（整理版）高二數(shù)學(xué)求曲線的軌跡方程人教實(shí)驗(yàn)（B）

1、高二數(shù)學(xué)求曲線的軌跡方程人教實(shí)驗(yàn)版b【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：求曲線的軌跡方程二. 學(xué)習(xí)目標(biāo)求曲線的方程是解析幾何中的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，是解答題取材的源泉。求曲線的軌跡方程的常用方法很重要。三. 考點(diǎn)分析1、求曲線方程的步驟：1建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y表示曲線上任意一點(diǎn)m的坐標(biāo)；2寫出適合條件p的點(diǎn)m的集合p=mpm；3用坐標(biāo)表示條件pm,列出方程fx,y=0；4化方程fx,y=0為最簡(jiǎn)形式；5說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。2、求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、待定系數(shù)法、參數(shù)法、交軌法。1直接法：將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，

2、列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，即直接通過(guò)建立x、y之間的關(guān)系，構(gòu)成fx,y0，此法是求軌跡的最根本的方法。2定義法：運(yùn)用解析幾何中一些常用定義如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等， 可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系，從而求出軌跡方程。注：用定義法求曲線方程，靈活運(yùn)用題設(shè)重要條件，確定動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系，結(jié)合圓錐曲線定義確定方程的類型。步驟：列出等量關(guān)系式；由等式的幾何意義，結(jié)合圓錐曲線的定義確定軌跡的形狀；寫出方程。利用“定義法求軌跡方程的關(guān)鍵：找出動(dòng)點(diǎn)滿足的等量關(guān)系。3代入法相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法：動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易表述或求出，但形成的軌跡的動(dòng)點(diǎn)px,y卻隨著另一動(dòng)點(diǎn)qx1,y

3、1的運(yùn)動(dòng)而 有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)q的軌跡為給定或容易求得，那么可先將x1,y1 表示為x、y的式子，再代入q的軌跡方程，然后整理得p的軌跡方程。4待定系數(shù)法：所求曲線是所學(xué)過(guò)的曲線：如直線，圓錐曲線等，可先根據(jù)條件列出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)，代回所列的方程即可；5參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)px,y坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x、y均用一中間變量參數(shù)表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程6交軌法：求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?shù)來(lái)建立這些曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到軌跡方程。要注意區(qū)別“軌跡與“軌跡方程

4、是兩個(gè)不同的概念，假設(shè)是求軌跡那么不僅要求出方程，而且還需說(shuō)明和討論所求軌跡是什么樣的圖形，在何處，即圖形的形狀，位置，大小都需說(shuō)明，討論清楚?！镜湫屠}】 例1. 、是兩個(gè)定點(diǎn)，且的周長(zhǎng)等于16，求頂點(diǎn) 的軌跡方程分析：由的周長(zhǎng)等于16，可知，點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離的和是常數(shù)因此，點(diǎn) 的軌跡是以 、為焦點(diǎn)的橢圓，可適當(dāng)建立坐標(biāo)系求出方程解：如圖，建立坐標(biāo)系，使軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，原點(diǎn)與的中點(diǎn)重合由，有即點(diǎn)的軌跡是橢圓，且 ，但當(dāng)點(diǎn)在直線 上，即時(shí)，、三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，所以點(diǎn)的軌跡方程是點(diǎn)評(píng)：1求出曲線的方程后，要注意檢查一下方程的曲線上的點(diǎn)是否都符合題意，如果不符合題意的點(diǎn)，應(yīng)在所得方程后注明限制條件2

5、在求解時(shí)，如果題設(shè)條件中未給出坐標(biāo)系時(shí)，要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，通常取定直線為坐標(biāo)軸，定點(diǎn)或線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，使其具有對(duì)稱性，使曲線方程盡可能地簡(jiǎn)單。例2. 如下圖，p4，0是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，a、b是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足apb=90°，求矩形apbq的頂點(diǎn)q的軌跡方程。 此題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法求曲線的軌跡方程：錯(cuò)解分析：欲求q的軌跡方程，應(yīng)先求r的軌跡方程，假設(shè)學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題技巧與方法：對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問(wèn)題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程解：設(shè)ab的中點(diǎn)為

6、r，坐標(biāo)為x,y，那么在rtabp中，|ar|=|pr| 又因?yàn)閞是弦ab的中點(diǎn)，依垂徑定理：在rtoar中，|ar|2=|ao|2|or|2=36x2+y2又|ar|=|pr|=所以有x42+y2=36x2+y2,即x2+y24x10=0因此點(diǎn)r在一個(gè)圓上，而當(dāng)r在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng)設(shè)qx,y，rx1,y1，因?yàn)閞是pq的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得：x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程例3. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，m為ab中點(diǎn)，的斜率為，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得， ，

7、為所求點(diǎn)評(píng)：1此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；2直線與曲線的綜合問(wèn)題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來(lái)解決弦長(zhǎng)、弦中點(diǎn)、弦斜率問(wèn)題例4. a、b為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)m到a與到b的距離比為常數(shù),求點(diǎn)m的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線 解：建立坐標(biāo)系如下圖，設(shè)|ab|=2a,那么aa,0,ba,0設(shè)mx,y是軌跡上任意一點(diǎn)那么由題設(shè)，得=,坐標(biāo)代入，得=,化簡(jiǎn)得12x2+12y2+2a1+2x+12a2=01當(dāng)=1時(shí)，即|ma|=|mb|時(shí)，點(diǎn)m的軌跡方程是x=0，點(diǎn)m的軌跡是直線y軸2當(dāng)1時(shí)，點(diǎn)m的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0 點(diǎn)m的軌跡是以，0為圓心，為半徑的圓感悟：此題所用的方法是直接法，在所

