第一章彈塑性力學(xué)基礎(chǔ)_材料的宏微觀力學(xué)性能

1、本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 1.1 預(yù)備知識預(yù)備知識1.2 1.2 應(yīng)力應(yīng)力1.3 1.3 應(yīng)變應(yīng)變 1.4 1.4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1.1 預(yù)備知識預(yù)備知識1.1.1 彈塑性力學(xué)的研究對象和任務(wù)彈塑性力學(xué)的研究對象和任務(wù)1.1.2 彈塑性力學(xué)中的基本假設(shè)彈塑性力學(xué)中的基本假設(shè)1.1.3 彈性與塑性彈性與塑性1.1.4 張量概念和求和約定張量概念和求和約定1.1.1 彈塑性力學(xué)的研究對象和任務(wù)彈塑性力學(xué)的研究對象和任務(wù) 研究對象：研究對象：可變形固體可變形固體 Deformation rigid 受到外載荷、溫度變化及邊界受到外載荷、溫度變化及邊界約束變動等作用時，可變形固體約束變動等作用

2、時，可變形固體的的彈塑性變形彈塑性變形和和應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)研究任務(wù)研究任務(wù)1.1.2 彈塑性力學(xué)中的基本假設(shè)彈塑性力學(xué)中的基本假設(shè) 連續(xù)性假設(shè)？連續(xù)性假設(shè)？ 均勻性假設(shè)？均勻性假設(shè)？ 各向同性假設(shè)？各向同性假設(shè)？ 小變形假設(shè)？小變形假設(shè)？請回憶請回憶材材料力學(xué)料力學(xué)課課程的假設(shè)程的假設(shè)1.1.3 彈性與塑性彈性與塑性 物體卸載以后，就完全消物體卸載以后，就完全消失的那種變形。失的那種變形。 卸載后不能消失而殘留下來卸載后不能消失而殘留下來的那部分變形。的那部分變形。彈性彈性變形變形塑性塑性變形變形彈性與塑性彈性與塑性低碳鋼試件簡單拉伸試驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變曲線低碳鋼試件簡單拉伸試驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變曲線 :比例極

3、限 ； :彈性極限； :屈服應(yīng)力 ； :線彈性階段； :非線性彈性階段； :塑性流動階段; :塑性應(yīng)變； :彈性應(yīng)變；A00PeOAABBC特別注特別注意卸載意卸載的路徑的路徑強(qiáng)化：應(yīng)力超出了彈性極限，強(qiáng)化：應(yīng)力超出了彈性極限，就相當(dāng)于增加了材料內(nèi)部對就相當(dāng)于增加了材料內(nèi)部對變形的抵抗能力的性質(zhì)。變形的抵抗能力的性質(zhì)。應(yīng)力應(yīng)變曲線理想化模型應(yīng)力應(yīng)變曲線理想化模型四種簡化的應(yīng)力應(yīng)變理想模型四種簡化的應(yīng)力應(yīng)變理想模型 (a)理想彈塑性模型；理想彈塑性模型；(b)理想剛理想剛塑性模型；塑性模型；(c) 理想彈塑性線性強(qiáng)化模型；理想彈塑性線性強(qiáng)化模型；(d)理想剛塑性線性強(qiáng)理想剛塑性線性強(qiáng)化模型化模型

4、 理想化模型的應(yīng)用實(shí)例：如，受內(nèi)壓作用的厚壁筒取理想化模型的應(yīng)用實(shí)例：如，受內(nèi)壓作用的厚壁筒取(a)(a)理理想彈塑性模型；形成塑性鉸的梁取想彈塑性模型；形成塑性鉸的梁取(b)(b)理想剛塑性模型理想剛塑性模型(a)(b)(c)(d)1.1.4 張量概念和求和約定 標(biāo)量標(biāo)量：不依賴于坐標(biāo)系，只有大小沒有：不依賴于坐標(biāo)系，只有大小沒有方向的物理量。如物體的質(zhì)量、密度、方向的物理量。如物體的質(zhì)量、密度、體積及動能、應(yīng)變能等。體積及動能、應(yīng)變能等。 張量張量：建立在選定的坐標(biāo)系中，用若干個獨(dú)建立在選定的坐標(biāo)系中，用若干個獨(dú)立的分量才能表達(dá)出來的物理量。立的分量才能表達(dá)出來的物理量。nn 二階張量，與

5、對稱的二階張量，與對稱的 階矩陣相對應(yīng)。階矩陣相對應(yīng)。張量的階 一階張量一階張量：由由3 3個獨(dú)立的量組成的集個獨(dú)立的量組成的集合稱為一階張量，又稱為矢量或向量，合稱為一階張量，又稱為矢量或向量，即既有大小又有方向的物理量，如空即既有大小又有方向的物理量，如空間中某點(diǎn)的幾何位置和位移。間中某點(diǎn)的幾何位置和位移。 二階張量二階張量：由：由9 9個獨(dú)立的物理量組成個獨(dú)立的物理量組成的集合，如空間中某點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)的集合，如空間中某點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變等。變等。張量的表示張量的表示(下標(biāo)記法下標(biāo)記法) 點(diǎn)的坐標(biāo)：點(diǎn)的坐標(biāo)：(x,y,z) x(x,y,z) xi i(i=1,2,3)(i=1,2,3) 應(yīng)力張

