2, 7, x的三條線段能組成一個(gè)三角形，則x的值可以是（C）A. 4 B.5 C.6 D.9（第5題）5 .如圖，在 ABC中，點(diǎn) D在AB上，點(diǎn)E在AC上，DE/ BC 若/ A= 62° , / AE氏54° ,則/ B的度數(shù)為（C）A. 54 ° B , 62 °C. 64 ° D , 74 °6 .若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比是2 ： 3 ： 7,則這個(gè)三角形一定是（C）A. 直角三角形 B . 銳角三角形C.鈍角三角形D .不能確定7 .如圖，在 BCD43

23、, BC= 4, BD= 5.求CD的取值范圍.(2)若 AE/ BD, /A= 55° , / BD號(hào) 125° ,求/ C的度數(shù). 【解】(1) .在 BCm, BC= 4, BD= 5,，1<C39.8 2) . AE/ BD / BDE= 125° , ./AEC= 55 , ./C= 180° /AEC- /A= 70° .B組8 .現(xiàn)有3 cm, 4 cm, 7 cm, 9 cm長(zhǎng)的四根木棒，任取其中三根組成一個(gè)三角形，那么 可以組成的三角形的個(gè)數(shù)是 （B）A. 1B. 2C. 3 D. 4【解】四根木棒任取三根的所有組合為3

24、, 4, 7; 3, 4, 9; 3, 7, 9和4, 7, 9,其 中3, 7, 9和4, 7, 9能組成三角形.9 .已知a, b, c是 ABC的三條邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|a+bc| |ca b|的結(jié)果為(D)A. 2 a+ 2b2c B . 2a+ 2bC. 2 c D . 0【解】a+ b>c,，a+bc>0, c- a- b<0,，|a+b c| 一 | c一a一 b|=a+ b- c+ (c- a- b)=a+ b- c+ c-a- b = 0.10 .各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為8的三角形共有多少個(gè)？【解】二.各邊長(zhǎng)度都是整數(shù)、最大邊長(zhǎng)為8,三邊長(zhǎng)可以為：I , 8,

25、8; 2, 7, 8; 2, 8, 8; 3, 6, 8; 3,7,8;3,8,8; 4, 5, 8;4,6,8;4,7,8; 4, 8, 8; 5, 5, 8; 5, 6, 8; 5, 7, 8; 5,8,8;6,6,8; 6, 7, 8;6,8,8;7,7,8; 7, 8, 8; 8, 8, 8.故各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為8的三角形共有20個(gè).(第11題)II .在農(nóng)村電網(wǎng)改造中，四個(gè)自然村分別位于如圖所示的A B, C, D處，現(xiàn)計(jì)劃安裝一臺(tái)變壓器，使到四個(gè)自然村的輸電線路的總長(zhǎng)最短，那么這個(gè)變壓器應(yīng)安裝在AC BD的交點(diǎn)E處，你知道這是為什么嗎？【解】 如圖，另任取一點(diǎn)E'

26、(異于點(diǎn)E),分別連結(jié)AE',BE', CE ,DE'.在 BDE 中,DE + BE' >DB.在 ACE 中,AE' + CE >AC. .AE' +BE' + CE' + DE >AC+ BD 即 AE+ BE+ C曰 DE 最短.數(shù)學(xué)樂(lè)園12.觀察并探求下列各問(wèn)題：如圖，在 ABC中，P為邊BC上一點(diǎn)，則 BP+ PC < AB+ AC(填“v” 或).(2)將(1)中的點(diǎn)P移到 ABC內(nèi)，得圖，試觀察比較 BPC的周長(zhǎng)與 ABC的周長(zhǎng)的 大小，并說(shuō)明理由.(3)將(2)中的點(diǎn)P變?yōu)閮蓚€(gè)點(diǎn)Pi, P

