[理學(xué)]大學(xué)物理課件第3章-剛體

1、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體：剛體：物體上任意兩點(diǎn)之間的距離保持不變物體上任意兩點(diǎn)之間的距離保持不變?cè)诹Φ淖饔孟虏话l(fā)生形變的物體剛體的運(yùn)動(dòng) 平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)：平動(dòng)： 剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，其上任意兩點(diǎn)的連線剛體在運(yùn)動(dòng)過程中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。始終保持平行。可以用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)可以用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的方法來處理剛體的方法來處理剛體的平動(dòng)問題。的平動(dòng)問題。注：注：轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)動(dòng)： 剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的周運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)稱為剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)。這。這條直線稱為條直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)

2、能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 令2i iiImr為剛體對(duì)為剛體對(duì) z 軸的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 I2mkg1m1rnr2r2mnmo剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的形狀、大小、質(zhì)量的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。的分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。 結(jié)論：結(jié)論：對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：對(duì)于質(zhì)量連續(xù)分布的剛體： 22VVIr dmrdV22SSIr dmrdS（面質(zhì)量分布）（面質(zhì)量分布）22LLIr dmrdl（線質(zhì)量分布）（線質(zhì)量分布）RmrRmo2b2b2azyx2alxo2l2lxolxolh正交軸公式：正交軸公式： 一平面剛體薄板繞垂直于其平面的轉(zhuǎn)軸一平面剛體薄板繞垂直于其平面的轉(zhuǎn)軸

3、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交 的任意兩個(gè)正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和的任意兩個(gè)正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。平行軸公式：平行軸公式： 繞任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于繞過質(zhì)心繞任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于繞過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的總質(zhì)量乘以的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量加上剛體的總質(zhì)量乘以兩軸間距離的平方。兩軸間距離的平方。1、細(xì)圓環(huán)：、細(xì)圓環(huán)：2、勻質(zhì)圓盤：、勻質(zhì)圓盤：3、長(zhǎng)方形薄板：、長(zhǎng)方形薄板： 4、勻質(zhì)圓盤：、勻質(zhì)圓盤：5、勻質(zhì)細(xì)桿：、勻質(zhì)細(xì)桿：2ImR212Im R2112xIma2112yImb221()12zIm ab214Im R2112cIml213Iml端2

4、cIImh（正交軸公式）（正交軸公式）（正交軸公式）（正交軸公式）（平行軸公式）（平行軸公式）3-3 力矩和轉(zhuǎn)動(dòng)定律 一一、力矩力矩ormFmFFFromFor剛體在作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角加速度剛體在作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角加速度與它所受到的合外力矩成正比，與剛體與它所受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。二、轉(zhuǎn)動(dòng)定律：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 I 是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度 MI例題：例題：1、圓盤輪、圓盤輪 ，可繞光滑水平軸，可繞光滑水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 輪緣一輕繩下掛一質(zhì)量輪緣一輕繩下掛一質(zhì)量 的物體，由的物體，由 靜止下降，設(shè)繩、輪間不打滑，求物體靜止下降，設(shè)繩、輪間不打滑，求物體 下降

5、下降 高度時(shí)，物體的加速度，速度和高度時(shí)，物體的加速度，速度和 時(shí)間時(shí)間 ？( , )m R0mhmo0mxTT0m gR2、勻質(zhì)圓盤、勻質(zhì)圓盤 以勻以勻 滑摩擦因素滑摩擦因素 的水平面內(nèi)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求的水平面內(nèi)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求: (1) 摩擦力矩摩擦力矩? (2) 經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間,角度減半角度減半? (3) 這時(shí)已轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)這時(shí)已轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)? ( , )m R0wwrd1dsdrrdF3、如圖，彈簧振子（、如圖，彈簧振子（ ）定滑輪（）定滑輪（ ） 剛性細(xì)輕繩與輪盤間無相對(duì)滑動(dòng)，在原長(zhǎng)剛性細(xì)輕繩與輪盤間無相對(duì)滑動(dòng)，在原長(zhǎng) 時(shí)時(shí) ，由靜止釋放，求下落，由靜止釋放，求下落 時(shí)的時(shí)的 ？, k

