同濟(jì)第3版-高數(shù)-(53)第三節(jié)定積分換元法和分部積分法

1、 在在 f( x )、g( x )原函數(shù)存在的條件下，不定積分有原函數(shù)存在的條件下，不定積分有分項(xiàng)積分法則分項(xiàng)積分法則 f( x ) g( x )d x = f( x )d x g( x )d x . . 若若 f( x )、g( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b 上的定積分存在，則上的定積分存在，則有定積分性質(zhì)有定積分性質(zhì) 因此不定積分分項(xiàng)積分法則可直接轉(zhuǎn)換為定積分的因此不定積分分項(xiàng)積分法則可直接轉(zhuǎn)換為定積分的分項(xiàng)積分法則。分項(xiàng)積分法則。 dddbbbaaaxfxgxfgxxxx. 若若 f( x )有原函數(shù)有原函數(shù) F( x )， ( x )可微，則有不定積可微，則有不定積分湊微分法則分湊

2、微分法則 f ( x ) ( x )d x = f ( x )d ( x )= d F ( x )= F ( x )+ C . . 由牛頓由牛頓 萊布尼茲公式，這一法則也可轉(zhuǎn)換為定萊布尼茲公式，這一法則也可轉(zhuǎn)換為定積分的湊微分法則，即有積分的湊微分法則，即有 bbaafxfxxxxx dd d.bbaafFxxx 引例引例：計(jì)算定積分計(jì)算定積分 被積函數(shù)為無理式，從不定積分計(jì)算考慮，宜被積函數(shù)為無理式，從不定積分計(jì)算考慮，宜采用換元法將其化為有理式積分。采用換元法將其化為有理式積分。 對(duì)此簡單無理式的情形，宜考慮作代換：對(duì)此簡單無理式的情形，宜考慮作代換： ，即即 x = ( t )= t 2

3、 - -1， 32 0d1xxx. 1txx ，即，即 x = ( t )= t 2 - -1，d x = 2t dt，于是于是 從而由牛頓萊布尼茲公式有從而由牛頓萊布尼茲公式有 1tx令令: :222421d2 d2d211xtxt tttttx 5312253CtCttt 153 12211153 txxCxxx . . 32 0d1xxxxxx 353 0761221111553. 不定積分計(jì)算目的在于求原函數(shù)，不定積分計(jì)算目的在于求原函數(shù)，當(dāng)積分變量改當(dāng)積分變量改變后，原函數(shù)形式也相應(yīng)發(fā)生改變變后，原函數(shù)形式也相應(yīng)發(fā)生改變。為求得對(duì)應(yīng)于給。為求得對(duì)應(yīng)于給定積分變量的原函數(shù)形式，用第二換

4、元法求不定積分定積分變量的原函數(shù)形式，用第二換元法求不定積分需作原變量回代，而原變量回代涉及代換函數(shù)需作原變量回代，而原變量回代涉及代換函數(shù) x = ( t )的反函數(shù)計(jì)算，故第二換元法一般計(jì)算比較繁雜。的反函數(shù)計(jì)算，故第二換元法一般計(jì)算比較繁雜。 定積分計(jì)算的目的在于求值，積分變量的改變對(duì)定積分計(jì)算的目的在于求值，積分變量的改變對(duì)定積分計(jì)算并不顯得特別重要。因?yàn)楫?dāng)積分變量改變定積分計(jì)算并不顯得特別重要。因?yàn)楫?dāng)積分變量改變后，其相應(yīng)的變化范圍也隨之改變，因此只要能確定后，其相應(yīng)的變化范圍也隨之改變，因此只要能確定新變量相應(yīng)的變化范圍，就可直接求出定積分的值，新變量相應(yīng)的變化范圍，就可直接求出定