6、量應(yīng)力張量：3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1333231232221131211jiij物理物理意義？意義？且聽下回分解！EinsteinEinstein求和約定求和約定 求和約定求和約定：在用下標(biāo)記號法表示張量的：在用下標(biāo)記號法表示張量的某某一項(xiàng)一項(xiàng)時，如有兩個下標(biāo)相同，則表示對此時，如有兩個下標(biāo)相同，則表示對此下標(biāo)從下標(biāo)從1 1至至3 3求和求和, ,而重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)稱為而重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)稱為求求和標(biāo)號和標(biāo)號，不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)稱為自由標(biāo)號，不重復(fù)出現(xiàn)的下標(biāo)稱為自由標(biāo)號, ,可取從可取從1 1至至3 3的任意值的任意值 例如：例如：332211332211;babababaiiii柯氏

7、符號與排列符號柯氏符號與排列符號( (或置換符號或置換符號) )柯氏符號柯氏符號： 上式表示了九個量，但只有上式表示了九個量，但只有 三個量三個量不等于零。不等于零。 可用于換標(biāo)，如可用于換標(biāo)，如jijiij,0,1332211,321332211,aaaaaaaajjjjiji或即中任意兩個指標(biāo)相同時當(dāng)或或或或tsrtsrtsr,02,3, 13, 1,21,2,3, 12, 1,31,3,23,2, 1, 1erst 3, 2, 1,21tsrrttssrerst排列符號排列符號： 或或 排列符號含有排列符號含有2727個元素。其中指標(biāo)按正序排列的個元素。其中指標(biāo)按正序排列的三個元素為三個

8、元素為1 1，按逆序排列的三個元素為，按逆序排列的三個元素為1 1，其，其它帶有重指標(biāo)的元素都是它帶有重指標(biāo)的元素都是0 0。張量導(dǎo)數(shù)張量導(dǎo)數(shù) 張量導(dǎo)數(shù)張量導(dǎo)數(shù)：把張量的每個分量對坐標(biāo)參數(shù)：把張量的每個分量對坐標(biāo)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)。求導(dǎo)數(shù)。 在笛卡兒直角坐標(biāo)系中，張量的導(dǎo)數(shù)仍然在笛卡兒直角坐標(biāo)系中，張量的導(dǎo)數(shù)仍然是張量，張量導(dǎo)數(shù)的階數(shù)比原張量高一階。是張量，張量導(dǎo)數(shù)的階數(shù)比原張量高一階。 如一階張量，矢量如一階張量，矢量 的導(dǎo)數(shù)是二階張量。的導(dǎo)數(shù)是二階張量。V332313322212312111xVxVxVxVxVxVxVxVxVxVji1.2 應(yīng)力應(yīng)力1.2.1 外力和應(yīng)力外力和應(yīng)力1.2.2 平衡

9、方程和邊界條件平衡方程和邊界條件1.2.3 主應(yīng)力和主方向主應(yīng)力和主方向1.2.4 球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量1.2.1 外力和應(yīng)力外力和應(yīng)力 外力的表示外力的表示 1. 1. 體力體力：分布在物體體積內(nèi)的力，其大小與物體：分布在物體體積內(nèi)的力，其大小與物體的質(zhì)量成正比的質(zhì)量成正比 例如重力、磁力及運(yùn)動物體的慣性例如重力、磁力及運(yùn)動物體的慣性力等。力等。 物體在點(diǎn)物體在點(diǎn)P所受體力的集度：所受體力的集度： 矢量矢量F在坐標(biāo)軸上的投影稱為該物體在點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的投影稱為該物體在點(diǎn)P的體力的體力分量，以沿坐標(biāo)軸正方向時為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)方分量，以沿坐標(biāo)軸正方向時為正，沿坐標(biāo)軸

10、負(fù)方向時為負(fù)，量綱為向時為負(fù)，量綱為力力長度長度-3。 VVQFlim0外力的表示外力的表示 2. 2. 面力面力：分布在物體表面上的力，例如流：分布在物體表面上的力，例如流體壓力和接觸力。體壓力和接觸力。 物體在點(diǎn)物體在點(diǎn)P所受面力的集度：所受面力的集度： 矢量矢量T在坐標(biāo)軸上的投影稱為該物體在點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的投影稱為該物體在點(diǎn)P的體力分量的體力分量,以沿坐標(biāo)軸正方向時為正，沿以沿坐標(biāo)軸正方向時為正，沿坐標(biāo)軸負(fù)方向時為負(fù)，量綱為坐標(biāo)軸負(fù)方向時為負(fù)，量綱為力力長度長度-2SSQT0lim外力的表示外力的表示 (a) 體力體力; (b)面力面力(a)(b)應(yīng)力應(yīng)力用一個假想的閉合曲面把用一個假想的

11、閉合曲面把物體分成內(nèi)、外兩部分，物體分成內(nèi)、外兩部分，簡稱內(nèi)域和外域。假設(shè)當(dāng)簡稱內(nèi)域和外域。假設(shè)當(dāng)面元趨于面元趨于P P點(diǎn)，點(diǎn)， 時，時，比值比值 的極限存在，且的極限存在，且面元上作用力的合力矩與面元上作用力的合力矩與 的比值趨于零，則可定義的比值趨于零，則可定義 是作用在點(diǎn)是作用在點(diǎn)P P處法線為處法線為 的面元上的的面元上的應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量。 0SSFSSlim0Fvv 應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量的特點(diǎn)應(yīng)力矢量的特點(diǎn) 與面力矢量的聯(lián)系和區(qū)別：數(shù)學(xué)定義和物理量綱與面力矢量的聯(lián)系和區(qū)別：數(shù)學(xué)定義和物理量綱相同，但應(yīng)力是作用在物體內(nèi)截面上的相同，但應(yīng)力是作用在物體內(nèi)截面上的未知內(nèi)力未知內(nèi)力，而面