6、 m, I Rm, v amxoTFh例例4. 質(zhì)量為質(zhì)量為M =16 kg的實(shí)心滑輪，半徑為的實(shí)心滑輪，半徑為R = 0.15 m。一根細(xì)繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為一根細(xì)繩繞在滑輪上，一端掛一質(zhì)量為m的物體。的物體。求（求（1）由靜止開始）由靜止開始1秒鐘后，物體下降的距離。（秒鐘后，物體下降的距離。（2）繩子的張力。繩子的張力。解：maTmgRaMRTR221MaT2125881082smMmmgamath5 . 215212122NT4051621MmmgT例例5.一質(zhì)量為一質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為l 的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在的均質(zhì)細(xì)桿，轉(zhuǎn)軸在o點(diǎn)，距點(diǎn)，距A端端l/3。今使棒從靜止開始由水平位

7、置繞。今使棒從靜止開始由水平位置繞o點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求：（求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直）垂直位置時(shí)的角速度和角加速度。位置時(shí)的角速度和角加速度。解：2mdJJco2220916121mllmmlJ（1）0olgmlmglJM239620coBA（2）dtdJMddmldtdmllmg229191cos6dlgdcos23dlgdcos23200lglg23sin2321202coBA例例6. 一半徑為一半徑為R，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初速度為水平面上。若它的初速度為 o，繞中，繞中o心旋轉(zhuǎn)

8、，問經(jīng)心旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間圓盤才停止。（設(shè)摩擦系數(shù)為過多長(zhǎng)時(shí)間圓盤才停止。（設(shè)摩擦系數(shù)為 ）or解解rdmgrdFdM22d22dRrmrdrrRmm22d2dRrgrmMmgRRrmgrMMr32d2d022drRtJMddtmRmgRdd21322000d43dgRttd43dgRt gRt4303-4 力矩的功 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理sinAFsFrdddzOdsdPFrsinFrM 力矩：力矩：AMdd力矩對(duì)剛體所作的功：力矩對(duì)剛體所作的功： doAMMtMtWPdddd功率：功率：力矩對(duì)剛體的瞬時(shí)力矩對(duì)剛體的瞬時(shí)功率等于力矩和角功率等于力矩和角速度的乘積。速度的乘積。 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和動(dòng)

9、能定理zmiiriv第第i個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能：個(gè)質(zhì)元的動(dòng)能： 2222121iiiikirmmEv整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：整個(gè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：2221iikikrmEE22)(21iirm221JEk設(shè)在外力矩設(shè)在外力矩 M 的作用下，剛體繞定軸發(fā)生角位移的作用下，剛體繞定軸發(fā)生角位移d 元功：元功：AMdd由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由轉(zhuǎn)動(dòng)定律ddAItdddddAIIt 有有21dAI 22211122II剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 ：合外力矩對(duì)剛體所合外力矩對(duì)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。 1、如圖勻質(zhì)細(xì)桿（、如圖勻質(zhì)細(xì)桿（ ）直立地面上，讓其）直立地面上，

10、讓其 自然倒下，設(shè)下端自然倒下，設(shè)下端B不移動(dòng)，求：不移動(dòng)，求： （1）當(dāng)桿與地面成）當(dāng)桿與地面成 角時(shí)，角時(shí)，A端的端的 ？ （2）當(dāng)桿倒地的瞬間，求）當(dāng)桿倒地的瞬間，求 ？,m l1AvAvAB2、勻質(zhì)細(xì)桿（、勻質(zhì)細(xì)桿（ ），由水平位置靜止釋放），由水平位置靜止釋放 求到達(dá)豎直位置時(shí)求到達(dá)豎直位置時(shí) （質(zhì)心）？（質(zhì)心）？,m l,AcvvOCmgCAA3、勻質(zhì)細(xì)桿（、勻質(zhì)細(xì)桿（ ），如圖水平掛起，現(xiàn)將），如圖水平掛起，現(xiàn)將 右繩剪斷的瞬間，求：右繩剪斷的瞬間，求： （1）細(xì)桿）細(xì)桿B端處的加速度？端處的加速度？ （2）A點(diǎn)處繩子對(duì)桿的作用力？點(diǎn)處繩子對(duì)桿的作用力？,m lTABC3-5 剛

11、體對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律 1221dLLtMttz剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量定理剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量定理zLI恒量恒量0zM當(dāng)時(shí)剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量守恒定律： 當(dāng)剛體所受的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和為零時(shí)，當(dāng)剛體所受的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩之代數(shù)和為零時(shí)，剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持不變。剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量保持不變。 注意：注意：該定律不但適用于剛體，同樣也適用于繞該定律不但適用于剛體，同樣也適用于繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的任意物體系統(tǒng)。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的任意物體系統(tǒng)。 說明：說明：1. 物體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量守恒是指轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角動(dòng)量守恒是指轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角速度的乘積不變。和角速度的乘積不變。2. 幾個(gè)物體組成的系統(tǒng)，幾個(gè)物體

