（整理版）高中數(shù)學(xué)一類最值不等式問題的求解通法

1、高中數(shù)學(xué)一類最值不等式問題的求解通法有一類最值不等式問題，可以一般地表示為：求證有的地方也將其表示為雙重最值的形式：這類問題求解思路靈活，文1給出的多種解法主要涉及分類討論和反設(shè)歸謬，本文要提供的是一種直接求解的思路，只用到設(shè)元、消元運(yùn)算，且具有明顯的可操作性。1 方法的例如例1 試證對(duì)任意的，有。參見文1分析 假設(shè)將求證式左邊用字母x來(lái)表示，那么問題便轉(zhuǎn)化為比照條件與結(jié)論的差異知差異分析法，應(yīng)消去a,b，得出關(guān)于x的不等式。怎樣消去a,b成為問題的關(guān)鍵，此處用加減消元法，其加減運(yùn)算中的系數(shù)可用待定系數(shù)法來(lái)確定，由絕對(duì)值的定義，有引進(jìn)待定系數(shù)，考慮。為使其消去a,b，令方程組有無(wú)窮解，我們?nèi)∫?/p>

2、個(gè)，?？砂炎?yōu)橄嗉?。得。由這個(gè)分析過程我們還看到，因?yàn)榉匠探M有解a=0，。即a=0，b=時(shí)，。思路打通之后，求解過程的書寫可以簡(jiǎn)化。證明 設(shè)，有，。2×，得，得。即。其中式的運(yùn)算背景是?？偨Y(jié) 由上面的分析和求解過程，可以得出這類問題的可操作步驟，分三步說明如下。第1步，設(shè)，得不等式組第2步，消去a,b，得出關(guān)于x的不等式。第3步，解不等式得。其中第2步是關(guān)鍵，可以根據(jù)的結(jié)構(gòu)而采用加減消元法，代入消元法，乘除消元法，不等式放縮消元法等。例2 銳角abc的三個(gè)內(nèi)角滿足a>b>c。用表示ab，bc以及90°a中的最小者。那么的最大值是_。分析 這個(gè)問題可以改寫為求首先

3、，由為最小者有引進(jìn)待定系數(shù)，考慮。為了能用到abc=180°，從而消去a，b，c，可設(shè)，得取，從而。由有相加又當(dāng)中各式取等號(hào)時(shí)，有，得a=75°，b=60°，c=45°時(shí)，可取到最大值15°。解 由條件有 又當(dāng)式取等號(hào)時(shí)，有90°a=ab=bc=15°，得a=75°，b=60°，c=45°時(shí)，可取到最大值15°。故填15°。說明 此解法中的式正是式的簡(jiǎn)寫，又由題目中已給出。，所以第1步中的設(shè)元也就省略了。2 方法的應(yīng)用例3 設(shè)，且，求。解 設(shè)，那么。當(dāng)時(shí)，可解得，故得。例4 假設(shè)，求1，2。解 1設(shè)，有，把，代入，有。當(dāng)，取等號(hào)時(shí)，可得且x取到最大值，故有。說明 此題假設(shè)對(duì)、用不等式處理，由，只能得出，得不出。假設(shè)改為，也得出正確結(jié)論，但比上述代入消元使用的知識(shí)多了，運(yùn)用的技巧復(fù)雜了，這再次說明本文提供