12、力是作用在物體外表面上的而面力是作用在物體外表面上的已知外力已知外力。當(dāng)內(nèi)。當(dāng)內(nèi)截面無限趨近于外表面時，應(yīng)力也趨近于外加面截面無限趨近于外表面時，應(yīng)力也趨近于外加面力的值。力的值。vr,vvvv 應(yīng)力矢量應(yīng)力矢量 的大小和方向不僅和點(diǎn)的位置有的大小和方向不僅和點(diǎn)的位置有關(guān)，而且和面元法線方向關(guān)，而且和面元法線方向 有關(guān)。如何描述一有關(guān)。如何描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)？點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)？ 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)九個應(yīng)力分量九個應(yīng)力分量 ：第一個指標(biāo)第一個指標(biāo) 表示面元的法線方表示面元的法線方向，稱面元指標(biāo)。第二指標(biāo)向，稱面元指標(biāo)。第二指標(biāo) 表表示應(yīng)力的分解方向，稱方向指標(biāo)。示應(yīng)力的分解方向，稱方向指標(biāo)

13、。當(dāng)當(dāng) 時，應(yīng)力分量垂直于面時，應(yīng)力分量垂直于面元元, ,稱為正應(yīng)力。當(dāng)稱為正應(yīng)力。當(dāng) 時，應(yīng)時，應(yīng)力分量作用在面元平面內(nèi)，稱為力分量作用在面元平面內(nèi)，稱為剪應(yīng)力剪應(yīng)力 。zzyzxyzyyxxzxyxijij或333231232221131211ji ji ij直角坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量直角坐標(biāo)系中的應(yīng)力分量1x一點(diǎn)處應(yīng)力分量正負(fù)的規(guī)定一點(diǎn)處應(yīng)力分量正負(fù)的規(guī)定 外法線與坐標(biāo)軸同向的面元稱為正面，外法線與坐標(biāo)軸同向的面元稱為正面，反之為負(fù)面。反之為負(fù)面。ij 九個應(yīng)力分量九個應(yīng)力分量 的正向規(guī)定的正向規(guī)定; ;正面上與坐標(biāo)軸同正面上與坐標(biāo)軸同向?yàn)檎回?fù)面上與坐標(biāo)軸反向?yàn)檎驗(yàn)檎?；?fù)面上與坐標(biāo)軸反向

14、為正 上述規(guī)定正確地反映了作用與反作用原理和上述規(guī)定正確地反映了作用與反作用原理和“受拉為正、受壓為負(fù)受拉為正、受壓為負(fù)”的傳統(tǒng)觀念，數(shù)學(xué)處理也的傳統(tǒng)觀念，數(shù)學(xué)處理也比較統(tǒng)一。但剪應(yīng)力正向和材料力學(xué)規(guī)定不同。比較統(tǒng)一。但剪應(yīng)力正向和材料力學(xué)規(guī)定不同。 1.2.21.2.2平衡方程平衡方程和邊界條件和邊界條件考慮單元體沿三個坐標(biāo)軸方向的力考慮單元體沿三個坐標(biāo)軸方向的力的平衡條件，按泰勒級數(shù)展開并略的平衡條件，按泰勒級數(shù)展開并略去高階小量后，分別得到微元體沿去高階小量后，分別得到微元體沿x x1 1方向、方向、x x2 2方向、方向、x x3 3方向的力的平方向的力的平衡條件，如右式：衡條件，如右

15、式：即運(yùn)動微分方程 ：01331221111Fxxx02332222112Fxxx03333223113Fxxx0,ijjiF22,tuFiijji剪應(yīng)力互等定律剪應(yīng)力互等定律考慮微元體的力矩平衡。分別對通過形心C，沿x1，x2，x3方向的軸取矩，則得到剪應(yīng)力互等定律：即：;133132232112jiij斜面應(yīng)力公式斜面應(yīng)力公式由四面體微元的平衡條由四面體微元的平衡條件，可以得到任意斜面件，可以得到任意斜面上的應(yīng)力公式，又稱上的應(yīng)力公式，又稱 Cauchy(Cauchy(哥西哥西) )公式：公式：其中, vvjieevij,應(yīng)力張量是斜面的法向矢量 333232131332322212123

16、132121111vvvvvvvvvvvv 任意斜面上的應(yīng)力任意斜面上的應(yīng)力斜面應(yīng)力公式的應(yīng)用斜面應(yīng)力公式的應(yīng)用1. 1. 求斜面上的各種應(yīng)力求斜面上的各種應(yīng)力 ( (已知正截面上的應(yīng)力已知正截面上的應(yīng)力張量和斜面的法向矢量張量和斜面的法向矢量) ) 2233221232221,cos,cos,cosnvjiijnnnnvvvvvv1vvvvvvvvvx,x,x,nvvvvv其大小為斜面剪應(yīng)力：其大小為斜面正應(yīng)力：斜面應(yīng)力的方向：斜面應(yīng)力的大?。盒泵鎽?yīng)力公式的應(yīng)用斜面應(yīng)力公式的應(yīng)用2. 2. 給定力邊界條件給定力邊界條件若斜面是物體的邊界面，且給定面力若斜面是物體的邊界面，且給定面力 ，則未，

