認(rèn)識(shí)二元一次方程組—教學(xué)設(shè)計(jì)及點(diǎn)評(píng)獲獎(jiǎng)版

1、第十一屆初中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu) 秀課展示與培訓(xùn)活動(dòng)教學(xué)設(shè)計(jì)課題：5.1認(rèn)識(shí)二元一次方程組第五章二元一次方程組5.1認(rèn)識(shí)二元一次方程組遼寧省朝陽(yáng)市第一中學(xué)李穎 一、教學(xué)內(nèi)容及其解析1 .教學(xué)內(nèi)容本節(jié)是北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第五章二元一次方程組的第一節(jié)，本節(jié)內(nèi)容安排1個(gè)課時(shí).具體內(nèi)容是：讓學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，進(jìn)一步體會(huì)方程的 模型思想，同時(shí)理解二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念.2 .內(nèi)容解析本節(jié)既是一元一次方程的延續(xù)，又是進(jìn)一步學(xué)習(xí)本章后續(xù)內(nèi)容（解二元一次 方程組、應(yīng)用二元一次方程組、二元一次方程與一次函數(shù)、用二元一次方程組確 定一次函數(shù)表達(dá)式、三元一次方程組）的前提，同時(shí)也是學(xué)習(xí)物理、

2、化學(xué)等其他 學(xué)科知識(shí)的一個(gè)重要基礎(chǔ)，因此本節(jié)具有承上啟下的作用.列方程（組）解應(yīng)用 題是聯(lián)系實(shí)際的重要方面，突顯了方程作為一種數(shù)學(xué)模型的重要特征， 這既是培 養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的載體，也是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力的良好題材.基于學(xué)生對(duì)一元一次方程理解的基礎(chǔ)上， 本節(jié)從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)類比完 成概念的歸納，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括的能力，突出強(qiáng)調(diào)建模思想，展現(xiàn)方程是刻畫 現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型.因此，確定本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是：理解二元一次方 程、二元一次方程組及其解等概念，進(jìn)一步體會(huì)方程的模型思想.二、教學(xué)目標(biāo)及其解析課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本節(jié)的具體要求是探索具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，能根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)模

3、型思想，建立符號(hào)意識(shí).通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際 問(wèn)題中抽象出二元一次方程（組）的過(guò)程，并會(huì)解簡(jiǎn)單的二元一次方程組，從而 初步理解化未知為已知和化復(fù)雜問(wèn)題為簡(jiǎn)單問(wèn)題的化歸思想.發(fā)展靈活運(yùn)用有關(guān) 知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí) .根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合學(xué)生 實(shí)際，我確定本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)如下： 1.教學(xué)目標(biāo)（1）通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的 有效模型.（2）理解二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念 ，會(huì)判斷一組數(shù)是 不是二元一次方程組的解.2.目標(biāo)解析達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是學(xué)生能夠從貼近生活的現(xiàn)實(shí)情境中分析數(shù)量關(guān)系， 通過(guò)設(shè)未知數(shù)，建立方程模型，

4、培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.在突出重 點(diǎn)、突破難點(diǎn)的教學(xué)中，學(xué)生能夠自主思考，完善實(shí)際問(wèn)題中的等量關(guān)系，列出 二元一次方程組.達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是認(rèn)識(shí)二元一次方程（組），會(huì)判斷一組數(shù)是不是二元 一次方程組的解.提高對(duì)“元”和“次”的認(rèn)識(shí)，同時(shí)逐步培養(yǎng)了類比分析和歸 納概括的能力.三、學(xué)生學(xué)情分析1 .學(xué)生已有的基礎(chǔ)學(xué)生在七年級(jí)已學(xué)過(guò)一元一次方程，已理解“元”和“次”的含義，經(jīng)歷過(guò) 由具體問(wèn)題抽象出一元一次方程的過(guò)程， 初步感受了方程的模型作用，并積累了 利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).2 .學(xué)生面臨的問(wèn)題要想達(dá)成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，需引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)新方程，歸納有關(guān)新概念，使學(xué)生逐步建立方程的知

