3-第3章-單自由度體系的振動分析匯總

1、第第 3 章章 單自由度體系的振動分析單自由度體系的振動分析3.1 單自由度體系的自由振動分析單自由度體系的自由振動分析 3.1.1 無阻尼自由振動無阻尼自由振動 3.1.2 阻尼自由振動阻尼自由振動 3.1.3 確定體系阻尼比的一種方法確定體系阻尼比的一種方法3.2 單自由度體系受迫振動單自由度體系受迫振動 3.2.1 簡諧荷載作用下的動力響應分析簡諧荷載作用下的動力響應分析 3.2.2 周期荷載作用下的動力響應分析周期荷載作用下的動力響應分析 3.2.3 任意荷載作用下的動力響應分析任意荷載作用下的動力響應分析 3.2.4 突加荷載作用下的動力響應分析突加荷載作用下的動力響應分析 3.2.

2、5 矩形脈沖荷載作用下的動力響應分析矩形脈沖荷載作用下的動力響應分析 3.2.6 三角形脈沖荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力響應三角形脈沖荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力響應3.1 單自由度體系的自由振動分析單自由度體系的自由振動分析 最簡單的由剛體、彈簧和阻尼器組成的單自由度體系最簡單的由剛體、彈簧和阻尼器組成的單自由度體系. 已經(jīng)得到單自由度體系的運動方程：已經(jīng)得到單自由度體系的運動方程：kcm( )yt( )F t)(tFkyycymP （3-1） 這個運動方程也適用于可轉(zhuǎn)換為單自由度體系的任何復這個運動方程也適用于可轉(zhuǎn)換為單自由度體系的任何復雜結(jié)構(gòu)體系的廣義坐標反應。雜結(jié)構(gòu)體系的廣義坐標反應。 0 kyycy

3、m （3-2） 運動方程：運動方程： 等效動荷載為零的情況下的振動稱為等效動荷載為零的情況下的振動稱為自由振動自由振動。定義定義 自由振動產(chǎn)生的原因：自由振動產(chǎn)生的原因：初始時刻的干擾！初始時刻的干擾！ 初始位移；初始速度；初始位移初始位移；初始速度；初始位移+ +初始速度初始速度 結(jié)構(gòu)受外部干擾后發(fā)生振動，而在干擾消失后繼續(xù)振動，結(jié)構(gòu)受外部干擾后發(fā)生振動，而在干擾消失后繼續(xù)振動，這種振動稱為結(jié)構(gòu)的這種振動稱為結(jié)構(gòu)的自由振動自由振動。(第二章）第二章）如果去掉外荷載如果去掉外荷載FP(t)=0!kcm( )yt( )F t （3-23-2）稱為（二階線性常系數(shù)）稱為（二階線性常系數(shù)）齊次方程；

4、齊次方程； 0 kyycym （3-2） 齊次方程：齊次方程： 可設齊次方程解的形式為：可設齊次方程解的形式為： stGety )(（3-3）02 stGekcsms)( 其特征方程為：其特征方程為： 022 smcs或：或： 代入（代入（3-23-2）可得：）可得： 02 )(kcsms（3-4）stGsety )( steGsty2 )( 齊次方程求解：齊次方程求解： 式中式中 2=k/m， 是體系振動的是體系振動的圓頻率圓頻率。 根據(jù)阻尼系數(shù)根據(jù)阻尼系數(shù)c c值的不同，解出的特征參數(shù)值的不同，解出的特征參數(shù)s s 值將具有不值將具有不同的特性。同的特性。 3.1.1 無阻尼自由振動無阻尼

5、自由振動 If c=0： 特征方程：特征方程： 022 smcs0 kyycym （3-2） 自由振動方程：自由振動方程： is （3-9）titieGeGty 21)( 引入引入Euler方程：方程： 代入代入(3-2)得：得： titeti sincos （3-10） A和和B是由初始條件決定的常數(shù)。是由初始條件決定的常數(shù)。得無阻尼得無阻尼自由振動的自由振動的位移反應：位移反應： tBtAty cossin)( （3-12） 設設t=0時：時：00yy )(00yy )(tBtAty cossin)( 代入：代入：tBtAty sincos)( 0y0B0y A0yB 代入：代入： 0yA

6、 單自由度無阻尼體系運動方程的解：單自由度無阻尼體系運動方程的解：tytyty cossin)(00 （3-13） 或?qū)懗桑夯驅(qū)懗桑?sin()( tty（3-14） 位移反應：位移反應： tBtAty cossin)( （3-12）0tytyty cossin)(00 （3-13）bababacossinsincos)sin( 三角關(guān)系：三角關(guān)系： 對比對比(3-13)： b t ; a 0y 0y 顯然有：顯然有： cos 0y sin 0y 證明：證明：ttty cossinsincos)( 可寫成：可寫成：)sin()( tty（3-14）2020yy 00yy arctan ty0

7、. .y0 RI y0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0 y0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 .