5、積分的值，這樣可不必進(jìn)行原變量回代并簡化積分計(jì)算。這樣可不必進(jìn)行原變量回代并簡化積分計(jì)算。 對(duì)本例，當(dāng)對(duì)本例，當(dāng) x : 0 3 時(shí)時(shí)，而此時(shí)有而此時(shí)有： 故有故有 tttt 2 253 1 1 76122.1553 0 3 3 22142 1 2 0 1d2d211xttxxxtttx,: : : : ttt 21 53 76122.1553 xtt 1:.12 假定函數(shù)假定函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間 a , ,b上連續(xù)上連續(xù)，函數(shù)函數(shù) x = ( t )滿足條件滿足條件(1 1) ( )= a， ( )= b ；(2 2) ( t )在在 , , ( 或或 , , )上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且

6、其上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且其值域值域 R a , ,b，則有，則有 dd .bafxftxtt 由條件知，等式兩邊的被積函數(shù)在各自的積分區(qū)間由條件知，等式兩邊的被積函數(shù)在各自的積分區(qū)間上都是連續(xù)的，因此兩邊的原函數(shù)及定積分均存在。上都是連續(xù)的，因此兩邊的原函數(shù)及定積分均存在。 設(shè)設(shè) f( x )的原函數(shù)為的原函數(shù)為 F( x )，則由牛頓，則由牛頓 萊布尼茲萊布尼茲公式有公式有 考慮考慮 f ( x ) ( x )的原函數(shù)。記的原函數(shù)。記 ( t )= F ( t ), ,則則 ( t )是由是由 F( x )和和 x = ( t )的復(fù)合函數(shù)。因此有的復(fù)合函數(shù)。因此有即即 ( t )= F ( t

7、 )是是 f ( t ) ( t )的一個(gè)的一個(gè)原函數(shù)。原函數(shù)。 d.bafxF bF ax ddd.dddFttFtftttxt 由條件由條件 ( )= a ， ( )= b 有有 因此有因此有 .FFF bF a dfttt dd .bafxftxtt 定積分分部積分法與不定積分分部積分法相對(duì)應(yīng)，定積分分部積分法與不定積分分部積分法相對(duì)應(yīng)，是基于不定積分的分部積分法及是基于不定積分的分部積分法及牛頓牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式而建立的一種而建立的一種定積分運(yùn)算法則。定積分運(yùn)算法則。 定積分分部積分法和湊定積分分部積分法和湊微分法運(yùn)算相結(jié)合可將形如微分法運(yùn)算相結(jié)合可將形如 的不易積出的積分

8、轉(zhuǎn)的不易積出的積分轉(zhuǎn)化為另一種形式的積分化為另一種形式的積分 進(jìn)行計(jì)算。進(jìn)行計(jì)算。 dbau v dbav u 設(shè)有連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)設(shè)有連續(xù)可導(dǎo)函數(shù) u = u( x )、v = v( x )，由乘積求由乘積求法則可得法則可得 u( x ) v ( x )= u( x ) v( x ) - - u ( x ) v( x ). 將上式看作函數(shù)等式，等式兩邊都是區(qū)間將上式看作函數(shù)等式，等式兩邊都是區(qū)間 a , ,b上上的連續(xù)函數(shù)，故兩邊在的連續(xù)函數(shù)，故兩邊在 a , ,b上求定積分有上求定積分有 由牛頓由牛頓 萊布尼茲公式萊布尼茲公式 因?yàn)橐驗(yàn)?v ( x )d x = d v，u ( x )d x

9、= d u，故有故有 dddbbbaaauvxxuvxuvxxxxxx, dbbaaxuvuvxxxx. . ddbbbaaauvvuuvxxxxxx .例例：求積分求積分 含對(duì)數(shù)函數(shù)的積分，不宜直接積分?？紤]通過含對(duì)數(shù)函數(shù)的積分，不宜直接積分?？紤]通過分部積分消去對(duì)數(shù)因子，再設(shè)法計(jì)算積分。分部積分消去對(duì)數(shù)因子，再設(shè)法計(jì)算積分。 e2 1lnd.xxx e e e222 1 1 1ddlnlnlnxxxxxxx xx e2 1e elne02lnln1 dx xxxx e32 e 112e22dln dlnxxxxx x, , 將積分重現(xiàn)項(xiàng)移至等式左端解得將積分重現(xiàn)項(xiàng)移至等式左端解得 e e2

