運(yùn)動(dòng)路徑參考答案

1、運(yùn)動(dòng)路徑一 .填空題（共6小題）1. （2010?南京）如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)是2, M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿 AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止，連接EM并延長(zhǎng)交射線 CD于點(diǎn)F,過(guò)M作EF的垂線交射線 BC于 點(diǎn)G,連接EG、FG.（1）設(shè)AE=x時(shí)，4EGF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量 x的取值 范圍；（2） P是MG的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng).考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三 角形的判定與性質(zhì).專題：壓軸題.分析：（1）E、A重合時(shí)，三角形 EFG的底和高都等于正方形的邊長(zhǎng)，由此可得到其面 積；E、A不重合

2、時(shí)；易證得 AAEM FDM ,則EM=FM ,由勾股定理易求得 EM的 長(zhǎng)，即可得出EF的長(zhǎng)；下面求MG的長(zhǎng)，過(guò)M作MN LBC于N,則AB=MN=2AM , 由于/ AME和/ NMG同為/ EMN的余角，由此可證得 aAEMsNGM ,根據(jù)相似 三角形得到的關(guān)于 AM、MN、EM、MG的比例關(guān)系式，即可求得 MG的表達(dá)式，進(jìn) 而可由三角形的面積公式求出 y、x的函數(shù)關(guān)系式；（2）可分別作出E、A重合和E、B重合時(shí)P點(diǎn)的位置（即P為A與E重合時(shí)得到 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，P為E與B重合時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），此時(shí)可發(fā)現(xiàn)PP正好是4EGG的中位線， 則P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離為 GG的一半；RtA BMG中，MG，BG易證

3、得/ MBG= / GMG ； 根據(jù)/ MBG的正切值即可得到 GG'、GM （即正方形的邊長(zhǎng)） 的比例關(guān)系，由此得解.解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，x=0, y=- >2 X2=22當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合時(shí)，0vx磴在正方形 ABCD 中，/ A= / ADC=90 ° ./ MDF=90 °, . A= Z MDF在AAME和4DMF中 AM=DM ,二 NDMFAME DMF （ASA）ME=MF在 RtAAME 中,AE=x , AM=1 , ME=&卬，EF=2Me=2 7過(guò)M作MN，BC,垂足為N (如圖)貝U/MNG=90 °

4、, Z AMN=90 °, MN=AB=AD=2AM ./ AME+ Z EMN=90 ° . / EMG=90 ° ./ GMN+ / EMN=90 ° ./ AME= ZGMN RtAAME RtANMG，里理即廛工m K K 2v=7eF>mg=7>2VA1>2VJ+l=2x2+2y=2x2+2 ,其中 0今又；(2)如圖，PP'即為P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離;在 RtABMG '中,MG XBG/ MBG= / G MG=90 - / BMG ; .tan/ MBG=旭=2,BG .tan/ GMG =tan Z MBG=

5、>2=2 ;MGGG'=2MG=4 ; MGG'中,P、P'分別是 MG、MG'的中點(diǎn), PPAMGG '的中位線；PP = -GG=2;2即：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為2.此題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形、相似三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)以及 二次函數(shù)等知識(shí)；綜合性強(qiáng)，難度較大.2. (2012?國(guó)州)如圖1,在RtAABC中，/ C=90°, AC=6 , BC=8 ,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿 邊AC向點(diǎn)C以1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)C開始?才邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè) 單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn) P作PD/ BC,交AB于點(diǎn)D,連接PQ分

6、別從點(diǎn)A、C同時(shí)出 發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒(t用).(1)直接用含t的代數(shù)式分別表示： QB= 8- 2t , PD= 3 . -廠(2)是否存在t的值，使四邊形 PDBQ為菱形？若存在，求出 t的值；若不存在，說(shuō)明理 由.并探究如何改變 Q的速度(勻速運(yùn)動(dòng))，使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn) Q 的速度；(3)如圖2,在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求出線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).RB:相似三角形的判定與性質(zhì)；一次函數(shù)綜合題；勾股定理；菱形的判定與性質(zhì).專題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題.分析：(1)根據(jù)題意得：CQ=2t, PA=t,由 RtAABC 中，/