27、2,得圖，試觀察比較四邊形 BPP2c的周長(zhǎng)與 ABC 的周長(zhǎng)的大小，并說(shuō)明理由.AA(第12題)【解】(1)BP + PC< AB+ AC.理由：三角形兩邊的和大于第三邊.(2) 4BPC的周長(zhǎng)< ABC的周長(zhǎng).理由如下：如解圖，延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)M PC<PM- MC BP+ PC<BM MC BM<AB- AMB- MC<AB BC,BP+ PC< AB+ AC,BP+ PC+ BCv AB+ AC+ BC,即ABPC的周長(zhǎng)< ABC的周長(zhǎng).AD (第12題解)(3)四邊形BPP2c的周長(zhǎng)< ABC的周長(zhǎng).理由如下: 如解圖，分別延長(zhǎng)

28、 BR, CB交于點(diǎn)M.由(2)知，B- CM： AB+ AC又 P1P2VP1M+ P2M,BR+ PB+ P2CV BM CMAB+ AC,BR+ PiB+ P2C+ BC<AB AC+ BC即四邊形BPP2c的周長(zhǎng)<4ABC的周長(zhǎng).1.1 認(rèn)識(shí)三角形（一）A組1 .如圖，圖中共有 _6一個(gè)三角形，以 AD為邊的三角形有 ABD MDE MDC以E 為頂點(diǎn)的三角形有 ABE MDE MEC /ADB是2BD的內(nèi)角， ADE的三個(gè)內(nèi)角分別是 /ADE AED DAE2 .在“三角尺拼角實(shí)驗(yàn)”中，小明同學(xué)把一副三角尺按如圖所示的方式放置，則/1=120° 一3 .在 AB

29、C 中，/ A： / B： / C= 2 ： 3 ： 4,則/ A 的度數(shù)為 _40 ° _.4 . （1）若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和8,則第三邊長(zhǎng)可能是（B）A. 14B. 10C. 3D. 2（2）若長(zhǎng)度分別為2, 7, x的三條線段能組成一個(gè)三角形，則x的值可以是（C）A. 4 B.5 C. 6 D.9（第5題）5.如圖，在 ABC中，點(diǎn) D在 AB上，點(diǎn) E在 AC上，DE/ BC 若/ A= 62° , / AED= 54° ,則/ B的度數(shù)為（C）A. 54 ° B , 62 °C. 64 ° D , 74 °

30、;6 .若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比是2 ： 3 ： 7,則這個(gè)三角形一定是（C）A. 直角三角形 B . 銳角三角形C.鈍角三角形D .不能確定（第11題）A（第7題）7 .如圖，在 BCD, BC= 4, BD- 5.求CD的取值范圍.(2)若 AE/ BD, /A= 55° , / BD號(hào) 125° ,求/ C的度數(shù).【解】(1) .在 BCm, BC= 4, BD= 5,，1<C39.(2) . AE/ BD / BDE= 125 ,./ AEC= 55 , ./C= 180° /AEC- /A= 70° .8 .現(xiàn)有3 cm, 4 cm

31、, 7 cm, 9 cm長(zhǎng)的四根木棒，任取其中三根組成一個(gè)三角形，那么 可以組成的三角形的個(gè)數(shù)是 （B）A. 1 B. 2C. 3 D. 4【解】四根木棒任取三根的所有組合為3, 4, 7; 3, 4, 9; 3, 7, 9和4, 7, 9,其中3, 7, 9和4, 7, 9能組成三角形.9 .已知a, b, c是 ABC的三條邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)|a+bc| |ca b|的結(jié)果為（D）A. 2 a+ 2b2c B . 2a+ 2bC. 2 c D . 0【解】a+ b>c,，a+bc>0, c- a- b<0,，|a+b c| 一 | c一a一 b|=a+ b c+ （c- a- b）=a+ b- c+ c-a- b = 0.10 .各邊長(zhǎng)都是整數(shù)，且最大邊長(zhǎng)為8的三角形共有多少個(gè)？【解】二.各邊長(zhǎng)度都是