西南大學(xué)線性代數(shù)作業(yè)答案

1、第一次行列式部分的填空題i .在5階行列式a。中，項(xiàng)ai3a24a32a45a51前的符號(hào)應(yīng)取_號(hào)。2.排列45312的逆序數(shù)為54-13.行列式2215x_1中元素x的代數(shù)余子式是-2-34 .行列式 524 x5 .行列式2 21504一11-2 3中元素-2的代數(shù)余子式是01-1-1中，x的代數(shù)余子式是20a06.計(jì)算b0c0d0行列式部分計(jì)算題1 .計(jì)算三階行列式2 011-4 -1-183解：原式=2x (4) x 3+0x (1) x (1) +1X1X81X (1) x ( 4) 0X1X32X (1) X8=42.決定i和j,使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7為奇排列.解

2、：i=8, j=5o31x3. (7分)已知4x0#0,求x的值.10x解：原式=3x2x2-4x=2 x24x=2x(x 2)=0解得：x=0； x2=2所以 x=x |xw0;xw2 xC R 4. (8分)齊次線性方程組x y z = 0x .y z =0|x-y -z =0有非零解，求- -12=1由D=0 得入=15.用克萊姆法則求下列方程組:x 2y 4z =315x y 2z = 293x - y z解：因?yàn)槎?0221-9-17-18-11120-100-2=1 父（一1）父3 = 3¥0所以方程組有唯一解，再計(jì)算:3131D129一-81D229-1 0810-11

3、031D3 二29 =135-110因此，根據(jù)克拉默法則，方程組的唯一解是:x=27 , y=36, z= -45第二次線性方程組部分填空題1 .設(shè)齊次線性方程組 Ax=0的系數(shù)陣A的秩為r,當(dāng)r=_n時(shí), 則Ax=0只有零解；當(dāng)Ax=0有無(wú)窮多解時(shí)，其基礎(chǔ)解系含有解向量 的個(gè)數(shù)為 n-r .2 .設(shè)刀1, T 2為方程組Ax=b的兩個(gè)解，則一刀1一刀2或刀2一刀1 是其導(dǎo)出方程組的解。3 .設(shè) 0是線性方程組Ax=b的一個(gè)固定解，設(shè)z是導(dǎo)出方程組的某 個(gè)解，則線性方程組Ax=b的任意一個(gè)解(3可表示為B=%0+z.4 .若n元線性方程組 Ax=b有解，R (A) =r,則當(dāng)r=n 時(shí)，有惟一

4、解；當(dāng)_,r<n時(shí)，有無(wú)窮多解。5 . A是mxn矩陣，齊次線性方程組 Ax=0有非零解的充要條件是 R (A) <n.6 . n元齊次線性方程組Ax=0僅有零解的充分必要條件是網(wǎng)不等于0。7線性方程組Ax=b有解的充要條件是r(Ab)=r(A) 。8.設(shè)ui是線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，vi»,，vn是其導(dǎo)出組的基 礎(chǔ)解系，則線性方程組 Ax=b的全部解可以表示為u 二Ui ClVl c2V2 一 . Fn-Vn 上1 .求線性方程組2 X1 - X 2 11 X 4 - -1% +3X2 7x3 +4X4 =3 的通解.一11k1,k2 - R)3x1 -2X2 七

5、3 七4 _ -2答案：通解為:12X=k 1+k21x1 2x2 -,-x3 x4 -03x1 +6x2 _x3 _3x4=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 5x1 10 x2 - x3-5x4 =0答案：基礎(chǔ)解系為v23.求非齊次線性方程組的通解2x1，x2 - x3« x1 + 2x2 +x3-x4二2x1x22x3x4答案：同解方程組為x1x2x33x23-x21 x2二1R)=0 ,通解為4求方程組的通解2x1 x2 -x3«3x1 -2x2 +x3 - 3x4 = 4xi 4x2 - 3x3 5x4 =-2x1答案：化為同解方程組通解為x = k1k2x21-x375_ x3

6、71 x79 一x7x2 2x3 3x4x1 2x2 3x3 - x43x1 一 x22x1 3x2 - x3 - x4 = 6(1)求增廣矩陣(Ab)的秩r (Ab)與系數(shù)矩陣A的秩r (A);(2)判斷線性方程組解的情況，若有解，則求解。答案：(1) r (Ab) =r (A) =4(2)有唯一解。x1=-1;x2=-1;x3=0;x4=1第三次向量的線性關(guān)系填空題1.向量 = (1, 3, 5, 7), B = (a,b,5,7),若 = B ,貝U a= 1,b=3.2.已知向量以二(1, 2, 3) , «2= (3, 2, 1),貝U 3% +2%= (9,10, 11)

