2011年高考數(shù)學總復習 提能拔高限時訓練：橢圓（練習+詳細解析）大綱人教版

1、提能拔高限時訓練35<圓一、選擇題1.已知A(0,b),點B為橢圓(a>b>0)的左準線與x軸的交點.若線段AB的中點C在橢圓上,則該橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 解析:由已知,得B(),又A(0,b),AB的中點C為.點C在橢圓上,即.答案:C2.橢圓的左、右兩個焦點分別為F1、F2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,已知一個交點為P,則|PF2|等于（ ）A. B. C. D.4解析:方法一:設(shè)F1(,0),F2(,0),則點P的橫坐標為.由點P在橢圓上,得即|PF1|=.又|PF2|+|PF1|=2a=4,|PF2|=.方法二:由已知得a=2,c=,e=

2、,橢圓的右準線方程為.答案:C3.設(shè)F1、F2分別是橢圓(a>b>0)的左、右兩個焦點,若在其右準線上存在點P,使線段PF1的中垂線過點F2,則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ）A. B. C. D.解析:如圖,設(shè)右準線與x軸的交點為H,則|PF2|HF2|.又|F1F2|=|PF2|,|F1F2|HF2|,即2c.3c2a2.e2,即e.又e<1,e).答案:D4.設(shè)點P(-3,1)在橢圓(a>b>0)的左準線上,過點P且方向為a=(2,-5)的光線,經(jīng)直線y=-2反射后通過橢圓的左焦點,則這個橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D.解析:入射光線所在直線的方程

3、為y-1=(x+3),它與直線y=-2的交點為.又反射光線過點(-c,0),.又,.答案:A5.設(shè)橢圓(a>b>0)與x軸正半軸的交點為A,和y軸正半軸的交點為B,P為第一象限內(nèi)橢圓上的點,那么四邊形OAPB的面積最大值為（ ）A.ab B. C.ab D.2ab解析:方法一:設(shè)P(acos,bsin),則S四邊形OAPB=SOAP+SOBP=.sin+cos=sin(+),S四邊形OAPBab.方法二:設(shè)點P(x,y),則S四邊形OAPB=SAOP+SBOP=由不等式性質(zhì):a>0,b>0時,方法三:如圖,直線AB的方程為S四邊形OAPB=SAOB+SAPB=+SAPB

4、.設(shè)點P到直線AB的距離為d,則SAPB=,由題意,知過點P的直線與橢圓相切且和直線AB平行時d有最大值,可設(shè)過點P且與AB平行的直線為.聯(lián)立方程組得2b2x2-2mabx+a2(m2-b2)=0,=(-2mab)2-8a2b2(m2-b2)=0,解得.由兩平行線間的距離公式,得SAPB最大值=,S四邊形OAPB最大值=.答案:B6.設(shè)直線l:2x+y+2=0關(guān)于原點對稱的直線為l,若l與橢圓交于A、B兩點,點P為橢圓上的動點,則使PAB的面積為的點P的個數(shù)為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4解析:可求出直線l:2x+y-2=0.由方程組解得x=0或x=1.A(0,2),B(1,0),|AB

5、|=.點P到AB的距離為.由AB所在的直線方程為y=-2x+2,設(shè)P(x0,y0),則解之有兩組解.故存在兩個不同的P點滿足題意.答案:B7.橢圓(為參數(shù))的離心率為（ ）A. B. C. D.解析:將橢圓的參數(shù)方程化為普通方程,得即.a2=9,b2=4,即a=3,b=2.c2=a2-b2=5,c=.答案:C8.設(shè)e為橢圓的離心率,且e(),則實數(shù)m的取值范圍為（ ）A.(-1,0) B.(-2,-1)C.(-1,1) D.(-2,)解析:橢圓方程為,m>-2且-m>0,0<-m<2.a2=2,b2=-m,即c2=a2-b2=2+m,.解得m(-1,0).答案:A9.若

6、AB為過橢圓中心的弦,F1為橢圓的右焦點,則F1AB面積的最大值為（ ）A.6 B.12 C.24 D.48解析:由已知得F1為(3,0),則F1AB可看成由OBF1和OAF1組成.設(shè)A(x0,y0),則B(-x0,-y0).=.由橢圓的定義,知|y0|b=4,答案:B10.已知橢圓,過橢圓的右焦點的直線交橢圓于A、B兩點,交y軸于P點,設(shè)=1,=2,則1+2的值為（ ）A. B. C. D. 解析:設(shè)直線AB的方程為y=k(x-c),則,=.1+2=.答案:B二、填空題11.已知橢圓的離心率,則m的值為_.解析:分兩種情況.焦點在x軸上時,0<m<5,解得m=3;焦點在y軸上時,