17、則未知應(yīng)力場的力邊界條件知應(yīng)力場的力邊界條件 ijijvT即, vTvT的方向余弦為邊界面外法線其中nmlnmlTnmlTnmlTzyzxzzzyyxyyzxyxxx,;你會寫你會寫出分量出分量形式嗎？形式嗎？1.2.3 1.2.3 主應(yīng)力和主方向主應(yīng)力和主方向 概念概念: :當(dāng)面元上只有正應(yīng)力，剪應(yīng)力等于零，此時當(dāng)面元上只有正應(yīng)力，剪應(yīng)力等于零，此時的面元法線方向稱為的面元法線方向稱為主方向主方向，相應(yīng)的正應(yīng)力稱為，相應(yīng)的正應(yīng)力稱為主主應(yīng)力應(yīng)力，所在的面為，所在的面為主平面主平面。3, 2, 1; 3, 2, 10ijvijvijiv jjvjijivvevevvv0jvijivviv求某個

18、法線方向求某個法線方向 ，使?jié)M足方程，使?jié)M足方程 即即 , , 換標(biāo)后換標(biāo)后, ,即求對即求對 的線性代數(shù)的線性代數(shù)方程組方程組 你會用數(shù)學(xué)的你會用數(shù)學(xué)的語言表示嗎？語言表示嗎？求解主應(yīng)力和主方向求解主應(yīng)力和主方向線性代數(shù)方程組線性代數(shù)方程組 存在非零解的存在非零解的必要條件是系數(shù)行列式等于零，即必要條件是系數(shù)行列式等于零，即得得 的的特征方程特征方程3, 2, 1, 0jvijviji0333231232221131211vvvv032213JJJvvv132 該方程的三個特征根即為主應(yīng)力值，將主應(yīng)力值該方程的三個特征根即為主應(yīng)力值，將主應(yīng)力值代入線性方程組，即可求得各主應(yīng)力值對應(yīng)的主方代入

19、線性方程組，即可求得各主應(yīng)力值對應(yīng)的主方向。通常，將主應(yīng)力按其代數(shù)值的大小排列，稱為向。通常，將主應(yīng)力按其代數(shù)值的大小排列，稱為第一主應(yīng)力第一主應(yīng)力 , ,第二主應(yīng)力第二主應(yīng)力 和第三主應(yīng)力和第三主應(yīng)力 。你是否發(fā)你是否發(fā)現(xiàn)張量與現(xiàn)張量與矩陣的某矩陣的某種關(guān)系？種關(guān)系？應(yīng)力張量的不變量應(yīng)力張量的不變量 特征方程中出項(xiàng)的系數(shù)特征方程中出項(xiàng)的系數(shù)J J1 1、J J2 2、J J3 3分別稱為分別稱為應(yīng)力應(yīng)力張量的第一、第二、第三不變量張量的第一、第二、第三不變量。 應(yīng)力張量的不變量的具體表述應(yīng)力張量的不變量的具體表述 det312121212121321333231232221131211321

20、22211211323113113332232223213322111JJJeJJJtrJkijkijkjiijkijijijijjjiiii與坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的選軸的選取無關(guān)取無關(guān)1.2.4 球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量 某一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可以分解為兩部分，球形應(yīng)某一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)可以分解為兩部分，球形應(yīng)力張量力張量 和應(yīng)力偏量張量和應(yīng)力偏量張量 ，即，即其中，其中，ImSSImmzzyzxyzmyyxxzxymxzyxmmmmmSI3213131,000000應(yīng)力偏量張量的不變量應(yīng)力偏量張量的不變量 應(yīng)力偏量張量的第一不變量應(yīng)力偏量張量的第一不變量 應(yīng)力偏量張量的第二不

21、變量應(yīng)力偏量張量的第二不變量 應(yīng)力偏量張量的第三不變量應(yīng)力偏量張量的第三不變量 因因 恒負(fù)，常改寫為恒負(fù)，常改寫為01kkSIijijijijSSSSII212112kijkijkijkijSSSIIISSSI313131212132IkijkijijijSSSIJSSIJJ31,6121, 0332132322212211.3 應(yīng)變應(yīng)變1.3.1 變形和應(yīng)變變形和應(yīng)變1.3.2 協(xié)調(diào)方程協(xié)調(diào)方程1.3.3 主應(yīng)變和主方向主應(yīng)變和主方向1.3.1 變形和應(yīng)變變形和應(yīng)變1. 1.位移的描述位移的描述 zyxuu,zyxvv,zyxww, 剛體位移 變形 構(gòu)形構(gòu)形2. 2.應(yīng)變的描述應(yīng)變的描述 過