7、C=90°, AC=6 , BC=8 , PD/ BC, 即可得tanA=B1 妥 =4,則可求得 QB與PD的值；PA AC 3(2)易得APDsacb,即可求得 AD與BD的長(zhǎng)，由BQ / DP,可得當(dāng) BQ=DP 時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，即可求得此時(shí) DP與BD的長(zhǎng)，由DP汨D,可判定 ?PDBQ不能為菱形；然后設(shè)點(diǎn) Q的速度為每秒v個(gè)單位長(zhǎng)度，由要使四邊形 PDBQ 為菱形，則PD=BD=BQ ,列方程即可求得答案；(3)設(shè)E是AC的中點(diǎn)，連接 ME.當(dāng)t=4時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合，運(yùn)動(dòng)停止.設(shè)此 時(shí)PQ的中點(diǎn)為F,連接EF,由PMNspqc.利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例

8、， 即可求得答案.解答：解：(1)根據(jù)題意得：CQ=2t, PA=t,QB=8 - 2t, .在 RtAABC 中，Z 0=90°, AC=6 , BC=8 , PD/BC, ./ APD=90 °,tanA=,PA-AC 3PD=13故答案為：（1） 8- 2t, 3t.3（2）不存在在 RtAABC 中，/ 0=90°, A0=6 , B0=8 ,AB=10 PD / BC ,APDA ACB ,.些即幽J,AB-AC 106AD=-t,3BD=AB - AD=10 -耳3BQ / DP, 當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，即 8- 2t= ,解得：

9、t=.35當(dāng) t=里時(shí),PD=X=, BD=10 -互支=6,535 53 5DP 汨D,?PDBQ不能為菱形.設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長(zhǎng)度，則 BQ=8 - vt, PD=1t, BD=10 -耳33要使四邊形 PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ ,當(dāng)PD=BD時(shí)，即&=10鳥，解得：t=333當(dāng)PD=BQ, t=¥時(shí)，即±乂¥=8-當(dāng)甲，解得：v聿333315當(dāng)點(diǎn)Q的速度為每秒 立個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，經(jīng)過(guò) U!秒，四邊形PDBQ是菱形.ris3（3）如圖2,以C為原點(diǎn)，以AC所在的直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.依題意，可知040,當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)M1的坐標(biāo)

10、為（3,0）,當(dāng)t=4時(shí)點(diǎn)M2的坐標(biāo)為（1,4） .設(shè)直線M1M2的解析式為y=kx+b , 馳+b= 0Lk+b=4k二 一 2解得，,b=6直線M1M2的解析式為y=-2x+6. 點(diǎn) Q (0, 2t), P (6-t, 0)，、一 r、一i I ，一，1一 一一 A " +，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ中點(diǎn)M3的坐標(biāo)(-_t).2把 x=E_1 代入 y= - 2x+6 得 y= 2 + +6=t,22 點(diǎn)M3在直線M1M2上.過(guò)點(diǎn)M2作M2N，x軸于點(diǎn)N,則M2N=4, MiN=2.MiM2=2 "，線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 2v七單位長(zhǎng)度. 小隊(duì)B此題考查了相似三

11、角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì) 以及一次函數(shù)的應(yīng)用.此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想 的應(yīng)用.3. (2010?桂林)如圖：已知AB=10，點(diǎn)C、D在線段 AB上且 AC=DB=2 ; P是線段 CD上的動(dòng)點(diǎn)，分別以 AP、PB為邊在線段 AB的同側(cè)作等邊 4AEP和等邊PFB,連接EF,設(shè)EF的中點(diǎn)為G;當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，則點(diǎn)G移動(dòng)路徑的長(zhǎng)是3考點(diǎn)：梯形中位線定理；等邊三角形的性質(zhì).專題：動(dòng)點(diǎn)型.分析：分別延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)H,易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出 G為PH中點(diǎn), 則G的運(yùn)行軌跡為三角形 HCD的中位線MN .再求出