8、 .y0 RI ty0 . .y0ty0. .y0 . .y0 RI ty0 . .y0ttytyty cossin)(00 （3-13）)sin()( tty（3-14） 物理意義：物理意義： tytyty cossin)(00 （3-13）)sin()( tty（3-14） 物理意義：物理意義： 2 - -tcos( ) t-cos ty0sin ty0 . . y0. .y0 . .y0 RI t t ty0 . .y0 2 - -T= 2 T= 2 T= 2 定義對于無阻尼體系，運動完全是反復進行的。運動的最大位移對于無阻尼體系，運動完全是反復進行的。運動的最大位移稱為稱為振幅振幅。運

9、動完成一個完整循環(huán)所需時間稱為運動完成一個完整循環(huán)所需時間稱為自振周期自振周期，由于對應每由于對應每個角增量個角增量 2 便發(fā)生一個完整循環(huán)，自振周期就是便發(fā)生一個完整循環(huán)，自振周期就是： ）秒秒；（弧弧度度rad/s / mk 單位時間內(nèi)的循環(huán)次數(shù)稱為單位時間內(nèi)的循環(huán)次數(shù)稱為自振頻率自振頻率： ）（秒；（秒； sec kmT 22 ）秒；秒；（次（次Hz/ 21 Tf T)sin()( tty1sect 運動的角速度稱為自振運動的角速度稱為自振圓頻率圓頻率：簡支梁的自振頻率簡支梁的自振頻率mEIl01 yycym 已知：已知： 由第由第2 2章我們已經(jīng)推導出用柔度表示的簡支梁的運動方程：章我

10、們已經(jīng)推導出用柔度表示的簡支梁的運動方程： （2-5）)(tFyycymE 1 令體系的令體系的等效動荷載等效動荷載FE(t)=0，則則簡支梁的自由振動方程為：簡支梁的自由振動方程為： 根據(jù)定義：等效動荷載為零的情況下產(chǎn)生的振動稱為根據(jù)定義：等效動荷載為零的情況下產(chǎn)生的振動稱為自由振動自由振動。 1 k，則可導出：，則可導出：stgPgmggmmk 1mmgststgPgmggmmk 1簡支梁自振頻率的這些表達式說明：簡支梁自振頻率的這些表達式說明： 為為在質(zhì)量自由度方向加單位力所引起的位移在質(zhì)量自由度方向加單位力所引起的位移！ stst表示表示由于重力由于重力mg引起的靜力位移引起的靜力位移

11、！對單自由度體系，自振頻率可以用剛度對單自由度體系，自振頻率可以用剛度k、柔度、柔度 或靜或靜撓度撓度 stst按上式計算；按上式計算；簡支梁的自振頻率簡支梁的自振頻率 是結(jié)構(gòu)剛度是結(jié)構(gòu)剛度k 和質(zhì)量和質(zhì)量m 決定的固有決定的固有特性；特性；結(jié)構(gòu)的自振頻率結(jié)構(gòu)的自振頻率 隨剛度隨剛度k 增大而增大；隨質(zhì)量增大而增大；隨質(zhì)量m 增大增大而減??；而減??；結(jié)構(gòu)的自振頻率結(jié)構(gòu)的自振頻率 隨靜撓度隨靜撓度 stst增大而減小。增大而減小。例例3-0 比較圖示三種單自由度梁的圓頻率。比較圖示三種單自由度梁的圓頻率。mEIl/2l/2mEIl/2l/2mEIl/2l/2梁的自振頻率為：梁的自振頻率為： m1

12、 解解 按各梁的單位彎矩圖，求梁的按各梁的單位彎矩圖，求梁的 ：4Pl325Pl163Pl8Pl8Pl8PlEIl4831 EIl768732 EIl19233 三種情況的頻率：三種情況的頻率：3148mlEI327768mlEI33192mlEI三種情況的頻率比：三種情況的頻率比：2:51. 1 : 1:3213.1.2 阻尼自由振動阻尼自由振動 對于有阻尼的單自由度體系對于有阻尼的單自由度體系 特征方程：特征方程： 022 smcs0 kyycym （3-2） 自由振動方程：自由振動方程： 則：則： 0 c2222 mcmcs隨著根號中值的符號的不同，這個表達式可以描述隨著根號中值的符號的