10、32 1 112lndeln d33xxxxx x e33 112eln d39x x e33e31 11221edln399xxxxx e332 1122eed399xx e333 11212ee9272727x. .例例：設(shè)設(shè) f( x )為為連續(xù)函數(shù)，證明連續(xù)函數(shù)，證明： 這是個(gè)積分恒等式的證明問題。由于所證式子這是個(gè)積分恒等式的證明問題。由于所證式子兩邊形式相近，可考慮等式兩邊的積分互化。兩邊形式相近，可考慮等式兩邊的積分互化。 0 0 0ddd .xxtftfuttxtu 0 0 0dddxxtftfutxtxtu 0 0 0 0dddtxtxttfufuxtxtuu 0 0 0 0

11、0ddddxtxtfutfutuu. 0 0 0 0 0 0dddddtxxttxttfuttfutfuuuu 0 0 0 0ddddxxxxxfutftxftfttttut 0d .xfttxtC. P. U. Math. Dept 楊訪楊訪 盡管盡管利用牛頓利用牛頓萊布尼茲公式定積分可通過不定萊布尼茲公式定積分可通過不定積分積分計(jì)算，但計(jì)算，但其間卻存在一個(gè)問題，因?yàn)槎ǚe分和不定其間卻存在一個(gè)問題，因?yàn)槎ǚe分和不定積分在概念上不是一回事。定積分是和式極限，只要被積分在概念上不是一回事。定積分是和式極限，只要被積函數(shù)連續(xù)，定積分就可積。不定積分是原函數(shù)簇，其積函數(shù)連續(xù)，定積分就可積。不定積分

12、是原函數(shù)簇，其可積性的意義是原函數(shù)可表為初等函數(shù)?？煞e性的意義是原函數(shù)可表為初等函數(shù)。 如果被積函數(shù)連續(xù)，但其原函數(shù)如果被積函數(shù)連續(xù)，但其原函數(shù)不能表示為初等函數(shù)，就會(huì)出現(xiàn)定不能表示為初等函數(shù)，就會(huì)出現(xiàn)定積分雖然可積，但實(shí)際卻無法求出積分雖然可積，但實(shí)際卻無法求出的情形。這也是定積分計(jì)算要的情形。這也是定積分計(jì)算要討論和解決的一類重要問題。討論和解決的一類重要問題。 dbafxFFxba 01 dlimbaniiifxxfx dFfxxx 由于定積分計(jì)算并不依賴于不定積分是否可直接積由于定積分計(jì)算并不依賴于不定積分是否可直接積出，只依賴于原函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)出，只依賴于原函數(shù)的兩個(gè)函數(shù) F( a

13、), , F( b )的值。因的值。因此還可考慮通過其它途徑求定積分的值，其中利用定積此還可考慮通過其它途徑求定積分的值，其中利用定積分的幾何意義及相應(yīng)對(duì)稱性就是一種常用的計(jì)算方法。分的幾何意義及相應(yīng)對(duì)稱性就是一種常用的計(jì)算方法。 例例：設(shè)設(shè) f( x )在對(duì)稱區(qū)間在對(duì)稱區(qū)間 - -a , ,a 上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明： 若若 f( x )為為 - -a , ,a 上的偶函數(shù)，則上的偶函數(shù)，則 若若 f( x )為為 - -a , ,a 上的奇函數(shù)，則上的奇函數(shù)，則 所證命題實(shí)際表達(dá)了函數(shù)所證命題實(shí)際表達(dá)了函數(shù) f( x )在區(qū)間在區(qū)間 - -a , ,a 上的積分上的積分 與其在與其在 0

14、 , ,a 上的積分上的積分 的關(guān)系。由于奇函數(shù)和偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上有明顯的的關(guān)系。由于奇函數(shù)和偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上有明顯的幾幾何對(duì)稱性，故可從分析幾何意義出發(fā)考察所證命題。何對(duì)稱性，故可從分析幾何意義出發(fā)考察所證命題。 0d2daaafxfxxx; d0aafxx. . daafxx 0dafxxyyaaaa daafxx daafxx 曲邊梯形對(duì)稱于曲邊梯形對(duì)稱于 y 軸，軸，故兩邊面積相等，且對(duì)應(yīng)符故兩邊面積相等，且對(duì)應(yīng)符號(hào)相同。號(hào)相同。 曲邊梯形對(duì)稱于原點(diǎn)，曲邊梯形對(duì)稱于原點(diǎn)，故兩邊面積相等，但對(duì)應(yīng)符故兩邊面積相等，但對(duì)應(yīng)符號(hào)相反。號(hào)相反。 ffxx ffxxxOxO 0 0ddd .a