7、 , %-。2= (-2, 0, 2) .3 .設(shè)向量組%,人線性無(wú)關(guān)，則向量組 ,%+，5+%+5線 性 無(wú)關(guān) .4 .設(shè)向量a22q線性無(wú)關(guān)，則a1Za,線性 無(wú)關(guān)。5 .設(shè)向量21aa線性無(wú)關(guān)，則向量21凡凡,0線性 相關(guān).6 .。1,%,小3,% 是3維向量組，則%,口2,。394線性 相 關(guān).7 .零向量是線性相關(guān) 的；非零向量”是線件 無(wú)關(guān) 的.線性關(guān)系部分證明題1 證明：如果向量組a,優(yōu)¥線性無(wú)關(guān)，則向量組a +P,B+¥Q+o（亦 線性無(wú)關(guān).證明：設(shè)有一組數(shù)kk2，k3,使ki （：工，旦） k2（ ；，'）, k3 （'，=）=0成立，整理

8、得（k 1k3）:l （k1k2） , （k2 » k3） = 0由于口, FT線性無(wú)關(guān)，所以k1k3 = 0 13k1 k2 =0 k2 k3 = 010 1因?yàn)槠湎禂?shù)行列式1 1 0 =2 #0 ,所以方程組只有零解， 0 11即k1 = k2 = k3 = 0 .向量組a + B, P + ?, 丁 +a線性無(wú)關(guān)得證.2,設(shè)向量B可由向量1，% 2,，叫線性表示，但不能由 1，% 2,，r-1線性表水，同向量組 1, % 2,， r-1 , %r與向 量組0C 1 , %2,，r-1, B是否等價(jià)？為什么？答案：等價(jià)。因?yàn)锽可由2,， r線性表不，所以有入1,入2,，入r,使B

9、 =入1 % 1+入2 % 2+入r % r,入產(chǎn)。又 1=%1,，%r-1=%r-1,故向量組 1, %2,， r-1 , B 可由向量1，2,， r線性表不。由式有% r也可由向量組 1, % 2,r- r-1 , (3線性表瓜 % 1,% 2 ,示，故兩向量組等價(jià)。3 .設(shè)% 1, % 2是某個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，問(wèn) 1+ % 2, 2%1 - % 2是否也可構(gòu)成該方程組的基礎(chǔ)解系？答案：1+%2, 2% 1 % 2顯然是方程組的解。所以以下只證 1 +% 2, 2 % 1 % 2線性無(wú)關(guān)。設(shè)有一組數(shù) 入1,入2,使得入 1 (%1+%2,) + 入 2 (2%1 %2)=。，即

10、(入 1+2 入 2) % 1+ (入 1 入 2)% 2=0,因 1, % 2線性無(wú)關(guān)，故 +2 %=0, ?l2 =0 .而 12 =40,1-1所以入1=入2=0,則 1+%2, 2% 1 % 2線性無(wú)關(guān)，仍是基礎(chǔ)解系。4 .已知 % =(1,0,-1), 1 =(-2,2,0),口3 =(3,5,2),判定此向量組是線性 相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)。答案：線性相關(guān)。5 .設(shè)。產(chǎn)(1, 1, 2) T, 口= (1, 2, 3) T, q= (1, 3, t) T請(qǐng)問(wèn)當(dāng)t為何值時(shí)，巴，燈2,。3線性相關(guān)？并將。3用。1,。2線 性表示.答案：當(dāng)t=4時(shí)，巴，仃2, J線性相關(guān)。仃3=仃1 + 2仃

11、2 .6,設(shè)%“，J線性無(wú)關(guān)，而%«2,Qs, P線性相關(guān)，則P能由0(1,0(2，cts線性表不，且表不法惟一飛答案：因口1，汽2,，, P線性相關(guān)，故有ki, k2,，ks,k不全為零，使 ki ： 1- k2 ： 2 ,ks： s , k 0.要證p可由四,匕,，J線性表示，只要證明k¥。，假設(shè)k=0,則 ki M，ks不全為零，且有k1：1 k2： 2 ks：s = 0.故口1,口2，,J線性相關(guān)，矛盾，所以k#。設(shè)有個(gè)表示式一 -'1>1''2 >2's'ski 2:2兩式相減得(11 - 七)二：1 . ( 2

