同濟第3版-高數-(53)第三節(jié)定積分換元法和分部積分法

1、 在在 f( x )、g( x )原函數存在的條件下，不定積分有原函數存在的條件下，不定積分有分項積分法則分項積分法則 f( x ) g( x )d x = f( x )d x g( x )d x . . 若若 f( x )、g( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b 上的定積分存在，則上的定積分存在，則有定積分性質有定積分性質 因此不定積分分項積分法則可直接轉換為定積分的因此不定積分分項積分法則可直接轉換為定積分的分項積分法則。分項積分法則。 dddbbbaaaxfxgxfgxxxx. 若若 f( x )有原函數有原函數 F( x )， ( x )可微，則有不定積可微，則有不定積分湊微分法則分湊

2、微分法則 f ( x ) ( x )d x = f ( x )d ( x )= d F ( x )= F ( x )+ C . . 由牛頓由牛頓 萊布尼茲公式，這一法則也可轉換為定萊布尼茲公式，這一法則也可轉換為定積分的湊微分法則，即有積分的湊微分法則，即有 bbaafxfxxxxx dd d.bbaafFxxx 引例引例：計算定積分計算定積分 被積函數為無理式，從不定積分計算考慮，宜被積函數為無理式，從不定積分計算考慮，宜采用換元法將其化為有理式積分。采用換元法將其化為有理式積分。 對此簡單無理式的情形，宜考慮作代換：對此簡單無理式的情形，宜考慮作代換： ，即即 x = ( t )= t 2

3、 - -1， 32 0d1xxx. 1txx ，即，即 x = ( t )= t 2 - -1，d x = 2t dt，于是于是 從而由牛頓萊布尼茲公式有從而由牛頓萊布尼茲公式有 1tx令令: :222421d2 d2d211xtxt tttttx 5312253CtCttt 153 12211153 txxCxxx . . 32 0d1xxxxxx 353 0761221111553. 不定積分計算目的在于求原函數，不定積分計算目的在于求原函數，當積分變量改當積分變量改變后，原函數形式也相應發(fā)生改變變后，原函數形式也相應發(fā)生改變。為求得對應于給。為求得對應于給定積分變量的原函數形式，用第二換

4、元法求不定積分定積分變量的原函數形式，用第二換元法求不定積分需作原變量回代，而原變量回代涉及代換函數需作原變量回代，而原變量回代涉及代換函數 x = ( t )的反函數計算，故第二換元法一般計算比較繁雜。的反函數計算，故第二換元法一般計算比較繁雜。 定積分計算的目的在于求值，積分變量的改變對定積分計算的目的在于求值，積分變量的改變對定積分計算并不顯得特別重要。因為當積分變量改變定積分計算并不顯得特別重要。因為當積分變量改變后，其相應的變化范圍也隨之改變，因此只要能確定后，其相應的變化范圍也隨之改變，因此只要能確定新變量相應的變化范圍，就可直接求出定積分的值，新變量相應的變化范圍，就可直接求出定

5、積分的值，這樣可不必進行原變量回代并簡化積分計算。這樣可不必進行原變量回代并簡化積分計算。 對本例，當對本例，當 x : 0 3 時時，而此時有而此時有： 故有故有 tttt 2 253 1 1 76122.1553 0 3 3 22142 1 2 0 1d2d211xttxxxtttx,: : : : ttt 21 53 76122.1553 xtt 1:.12 假定函數假定函數 f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b上連續(xù)上連續(xù)，函數函數 x = ( t )滿足條件滿足條件(1 1) ( )= a， ( )= b ；(2 2) ( t )在在 , , ( 或或 , , )上具有連續(xù)導數，且

6、其上具有連續(xù)導數，且其值域值域 R a , ,b，則有，則有 dd .bafxftxtt 由條件知，等式兩邊的被積函數在各自的積分區(qū)間由條件知，等式兩邊的被積函數在各自的積分區(qū)間上都是連續(xù)的，因此兩邊的原函數及定積分均存在。上都是連續(xù)的，因此兩邊的原函數及定積分均存在。 設設 f( x )的原函數為的原函數為 F( x )，則由牛頓，則由牛頓 萊布尼茲萊布尼茲公式有公式有 考慮考慮 f ( x ) ( x )的原函數。記的原函數。記 ( t )= F ( t ), ,則則 ( t )是由是由 F( x )和和 x = ( t )的復合函數。因此有的復合函數。因此有即即 ( t )= F ( t