15、aaafxfxfxxxx 為比較兩部分積分，考慮將它們化為同一區(qū)間上為比較兩部分積分，考慮將它們化為同一區(qū)間上的積分考察。的積分考察。 對(duì)第一個(gè)積分作代換對(duì)第一個(gè)積分作代換 x = - - t ，當(dāng)當(dāng) x : :- - a 0 時(shí)，時(shí)，t : a 0, , 從而有從而有 0 0 0 0ddddaaaafxfftftxtttt 0dafxx. . 0 0dddaaaafxfxfxxxx 0 0 0ddd .aaafxfxxffxxxx 若若 f( x )為為- -a , ,a 上的偶函數(shù)，上的偶函數(shù)，即即 f( -x )= f( x )，則，則 若若 f( x )為為- -a , ,a上的奇函數(shù)

16、，上的奇函數(shù)，即即 f( -x )= - f( x )，則則 本題結(jié)果對(duì)定積分計(jì)算有重要作用，即若給定積分本題結(jié)果對(duì)定積分計(jì)算有重要作用，即若給定積分區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間，應(yīng)注意考察被積函數(shù)的奇偶性。區(qū)間是對(duì)稱區(qū)間，應(yīng)注意考察被積函數(shù)的奇偶性。 0ddaaafxxffxxx 0 0d2d .aaxfxffxxx 0ddaaafxxffxxx 0 0d0d0.aaxxffxx例例：求積分求積分 給定積分區(qū)間為對(duì)稱區(qū)間，宜考慮利用對(duì)稱區(qū)間上給定積分區(qū)間為對(duì)稱區(qū)間，宜考慮利用對(duì)稱區(qū)間上積分的性質(zhì)簡化計(jì)算。由于被積函數(shù)為偶函數(shù)，故有積分的性質(zhì)簡化計(jì)算。由于被積函數(shù)為偶函數(shù)，故有 為體會(huì)利用對(duì)稱性對(duì)積分計(jì)算的

17、簡化，考察直接計(jì)為體會(huì)利用對(duì)稱性對(duì)積分計(jì)算的簡化，考察直接計(jì)算此積分的過程：算此積分的過程： 23 2coscosd.xxx 2232 02coscosd2cos1 cosdxxxxxx 22 0 02cosd2cossin dsinxxxxx x 232 2 0 0242cosdcos2cos33.xxx 23 2coscosdxxx 0 222 02cos1cosdcos1cosdxxxxxx 0 2 02cossindcossindxxxxxx 0 2 02cossindcossindxxxxxx 0 2 02cosd coscosd cosxxxx 0 332 22 0222224.c

18、oscos33333xx 2232 22coscosdcosd1cosxxxxxx 232 2 222cossind0cos3xxxx . 利用被積分函數(shù)的奇偶性簡化定積分計(jì)算是通過被利用被積分函數(shù)的奇偶性簡化定積分計(jì)算是通過被積分函數(shù)關(guān)于積分函數(shù)關(guān)于 y 軸和原點(diǎn)的對(duì)稱性考慮定積分的計(jì)算。軸和原點(diǎn)的對(duì)稱性考慮定積分的計(jì)算。實(shí)際上，根據(jù)定積分的幾何意義還可實(shí)際上，根據(jù)定積分的幾何意義還可更一般地考慮利用對(duì)稱關(guān)系來考慮更一般地考慮利用對(duì)稱關(guān)系來考慮定積分的計(jì)算。定積分的計(jì)算。 通過曲邊梯形對(duì)稱關(guān)系的分析通過曲邊梯形對(duì)稱關(guān)系的分析不僅可簡化定積分計(jì)算，還可使一不僅可簡化定積分計(jì)算，還可使一些原函數(shù)

