[中學教育]橢圓及其標準方程

1、 數(shù)學數(shù)學主講教師：主講教師：楊厭聊楊厭聊1把一個定點改為兩個定點把一個定點改為兩個定點F F1 1和和F F2 2, ,把距離把距離為定長改為到為定長改為到兩個定點兩個定點F F1 1和和F F2 2距離距離的和的和為常數(shù)為常數(shù)2 2a a（大于（大于 F F1 1F F2 2 2 2c c）PF1F2圓的定義是什么圓的定義是什么?1. 1.一個定點一個定點2.2.距離為定長距離為定長Po那么動點的軌跡為橢圓那么動點的軌跡為橢圓. . 設橢圓的兩個焦點分別為設橢圓的兩個焦點分別為 F1，F(xiàn)2，它們之間的距離為，它們之間的距離為2c，橢，橢圓上任意一點圓上任意一點 P到到F1，F(xiàn)2 的距離的和

2、為的距離的和為2a(2a2c)PF1F2 把平面內與兩個定點把平面內與兩個定點F F1 1和和F F2 2距離的和為常數(shù)距離的和為常數(shù)2 2a a（大于（大于 F F1 1F F2 2 2 2c c）的）的動點的軌跡叫做橢圓動點的軌跡叫做橢圓. . 兩個定點兩個定點F F1 1，F(xiàn) F2 2橢圓的橢圓的焦點焦點, ,兩焦點間兩焦點間的距離的距離 F F 1 1F F2 2 橢圓的橢圓的焦距焦距 以以F1，F(xiàn)2所在直線為所在直線為x軸，線段軸，線段F1F2的垂直平分線為的垂直平分線為y軸，建立軸，建立直角坐標系直角坐標系xOy，則，則F1，F(xiàn)2的坐標分別為的坐標分別為(c，0)，(c，0)xyO

3、設橢圓上任意一點設橢圓上任意一點P的坐標為的坐標為(x，y) ，根據橢圓定義知：根據橢圓定義知：PF1PF22a，根據橢圓定義知：根據橢圓定義知：PF1PF22a，aycxycx2)()(2222 即：即： xyOPF1F整理得：整理得：(a2c2)x2a2y2a2(a2c2)2222)(2)(ycxaycx 移項得：移項得： 2222222)()(44)(ycxycxaaycx 兩邊平方得：兩邊平方得： 222)(ycxacxa 整理得：整理得： 又因為又因為a2c20，所以可設，所以可設a2c2b2(b0)，于是得：，于是得： )0(12222 babyax為焦點在軸的橢圓的標準方程為焦點

4、在軸的橢圓的標準方程xyOPF1F2)0(12222 babyaxxyOPF1F2)0( 12222 babxay橢橢 圓圓 的的 標標 準準 方方 程程 （1）與方程有關的三個數(shù)）與方程有關的三個數(shù)a，b，c中中, a為最大，且滿足為最大，且滿足b2a2c2（2）橢圓的焦點位置可由方程中）橢圓的焦點位置可由方程中x2與與 y2的分母的大小的分母的大小來確定，焦點在大分母的項的分子所對應的坐標軸上來確定，焦點在大分母的項的分子所對應的坐標軸上說說 明：明：)0(12222 babyax)0( 12222 babxay（）在求橢圓的標準方程時，必須注意兩點：（）在求橢圓的標準方程時，必須注意兩點

5、：一定位：判定焦點位置；一定位：判定焦點位置；二定量：用帶定系數(shù)法求二定量：用帶定系數(shù)法求a a2 2 ，b b2 21已知橢圓的方程為已知橢圓的方程為 ，則，則a=_，b=_，c=_，焦點坐標為，焦點坐標為_，焦距等于焦距等于_練練 習習192522 yx543(4，0)，(4，0)82 2如果橢圓如果橢圓 上一點上一點P P到焦點到焦點F F1 1的距離等于的距離等于6 6，則點則點P P到另一個焦點到另一個焦點F F2 2的距離是的距離是 . .13610022yx已知橢圓兩個焦點的坐標分別是已知橢圓兩個焦點的坐標分別是(-4,0),(4,0),(-4,0),(4,0),橢圓橢圓上一點上

