隨機過程概要及概率基礎(chǔ)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1隨機過程概要及概率隨機過程概要及概率(gil)基礎(chǔ)基礎(chǔ)第一頁，共49頁。第2頁/共49頁第二頁，共49頁。第3頁/共49頁第三頁，共49頁。概概率率論論probability theory數(shù)數(shù)理理統(tǒng)統(tǒng)計計 Mathematical statistics隨隨機機過過程程s st to oc ch ha as st ti ic c p pr ro oc ce es ss s隨隨機機數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)s st to oc ch ha as st ti ic c m ma at th he em ma at ti ic cs s隨機隨機(su j)現(xiàn)象現(xiàn)象 內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律偶然性偶然性 必然性必然性第4

2、頁/共49頁第四頁，共49頁。21191010第5頁/共49頁第五頁，共49頁。第6頁/共49頁第六頁，共49頁。離離 散散 的的連連 續(xù)續(xù) 的的其其 它它期期 望望 、 方方 差差 、 矩矩XX（ 隨隨 機機 向向 量量 ）協(xié)協(xié) 方方 差差 、 相相 關(guān)關(guān) 系系 數(shù)數(shù)可可 數(shù)數(shù) 個個獨獨 立立 、 極極 限限 定定 理理不不 可可 數(shù)數(shù)隨隨 機機 過過 程程第7頁/共49頁第七頁，共49頁。 T,txt T,tt,x 第8頁/共49頁第八頁，共49頁。第9頁/共49頁第九頁，共49頁。（4）鞅）鞅我國王我國王(guwng)梓坤為概率梓坤為概率第一人第一人.第10頁/共49頁第十頁，共49頁。

3、 應(yīng)用(yngyng)隨機過程 Applied stochastic processes 第一章 概率論的基本知識 第11頁/共49頁第十一頁，共49頁。 3、 見下面FFAFA 第12頁/共49頁第十二頁，共49頁。 3、 可列并封閉(fngb) 可測空間 ：信息全體 FAFAiii1) )( (F F ,.,i,j21 10 P(A)1) P( jiAAji 11iiiiAPAP第13頁/共49頁第十三頁，共49頁。) )( (P,F F, , FPEPFE EPEP 1 jiEE ji niiniiEPEP11 11iiiiEPEP第14頁/共49頁第十四頁，共49頁。 2、遞減事件列：

4、、遞減事件列：， F FF FF F1nnEE1 n1nnEE1 n1limnnnnEEninnEE1lim第15頁/共49頁第十五頁，共49頁。 jinnnnnFFEEEEFEEEEFEEEEFEF11232331212211).lim()(limnnnnEPEP第16頁/共49頁第十六頁，共49頁。等價替換(后半部分(b fen)用對偶律)nnniinniiniiiiiiEPFPFPFPFPEPlimlimlim11111第17頁/共49頁第十七頁，共49頁。nn 1nn 111(1,2),011P X0P X1(1)(limsup(0)1.1(),(limsup(1)1.1().nnnn

5、nnnnnXnP XP XnnPXXPXX 設(shè)（），（），故（調(diào)和級數(shù)發(fā)散）；同時，一般項趨于 ，這樣無窮多個出現(xiàn)的概率是 未必是必然事件 同時無窮多個不出現(xiàn)的概率也是 未必是必然事件十、調(diào)和級數(shù)實例十、調(diào)和級數(shù)實例(shl). 第18頁/共49頁第十八頁，共49頁。iniig!nP iiin1gnC1P iingC1P 解三（解三（Fermi-Dirac) 質(zhì)點不可分辨，每個狀態(tài)只有一個質(zhì)點。質(zhì)點不可分辨，每個狀態(tài)只有一個質(zhì)點。 適于電子適于電子(dinz)、中子、中子、 質(zhì)子等質(zhì)子等Fermi子。子。 第19頁/共49頁第十九頁，共49頁。 xfxF xXPxF 0 F 1 F.)(:,;

6、)(: ,),(為可測集可測，是指：講學(xué)基礎(chǔ)實變函數(shù)應(yīng)用數(shù)這里指的是可測集實數(shù)概率空間axfDxLebesgueFaXaPF第20頁/共49頁第二十頁，共49頁。 R,xxF 0 -F xFxF 離散離散(lsn)(lsn)的：的： 連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)的：的： xyyXPxF dttfxFx1)(F第21頁/共49頁第二十一頁，共49頁。n,x,xF 1 n,x,xF 1ix n,x,xF 1ixnixx,x,xF,FniiXX , 2 , 1, 0, 1111第22頁/共49頁第二十二頁，共49頁。 則必存在則必存在(cnzi)概率空間概率空間 及其上的隨機向及其上的隨機向量量