19、不易求得的積分變得易于些原函數(shù)不易求得的積分變得易于計(jì)算。因此利用對(duì)稱關(guān)系解決定積分計(jì)算。因此利用對(duì)稱關(guān)系解決定積分計(jì)算問題也是定積分計(jì)算的重要途徑。計(jì)算問題也是定積分計(jì)算的重要途徑。例例：設(shè)設(shè) f( x )在區(qū)間在區(qū)間 0 , ,a 上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明：( 2 ) 若若 f ( x )= f( a - - x )，則則 對(duì)于對(duì)于抽象函數(shù)的定積分關(guān)系證明問題，應(yīng)先弄抽象函數(shù)的定積分關(guān)系證明問題，應(yīng)先弄 清所證關(guān)系式的實(shí)質(zhì)清所證關(guān)系式的實(shí)質(zhì)，再根據(jù)其意義考慮相應(yīng)證明。再根據(jù)其意義考慮相應(yīng)證明。 第一個(gè)關(guān)系式表述的是兩函數(shù)第一個(gè)關(guān)系式表述的是兩函數(shù) f( x )和和 f( a - - x )

20、在在同一區(qū)間同一區(qū)間 0 , ,a 上積上積分間的關(guān)系，這種關(guān)系實(shí)際取決于分間的關(guān)系，這種關(guān)系實(shí)際取決于兩函數(shù)間的關(guān)系。從直觀看，兩函數(shù)對(duì)應(yīng)于兩函數(shù)間的關(guān)系。從直觀看，兩函數(shù)對(duì)應(yīng)于0 , ,a 上的上的兩條曲線。其中兩條曲線。其中 y = f( a - - x )可看成是曲線可看成是曲線 y = f( x )先沿先沿 y 軸翻轉(zhuǎn)軸翻轉(zhuǎn)，再向右平移再向右平移 a 個(gè)單位得到的個(gè)單位得到的。 00 1 dd aafxfxxax , 2 00d2d aafxfxxx. .xOy yfxyfxyfaxaa 0 d afxx0 d afxax 從定積分計(jì)算的角度看，上述翻轉(zhuǎn)和平移過程對(duì)應(yīng)從定積分計(jì)算的角

21、度看，上述翻轉(zhuǎn)和平移過程對(duì)應(yīng)于兩次代換于兩次代換 x = - - u 和和 t = u + + a ，這兩次代換可合并為一，這兩次代換可合并為一次代換次代換 x = a - - t 因此有如下解法：因此有如下解法： 令令: : x = a - - t，則當(dāng)，則當(dāng) x : 0 a 時(shí)，時(shí)，t : a 0 . . 于是有于是有 000 ddd aaafxfatftxatat 00 dd . aaftfxatax 第二個(gè)關(guān)系式第二個(gè)關(guān)系式要求在條件要求在條件 f( x )= f( a - - x )下導(dǎo)出下導(dǎo)出 為證明此關(guān)系式，也應(yīng)先考察此條件的意義。為證明此關(guān)系式，也應(yīng)先考察此條件的意義。 200

22、 d2d aafxfxxx . .xOyyfax yfx12xaaxOy yfxayfax12xa 由圖可見，條件由圖可見，條件 f( x )= f( a - - x )的幾何意義是曲線的幾何意義是曲線 y = f( x )關(guān)于直線關(guān)于直線 x = =1/ /2 a 對(duì)稱。因此考慮將區(qū)間對(duì)稱。因此考慮將區(qū)間 0 , ,a 上的積分上的積分拆分成兩個(gè)部分區(qū)間拆分成兩個(gè)部分區(qū)間 0, ,1/ /2 a 和和 1/ /2 a , ,a 上上的積分考察，即的積分考察，即 于是，為證所論命題可考慮證明上式第二項(xiàng)積分與于是，為證所論命題可考慮證明上式第二項(xiàng)積分與第一項(xiàng)積分相等。第一項(xiàng)積分相等。 由幾何直觀知，兩部分積分的關(guān)系對(duì)應(yīng)于曲邊梯形由幾何直觀知，兩部分積分的關(guān)系對(duì)應(yīng)于曲