6、一點P P到兩個焦點的距離的和等于到兩個焦點的距離的和等于10,10,求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程. . 例例1 已知已知B、C是兩個定點，是兩個定點，BC=6，且，且ABC的周長等于的周長等于16，求頂點，求頂點A的軌跡方程。的軌跡方程。BACOXy例例2.已知已知x軸上的一定點軸上的一定點A（1,0），），Q為橢圓為橢圓 上的動點，求上的動點，求AQ中點中點M的軌跡方程的軌跡方程.MAQ2-2xOy1422 yx解：設動點解：設動點M的坐標為的坐標為(x,y)，則則Q的坐標為的坐標為(2x-1,2y) 因為因為Q點為橢圓點為橢圓 上的點上的點 1422 yx所以有所以有 1)2(4)

7、12(22yx即即 14)21(22yx所以點所以點M的軌跡方程是的軌跡方程是 14)21(22yx例例3.已知定圓已知定圓Q: ，動圓，動圓M和已知圓和已知圓內切且過點內切且過點P(-3，0)，求圓心，求圓心M的軌跡及其方程的軌跡及其方程 r 8MP PQ QxOy055622xyx 解解: 已知圓可化為已知圓可化為64) 3(22yx圓心圓心Q(3，0)，所以，所以P在定圓內在定圓內 設動圓圓心為設動圓圓心為M(x,y) , 則則 為半徑為半徑 MP又圓又圓M和圓和圓Q內切，所以內切，所以8MQMP 即即|MP|+|MQ|=8，故，故M的軌跡是以的軌跡是以P，Q為焦點的橢圓，且為焦點的橢圓

8、，且PQ中點為原點中點為原點.171622yx故動圓圓心故動圓圓心M的軌跡方程是：的軌跡方程是： 例例4 4 過點過點(2,1)(2,1)引直線引直線PQPQ與橢圓與橢圓 相交相交P,QP,Q兩點兩點, ,若點若點A A恰好是線段恰好是線段PQPQ的中點的中點, ,求直線求直線PQPQ的方程的方程. .191622yxxyO解法一解法一: :例例4 4 過點過點(2,1)(2,1)引直線引直線PQPQ與橢圓與橢圓 相交相交P,QP,Q兩點兩點, ,若點若點A A恰好是線段恰好是線段PQPQ的中點的中點, ,求直線求直線PQPQ的方程的方程. .191622yxxyO解法二解法二: :例5解：解

9、：.AxyOMB，則，設)()(2211yxByxA12222byax1 yx02)(2222222baaxaxba2222222112babxybaaxxxMMM)(222222babbaaM，中點22OMk2222ab)1(222代入ba0)1(222)12(22bxx得：)1(，兩點，、交于與直線已知橢圓22|1)0(12222ABBAyxbabyax，求橢圓方程。的斜率為，的中點為22OMMAB0)1)(12(24812) 1(1|22bAB由弦長公式得：22|AB又232b解得8)1)(12(248 ) 12(222b32 aAxyOMB，滿足01223322yx故所求橢圓方程為0)

10、1 (222) 12(22bxx得：解法二：解法二：.AxyOMB，則，設)()(2211yxByxA12222byax1 yx02)(2222222baaxaxba) 1 (222代入ba 0)1 (222) 12(22bxx得：1 yxxy22) 1222(，M221xx222baa22，兩點，、交于與直線已知橢圓22|1)0( 12222ABBAyxbabyax，求橢圓方程。的斜率為且的中點22,OMMAB例例5) 1 (0)1)(12(24812) 1(1|22bAB由弦長公式得：22|AB又232b解得8)1)(12(248 ) 12(222b32 aAxyOMB，滿足0122332