22、點(diǎn) 沿坐標(biāo)軸方向取三個互相垂直的微線段 、 、 ，其長度分別為 、 、 ，物體在外力作用下發(fā)生變形，過點(diǎn)P的這三個微線段的長度和它們之間的夾角將發(fā)生改變。微線段相對長度的改變稱為點(diǎn)的正應(yīng)變，用 表示。規(guī)定正應(yīng)變以伸長為正，縮短為負(fù)。微線段間夾角的改變量稱為點(diǎn)的剪應(yīng)變，用 表示。規(guī)定剪應(yīng)變以微線段間夾角減少為正，增大為負(fù)。PdxdydzPAPBPC先復(fù)習(xí)材料力先復(fù)習(xí)材料力學(xué)中應(yīng)變的定學(xué)中應(yīng)變的定義。應(yīng)變的感義。應(yīng)變的感性認(rèn)識！性認(rèn)識！3. 3. 幾何方程幾何方程 由上圖可知：線元的長度變化與方向改變是描述物體變形(包括體積變化和形狀畸變)的關(guān)鍵量 PQ321,aaaP332211,daadaad

23、aaQ長度變化：QP321,xxxP332211,dxxdxxdxxQPQ：iiaOPea iiidaadOQeaaiidadOPOQPQea iixPOex iiidxxdQOexxiidxdPOQOQPex QP：應(yīng)變的理性應(yīng)變的理性認(rèn)識！認(rèn)識！PQ線元的長度平方為： jiijiidadadadadddsaa20QP線元 的長度平方為： mmdxdxdddsxx2采用拉格朗日描述法( )： immaxxiimmdaaxdx有：jijmimdadaaxaxds2則：jiijdadaEdsds2202ijjmimijaxaxE21( )應(yīng)變的應(yīng)變的嚴(yán)格定嚴(yán)格定義！義！則：ijjmmjimmii

24、jauauE21jmimijjiauauauau21采用拉格朗日描述法： immimauaax求導(dǎo)得 immiimauax 本課程的研究對象是位移比物體最小尺寸小得多的小變形情況，這時位移分量的一階導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)小于1 1 1jiau1jjxu 略去高階小量后jijkkjkijkkijixuauxuaxxuau因而在描述物體變形時，對坐標(biāo) 和 可以不加區(qū)別 iaix在小變形情況下 ijjiijijuuE,21ij稱為哥西(Cauchy)應(yīng)變張量或小應(yīng)變張量，是二階對稱張量 1111xu1221211221xuxu2222xu2332322321xuxu3333xu3113133121xuxu應(yīng)變位移公

25、式 or幾何方程應(yīng)變位移方應(yīng)變位移方程或稱為幾程或稱為幾何方程何方程分析長度變化 線元 PQ方向的單位矢量為 iiiivdsdadsdeea000dsdavii為線元 PQ的方向余弦 引進(jìn)定義 0dsdsv表示變形前后線元的長度變化，稱為長度比 則jiijjiijvvvvvdsds1212/10 通常定義 方向線元的工程正應(yīng)變 為變形后線元長度的相對變化 v即100vvdsdsds故有jiijvvv展開133132232112333322221111222vvvvvvvvvvvvie當(dāng)取 分別為 時 ，有3 , 2 , 1i332211zyx 應(yīng)變量張量 的三個對角分量分別等于坐標(biāo)軸方向三個線

26、元的工程正應(yīng)變 ij分析方向改變 線元 QP方向的單位矢量為 iiiivdsdxdsdeex方向余弦 vjjijjiiiaxdsdsdsdaaxdsdxv100immiimauax利用，任意線元變形后的方向余弦可用位移表示成 vjjijiivauv1 利用 和 的表達(dá)式，忽略二階小量后可得 vvvvv1111故vijjiiivvauvv變形前的兩個任意線元 和 PQPR，其單位矢量分別為 和 ， t方向余弦分別為 和 ivitPQPR， 和 的夾角余弦為 iitvtt,cos，其單位矢量分別為 和 ， 方向余弦分別為 和 變形后，兩線元變?yōu)?和 QPRPtivitQPRP， 和 的夾角余弦為

27、jijitvt21,cos ttt 若變形前兩方向的線元互相垂直，并令若變形前兩方向的線元互相垂直，并令 為變形后為變形后線元間直角的減小量，則線元間直角的減小量，則 vtjiijtv22,cos2cost通常定義兩正交線元間的直角減小量為工程剪應(yīng)變通常定義兩正交線元間的直角減小量為工程剪應(yīng)變 vtjiijvtvttv22 若 為坐標(biāo)軸方向的單位矢量，例如 ，其余的方向余弦均為零，則由上式得 jitvji1, 1t,ijij2ji 由上面的討論可以看到，小應(yīng)變張量的六由上面的討論可以看到，小應(yīng)變張量的六個分量個分量 的幾何意義是：當(dāng)指標(biāo)的幾何意義是：當(dāng)指標(biāo) 時，時， 表示沿坐標(biāo)軸表示沿坐標(biāo)軸

28、方向線元的正應(yīng)變。以伸長方向線元的正應(yīng)變。以伸長為正，縮短為負(fù)；當(dāng)指標(biāo)為正，縮短為負(fù)；當(dāng)指標(biāo) 時，時， 的兩倍的兩倍表示坐標(biāo)軸表示坐標(biāo)軸 與與 方向兩個正交線元間的剪方向兩個正交線元間的剪應(yīng)變。以銳化應(yīng)變。以銳化( (直角減小直角減小) )為正，鈍化為正，鈍化( (直角增直角增加加) )為負(fù)為負(fù) 。ijji ijiji ijij幾何意義1.3.2 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 六個應(yīng)變分量通過六個幾何方程與三個位移相聯(lián)系六個應(yīng)變分量通過六個幾何方程與三個位移相聯(lián)系ijjiijxuxu21ij 給定，上式就是關(guān)于 的微分方程。由于方程數(shù)目多于未知函數(shù)的數(shù)目，因此，若任意給定 ，方程不一定有解。只有當(dāng)