7、 ，使，使 的分布函數(shù)的分布函數(shù)niyxii, 2 , 1, niinnjiijniinyxyFFxxFFFyyF,0,1,1111 其中) )( (P,F F, , nnxxFxxF,11 第23頁/共49頁第二十三頁，共49頁。 滿足滿足(mnz)()、 ()、 ()，但是對，但是對 0 , 0 0 , 1 ,212121xxxxxxF 21,xxF) 1, 1 (),(,) 1, 1(),(2121yyxx 101111, 11, 11 , 11 , 1 FFFF第24頁/共49頁第二十四頁，共49頁。 反反之之 , 01,0 ,yxyxyxf 反反之之 , 01,0 ,2121,yxy

8、xyxg第25頁/共49頁第二十五頁，共49頁。 X X邊緣邊緣(binyun)(binyun)密度密度: : 利用密度函數(shù)的輪換對稱性利用密度函數(shù)的輪換對稱性, ,可得可得Y Y邊源密度也相同邊源密度也相同均為均為1/2 + y .1/2 + y . ( 10,212121,10,21),1010 xxdyyxdyyxgxxdyyxdyyxf第26頁/共49頁第二十六頁，共49頁。)()()(BPAPABP n n個事件個事件(shjin)(shjin)獨立，獨立， 個表達(dá)個表達(dá)式。式。12 nn 隨機變量獨立：隨機變量獨立： 獨立，要求獨立，要求(yoqi)(yoqi)聯(lián)聯(lián)合密度為邊緣密度

9、之積，即：合密度為邊緣密度之積，即： 命題命題1.2.51.2.5至至1.2.71.2.7知道結(jié)果就行知道結(jié)果就行. .nXXX,21 nXXnxFxFxxFn 111,其中，其中， njixjXxxFxFij,lim1 第27頁/共49頁第二十七頁，共49頁。nXXX,21 六、若隨機變量六、若隨機變量(su j bin lin) (su j bin lin) 相互獨立，相互獨立， 為為 可測函數(shù)，可測函數(shù)， ，則，則 也相互獨立也相互獨立. .nXXX,21 ifBorelni, 2 , 1 nnXfXfXf,)(,2211. )(),(, 2 , 1,12211niiinniAXPAXA

10、XAXPniBA對任意第28頁/共49頁第二十八頁，共49頁。nnxxxaaa,11 是是n n維隨機變量的密度。式中維隨機變量的密度。式中 表示表示(biosh)B(biosh)B的行的行列式的值，列式的值， 表示表示(biosh)(biosh)矩陣矩陣C C的轉(zhuǎn)置矩陣，的轉(zhuǎn)置矩陣， 表表示示(biosh)(biosh)矩陣矩陣B B的逆矩陣。下面證明的逆矩陣。下面證明 axBaxBxfn121221exp21 BC1B1dxxfnR 因為因為B B對稱正定對稱正定(zhn dn)(zhn dn)，故存在正交陣，故存在正交陣T T，使：，使：第29頁/共49頁第二十九頁，共49頁。 nddd

11、DTTB00000021其中其中(qzhng) (qzhng) 是是B B的特征值且的特征值且 。id0 id 作變換作變換(binhun) ,(binhun) ,右乘右乘T, ,T, ,可得可得 因為因為 ， Taxy ITT yTax 1Tyx.1nddDTTTDTDTTTTTBTB第30頁/共49頁第三十頁，共49頁。 niiidyyTTByyTBTyyTyTBaxBax121111111)2exp(212iiiidydyd果：注意到高數(shù)及概率中結(jié)第31頁/共49頁第三十一頁，共49頁。 12exp212exp212111212iiiniinniiinnRdydyddydydydddxx

12、fn 是是n n維正態(tài)分布的密度維正態(tài)分布的密度(md)(md)函數(shù)函數(shù). . xf例例: :事件事件(shjin)A(shjin)A的示性函數(shù)的示性函數(shù): : AAIA , 0, 1第32頁/共49頁第三十二頁，共49頁。 )()( 1xxXxPxdFxXPxdxxxfxdFxEXXiiiX連續(xù)型（絕對連續(xù)型（絕對(judu)(judu)可積條件可積條件下）下）離散型（絕對收斂條件下）離散型（絕對收斂條件下）抽象積分：抽象積分： dxPEX第33頁/共49頁第三十三頁，共49頁。 dPxhxdFxhXEhYEXhYX 三、矩（三、矩（momentmoment）1 1、普通、普通(ptng)k