7、m>5,解得.答案: 3或12.(理)在ABC中,AB=BC,cosB=.若以A、B為焦點的橢圓經(jīng)過點C,則該橢圓的離心率e=_.解析:以A、B為焦點的橢圓經(jīng)過點C,.AB=BC,.又,，解得.答案:(文)在ABC中,A=90°,tanB=.若以A、B為焦點的橢圓經(jīng)過點C,則該橢圓的離心率e=_.解析:設(shè)|AC|=3x,|AB|=4x,又A=90°,|BC|=5x.由橢圓定義知|AC|+|BC|=2a=8x,那么2c=|AB|=4x,.答案:13.已知A、B為橢圓C:的長軸的兩個端點,P是橢圓C上的動點,且APB的最大值是,則實數(shù)m的值是_.解析:由橢圓知識,知當點P

8、位于短軸的端點時APB取得最大值,根據(jù)題意則有答案:14.橢圓的焦點為F1、F2,點P為橢圓上的動點.當F1PF2為鈍角時,點P的橫坐標的取值范圍是_.解析:若F1PF2=90°,設(shè)P(x,y),則由橢圓方程得a=3,b=2,.F1(,0),F2(,0). 又. 解得x=±.結(jié)合橢圓圖形可得,當F1PF2為鈍角時,.答案：三、解答題15.橢圓中心在原點O,它的短軸長為22,對應(yīng)于焦點F(c,0)(c>0)的準線l與x軸相交于點A,且OF=2FA,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點.(1)求橢圓的方程及離心率;(2)設(shè)=0,求直線PQ的方程.解:(1)由題意,設(shè)橢圓的方

9、程為.由已知,得解得a=,c=2.橢圓的方程為,離心率.(2)由(1)知A(3,0),設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-3),由方程組得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0.依題意=12(2-3k2)>0,.設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),x1+x2=,由直線PQ的方程,得y1y2=k(x1-3)·k(x2-3)=k2x1x2-3(x1+x2)+9.=0,x1x2+y1y2=0.整理得5k2=1,.直線PQ的方程為(x-3),即或.16.(理)已知菱形ABCD的頂點A,C在橢圓x2+3y2=4上,對角線BD所在直線的斜率為1.(1)當直線BD過點(0,1)時,求直

10、線AC的方程;(2)當ABC=60°時,求菱形ABCD面積的最大值.解:(1)由題意得直線BD的方程為y=x+1.四邊形ABCD為菱形,ACBD.設(shè)直線AC的方程為y=-x+n.由得4x2-6nx+3n2-4=0.A,C在橢圓上,=-12n2+64>0,解得.設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n.y1+y2=,AC的中點坐標為.由四邊形ABCD為菱形可知,點在直線y=x+1上.,解得n=-2.直線AC的方程為y=-x-2,即x+y+2=0.(2)四邊形ABCD為菱形,且ABC=60°,|AB|=|BC|=|CA|.S

11、菱形ABCD=.由(1)知|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=S菱形ABCD=當n=0時,S菱形ABCD取得最大值.(文)已知ABC的頂點A,B在橢圓x2+3y2=4上,C在直線l:y=x+2上,且ABl.(1)當AB邊通過坐標原點O時,求AB的長及ABC的面積;(2)當ABC=90°,且斜邊AC的長最大時,求AB所在直線的方程.解:(1)因為ABl,且AB邊通過點(0,0),所以AB所在直線的方程為y=x.設(shè)A,B兩點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).由得x=±1.所以|AB|=|x1-x2|=.又因為AB邊上的高h等于原點到直線l的距離,所以h=,S

12、ABC=.(2)設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m.由得4x2+6mx+3m2-4=0.因為A,B在橢圓上,所以=-12m2+64>0.設(shè)A,B兩點坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則.所以|AB|=|x1-x2|=.又因為BC的長等于點(0,m)到直線l的距離,即|BC|=,所以|AC|2=|AB|2+|BC|2=-m2-2m+10=-(m+1)2+11.所以當m=-1時,AC邊最長.(這時=-12+64>0)此時AB所在直線的方程為y=x-1.教學參考例題 志鴻優(yōu)化系列叢書【例1】已知橢圓M的兩焦點坐標分別為F1(-1,0),F2(1,0),離心率,P是橢圓M上的動點.(

13、1)求橢圓M的方程;(2)設(shè)=m,求m的取值范圍.(3)求的取值范圍.解:(1)由已知得c=1,a=2,b=,即橢圓M的方程為.(2)設(shè)P點的坐標為(x0,y0),則x0-2,2,又=e(x0+)=a+ex0,m=2ex0=x0-2,2.(3)=m,=4,=, =.cos,=.又m-2,2,2,3.【例2】已知橢圓 (a>b>0),長軸兩端點為A、B,如果橢圓上存在一點Q,使AQB=120°,求這個橢圓的離心率的范圍.解:如圖,根據(jù)橢圓的對稱性,不妨設(shè)Q在x軸上方,設(shè)Q點坐標為(x0,y0),直線QA、QB的斜率分別為k1、k2.又A(-a,0)、B(a,0),由于直線QA到直線QB的角是120°,整理得. 點Q在橢圓上,即,代入得.0<y0b,0<,即.3c44a2(a2-c2),即3c4+4a2c2-4a40.故3e4+4e2-40,.又e<1,.【例3】如圖,點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點,點F是橢圓的右焦點,點P在橢圓上,且位于x軸上方,PAPF.(1)求點P的坐標;(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點,M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.解:(1)由已知可得點A