13、不同，這個表達式可以描述臨界臨界阻尼、低阻尼阻尼、低阻尼和和超阻尼超阻尼三種體系的運動型式。三種體系的運動型式。本課程只講本課程只講臨界阻尼臨界阻尼和和低阻尼低阻尼兩種情況。兩種情況。1.1.臨界阻尼臨界阻尼 當根式中的值為零時，對應的阻尼值稱為當根式中的值為零時，對應的阻尼值稱為臨界阻尼，記，記作作cc。顯然，應有。顯然，應有cc/2m= ，即：，即： 特征方程：特征方程： 2222 mcmcs mcc2 這時，對應的這時，對應的s 值為值為 ： 0 kyycym （3-2） 自由振動方程：自由振動方程： 臨界阻尼自由振動方程的解為：臨界阻尼自由振動方程的解為： mcssc221/（3-15

14、）tetGGty )()(21（3-16）y0( ) ty( )+etytyt1+00.ty0. 由初始條件：由初始條件： 0000yyyy)()( 得到臨界阻尼體系反應的最終形式：得到臨界阻尼體系反應的最終形式： 臨界阻尼位移解：臨界阻尼位移解： tetytyty )()(001 臨界阻尼體系反應臨界阻尼體系反應不是簡諧振動，體系的位移反應從開始時的不是簡諧振動，體系的位移反應從開始時的，依照指數(shù)規(guī)律衰減，回復到零點。依照指數(shù)規(guī)律衰減，回復到零點。 teGtGty 211)()( 臨界阻尼臨界阻尼的物理意義的物理意義是：是：在自由振動反應在自由振動反應中不出現(xiàn)震蕩所需要中不出現(xiàn)震蕩所需要的最

15、小阻尼值的最小阻尼值。 速度解：速度解： 00201yyGyGtetGGty )()(21（3-16）2.2.低阻尼低阻尼 特征方程：特征方程： 2222 mcmcs0 kyycym （3-2） 自由振動方程：自由振動方程： 如果體系的阻尼比臨界阻尼小，則顯然有如果體系的阻尼比臨界阻尼小，則顯然有c/2m ，這時，特，這時，特征方程根式中的值必然為負值，則征方程根式中的值必然為負值，則s 值成為值成為： 2222 mcimcs 引入符號引入符號： mcccc2 2221 iis)( 其中其中 表示體系阻尼與臨界阻尼的比值，稱為表示體系阻尼與臨界阻尼的比值，稱為阻尼比阻尼比，則：，則： mc2

16、成為：成為： dis tittitddeGeGty 21)(0 kyycym 低阻尼自由振動方程：低阻尼自由振動方程： 的解為：的解為： titeti sincos 引入引入Euler方程：方程： 21 d 引入符號引入符號： 其中其中 d 稱為有稱為有阻尼振動頻率阻尼振動頻率。21 is 則則 )(tititddeGeGe 21)cossin()(tBtAetyddt （3-18） 則則 tytyyetydddtcossin)(000 利用初始條件：利用初始條件：00yy )(00yy )( 得到得到低低阻尼體系阻尼體系動力動力反應的最終形式反應的最終形式： )cossin()(tBtAet

17、yddt （3-18）)sincos()cossin()(tBtAetBtAetyddddtddt 0yB Ayyd 00dyyA 00 寫成矢量表達式：寫成矢量表達式：)sin()(d tetyt運動的振幅（矢量的模）和初相位分別為：運動的振幅（矢量的模）和初相位分別為： 20020 d yyy 000yyydarctan（3-20） tytyyetydddtcossin)(000 低低阻尼體系阻尼體系動力動力反應反應： y0RIty0.x(t)et2DT =Dt)sin()(d tetyt 物理意義：物理意義： 低阻尼體系的自由振動具有低阻尼體系的自由振動具有不變的圓頻率不變的圓頻率 d

18、，并圍繞中，并圍繞中心位置振蕩，而其振幅則心位置振蕩，而其振幅則隨時間隨時間呈指數(shù)呈指數(shù)e-t 衰減衰減。如果。如果反應的時間足夠長，最終會衰減到零。反應的時間足夠長，最終會衰減到零。 3.1.3 確定體系阻尼比的一種方法確定體系阻尼比的一種方法)sin()(d tetyt 體系的阻尼比可以通過測試體體系的阻尼比可以通過測試體系運動的衰減規(guī)律得到：系運動的衰減規(guī)律得到： 阻尼體系動力反應：阻尼體系動力反應： 體系從任一時刻經(jīng)幾個周期后體系從任一時刻經(jīng)幾個周期后的振幅比為：的振幅比為： d nTnnTtttteeeeyykknkk2 取對數(shù)后：取對數(shù)后：dln nyynkktt2 nkkttyy

19、n ln21d ty(t)ettkt +nTk0kte d/ 2T)(nTtke（3-21）nkkttyyn ln21 阻尼比：阻尼比： 體系阻尼的測試體系阻尼的測試：2 2）計算阻尼比：）計算阻尼比： 確定結(jié)構(gòu)體系阻尼的其它方法。確定結(jié)構(gòu)體系阻尼的其它方法。nkkttyy nkkttyyn ln21kmmc 22ty(t)et2DT=ytk+nytktkt +nTk0 e(t +nT)ketk1）實測體系經(jīng)過個周期后的位移幅值比：）實測體系經(jīng)過個周期后的位移幅值比：3 3）計算阻尼系數(shù)：）計算阻尼系數(shù)：例例3-1 計算圖示剛架的阻尼系數(shù)計算圖示剛架的阻尼系數(shù)已知：已知：26mN 105 .