12、組成的系統(tǒng)，繞一公共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則對(duì)該繞一公共軸轉(zhuǎn)動(dòng)，則對(duì)該公共轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零公共轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零時(shí)，該系統(tǒng)對(duì)此軸的總角時(shí)，該系統(tǒng)對(duì)此軸的總角動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒iiiI 恒量1、子彈（、子彈（ ），水平射入細(xì)桿），水平射入細(xì)桿( ) 的下端的下端 而不出，最終擺至水平位置，求子彈的速而不出，最終擺至水平位置，求子彈的速 度度 ？00,m v,m l0v00,m vOl2、如圖細(xì)桿（、如圖細(xì)桿（ ），在水平位置繞實(shí)軸），在水平位置繞實(shí)軸 O自由轉(zhuǎn)動(dòng)豎直自由轉(zhuǎn)動(dòng)豎直,與小球與小球 作完全非彈性作完全非彈性 碰撞碰撞,求小球的速度求小球的速度? ,m l0mO,m l0m3、勻質(zhì)細(xì)桿（、勻質(zhì)細(xì)桿（

13、），小球），小球 ,開始都處開始都處 于水平位置如圖釋放于水平位置如圖釋放,棒和球的角速度相棒和球的角速度相 等等,在豎直位置相碰粘合在豎直位置相碰粘合,求求 (1) 繩長(zhǎng)繩長(zhǎng) ? (2) 粘合后的共同速度粘合后的共同速度?,m lmlmo,m l例例7. 質(zhì)量為質(zhì)量為M，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為2l 的均質(zhì)細(xì)棒，在豎直平面內(nèi)可的均質(zhì)細(xì)棒，在豎直平面內(nèi)可繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始棒處于水平位置，一質(zhì)量為繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始棒處于水平位置，一質(zhì)量為m的的小球以速度小球以速度u垂直落到棒的一端上。設(shè)為彈性碰撞。垂直落到棒的一端上。設(shè)為彈性碰撞。求碰后小球的回跳速度求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。以及棒的角速度。ou

14、解：解：lmJmulv由系統(tǒng)角動(dòng)量守恒由系統(tǒng)角動(dòng)量守恒機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒222212121JmmuvmMmMu3)3(vlmMmu)3(6設(shè)碰撞時(shí)間為設(shè)碰撞時(shí)間為 t)( mumtFv0JtlF消去消去 tlmJmulv222212121JmmuvmMmMu3)3(vlmMmu)3(6you例例8. 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為M的桿可繞支點(diǎn)的桿可繞支點(diǎn)o自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為質(zhì)量為m，速度為，速度為v的子彈射入距支點(diǎn)為的子彈射入距支點(diǎn)為a的棒內(nèi)。若的棒內(nèi)。若棒偏轉(zhuǎn)角為棒偏轉(zhuǎn)角為30。問子彈的初速度為多少。問子彈的初速度為多少。解：解： 角動(dòng)量守恒：角動(dòng)量守恒：2231maMlam

15、v機(jī)械能守恒：機(jī)械能守恒：30cos1230cos13121222lMgmgamaMl22323261maMlmaMlgmavoalv3030例例9. 一質(zhì)量為一質(zhì)量為M，半徑，半徑R的圓盤，盤上繞由細(xì)繩，一的圓盤，盤上繞由細(xì)繩，一端掛有質(zhì)量為端掛有質(zhì)量為m的物體。問物體由靜止下落高度的物體。問物體由靜止下落高度h時(shí)，時(shí)，其速度為多大？其速度為多大？mgmM解：解：2022121JJTR2022121vvmmThmgh RhRv2,0,0200RMJ v解得：解得：mMmgh22vT例例10. 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 l 的均質(zhì)細(xì)直桿的均質(zhì)細(xì)直桿OA，一端懸于，一端懸于O點(diǎn)鉛直下點(diǎn)鉛直下垂，如圖所示。一單擺也懸于垂，如圖所示。一單擺也懸于O點(diǎn)，擺線長(zhǎng)也為點(diǎn)，擺線長(zhǎng)也為l，擺，擺球質(zhì)量為球質(zhì)量為m?，F(xiàn)將單擺拉到水平位置后由靜止釋放，。現(xiàn)將單擺拉到水平位置后由靜