29、 滿足某種可積條件，或稱應(yīng)變協(xié)調(diào)關(guān)系時，才能由上述方程積分得到單值連續(xù)的位移場 。iuijijiu 從幾何上講，若某一初始連續(xù)的物體按給定的應(yīng)變狀態(tài)從幾何上講，若某一初始連續(xù)的物體按給定的應(yīng)變狀態(tài)變形時，能始終保持連續(xù)，既不開裂，又不重疊，則所給變形時，能始終保持連續(xù)，既不開裂，又不重疊，則所給的應(yīng)變是協(xié)調(diào)的，否則是不協(xié)調(diào)的的應(yīng)變是協(xié)調(diào)的，否則是不協(xié)調(diào)的( (如下圖如下圖) )。 對于單值連續(xù)的位移場，位移分量對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)與求對于單值連續(xù)的位移場，位移分量對坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)與求導(dǎo)順序無關(guān)，由此可以導(dǎo)出應(yīng)變分量的協(xié)調(diào)條件。導(dǎo)順序無關(guān)，由此可以導(dǎo)出應(yīng)變分量的協(xié)調(diào)條件。小應(yīng)變張量 的二階偏導(dǎo)數(shù)為

30、ijikljjkliklijuu,21式中逗號前是分量指標(biāo)，逗號后是導(dǎo)數(shù)指標(biāo) 為了建立不同應(yīng)變分量間的關(guān)系，把兩個分量指標(biāo)和兩為了建立不同應(yīng)變分量間的關(guān)系，把兩個分量指標(biāo)和兩個導(dǎo)數(shù)指標(biāo)雙雙對換可得個導(dǎo)數(shù)指標(biāo)雙雙對換可得kijllijkijkluu,21同理 ijlkkjlijlikuu,21jikllikjikjluu,21 當(dāng)位移場單值連續(xù)，并存在三階以上連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時，偏導(dǎo)當(dāng)位移場單值連續(xù)，并存在三階以上連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時，偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)，于是數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)，于是 0,ikjljlikijklklij應(yīng)變協(xié)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程調(diào)方程協(xié)調(diào)方程數(shù)目為六個，在直角坐標(biāo)系中的常用形式是 021122212

31、2222112xxxx (22，11)或(11，22) 0322322233223222xxxx (33，22)或(22，33) 0311322311221332xxxx (11，33)或(33，11) 31223112313211221xxxxxx (23，11)或(31，21) 12331223121322221xxxxxx (31，22)或(12，32) 23112331232133221xxxxxx (12，33)或(23，13) 綜上所述，物體的變形可以用位移矢量場綜上所述，物體的變形可以用位移矢量場( (三個位移三個位移分量分量) )來描述，也可用應(yīng)變張量場來描述，也可用應(yīng)變張量場

32、( (六個應(yīng)變分量六個應(yīng)變分量) )來描述。來描述。當(dāng)用位移描述時，只要位移函數(shù)連續(xù)且足夠光滑，協(xié)調(diào)當(dāng)用位移描述時，只要位移函數(shù)連續(xù)且足夠光滑，協(xié)調(diào)方程就自動滿足。當(dāng)用應(yīng)變描述時，六個應(yīng)變分量必須方程就自動滿足。當(dāng)用應(yīng)變描述時，六個應(yīng)變分量必須首先滿足協(xié)調(diào)方程。只有從協(xié)調(diào)的應(yīng)變場才能積分幾何首先滿足協(xié)調(diào)方程。只有從協(xié)調(diào)的應(yīng)變場才能積分幾何方程，得到相應(yīng)的位移場。方程，得到相應(yīng)的位移場。1.3.3 主應(yīng)變和主方向主應(yīng)變和主方向 和討論應(yīng)力狀態(tài)相類似。我們把剪應(yīng)變等于零的面叫做主和討論應(yīng)力狀態(tài)相類似。我們把剪應(yīng)變等于零的面叫做主平面，主平面的法線方向叫做主應(yīng)變方向，主平面上的正應(yīng)平面，主平面的法線

33、方向叫做主應(yīng)變方向，主平面上的正應(yīng)變就是主應(yīng)變。變就是主應(yīng)變。 設(shè)設(shè) 為沿應(yīng)變張量主方向的單位矢量，為沿應(yīng)變張量主方向的單位矢量， 為相應(yīng)的主應(yīng)變，為相應(yīng)的主應(yīng)變，則按照張量主方向的定義有則按照張量主方向的定義有 vvvvv0jijvijv令上式的系數(shù)行列式為零，就得到確定主應(yīng)變的特征方程令上式的系數(shù)行列式為零，就得到確定主應(yīng)變的特征方程 032213IIIvvv3322111iiI其中)()(212312232121133332222112ijijjjiiI)(22123323122223113123123322113213kjiijkeI分別稱為第一、第二和第三應(yīng)變不變量 沿主方向取出邊長