20、4 EI 柱子無重柱子無重, h=3m, 剛性橫梁剛性橫梁m=5000kg 初位移初位移25mm 經(jīng)經(jīng)5個周期后測得位移個周期后測得位移7.12mm 解解 確定確定: ytk=yt0=25mm, yt5=7.12mm,計算阻尼比計算阻尼比:5ln21ttyynk 04. 012. 725ln521 計算阻尼系數(shù)：計算阻尼系數(shù)：kmmc 22kg/s 7 .113130 . 3105 . 424500004. 0236 m 1EIEIEI 25mmh3122hEIk 鋼筋混凝土和砌體結(jié)構(gòu)：鋼筋混凝土和砌體結(jié)構(gòu)： =0.02=0.020.05;0.05; 鋼結(jié)構(gòu)：鋼結(jié)構(gòu)： =0.002=0.002

21、0.02;0.02; 拱壩：拱壩： =0.03=0.030.05;0.05; 重力壩：重力壩： =0.05=0.050.1;0.1; 土壩、堆石壩：土壩、堆石壩： =0.1=0.10.20.2常用結(jié)構(gòu)的阻尼比常用結(jié)構(gòu)的阻尼比 3-2 單自由度體系受迫振動單自由度體系受迫振動 單自由度受迫振動體系的運動方程：單自由度受迫振動體系的運動方程：)(tFkyycymP （3-1） 二階常系數(shù)非齊次微分方程。全解由二階常系數(shù)非齊次微分方程。全解由通解通解和和特解特解組成：組成： )()()(tytyty21 （3-23） 通解通解y y1 1(t)由體系的自由振動反應確定：由體系的自由振動反應確定： 受

22、迫振動：受迫振動：結(jié)構(gòu)在動力荷載即外干擾力作用下產(chǎn)生的振動結(jié)構(gòu)在動力荷載即外干擾力作用下產(chǎn)生的振動。)cossin()(tBtAetyddt 1（3-18） 注意：注意：對于受迫振動體系，通解中的常數(shù)的對于受迫振動體系，通解中的常數(shù)的A A、B B 應由微應由微分方程的分方程的全解（通解全解（通解+ +特解）特解）而不能僅由通解確定！而不能僅由通解確定！ 荷載荷載FP(t)不同，微分方程的特解不同，微分方程的特解y y2 2(t)的形式是不同的。的形式是不同的。 )(tFt3-2-1 簡諧荷載作用下的動力響應分析簡諧荷載作用下的動力響應分析 簡諧荷載：簡諧荷載：FP(t)=F0sin t。 簡

23、諧荷載作用下結(jié)構(gòu)體系的運動方程：簡諧荷載作用下結(jié)構(gòu)體系的運動方程：tFkyycym sin0 （3-27）F0為荷載的幅值，為荷載的幅值， 為荷載的圓頻率。為荷載的圓頻率。0F 2（一）無阻尼體系（一）無阻尼體系 簡諧荷載作用下簡諧荷載作用下的的無阻尼體系運動方程無阻尼體系運動方程： 通解通解 齊次方程的解：齊次方程的解：tBtAty cossin)(1 特解特解 由動力荷載引起的特殊解。設：由動力荷載引起的特殊解。設：tGty sin)(2 代入代入(1)(1)式得：式得：tFkyym sin0 （1）tFtkGtGm sinsinsin02202011 kmkFmkFG202201111

24、kFkFtFtGkm sinsin)(022011 kFG 所以特解的振幅：所以特解的振幅： ：頻率比：頻率比，表示荷載頻率與體系自振頻率的比：，表示荷載頻率與體系自振頻率的比： 特解：特解： 全解：全解：tkF sin2011)()()(tytyty21 常數(shù)常數(shù)A、B 由初始條件確定。假設：由初始條件確定。假設：000 )()(yy2011 kFA0 B 解得：解得：tBtA cossintkFtBtAty cossincos)(201tGty sin)(2Why?Why?2011 kFtkF sin2011 簡諧荷載作用下無阻尼體系的動力反應為：簡諧荷載作用下無阻尼體系的動力反應為：)s