5、識(shí)體系.學(xué)生可能對(duì)應(yīng)用題有畏難心理，覺(jué)得找等量關(guān)系 很困難.但本節(jié)所涉及的實(shí)際問(wèn)題均為學(xué)生所熟悉的情境，容易被學(xué)生接受和理 解，也容易建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，這一困難便可消除.但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，對(duì)二元一次 方程（組）解的理解是有難度的，尤其是對(duì)二元一次方程組解的理解，這一點(diǎn)需 要在教師的幫助下消除.因此，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：對(duì)二元一次方程組解的理 解.為突破難點(diǎn)，我首先引導(dǎo)學(xué)生分析同一字母所代表的含義， 再通過(guò)列舉數(shù)值、 填表等活動(dòng)，使難點(diǎn)分散.四、教學(xué)策略分析1 .“雞兔同籠”是學(xué)生熟知的貫穿于小學(xué)、初中的一道經(jīng)典問(wèn)題，學(xué)生能很 輕松地用算術(shù)、一元一次方程解決，甚至有的同學(xué)可以列出二元一次方程組，

6、用 這個(gè)問(wèn)題引出課題自然、流暢.有趣的“誰(shuí)的包裹多”和貼近生活的“公園門票” 問(wèn)題，學(xué)生很容易找到等量關(guān)系，列出方程，體會(huì)方程的模型思想，同時(shí)也為后 續(xù)相關(guān)概念的探究提供了素材.2 .本節(jié)二元一次方程概念中同樣有“元”和“次”的含義，教學(xué)中我讓學(xué)生 類比一元一次方程，采用自主探究和小組交流的方式，對(duì)所列方程特征進(jìn)行觀察、 比較，從而歸納出二元一次方程的概念.3 .基于學(xué)生對(duì)一元一次方程的理解，并積累了利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng) 驗(yàn)，本節(jié)引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，設(shè)計(jì)以下問(wèn)題：（1）觀察所列方程，它們有 什么共同特征？ （ 2）兩個(gè)方程中未知數(shù)的含義是否分別相同？ （ 3）能否找到滿 足方程的一組未

7、知數(shù)的值?（4）能否找到同時(shí)滿足兩個(gè)方程的一組未知數(shù)的值？ 通過(guò)“問(wèn)題用”的探究，歸納出二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念.4 .對(duì)于學(xué)優(yōu)生在小組討論中，集思廣益，引導(dǎo)他們自主探究出本節(jié)的重點(diǎn)概 念；對(duì)于學(xué)困生主要采取提出質(zhì)疑、同學(xué)互解，達(dá)到理解概念的目的.5 .對(duì)不同層次學(xué)生采用不同的教學(xué)方法， 培養(yǎng)學(xué)優(yōu)生從多角度分析問(wèn)題，解 決問(wèn)題的能力.同時(shí)，使學(xué)困生在問(wèn)題消除后，也獲得了成功的喜悅，提高了學(xué) 習(xí)興趣.真正實(shí)現(xiàn)了讓不同學(xué)生得到不同層次的發(fā)展.五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課【教師活動(dòng)】問(wèn)題：我國(guó)古算名題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雞兔各幾何？這個(gè)問(wèn)題，你見(jiàn)

8、過(guò)嗎？【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，分析后書寫解題過(guò)程，投影展示、學(xué)生講解.【設(shè)計(jì)意圖】以經(jīng)典的古算題“雞兔同籠”拉開了本節(jié)的序曲.引入學(xué)生熟知的情境，可 以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.學(xué)生可能用小學(xué)的算術(shù)方法、七年級(jí)的一元一次方程.如果學(xué)生沒(méi)有列出二元的，教師應(yīng)進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生觀察問(wèn)題中有幾個(gè)未知量、幾 個(gè)等量關(guān)系，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，列出二元的方程 .如果有的學(xué)生已經(jīng) 列出二元的，通過(guò)兩種方程的比較，引發(fā)思考，從而順理成章地引出章標(biāo)題.通過(guò)回憶一元一次方程的學(xué)習(xí)內(nèi)容（定義、解法、應(yīng)用），提出這一章也要學(xué)習(xí)上 述內(nèi)容，這節(jié)課先認(rèn)識(shí)二元一次方程組，從而很自然地導(dǎo)入課題.（二）探究新知，形成概念探究活動(dòng)