11、2yx故所求橢圓方程為0)1 (222) 12(22bxx得：例例6nxy41方程為：，于交對稱，且直線關于直線、設MlABlBAAB則由已知可設直線 1 0481681322nnxxy消nxymxy414解方程組)(174mnxm1344122yxnxy解方程組解：解：AxyOB.lM。直線對稱上有不同的兩點關于該，橢圓：直線的取值范圍，使得對于，試確定方程為：已知橢圓CmxylmyxC4134220134221nxxxmnmn134)(174在橢圓上、又BA0)4816(13464 1 22nn式的13)16169( 42m1313213132m1342n即mn413AxyOB.lM 1

12、0481681322nnxxmn413一，得出同解法解法解法2)3(3)413(134mmMmymmxmm，在橢圓內在橢圓上、MBA13)3(4)(22mm.1313213132m解得例例6。直線對稱上有不同的兩點關于該，橢圓：直線的取值范圍，使得對于，試確定方程為：已知橢圓CmxylmyxC413422134221nxxxm又AxyOB.lM)()()(002211yxMlAByxByxA，的交點與，設解法解法3AxyOB.lM2134113422222121yxyx則212121214321yyxxxxyy得：由3300 xy4400mxylM又)3(43mmM，解得聯(lián)立.以下同解法二41

13、4300yx4242341213411342121212122222121mxxyyxxyyyxyx說明：) 0( 12222 babyax) 0( 12222 babxay 橢圓的標準方程：橢圓的標準方程： 根據已知條件求橢圓的標準方程：根據已知條件求橢圓的標準方程：( (1) )確定焦點所在的位置，選擇標準方程的形式；確定焦點所在的位置，選擇標準方程的形式；( (2) )求解求解a，b的值，寫出橢圓的標準方程的值，寫出橢圓的標準方程(3)在涉及到中點和斜率問題時在涉及到中點和斜率問題時,盡量用點差法簡化計算過程盡量用點差法簡化計算過程.課后練習：課后練習：（1）已知橢圓）已知橢圓 上一點上

14、一點P到橢圓的一個焦點到橢圓的一個焦點 的距離為的距離為3，則，則P到另一個焦點的距離是到另一個焦點的距離是 （ ） A.2 B.3 C.5 D.7 1162522yx1112022yx3131（2）已知橢圓方程為）已知橢圓方程為 ,那么它的焦距是那么它的焦距是 （ ） A.6 B.3 C.3 D. （3）如果方程）如果方程 表示焦點在表示焦點在y軸上的橢軸上的橢 圓，那么實數(shù)圓，那么實數(shù)k的取值范圍是的取值范圍是( ) A.（0，+） B.(0,2)C.(1,+) D.(0,1)222kyx33(5)過點過點P（ ，-2），），Q（-2 ，1）兩點的橢圓標）兩點的橢圓標 準方程是準方程是_1

15、9622yx (4) 過點過點A（-1，-2）且與橢圓）且與橢圓 的兩個焦的兩個焦點相同的橢圓標準方程是點相同的橢圓標準方程是_ (0,/2)，方程，方程x2siny2cos1，表示焦點在，表示焦點在y軸軸上的橢圓，則上的橢圓，則_. (參考答案參考答案:/4,/2) 已知橢圓已知橢圓mx2y28與與9x225y2100的焦距相同，則的焦距相同，則m_. (參考答案參考答案: 9或或9/17) 求與橢圓求與橢圓x2/5y2/41有公共焦點，且過點有公共焦點，且過點(3,0)的橢圓的橢圓的標準方程。的標準方程。 (參考答案參考答案: x2/9y2/81) 已知橢圓已知橢圓x22y2a2(a0)的左焦點到直線的左焦點到直線l：xy20的距離為的距離為 ，求橢圓方程