25、in(sin)(ttkFty 2011F F0 0/ /k k = = stst: : 將荷載將荷載F F0 0 靜止地放在體系上所產(chǎn)生的位移靜止地放在體系上所產(chǎn)生的位移；: :動力放大系數(shù)動力放大系數(shù)，表示簡諧荷載的，表示簡諧荷載的動力放大效應動力放大效應；211 SinSin t t：按荷載作用頻率振動的反應分量：按荷載作用頻率振動的反應分量：穩(wěn)態(tài)反應穩(wěn)態(tài)反應； SinSin t t：按體系自振頻率振動的反應分量：按體系自振頻率振動的反應分量：瞬態(tài)反應瞬態(tài)反應。 體系的動力反應由兩部分組成：體系的動力反應由兩部分組成：)sin(sin)(ttkFty 2011物理意義物理意義)(tyt)(

26、tyt2 )(tyt2 )sin(sin)(ttkFty 2011sin tkF 2011sintkF 201kF 2011kF 201SinSin t t：按：按荷載作用頻荷載作用頻率振動的反率振動的反應分量：穩(wěn)應分量：穩(wěn)態(tài)反應；態(tài)反應； SinSin t t：按體系自振按體系自振頻率振動的頻率振動的反應分量：反應分量：瞬態(tài)反應。瞬態(tài)反應。 動力放大系數(shù)：動力放大系數(shù)： 211 01.02.03.04.00123 思考：思考： =1=1時，體系的動力反應如何？時，體系的動力反應如何？)sin(sin)(ttkFty 0（二）阻尼體系（二）阻尼體系 阻尼體系運動方程：阻尼體系運動方程： 通解通

27、解 齊次方程的解：齊次方程的解： 特解特解 由動力荷載引起的特殊解。設：由動力荷載引起的特殊解。設：tFkyycym sin0 （3-27）)cossin()(tBtAetyddt 1（3-28） tGtGty cossin)(212（3-29） 由由c=2m， 2 2= =k/m,(3-27),(3-27)式可寫作：式可寫作：tmFyyy sin022 （3-27）tmFyyy sin022 （3-27）tGtGty cossin)(212（3-29） 對對y y2 2(t)求導：求導：tGtGty sincos)(212tGtGty cossin)(22212 運動方程：運動方程： 代入方

28、程（代入方程（3-273-27）：）：tGtG cossin2221tGtG sincos2122tGtG cossin2212tmF sin0 tGGGtmFGGG cossin2212202122122變量變量t t為任意值時，等式均恒成立的條件？為任意值時，等式均恒成立的條件？ 020222122021221GGGmFGGG 即：即： 由此可解出系數(shù)：由此可解出系數(shù)： 22202222201212211kFGkFG（3-30） 代入方程的特解：代入方程的特解：tGtGty cossin)(212 ttkFty cossin)()(21211222202)()()(tytyty21 方程的

29、全解：方程的全解：)cossin(tBtAeddt （3-31） ttkF cos)sin(2121122220第一項按自振頻率第一項按自振頻率 d 振動，是由初始條件確定的自由振動反應。振動，是由初始條件確定的自由振動反應。由于實際結(jié)構(gòu)中阻尼的存在，這一項很快會被衰減為零，即由于實際結(jié)構(gòu)中阻尼的存在，這一項很快會被衰減為零，即瞬態(tài)反應；第二項按荷載頻率振動，即第二項按荷載頻率振動，即穩(wěn)態(tài)反應；有些場合，如沖擊荷載、地震等，應分析瞬態(tài)反應有些場合，如沖擊荷載、地震等，應分析瞬態(tài)反應；一般情況下，瞬態(tài)反應對結(jié)構(gòu)強迫振動分析的意義不大，這里一般情況下，瞬態(tài)反應對結(jié)構(gòu)強迫振動分析的意義不大，這里主要

30、討論穩(wěn)態(tài)反應的特性。主要討論穩(wěn)態(tài)反應的特性。 ttkFty cossin)()(2121122220 諧振荷載作用下單自由度體系的穩(wěn)態(tài)反應解為：諧振荷載作用下單自由度體系的穩(wěn)態(tài)反應解為： ttysin)(（3-32） 2222222220212211 )()()()(kF)(arctan212 反應振幅：反應振幅：相位差：相位差： 2220211 kF這個強迫振動的解是由這個強迫振動的解是由正弦正弦和和余弦余弦兩個三角函數(shù)組合而成的，兩個三角函數(shù)組合而成的，它同樣描述了一個簡諧運動，也就是位移隨時間呈正弦變化。它同樣描述了一個簡諧運動，也就是位移隨時間呈正弦變化。這個運動也可以用矢量表示：這個