7、 )是是 f ( t ) ( t )的一個的一個原函數。原函數。 d.bafxF bF ax ddd.dddFttFtftttxt 由條件由條件 ( )= a ， ( )= b 有有 因此有因此有 .FFF bF a dfttt dd .bafxftxtt 定積分分部積分法與不定積分分部積分法相對應，定積分分部積分法與不定積分分部積分法相對應，是基于不定積分的分部積分法及是基于不定積分的分部積分法及牛頓牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式而建立的一種而建立的一種定積分運算法則。定積分運算法則。 定積分分部積分法和湊定積分分部積分法和湊微分法運算相結合可將形如微分法運算相結合可將形如 的不易積出的積分

8、轉的不易積出的積分轉化為另一種形式的積分化為另一種形式的積分 進行計算。進行計算。 dbau v dbav u 設有連續(xù)可導函數設有連續(xù)可導函數 u = u( x )、v = v( x )，由乘積求由乘積求法則可得法則可得 u( x ) v ( x )= u( x ) v( x ) - - u ( x ) v( x ). 將上式看作函數等式，等式兩邊都是區(qū)間將上式看作函數等式，等式兩邊都是區(qū)間 a , ,b上上的連續(xù)函數，故兩邊在的連續(xù)函數，故兩邊在 a , ,b上求定積分有上求定積分有 由牛頓由牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 因為因為 v ( x )d x = d v，u ( x )d x

9、= d u，故有故有 dddbbbaaauvxxuvxuvxxxxxx, dbbaaxuvuvxxxx. . ddbbbaaauvvuuvxxxxxx .例例：求積分求積分 含對數函數的積分，不宜直接積分?？紤]通過含對數函數的積分，不宜直接積分?？紤]通過分部積分消去對數因子，再設法計算積分。分部積分消去對數因子，再設法計算積分。 e2 1lnd.xxx e e e222 1 1 1ddlnlnlnxxxxxxx xx e2 1e elne02lnln1 dx xxxx e32 e 112e22dln dlnxxxxx x, , 將積分重現項移至等式左端解得將積分重現項移至等式左端解得 e e2

10、32 1 112lndeln d33xxxxx x e33 112eln d39x x e33e31 11221edln399xxxxx e332 1122eed399xx e333 11212ee9272727x. .例例：設設 f( x )為為連續(xù)函數，證明連續(xù)函數，證明： 這是個積分恒等式的證明問題。由于所證式子這是個積分恒等式的證明問題。由于所證式子兩邊形式相近，可考慮等式兩邊的積分互化。兩邊形式相近，可考慮等式兩邊的積分互化。 0 0 0ddd .xxtftfuttxtu 0 0 0dddxxtftfutxtxtu 0 0 0 0dddtxtxttfufuxtxtuu 0 0 0 0

11、0ddddxtxtfutfutuu. 0 0 0 0 0 0dddddtxxttxttfuttfutfuuuu 0 0 0 0ddddxxxxxfutftxftfttttut 0d .xfttxtC. P. U. Math. Dept 楊訪楊訪 盡管盡管利用牛頓利用牛頓萊布尼茲公式定積分可通過不定萊布尼茲公式定積分可通過不定積分積分計算，但計算，但其間卻存在一個問題，因為定積分和不定其間卻存在一個問題，因為定積分和不定積分在概念上不是一回事。定積分是和式極限，只要被積分在概念上不是一回事。定積分是和式極限，只要被積函數連續(xù)，定積分就可積。不定積分是原函數簇，其積函數連續(xù)，定積分就可積。不定積分