9、1二元一次方程、二元一次方程組的概念情境1:【教師活動(dòng)】一頭老牛和一匹小馬馱著包裹吃力地行走著，老牛喘著氣吃力地說(shuō)：“累死我了”，小馬說(shuō)：“你還累，這么大的個(gè)，才比我多馱 2個(gè).”老牛氣不過(guò)地說(shuō)： “哼，我從你背上拿來(lái)一個(gè)，我的包裹就是你的 2倍！ ”，小馬大.真而不信地說(shuō)： “真的？ ！ ”它們各馱了多少包裹呢？問(wèn)題：這個(gè)問(wèn)題要求幾個(gè)量？教師注意引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)老牛和小馬的對(duì)話， 探索出其中的等量關(guān)系，依據(jù)等 量關(guān)系列出含有未知數(shù)的方程.【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生先獨(dú)立思考，代表發(fā)言.學(xué)生：設(shè)老牛馱了 x個(gè)包裹，小馬馱了 y個(gè)包裹.老牛馱的包裹數(shù)比小馬馱的多2個(gè)，可列方程：x y 2,若老牛從小馬背上拿來(lái)

10、1個(gè)包裹，就是小馬的兩倍，可列方程：x 1 2 y 1 .【設(shè)計(jì)意圖】以生動(dòng)有趣的老牛、小馬的對(duì)話引入，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體 會(huì)生活中無(wú)處不在的數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生再次經(jīng)歷建模的過(guò)程 .情境2:【教師活動(dòng)】昨大，我們8個(gè)人去紅山公園玩，買門票共花了 34元.每張成人票5元，每 張兒童票3元.到底去了幾個(gè)成人、幾個(gè)兒童呢？問(wèn)題：這個(gè)問(wèn)題要求幾個(gè)量？【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生先獨(dú)立思考，代表發(fā)言.學(xué)生：設(shè)去了 X個(gè)成人，y個(gè)兒童.根據(jù)題意得，x y 8, 5x 3y 34.【設(shè)計(jì)意圖】以貼近生活的問(wèn)題情境引入，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析問(wèn)題中的等量關(guān)系， 列出含 有兩個(gè)未知數(shù)的方程，進(jìn)一步體會(huì)方程的模型思想，

11、同時(shí)為后續(xù)關(guān)于二元一次方程的討論提供了素材.在問(wèn)題情境中，如果有學(xué)生認(rèn)為用一元一次方程也可以解答， 教師要肯定其 做法，并將答案保留下來(lái)，放到第二節(jié)二元一次方程組解法的學(xué)習(xí)中去， 讓學(xué)生 更有學(xué)習(xí)的好奇心與積極性.【教師活動(dòng)】問(wèn)題：上面的問(wèn)題中，我們分別得到方程x y 35,2x 4y 94;x y 2, x 1 2( y 1); x y 8,5x 3y 34.這些方程有什么共同的特征呢？【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生先獨(dú)立思考、再合作交流，通過(guò)觀察、分析、比較所列方程的特征，類 比一元一次方程，歸納出二元一次方程的概念 .【設(shè)計(jì)意圖】由數(shù)學(xué)情境挖掘數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性，去掉問(wèn)題背景，發(fā)現(xiàn)所列方程的共性，歸納 出二