12、CD的長(zhǎng)，運(yùn)用中位線的性質(zhì) 求出MN的長(zhǎng)度即可.解答：解：如圖，分別延長(zhǎng) AE、BF交于點(diǎn)H. . / A= Z FPB=60 °,AH / PF, . / B=/ EPA=60 °, BH / PE, 四邊形EPFH為平行四邊形， EF與HP互相平分.G為EF的中點(diǎn)， .G正好為PH中點(diǎn)，即在P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，G始終為PH的中點(diǎn)，所以G的運(yùn)行軌 跡為三角形 HCD的中位線 MN . CD=10 -2-2=6,MN=3 ,即G的移動(dòng)路徑長(zhǎng)為 3.HD_B點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形及中位線的性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，是中考的熱點(diǎn).4. （2013?桂林）如圖，已知線段 AB=10 ,

13、 AC=BD=2，點(diǎn)P是CD上一動(dòng)點(diǎn)，分別以 AP、PB為邊向上、向下作正方形 APEF和PHKB,設(shè)正方形對(duì)角線的交點(diǎn)&別為。1、O2,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，線段O1O2中點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)是F£HK考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；軌跡.專題：壓軸題.分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可得出正方形對(duì)角線的長(zhǎng)，進(jìn)而得出線段OiO2中點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng).解答：解：如圖所示：當(dāng)P移動(dòng)到C點(diǎn)以及D點(diǎn)時(shí)，得出G點(diǎn)移動(dòng)路線是直線， 利用正方形的性質(zhì)即線段 OiO2中點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)就是 。2。的長(zhǎng)， 線段 AB=10 , AC=BD=2，當(dāng)P與C重合時(shí)， 以AP、PB為邊向上、向下作正方形

14、 APEF和PHKB ,AP=2 , BP=8,貝U O1P=&, 02P=4加，02P=O2B=4&,當(dāng)P與D重合，則PB=2,則AP =8,.0P=4&, 0P = &,HO=BO=近，O2O"=4 正-&=3貝故答案為：3三.，月點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出G點(diǎn)移動(dòng)的路線是解題關(guān)鍵.5. (2014?義烏市)等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為6,在AC, BC邊上各取一點(diǎn) E, F,連接AF , BE相交于點(diǎn)P.(1)若 AE=CF ; 求證：AF=BE ,并求/ APB的度數(shù)；若AE=2 ,試求 AP?AF的

15、值；(2)若AF=BE ,當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，試求點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).專題：證明題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型.分析：(1)證明4ABE，CAF，借用外角即可以得到答案； 利用勾股定理求得 AF的長(zhǎng)度，再用平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求得”的比值，即可以得AF到答案.(2)當(dāng)點(diǎn)F靠近點(diǎn)C的時(shí)候點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)弧AB的中點(diǎn)，此時(shí)4ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對(duì)應(yīng) 的圓心角的度數(shù)，求得答案.點(diǎn) F靠近點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過(guò)點(diǎn) B向AC做的 垂線段的長(zhǎng)度；解答：(1)

16、 證明：. ABC為等邊三角形，AB=AC，/ C=/ CAB=60 °,又 AE=CF ,在4ABE和4CAF中，rAB=AC，ZBAE=ZACF ,理二CFABEA CAF (SAS),AF=BE , / ABE= / CAF.又/ APE= / BPF= /ABP+ / BAP,/ APE= / BAP+ / CAF=60 °. ./ APB=180 - Z APE=120 °,. / C=Z APE=60°, /PAE=/CAF, /.A APEA ACF , 即期所以 ap?af=i2AC AF 6 -AF(2)若AF=BE ,有 AE=BF或