12、是原函數簇，其可積性的意義是原函數可表為初等函數?？煞e性的意義是原函數可表為初等函數。 如果被積函數連續(xù)，但其原函數如果被積函數連續(xù)，但其原函數不能表示為初等函數，就會出現定不能表示為初等函數，就會出現定積分雖然可積，但實際卻無法求出積分雖然可積，但實際卻無法求出的情形。這也是定積分計算要的情形。這也是定積分計算要討論和解決的一類重要問題。討論和解決的一類重要問題。 dbafxFFxba 01 dlimbaniiifxxfx dFfxxx 由于定積分計算并不依賴于不定積分是否可直接積由于定積分計算并不依賴于不定積分是否可直接積出，只依賴于原函數的兩個函數出，只依賴于原函數的兩個函數 F( a

13、), , F( b )的值。因的值。因此還可考慮通過其它途徑求定積分的值，其中利用定積此還可考慮通過其它途徑求定積分的值，其中利用定積分的幾何意義及相應對稱性就是一種常用的計算方法。分的幾何意義及相應對稱性就是一種常用的計算方法。 例例：設設 f( x )在對稱區(qū)間在對稱區(qū)間 - -a , ,a 上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明： 若若 f( x )為為 - -a , ,a 上的偶函數，則上的偶函數，則 若若 f( x )為為 - -a , ,a 上的奇函數，則上的奇函數，則 所證命題實際表達了函數所證命題實際表達了函數 f( x )在區(qū)間在區(qū)間 - -a , ,a 上的積分上的積分 與其在與其在 0

14、 , ,a 上的積分上的積分 的關系。由于奇函數和偶函數在對稱區(qū)間上有明顯的的關系。由于奇函數和偶函數在對稱區(qū)間上有明顯的幾幾何對稱性，故可從分析幾何意義出發(fā)考察所證命題。何對稱性，故可從分析幾何意義出發(fā)考察所證命題。 0d2daaafxfxxx; d0aafxx. . daafxx 0dafxxyyaaaa daafxx daafxx 曲邊梯形對稱于曲邊梯形對稱于 y 軸，軸，故兩邊面積相等，且對應符故兩邊面積相等，且對應符號相同。號相同。 曲邊梯形對稱于原點，曲邊梯形對稱于原點，故兩邊面積相等，但對應符故兩邊面積相等，但對應符號相反。號相反。 ffxx ffxxxOxO 0 0ddd .a

15、aaafxfxfxxxx 為比較兩部分積分，考慮將它們化為同一區(qū)間上為比較兩部分積分，考慮將它們化為同一區(qū)間上的積分考察。的積分考察。 對第一個積分作代換對第一個積分作代換 x = - - t ，當當 x : :- - a 0 時，時，t : a 0, , 從而有從而有 0 0 0 0ddddaaaafxfftftxtttt 0dafxx. . 0 0dddaaaafxfxfxxxx 0 0 0ddd .aaafxfxxffxxxx 若若 f( x )為為- -a , ,a 上的偶函數，上的偶函數，即即 f( -x )= f( x )，則，則 若若 f( x )為為- -a , ,a上的奇函數

16、，上的奇函數，即即 f( -x )= - f( x )，則則 本題結果對定積分計算有重要作用，即若給定積分本題結果對定積分計算有重要作用，即若給定積分區(qū)間是對稱區(qū)間，應注意考察被積函數的奇偶性。區(qū)間是對稱區(qū)間，應注意考察被積函數的奇偶性。 0ddaaafxxffxxx 0 0d2d .aaxfxffxxx 0ddaaafxxffxxx 0 0d0d0.aaxxffxx例例：求積分求積分 給定積分區(qū)間為對稱區(qū)間，宜考慮利用對稱區(qū)間上給定積分區(qū)間為對稱區(qū)間，宜考慮利用對稱區(qū)間上積分的性質簡化計算。由于被積函數為偶函數，故有積分的性質簡化計算。由于被積函數為偶函數，故有 為體會利用對稱性對積分計算的

17、簡化，考察直接計為體會利用對稱性對積分計算的簡化，考察直接計算此積分的過程：算此積分的過程： 23 2coscosd.xxx 2232 02coscosd2cos1 cosdxxxxxx 22 0 02cosd2cossin dsinxxxxx x 232 2 0 0242cosdcos2cos33.xxx 23 2coscosdxxx 0 222 02cos1cosdcos1cosdxxxxxx 0 2 02cossindcossindxxxxxx 0 2 02cossindcossindxxxxxx 0 2 02cosd coscosd cosxxxx 0 332 22 0222224.c