34、為沿主方向取出邊長為 、 、 的正六面體，變形后其的正六面體，變形后其相對體積變化為相對體積變化為( (略去高階小量略去高階小量) ) 1dx2dx3dxdVdVVdv321321333222111111dxdxdxdxdxdxdxdxdx1332211I 因此第一應(yīng)變不變量表示每單位體積變形后的體積變化，因此第一應(yīng)變不變量表示每單位體積變形后的體積變化，又稱體積應(yīng)變。又稱體積應(yīng)變。 和應(yīng)力張量一樣，應(yīng)變張量也可分解為球形應(yīng)變張量和應(yīng)變偏量張量之和Ikk31ijijkkij31其中mmmijmijkk00000031稱為球形應(yīng)變張量 則 mmmijkkijij33323123222113121

35、131稱為應(yīng)變偏量張量稱為應(yīng)變偏量張量 容易看出 0ii即應(yīng)變偏量張量不產(chǎn)生體積變化，僅表示形狀畸變即應(yīng)變偏量張量不產(chǎn)生體積變化，僅表示形狀畸變 1.4 應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1.4.1 廣義虎克定律廣義虎克定律1.4.2 彈性應(yīng)變能函數(shù)彈性應(yīng)變能函數(shù)1.4.3 屈服函數(shù)和屈服面屈服函數(shù)和屈服面1.4.4 兩個常用屈服條件兩個常用屈服條件1.4.5 增量理論增量理論1.4.6 全量理論全量理論1.4.1廣義虎克定律廣義虎克定律Exxxx熟悉Evvxxxxzzyy沿沿x x方向單軸拉伸方向單軸拉伸：同理，沿同理，沿y y或或z z方向單軸拉伸方向單軸拉伸：EyyyyEvyyxxzz Ezzzz

36、Evzzyyxx 三個方向同時受力三個方向同時受力yyxxzzzzzzxxyyyyzzyyxxxxvEvEvE111三向拉伸三向拉伸詳細(xì)證明見教材。容易證明：在純剪切狀態(tài)下，我們Ev12同時受到軸向拉伸和剪切作用時同時受到軸向拉伸和剪切作用時kkzyxijijijEvEvEvEv其中，I11Eve21321vEKKekkm213,31vEGG12,2S體積應(yīng)變：體積應(yīng)變：平均應(yīng)力：平均應(yīng)力：應(yīng)力偏量張量與應(yīng)變偏量張量：應(yīng)力偏量張量與應(yīng)變偏量張量：平面問題平面問題0zzyzx1xxyE1yyxEyxzE112xyxyxyGE0yzxz平面應(yīng)力問題：平面應(yīng)力問題：薄板，在厚度方薄板，在厚度方向無載

37、荷向無載荷平面應(yīng)平面應(yīng)力的本力的本構(gòu)關(guān)系構(gòu)關(guān)系0w平面應(yīng)變問題：長平面應(yīng)變問題：長柱體，在柱體，在z方向位方向位移受到限制移受到限制2111xxy E2111yyx E12xyxyG平面應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系平面應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系可以寫成統(tǒng)一形可以寫成統(tǒng)一形式！如何寫？式！如何寫？1.4.2 彈性應(yīng)變能函數(shù)彈性應(yīng)變能函數(shù)當(dāng)外力緩慢地當(dāng)外力緩慢地( (不致引起不致引起物體產(chǎn)生加速運(yùn)動物體產(chǎn)生加速運(yùn)動) )加到加到物體上時物體上時, ,便可忽略系統(tǒng)便可忽略系統(tǒng)的動能的動能, ,同時也略去其他同時也略去其他能量能量( (如熱能等如熱能等) )的消耗的消耗, ,則外力勢能的變化就全部則外力勢能的變化就全部轉(zhuǎn)化為應(yīng)

38、變能轉(zhuǎn)化為應(yīng)變能( (一種勢能一種勢能) )儲存于物體的內(nèi)部。儲存于物體的內(nèi)部。設(shè)材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為非線性的，各表面上的應(yīng)力合力對微元所做的外力功 111100111111132111dVddxddxdxdA應(yīng)變能密度函數(shù)應(yīng)變能密度函數(shù)由應(yīng)變能密度函數(shù)定義得：由應(yīng)變能密度函數(shù)定義得： 則則 其中，其中， 和和 分別為物體分別為物體變形前后的應(yīng)變能密度。取變形前的初始狀態(tài)為變形前后的應(yīng)變能密度。取變形前的初始狀態(tài)為參考狀態(tài)，因而參考狀態(tài)，因而 則則ijijijijddVdAW0dWdWdijijijij)0()(0WWdWdVdAijij)0(W ijW0)0(W意義：意義：(1)變形過程中物

39、體內(nèi)儲存起來的應(yīng)變能變形過程中物體內(nèi)儲存起來的應(yīng)變能密度等于單位體積的外力功密度等于單位體積的外力功；(2)變形后物體內(nèi)變形后物體內(nèi)的應(yīng)變能密度只與物體的初始狀態(tài)和最終變形狀的應(yīng)變能密度只與物體的初始狀態(tài)和最終變形狀態(tài)有關(guān)，而與物體達(dá)到最終變形狀態(tài)前的變形歷態(tài)有關(guān)，而與物體達(dá)到最終變形狀態(tài)前的變形歷史無關(guān)。史無關(guān)。 體變能和畸變能體變能和畸變能由于體積變化所儲存在單位體積內(nèi)的應(yīng)變能由于體積變化所儲存在單位體積內(nèi)的應(yīng)變能( (簡稱為簡稱為體變能體變能) )為：為：222181181223KKKuzyxmmmVvEeKm213 22121JGsuijijf22121181JGIKuuWfV其中，彈