13、(ptng)k階階矩矩2 2、k k階絕對階絕對(judu)(judu)矩矩3 3、k k階中心矩階中心矩 xdFxXEXkk xdFxXEXkk xdFEXxEXXEXkk 物理上，一階矩是重心，二階矩是轉(zhuǎn)動慣量。物理上，一階矩是重心，二階矩是轉(zhuǎn)動慣量。第34頁/共49頁第三十四頁，共49頁。 22222222 2EXEXEXEXEXEXEXXEXXEEXXEDX 方差表示方差表示(biosh)(biosh)穩(wěn)定性：方差大，風(fēng)險大；方差小，風(fēng)險小。穩(wěn)定性：方差大，風(fēng)險大；方差小，風(fēng)險小。五、五、n n維隨機維隨機(su j)(su j)向量向量 是是n n維隨機向量，分布函數(shù)為維隨機向量，分

14、布函數(shù)為 ， 為為n n維維BorelBorel函數(shù)，則：函數(shù)，則： nXX,1 nxxF,1 nxxg,1 nnnxxdFxxgXXEg,111 第35頁/共49頁第三十五頁，共49頁。jkkjkjkkjjkjbEXEXXXEEXXEXXEXXCov , 隨機隨機(su j)(su j)向量，協(xié)方差陣：向量，協(xié)方差陣： nnjkbB 七、相關(guān)系數(shù)（七、相關(guān)系數(shù)（correlation coefficientcorrelation coefficient） 212122111221221122111212, DXDXXXCovbbbDXDXEXXEXXEbbbr 注：注：HolderHolde

15、r不等式，實變函數(shù)不等式，實變函數(shù)(hnsh)(hnsh)或應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)?；驊?yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 111 11 qpdxxgdxxffgdxqEqpEEp第36頁/共49頁第三十六頁，共49頁。112 r21, XX012 r111212baXXPr012 r21, XX第37頁/共49頁第三十七頁，共49頁。 1,121, 01110:1011),(211222222x x x xdy x f(x,y)dyxfy xy xx,yfyxfX,YxxX解一的聯(lián)合密度例：第38頁/共49頁第三十八頁，共49頁。 0012)( 1 , y-121 , 0 1 ,dx 11 , 0),(1122 1122E

16、YdxxxdxxxfEXyyyydxyxfyfXyyY同理，第39頁/共49頁第三十九頁，共49頁。)()(),(,0),()(),(00101)(),cov(11x1x112222yfxfyxfYXryfxfyxfdxdyyxyxdxdyxyEYEXXYEYXYXYXyx獨立應(yīng)有：并不獨立。，但即但是，奇函數(shù)）、（單獨關(guān)于第40頁/共49頁第四十頁，共49頁。)21()21()21,21(42)21(42)21(0)21,21( YPXPYXPYPXPYXP 第41頁/共49頁第四十一頁，共49頁。rrrrxrrxrrxrrrXExdFxxdFxxdFxxdFXPMarkovXEXPrXEr

17、X)(1)(1 )()()( )()( 0,:證：不等式則有：階絕對矩存在，的例第42頁/共49頁第四十二頁，共49頁。2)(:2DXEXXPChebyshevEXXXr不等式即得，換為，將令1)(:( 成成立立wCwP)(wC九、以概率九、以概率1 1成立成立(chngl)(chngl)（幾乎處處成立（幾乎處處成立(chngl) a.s.(chngl) a.s.） 若若 ，則，則 以概率以概率1 1成立成立(chngl)(chngl)（幾乎處處成立（幾乎處處成立(chngl)(chngl)），），記為：記為：.).(),(sawC0.).(DXsaCX命題：第43頁/共49頁第四十三頁，共4

18、9頁。1)0(1)(0)1(lim)1()0()0()1(0)( , 01 111 )( 0),( 112EXXPEXXPnEXXPnEXXPEXXPEXXnEXXDXEXXPDXnEXXnEXXnEXXDXCEXsaCXnnn是遞增事件列充分性證明：必要性第44頁/共49頁第四十四頁，共49頁。 jijiniiniiniiniiXXVarXXVarEXXE),cov(2)()(1111例：例：MontmortMontmort配對配對(pi du)(pi du)問題問題 n n人人n n頂帽子放在一起充分混合后，每人隨機取一頂。頂帽子放在一起充分混合后，每人隨機取一頂。求選中自己帽子的人數(shù)求選中自己帽子的人數(shù)X X的期望和方差。的期望和方差。nnXPnXPniiXiii1)0(,1) 1(, 2 , 1 0 1 反之個人選中自己的帽子如第解：第45頁/共49頁第四十五頁，共49頁。) 1(1) 1| 1() 1() 0, 0(0) 0, 1(0) 1, 0(0) 1, 1(1)(01111)(110112