31、運動也可以用矢量表示： ttkFty cossin)()(2121122220 ttysin)(物理意義物理意義tIG1G2T=2tRG2G12-t2- -tsin tG1 cosG2t sin( ) t- 穩(wěn)態(tài)反應：穩(wěn)態(tài)反應：與外荷載同頻率與外荷載同頻率 但存在一定但存在一定相位差相位差 ；這里的這里的相位差相位差表示表示反應的相位比荷載相位反應的相位比荷載相位所落后的角度所落后的角度。F F0 0/ /k k = = stst: : 荷載荷載F F0 0 產(chǎn)生的靜位移；產(chǎn)生的靜位移； 反應的振幅與所引起的靜位移的比值稱為反應的振幅與所引起的靜位移的比值稱為動力放大系數(shù)動力放大系數(shù)： 222

32、211 st （3-32） 動力反應：動力反應： 動力放大系數(shù)是頻率和阻尼的函數(shù)。動力放大系數(shù)是頻率和阻尼的函數(shù)。 ttysin)( =0時：時： 211 反應與外荷載同步！反應與外荷載同步！( 1) ttkFty cos)sin()()()(21211222200122 )(arctantkFty sin)(201101.02.03.04.00123 動力放大系數(shù)：動力放大系數(shù)： 222211 0 0.15 0.20 0.25 0.30 0.50 1.0 0.70 01230901800 0.15 0.20 0.25 0.05 0.30 0.50 1.0 0.70 0122 )(arctan

33、 相頻特性：相頻特性： 越小，體系反應越大；越小，體系反應越大； 01.02.03.04.001230 0.15 0.20 0.25 0.30 0.50 1.0 0.70 遠小于遠小于 時時， 1： 1 1：加載很慢，慣性力和阻尼力很小，接近靜力反應，：加載很慢，慣性力和阻尼力很小，接近靜力反應， 0。 0 0：質(zhì)量振幅很小，慣性力很大，：質(zhì)量振幅很小，慣性力很大， 接近于接近于180度度。 接近于接近于 時時， 1： 增加很快增加很快： 接近于接近于90度度。反應的峰值出現(xiàn)在頻率比接近。反應的峰值出現(xiàn)在頻率比接近1的的地方。當作用荷載的頻率等于體系自振頻率時的狀態(tài)，稱體系地方。當作用荷載的頻

34、率等于體系自振頻率時的狀態(tài)，稱體系發(fā)生發(fā)生共振共振。 222211 01230901800 0.15 0.20 0.25 0.05 0.30 0.50 1.0 0.70 212 arctan( )y ttt無阻尼體系阻尼體系(a)(b)( )y t21 212 arctan 222211 發(fā)生共振時發(fā)生共振時： 90 21 的極值的極值： 動力系數(shù)與阻尼成反比！動力系數(shù)與阻尼成反比！2121 max221 時：時： 共振可能導致結(jié)構(gòu)破壞！共振可能導致結(jié)構(gòu)破壞！ 在工程設計時，應通過調(diào)整結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量控制頻率，避免在工程設計時，應通過調(diào)整結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量控制頻率，避免接近荷載頻率，防止共振發(fā)生

35、！接近荷載頻率，防止共振發(fā)生！ 在共振區(qū)（在共振區(qū)（0.75 1.250.75 1.25），外荷載主要由阻尼平衡！），外荷載主要由阻尼平衡！ 遠小于遠小于 時時， 1： 1 1：加載很慢，慣性力和阻尼力很小，接近靜力反應，：加載很慢，慣性力和阻尼力很小，接近靜力反應， 0。 0 0：質(zhì)量振幅很小，慣性力很大，：質(zhì)量振幅很小，慣性力很大， 接近于接近于180度度。 接近于接近于 時時， 1： 增加很快增加很快： 接近于接近于90度度。反應的峰值出現(xiàn)在頻率比接近。反應的峰值出現(xiàn)在頻率比接近1的的地方。當作用荷載的頻率等于體系自振頻率時的狀態(tài)，稱體系地方。當作用荷載的頻率等于體系自振頻率時的狀態(tài)，稱

36、體系發(fā)生發(fā)生共振共振。在共振區(qū)（在共振區(qū)（0.75 1.250.75 1.25），外荷載主要由阻尼平衡！），外荷載主要由阻尼平衡！ 加速度很小，外荷載主要由彈性力平衡！加速度很小，外荷載主要由彈性力平衡！ 位移很小，外荷載主要由慣性力平衡！位移很小，外荷載主要由慣性力平衡！ tFtFP sin)(0 )sin()(0 tkFty)sin()(20 tkFty )sin(20 tFymFI )cos()(0 tkFty )cos(220 tFymFD)sin(0 tFFS 例例3-2 3-2 求圖示結(jié)構(gòu)的最大動位移和最大動彎矩求圖示結(jié)構(gòu)的最大動位移和最大動彎矩已知：已知： =0.6 ；不計阻尼。