12、 - -2 )-：2 .'(1 s -' s) -：s = 0因%,%,q線性無(wú)關(guān)，所以九一叫=0,即i = )(i =1,2, - .s)所以表示法惟一。第四次特征值部分選擇題1. A是n階正交矩陣，則A (A) |a| =±1(B) AA* = E (C) AT=A (D) A,= A2. A與B是兩個(gè)相似的n階矩陣，則A (A)存在非奇異矩陣 P,使P，AP = B(B) |A| # |B|(C)存在對(duì)角矩陣D,使A與B都相似于D(D) A =九I B3下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的有(B)(A) 若向量口與P正交，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b, ac(與bP也正交（B） 若向量P與

13、向量8,0（2都正交，則P與8 ,口2的任一線性組合也正交（C） 若向量Ct與P正交，則a與B中至少有一個(gè)是零向量（D）若向量a與任意同維向量正交，則a是零向量1104 設(shè)矩陣A = 1 0 1 ,則A的特征值為C 0 11（A）1,0,1（B）1,1,2（C） -1,1,2（D）-1,1,15 n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是B（A） A有n個(gè)特征值（B） A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量（C） A的行列式不等于零（D） A的特征多項(xiàng)式?jīng)]有重根線性代數(shù)1 .下列n階（n>2）行列式的值必為 0的有：B：行列式非零元素的個(gè)數(shù)小于n個(gè)。2 .有二階行列式，其第一行元素是（1,3）,第二行

14、元素是（1,4）,該行列式的值是：B:13有二階行列式，其第一行元素是（2, 3）,第二行元素是（3,-1）,則該行列式的值是：A:-114 .有三階行列式，其第一行元素是（0, 1, 2）,第二行元素是（-1,-1, 0）,第三行元素是（2, 0,-5）, 則該行列式的值是：B:-15 .有三階行列式，其第一行元素是（1,1,1）,第二行元素是（3, 1, 4）,第三行元素是（8, 9, 5）,則 該行列式的值是：C：56 .行列式A的第一行元素是（k,3,4）,第二行元素是（-1,k,0）,第三行元素是（0,k,1）,如果行列式 A的值等 于0,則k的取值應(yīng)是：C:k=3或k=17 . 6

15、.排列3721456的逆序數(shù)是：C:88.行列式A的第一行元素是（-3, 0, 4）,第二行元素是（2, a, 1）,第三行元素是（5, 0, 3）,則其中元 素a的代數(shù)余子式是：B:-299已知四階行列式D中第三行元素為（-1,2, 0, 1）,它們的余子式依次分別為5, 3,-7, 4,則D的值等于.C:-1510 .矩陣A適合下面哪個(gè)條件時(shí)，它的秩為 r. B:A中線性無(wú)關(guān)的列向量最多有r個(gè)。11矩陣A的第一行元素是（1, 0, 5）,第二行元素是（0, 2, 0）,則矩陣A乘以A的轉(zhuǎn)置是：C:第一行元素是（26, 0）,第二行元素是（0, 4）。12 .若矩陣A的行數(shù)不等于矩陣B的列數(shù)

16、，則矩陣 A乘以B沒(méi)有意義。正確答案：錯(cuò)誤13 .齊次線性方程組 AX=0是線性方程組 AX=b的導(dǎo)出組，則C: u是AX=0的通解，X1是 AX=b的特解時(shí)，X1+u是 AX=b的通解。D: V1, V2是AX=b的解時(shí)，V1-V2 是 AX=0 的解。14 . n階矩陣可逆的充要條件是：A ： r（A）=n B : A的列秩為n。15 .向量組a1,a2,.,as的秩不為零的充分必要條件是：A: a1,a2,as中至少有一個(gè)非零向量。D:a1,a2,as中有一個(gè)線性無(wú)關(guān)的部分組。16向量組a1,a2,.,as線性相關(guān)的充分必要條件是：C: a1,a2,as中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示。D： a1,a2,as中至少有一部分組線性相關(guān)17 . 矩陣 A 為三階矩陣，若已知|A|=m, 則 |-mA| 的值為 C:-m*m*m*m18 .若矩陣A可逆，則它一定是非奇異的。正確答案：正確19 .向量組a1,a2,as線性無(wú)關(guān)的必要條件是：A: a1,a2,as都不是零向量。C：a1,a2,as中任意兩個(gè)向量都不成比例 D: a1,a2,as中任一部分組線性無(wú)關(guān)20 .若矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)，則矩陣 A乘以B有意義正確答案：正確 .初等數(shù)論&g