12、元一次方程的概念，即含有兩個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是 1 的方程叫做二元一次方程.教師引導(dǎo)學(xué)生剖析概念中的關(guān)鍵詞，體會(huì)“所含未知 數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)”，進(jìn)一步加深對(duì)概念的理解.【教師活動(dòng)】練習(xí)：下列方程是二元一次方程嗎？為什么？(1) x y z 8(2) x 5( 2a 3b 13(4) xy y 6(5)7x 6y 4 16 (6) x2 y 7,、1y 9 x【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考，回歸概念，作出判斷.【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步鞏固對(duì)二元一次方程概念的理解.提高對(duì)“元”和“次”的認(rèn)識(shí) 【教師活動(dòng)】上面的方程x y 8,5x 3y 34中的x含義相同嗎？ y呢？【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生思考后回答x

13、、y的含義分別相同，并指出分別代表什么含義.【教師活動(dòng)】x、y的含義分別相同，因而x、y必須同時(shí)滿足這兩個(gè)方程，把它們用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，得x5xy 8, 3y 34'這樣就組成了 一個(gè)二元一次方程組“雞兔同籠”、“誰(shuí)的包裹多”問(wèn)題中x、y的含義也分別相同，也可以寫成這樣x-y 2, x 1 2( y 1).師生共同得出概念xyx3, 56x (2) y4y 93x 5x 2y 2(3)y3y 1 4x y 35的形式C A和2x 4y 94【學(xué)生活動(dòng)】 學(xué)生自己觀察、比較, 【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)兩個(gè)方程中X、y所代表的含義分別相同，且需要同時(shí)滿足兩 個(gè)方程.從而得出二元一次方程組的

14、概念： 像這樣，共含有兩個(gè)未知數(shù)的兩個(gè)一 次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組 .通過(guò)對(duì)概念中關(guān)鍵詞的分析， 體會(huì)“共”的含義，進(jìn)一步鞏固對(duì)概念的理解 .【教師活動(dòng)】練習(xí)：下列方程組是二元一次方程組嗎？為什么？(4) 3c【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生依據(jù)概念，作出判斷，舉手作答探究活動(dòng)2二【教師活動(dòng)1次方程的一個(gè)解、次方程組的解的概念問(wèn)題1：你能找到適合方程X y 8的X、y的值嗎?問(wèn)題2:你是如何找的?學(xué)生先列舉出x、y的值，并闡述方法：確定一個(gè) x值就能求出一個(gè)y值;確定一個(gè)y值就能求出一個(gè)x值，體會(huì)這樣的x、y值可以找到無(wú)數(shù)組，然后完成表格.【教師活動(dòng)】問(wèn)題4：你能用同樣的方法找到適合方程 5

15、x 3y 34的x、y的值嗎？問(wèn)題6：你能類比一元一次方程的解，說(shuō)一說(shuō)什么是二元一次方程的解嗎？ 【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生找到x、y的值，完成表格.通過(guò)類比，歸納二元一次方程解的概念：適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解.【設(shè)計(jì)意圖】由學(xué)生歸納概括二元一次方程的解的概念，提高學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力.讓學(xué)生體會(huì)二元一次方程有無(wú)數(shù)解，而由表格可觀察出兩個(gè)二元一次方程的公共解， 很自然地引入二元一次方程組解的概念：二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解， 叫做二元一次方程組的解.二元一次方程組的解也是基于同一字母代表同一個(gè)含 義，這樣對(duì)于每個(gè)方程來(lái)講相同字母才是一樣的，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)

16、這一點(diǎn).【教師活動(dòng)】問(wèn)題7:再回到“雞兔同籠”的問(wèn)題中，觀察、比較兩種方法 .一元一次方程的方法：設(shè)雞有x只，則兔有（35-x）只，根據(jù)題意，得2x 4（35-x） 94解得x 2335-23 12（只）答：雞有23只，兔有12只.二元一次方程組的方法：設(shè)雞有x只，兔有y只, 根據(jù)題意，得x y 352x 4y 94思考：能否用一元一次方程的解來(lái)驗(yàn)證是不是二元一次方程組的解呢？【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生快速口算驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)是二元一次方程組的解.【設(shè)計(jì)意圖】利用學(xué)生已解出的答案來(lái)驗(yàn)證，學(xué)以致用，進(jìn)一步加深對(duì)二元一次方程組解 的理解，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性，同時(shí)也巧妙地首尾呼應(yīng) .【總設(shè)計(jì)意圖】概念教學(xué)的核心是