37、；不計阻尼。 解解 EIlFyst4830 60. 5625160111122. mEIl/2l/2tF sin0EIlFyyst485625130 .max1） 計算最大動位移：計算最大動位移：計算動力系數(shù)：計算動力系數(shù)：確定動力振幅作用下的靜位移；確定動力振幅作用下的靜位移；求出單位力作用下的撓度：求出單位力作用下的撓度：最大動位移：最大動位移：體系為單自由度體系為單自由度: 質(zhì)量的豎向位移質(zhì)量的豎向位移y(t)。)(tyEIl483 4Pl2） 計算最大動彎矩：計算最大動彎矩：作用在質(zhì)量上的合力：作用在質(zhì)量上的合力：體系位移：體系位移：最大動彎矩：最大動彎矩：mEIl/2l/2tF si

38、n0)(tystMlFlFM 440maxmax 例例3-23-2tkFty sin)(0)()(tymtFI )()(tFtFFIP 222111tFF sin0慣性力：慣性力：4PltkFm sin20tF sin022tF sin02tFtF sinsin020IF荷載不作用在質(zhì)點上時荷載不作用在質(zhì)點上時 i ! ! 不同截面對應的動彎矩和靜彎矩的比值也不同！不同截面對應的動彎矩和靜彎矩的比值也不同！最大動彎矩：最大動彎矩：mEIl/2l/2tF sin0stiMM max 例例3-23-2內(nèi)力放大系數(shù)：內(nèi)力放大系數(shù)：stiMMmax 荷載作用在質(zhì)點上時荷載作用在質(zhì)點上時 i = ；mE

39、Ilqsin0tWhy?mEIl/2tF sin0l/4l/43-2-2 周期荷載作用下的動力響應分析周期荷載作用下的動力響應分析 對于任意周期性荷載，可展開成傅里葉級數(shù)。對于任意周期性荷載，可展開成傅里葉級數(shù)。tTnbtTnaatFnPnnPnP 11022sincos)(（3-34） PPPTPPPnTPPPnTPPtdtTntFTbtdtTntFTadttFTa000022221sin)(cos)()(（3-35） 其中：其中：靜荷載靜荷載余弦函數(shù)余弦函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)周期荷載周期荷載簡諧荷載是任意簡諧荷載是任意周期荷載的一個周期荷載的一個特例，是級數(shù)中特例，是級數(shù)中的一項。的一項。F

40、 (t)tPTpTpTptF (t)PTPTPTPtTtFP 2sin)(不考慮阻尼時：不考慮阻尼時：對第對第n項項正弦正弦和和余弦余弦荷載，體系的運動方程為：荷載，體系的運動方程為：靜荷載靜荷載余弦函數(shù)余弦函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)tbkyymnn sin tTnbtTnaatFnPnnPnP 11022sincos)(周期荷載的傅里葉級數(shù)：周期荷載的傅里葉級數(shù)：tkbtynnnns sin)(PnTn 2其中：其中： nn211nn takyymnn cos tkatynnnnc cos)(體系的總位移可利用體系的總位移可利用疊加原理疊加原理求得：求得：對應的解為：對應的解為： 120111nn

41、nnnntbtaaktysincos)(（3-36） 靜位移靜位移余弦位移余弦位移正弦位移正弦位移 ttkFty cos)sin()(2121122220tFkyycym sin0 已知有阻尼體系：已知有阻尼體系：解為：解為： 22220222201211212kFGkFGtGtGty cossin)(212tGtGty sincos)(212tGtGty cossin)(22212 可設特解為：可設特解為：tFkyycym cos0 對有阻尼體系：對有阻尼體系：（a）（a） ttkFty )cos(sin)(22220212211解為：解為：有阻尼體系：有阻尼體系：考慮阻尼時：考慮阻尼時：對

42、用傅里葉級數(shù)表示的周期荷載，體系的運動方程為：對用傅里葉級數(shù)表示的周期荷載，體系的運動方程為：tTnbtTnaakyycymnPnnPn 11022sincos ttkFty cos)sin()(2121122220tFkyycym sin0 tbkyycymnn sin ttkbtynnnnnnn cos)sin()(212112222 ttkFty )cos(sin)(2222012211tFkyycym cos0 ttkatynnnnnnn )cos(sin)(222212211對正弦項對正弦項：takyycymnn cos 對余弦項對余弦項：體系的穩(wěn)態(tài)解可用利用體系的穩(wěn)態(tài)解可用利用疊加

43、原理疊加原理求得：求得： tbatbaaktynnnnnnnnnnnnncossin)(211221112122220（3-37）PnTn 2其中：其中： nntTnbtTnaakyycymnPnnPn 11022sincos ttkbtynnnnnnn cos)sin()(212112222 ttkatynnnnnnn )cos(sin)(222212211正弦項解正弦項解：余弦項解余弦項解：3-2-3 任意荷載作用下的動力響應分析任意荷載作用下的動力響應分析（一）脈沖荷載作用下的動力響應（一）脈沖荷載作用下的動力響應 瞬時沖量瞬時沖量：脈沖荷載脈沖荷載在極短時間在極短時間t 0內(nèi)給內(nèi)給予振