17、AE=CF兩種情況.當(dāng)AE=CF時(shí)，點(diǎn)P的路徑是一段弧，由題目不難看出當(dāng)E為AC的中點(diǎn)的時(shí)候,點(diǎn)P經(jīng)過(guò)弧AB的中點(diǎn)，此時(shí) 4ABP為等腰三角形，且/ ABP= Z BAP=30 °, ./ AOB=120 °,又 AB=6 , OA=.二,n7Tr 120n近1=711 1301803當(dāng)AE=BF時(shí)，點(diǎn)P的路徑就是過(guò)點(diǎn)ABC的邊長(zhǎng)為6,所以點(diǎn)P的路徑為:C向AB作的垂線段的長(zhǎng)度;6 2 _ 3 2= 3V5因?yàn)榈冗吶切嗡?，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為延.五或如.3點(diǎn)P的路徑是解答本點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形性質(zhì)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用, 題的關(guān)鍵是注意轉(zhuǎn)化思想的

18、運(yùn)用.AB=8 .6. (2014施云港)某數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)線段上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行探究，已知問(wèn)題思考：如圖1,點(diǎn)P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AP、BP為邊在同側(cè)作正方形 APDC、BPEF. (1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和是定值嗎？若是，請(qǐng)求出；若不是，請(qǐng)求出這兩個(gè)正方形面積之和的最小值.(2)分別連接 AD、DF、AF, AF交DP于點(diǎn)K,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，在4APK、AADK > DFK 中，是否存在兩個(gè)面積始終相等的三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由.問(wèn)題拓展：(3)如圖2,以AB為邊作正方形 ABCD ,動(dòng)點(diǎn)P、Q在正方形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng)，且PQ=8 .若 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A-B-C

19、-D的線路，向點(diǎn) D運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)P從A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中， PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng).(4)如圖3,在 問(wèn)題思考”中，若點(diǎn)M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，且 AM=BN=1，點(diǎn)G、H 分別是邊CD、EF的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) P從M到N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò) 的路徑的長(zhǎng)及OM+OB的最小值.考點(diǎn)：四邊形綜合題.專題：幾何綜合題；壓軸題.分析：(1)設(shè)AP=x,則PB=8 - x,根據(jù)正方形的面積公式得到這兩個(gè)正方形面積之和=x2+(8-x) 2,配方得到2 (x-4) 2+32,然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解.(2)根據(jù) PE/ BF 求得 PK=a,進(jìn)而求得 DK=PD - PK=a -8

20、a (3_ a), ,口、 J ,然后根據(jù)面積公式即可求得. 乙O(3)本問(wèn)涉及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.PQ的中點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑是三段半徑為4,圓心角為90。的圓弧，如答圖3所示；(4)本問(wèn)涉及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡. GH中點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)路徑是與 AB平行且距離為3的線 段XY上，如答圖4- 1所示；然后利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，求出 OM+OB的最小值，如 答圖4-2所示.解答：解：(1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，這兩個(gè)正方形的面積之和不是定值.設(shè) AP=x ,貝U PB=8 - x,根據(jù)題意得這兩個(gè)正方形面積之和=x2+ (8-x) 2=2x2 16x+64=2 (x-4) +32,所以當(dāng)x=4時(shí)，這兩個(gè)正方形面積之和有最小值，最小值為32.(2)存在兩個(gè)面積始終相等的三角形，它們是4APK與ADEK.ABP答圖工依題意畫出圖形，如答圖 2所示.EC D設(shè) AP=a ,貝U PB=BF=8 a. PE/ BF,.里即a二, BF AB 8 - a 8 PK= 1二 一口;PK=8DK=PD - PK=a - &( * -=f,Q le/ccA loa (8 - 巳) SA APK= PK?PA= ?22?a=a2 (8- a)11 a2-,SAdfk=DK?EfW 8？ 8c、a2 (8- a)-2=5SA apk=Sadfk (3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā), DA邊上，若點(diǎn)P在點(diǎn)A,點(diǎn)Q在點(diǎn)D,若點(diǎn)Q在