18、oscos33333xx 2232 22coscosdcosd1cosxxxxxx 232 2 222cossind0cos3xxxx . 利用被積分函數的奇偶性簡化定積分計算是通過被利用被積分函數的奇偶性簡化定積分計算是通過被積分函數關于積分函數關于 y 軸和原點的對稱性考慮定積分的計算。軸和原點的對稱性考慮定積分的計算。實際上，根據定積分的幾何意義還可實際上，根據定積分的幾何意義還可更一般地考慮利用對稱關系來考慮更一般地考慮利用對稱關系來考慮定積分的計算。定積分的計算。 通過曲邊梯形對稱關系的分析通過曲邊梯形對稱關系的分析不僅可簡化定積分計算，還可使一不僅可簡化定積分計算，還可使一些原函數

19、不易求得的積分變得易于些原函數不易求得的積分變得易于計算。因此利用對稱關系解決定積分計算。因此利用對稱關系解決定積分計算問題也是定積分計算的重要途徑。計算問題也是定積分計算的重要途徑。例例：設設 f( x )在區(qū)間在區(qū)間 0 , ,a 上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明：( 2 ) 若若 f ( x )= f( a - - x )，則則 對于對于抽象函數的定積分關系證明問題，應先弄抽象函數的定積分關系證明問題，應先弄 清所證關系式的實質清所證關系式的實質，再根據其意義考慮相應證明。再根據其意義考慮相應證明。 第一個關系式表述的是兩函數第一個關系式表述的是兩函數 f( x )和和 f( a - - x )

20、在在同一區(qū)間同一區(qū)間 0 , ,a 上積上積分間的關系，這種關系實際取決于分間的關系，這種關系實際取決于兩函數間的關系。從直觀看，兩函數對應于兩函數間的關系。從直觀看，兩函數對應于0 , ,a 上的上的兩條曲線。其中兩條曲線。其中 y = f( a - - x )可看成是曲線可看成是曲線 y = f( x )先沿先沿 y 軸翻轉軸翻轉，再向右平移再向右平移 a 個單位得到的個單位得到的。 00 1 dd aafxfxxax , 2 00d2d aafxfxxx. .xOy yfxyfxyfaxaa 0 d afxx0 d afxax 從定積分計算的角度看，上述翻轉和平移過程對應從定積分計算的角

21、度看，上述翻轉和平移過程對應于兩次代換于兩次代換 x = - - u 和和 t = u + + a ，這兩次代換可合并為一，這兩次代換可合并為一次代換次代換 x = a - - t 因此有如下解法：因此有如下解法： 令令: : x = a - - t，則當，則當 x : 0 a 時，時，t : a 0 . . 于是有于是有 000 ddd aaafxfatftxatat 00 dd . aaftfxatax 第二個關系式第二個關系式要求在條件要求在條件 f( x )= f( a - - x )下導出下導出 為證明此關系式，也應先考察此條件的意義。為證明此關系式，也應先考察此條件的意義。 200

22、 d2d aafxfxxx . .xOyyfax yfx12xaaxOy yfxayfax12xa 由圖可見，條件由圖可見，條件 f( x )= f( a - - x )的幾何意義是曲線的幾何意義是曲線 y = f( x )關于直線關于直線 x = =1/ /2 a 對稱。因此考慮將區(qū)間對稱。因此考慮將區(qū)間 0 , ,a 上的積分上的積分拆分成兩個部分區(qū)間拆分成兩個部分區(qū)間 0, ,1/ /2 a 和和 1/ /2 a , ,a 上上的積分考察，即的積分考察，即 于是，為證所論命題可考慮證明上式第二項積分與于是，為證所論命題可考慮證明上式第二項積分與第一項積分相等。第一項積分相等。 由幾何直觀知，兩部分積分的關系對應于曲邊梯形由幾何直觀知，兩部分積分的關系對應于曲