44、動物體的沖量：予振動物體的沖量：tPI 0 動量增值動量增值：t =0時，瞬時沖量時，瞬時沖量I 作用于質(zhì)作用于質(zhì)點上點上m，使其增加動量，記作：，使其增加動量，記作： 假設沖擊之前的初始位移和初始速度均為零，則沖量假設沖擊之前的初始位移和初始速度均為零，則沖量I 全部全部傳給質(zhì)點傳給質(zhì)點m ，即，即I =D，就有：，就有：0ymD 00ymtP tmPy 00 瞬時沖量瞬時沖量I 作用下質(zhì)點獲得的初速度：作用下質(zhì)點獲得的初速度：p(t)tp0t 由于瞬時沖量由于瞬時沖量I 作用時間很短作用時間很短t 0，質(zhì)點獲得初速度后還未來得及產(chǎn)生質(zhì)點獲得初速度后還未來得及產(chǎn)生位移沖量即行消失，體系將產(chǎn)生

45、自位移沖量即行消失，體系將產(chǎn)生自由振動。由振動。 tytyyetydddtcossin)(0000 kyycym 自由振動方程：自由振動方程： 位移反應：位移反應： 因為因為 y0=0，tmPy 00 脈沖荷載脈沖荷載 作用下體系的位移反應為作用下體系的位移反應為：tmtPetyddt sin)( 0p(t)tp0tdtF (t)P（二）任意荷載作用下（二）任意荷載作用下 的動力響應的動力響應 任一時刻任一時刻 t = 時的脈沖作用下，體系的位移反應：時的脈沖作用下，體系的位移反應：tmtPetyddt sin)( 0)(sind)()(dd)(dP temFtyt tttemFty0d)(s

46、in)()(d)(dP根據(jù)根據(jù)疊加原理疊加原理，體系在任意荷載下的反應可以看作是體系在任意荷載下的反應可以看作是一系列脈一系列脈沖連續(xù)作用沖連續(xù)作用的結(jié)果的結(jié)果：)( PFP0dtt tt)( PF 任意荷載：任意荷載：由一系列連續(xù)發(fā)生的脈沖荷載組成！由一系列連續(xù)發(fā)生的脈沖荷載組成！t- From（3-24）)(tFkyycymP （3-1） 即對單自由度受迫振動體系的運動方程：即對單自由度受迫振動體系的運動方程：的一個特解是：的一個特解是： 稱為稱為Duhamel 積分積分。 定義定義單位脈沖響應函數(shù)單位脈沖響應函數(shù)： tttemFty02d)(sin)()(d)(dP（3-24）)(sin

47、)(d)(d temtht1（3-25） 則（則（3-24）式成為）式成為卷積積分卷積積分： tthFty02d)()()(P 方程的全解：方程的全解：)(ty（3-26）)cossin(tBtAeddt tthF0d)()(PF(t)tdF1F0pt -Fk1 1kFttDuhamel 積分積分的物理意義的物理意義整個荷載時程可以看整個荷載時程可以看作是由一系列連續(xù)的作是由一系列連續(xù)的短脈沖所組成短脈沖所組成 所有的脈沖反應均按所有的脈沖反應均按同樣的圓頻率、同樣同樣的圓頻率、同樣的衰減規(guī)律振動的衰減規(guī)律振動體系的動力反應可以體系的動力反應可以將將0 t 時段內(nèi)所有時段內(nèi)所有荷載時程荷載時程

48、FP(t) 所激所激勵的在時刻勵的在時刻t 的全部的全部微分反應相加獲得微分反應相加獲得 每個短脈沖都激起結(jié)每個短脈沖都激起結(jié)構(gòu)的振動構(gòu)的振動 每個短脈沖的幅值是每個短脈沖的幅值是不同的不同的 問題：問題： Duhamel 積積分的使用條件？分的使用條件？sin ( )-tm1dF1de-( )t 1-dsin ( )-tmdFde-( )t-dsin ( )-tmkdFkde-( )tk-dsin tm0dFde-tdy(t)每個脈沖在每個脈沖在t 時刻都時刻都有反應有反應 3-2-4 突加荷載作用下的動力響應分析突加荷載作用下的動力響應分析 突加荷載：突加荷載： 0000tFttFP)( 特解：特解：)(tFkyycymP kFyyst02 全解：全解：kFtBtAetyddt0 )cossin()( 初始條件初始條件000 yykFB0 dkFA 0 FPt0F)sincos()cossin()(tBtAetBtAetyddddtddt 突加荷載作用下零初始條件的