17、引導(dǎo)學(xué)生開展概念活動(dòng)，首先以實(shí)際背景為載體，然后 隱去背景挖掘其本質(zhì)屬性，抽象概括出共同的本質(zhì)特征，從而歸納出數(shù)學(xué)概念， 強(qiáng)調(diào)學(xué)生經(jīng)歷概念的得出過(guò)程，體會(huì)概念形成的一般方法 .【教師活動(dòng)】練習(xí)：1.下列4組數(shù)值中,哪些是二元一次方程2xy 10的解?(1)x 2,y 6；x 3,(2)4；1x ；， 2y 9；(4)x 6, y 2.x 2y 10,2 .二元一次方程組y 2x的解是（x4,x3,x2,(1)y3； y6； y4；x 4,(4)y 2.3 .寫出二元一次方程3x y 9的所有正整數(shù)解.【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考及小組交流，代表講述方法，說(shuō)明理由 【設(shè)計(jì)意圖】1題：四個(gè)中有三個(gè)都是

18、這個(gè)方程的解，再次體會(huì)二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解2題：鼓勵(lì)學(xué)生采用多種方法求解.3題：讓學(xué)生知道二元一次方程的解有無(wú)數(shù)個(gè)，但某些二元一次方程的正整 數(shù)解卻有有限個(gè)，從而進(jìn)一步鞏固對(duì)概念的理解 .（三）鞏固訓(xùn)練，檢測(cè)目標(biāo)【教師活動(dòng)】m 1 2n 31 .若x y9是二元一次方程，則m n x 22 .寫出一個(gè)以°為解的二元一次方程（答案不唯一）y 3x3.如果y12是方程組x 2y3x ym的解，那么mnn 【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生分析、思考，代表回答.【設(shè)計(jì)意圖】檢驗(yàn)對(duì)二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念的理解 .（四）課堂小結(jié)，深化提升1 .本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些概念？2 .通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)

19、，你還想學(xué)習(xí)哪些知識(shí)？3 .本節(jié)課用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？【設(shè)計(jì)意圖】1 .通過(guò)回顧本節(jié)的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法， 發(fā)展學(xué)生歸納總結(jié)能力，發(fā)揮學(xué)生 的主體作用，.2 .學(xué)生談一談還想學(xué)習(xí)的內(nèi)容，為本章后續(xù)的學(xué)習(xí)埋下伏筆，形成知識(shí)體系. 同時(shí)也是今后研究分式方程、一元二次方程基本的思路 .（五）布置作業(yè)，分層訓(xùn)練基礎(chǔ)題：習(xí)題5.1 1、2、3提高題：習(xí)題5.1 5【設(shè)計(jì)意圖】分層作業(yè)既可以使優(yōu)等生更上一層樓， 又可以調(diào)動(dòng)學(xué)困生學(xué)習(xí)的積極性，有 利于學(xué)生保質(zhì)保量的完成作業(yè)，提高了學(xué)習(xí)的興趣 .六、課堂教學(xué)目標(biāo)檢測(cè)通過(guò)二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念習(xí)題的練習(xí)，檢測(cè)學(xué)生對(duì) 本節(jié)重點(diǎn)概念的理解，提高對(duì)“元”和“次”的認(rèn)識(shí).實(shí)現(xiàn)對(duì)教與學(xué)的及時(shí)反饋和糾正.在突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)的教學(xué)中，設(shè)置有針對(duì)性的習(xí)題，通過(guò)自主探究 及合作交流，讓不同層次的學(xué)生都學(xué)有所得.5.