40、性體積膨脹系數(shù)：其中，彈性體積膨脹系數(shù)：由于形狀變化所儲存在單位體積內(nèi)的應(yīng)變能由于形狀變化所儲存在單位體積內(nèi)的應(yīng)變能( (簡稱簡稱為畸變能為畸變能) )為：為：總應(yīng)變能為：總應(yīng)變能為：1.4.3 屈服函數(shù)和屈服曲面屈服函數(shù)和屈服曲面簡單應(yīng)力狀態(tài)下簡單應(yīng)力狀態(tài)下, ,屈服應(yīng)力可由簡單拉伸屈服應(yīng)力可由簡單拉伸( (壓縮壓縮) )實(shí)驗(yàn)圖明顯看出實(shí)驗(yàn)圖明顯看出 , ,較復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的屈服條件較復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的屈服條件, ,一般地要由實(shí)驗(yàn)確定一般地要由實(shí)驗(yàn)確定. .但對于理論分析來說但對于理論分析來說, , 則要則要求在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上給出屈服條件的解析表達(dá)式。求在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上給出屈服條件的解析表達(dá)式。0ij

41、f在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的初始彈性狀態(tài)的界限稱為屈服條在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的初始彈性狀態(tài)的界限稱為屈服條件。一般說來它可以是應(yīng)力，應(yīng)變，時間，溫度等的件。一般說來它可以是應(yīng)力，應(yīng)變，時間，溫度等的函數(shù)，可以寫成函數(shù)，可以寫成0,Ttijij屈服屈服函數(shù)函數(shù)在六維在六維應(yīng)力空應(yīng)力空間中間中屈屈服曲面服曲面屈服函數(shù)其它形式的寫法屈服函數(shù)其它形式的寫法0,321f0ijSf各向同性材料，與各向同性材料，與坐標(biāo)的選取無關(guān)坐標(biāo)的選取無關(guān)靜水應(yīng)靜水應(yīng)力無關(guān)力無關(guān) 平面平面在主應(yīng)力空間中，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由在主應(yīng)力空間中，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由向量向量 來描述。設(shè)以來描述。設(shè)以 表示主應(yīng)表示主應(yīng)力空間中三個坐標(biāo)軸方向的單

42、位向量，力空間中三個坐標(biāo)軸方向的單位向量，則則 向量是主應(yīng)力偏向量，向量是主應(yīng)力偏向量， 向量與主向量與主應(yīng)力軸的夾角相等，正交于過原點(diǎn)的平應(yīng)力軸的夾角相等，正交于過原點(diǎn)的平面面 OPkji, ONOQkjiksjsisOP321322321kjiOQON0321平面所以應(yīng)力偏向量 總是在平面內(nèi)，因而只要用兩個參數(shù)就可以確定它。 OQ0321sss平面m321:屈服曲面屈服曲面則如果點(diǎn)則如果點(diǎn) 是屈服點(diǎn)，是屈服點(diǎn)，那么直線那么直線 上所有的點(diǎn)上所有的點(diǎn)必然都是屈服點(diǎn)。必然都是屈服點(diǎn)。在主應(yīng)力空間內(nèi)，屈服在主應(yīng)力空間內(nèi)，屈服面是一個以直線面是一個以直線 為軸為軸線且母線平行于直線線且母線平行于直

43、線 ( (垂直于平面垂直于平面 ) )的正圓的正圓柱面。柱面。 P重要重要結(jié)論！結(jié)論！屈服屈服曲面曲面屈服曲線屈服曲線2oNNLMLPMP屈服曲面在平面屈服曲面在平面 上的投影為圓。上的投影為圓。屈服曲線的重要特性：屈服曲線的重要特性： 屈服曲線是一條封閉曲線，坐標(biāo)原點(diǎn)被屈服曲線是一條封閉曲線，坐標(biāo)原點(diǎn)被原點(diǎn)包圍在內(nèi)，屈服曲線內(nèi)部是彈性應(yīng)原點(diǎn)包圍在內(nèi)，屈服曲線內(nèi)部是彈性應(yīng)力狀態(tài)，外部則是塑性應(yīng)力狀態(tài)。力狀態(tài)，外部則是塑性應(yīng)力狀態(tài)。 屈服曲線與任意一條從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的屈服曲線與任意一條從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)的向徑必然相交一次，而且僅相交一次。向徑必然相交一次，而且僅相交一次。 屈服曲線對于三個坐標(biāo)軸及其垂線均對稱。屈服曲線有六條對稱線，屈服曲線對于三個坐標(biāo)軸及其垂線均對稱。屈服曲線有六條對稱線，這六條直線把屈服曲線分割成十二個成這六條直線把屈服曲線分割成十二個成 角的形狀相同的扇形；只要角的形狀相同的扇形；只要求出這十二個中的任何一個，就可根據(jù)對稱性作出整個屈服曲線。求出這十二個中的任何一個，就可根據(jù)對稱性作出整個屈服曲線。301.4.4 常用屈服條件常用屈服條件 TrescaTresca屈服準(zhǔn)則屈服準(zhǔn)則（最大剪應(yīng)力屈服條件）（最大剪應(yīng)力屈服條件）當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某