8、求得的曲線方程中含參數(shù)，應(yīng)通過(guò)對(duì)參數(shù)的討論來(lái)說(shuō)明軌跡的類型，即是什么曲線，它的位置，形狀，大小如何，此題易無(wú)視討論=1的情況。建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用直接法求得軌跡方程，再由值的變化討論方程所表示的曲線。例5. 設(shè)點(diǎn)a和b為拋物線 y2=4pxp0上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，oaob，omab，求點(diǎn)m的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線此題主要考查“參數(shù)法求曲線的軌跡方程技巧與方法：將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y用其他相關(guān)的量表示出來(lái)，然后再消掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系：解法一：設(shè)oa的方程為，代入y2=4px得那么ob的方程為，代入y2=4px得ab的方程為，過(guò)定點(diǎn)，由omab，得m在以on為直徑的圓上o

9、點(diǎn)除外故動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程為x2+y24px=0x0，它表示以2p,0為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)。解法二：設(shè)mx,y x0，oa的方程為，代入y2=4px得那么ob的方程為，代入y2=4px得由omab，得m既在以oa為直徑的圓 上，又在以ob為直徑的圓 上o點(diǎn)除外，+得 x2+y24px=0x0故動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程為x2+y24px=0x0，它表示以2p,0為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn)【模擬試題】一、選擇題本大題共6小題，每題5分，共30分1. 橢圓的焦點(diǎn)是f1、f2，p是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)f1p到q，使得|pq|=|pf2|，那么動(dòng)點(diǎn)q的軌跡是 a. 圓b. 橢圓

10、c. 雙曲線的一支d. 拋物線2. 設(shè)a1、a2是橢圓=1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，p1、p2是垂直于a1a2的弦的端點(diǎn)，那么直線a1p1與a2p2交點(diǎn)的軌跡方程為 a. b. c. d. 3. 圓心在拋物線上，且與軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個(gè)圓的方程是： a. b. c. d. 4. 中心在原點(diǎn)的雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其交于m，n兩點(diǎn)，假設(shè)mn中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，那么雙曲線方程是 a.b. c.d. 5. 定圓o內(nèi)一點(diǎn)p異于原點(diǎn)o，過(guò)p且與圓o相切的圓心軌跡是 a. 線段b. 橢圓c. 雙曲線d. 拋物線6. 到定點(diǎn)，0和定直線x=的距離之比為的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程是 a. =1b. =1： c. y2=1

11、d. x2=1二、填空題此題共4小題，每題5分，共20分7. 高5米和3米的旗桿豎在水平地面上，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為a，0和b5，0，那么地面上桿頂仰角相等的點(diǎn)的軌跡是_。8. 拋物線向右平移個(gè)得一曲線，再把曲線繞其焦點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，那么所得曲線方程為_(kāi)。9. 雙曲線的離心率為為焦點(diǎn)，在雙曲線上，且 的面積為，又，那么雙曲線方程是_。10. 兩條漸近線為且截直線所得弦長(zhǎng)為的雙曲線方程為 _。 三、解答題本大題共4題，共50分11. 一動(dòng)圓與圓 外切，圓內(nèi)切，試求這動(dòng)圓圓心的軌跡方程12. 一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2從這個(gè)圓上任意一點(diǎn) 向x軸作垂線段pp'，求線段pp

12、中點(diǎn)m的軌跡13.的底邊bc=16，ac和ab兩邊上中線長(zhǎng)之和為30，求此三角形重心的軌跡和頂點(diǎn)的軌跡14. 雙曲線=1m0,n0的頂點(diǎn)為a1、a2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)p，q 1求直線a1p與a2q交點(diǎn)m的軌跡方程；2當(dāng)mn時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率 【試題答案】1. 解析：|pf1|+|pf2|=2a,|pq|=|pf2|,|pf1|+|pf2|=|pf1|+|pq|=2a,即|f1q|=2a,動(dòng)點(diǎn)q到定點(diǎn)f1的距離等于定長(zhǎng)2a,故動(dòng)點(diǎn)q的軌跡是圓 答案：a2. 解析：設(shè)交點(diǎn)px,y,a13,0,a23,0,p1x0,y0,p2x0,y0a1、p1、p共線，a

13、2、p2、p共線，解得x0=答案：c3. d4. a5. b6. b7. 提示：地面上桿頂仰角相等的點(diǎn)到兩旗桿距離的比等于兩旗桿高度的比。8. 提示：方程為即，頂點(diǎn)0，0，焦點(diǎn)繞焦點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，新頂點(diǎn)為開(kāi)口向上，而焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離不變故得方程9. 提示：由那么故雙曲線方程又由即10. 解：設(shè)雙曲線方程為x2-4y2=.聯(lián)立方程組得：,消去y得，3x224x+36+=0設(shè)直線被雙曲線截得的弦為ab，且a,b，那么： 那么：|ab|=解得：=4,所以，所求雙曲線方程是：11. 解答如下：顯然兩定圓的圓心和半徑分別為 ，；，設(shè)動(dòng)圓圓心為mx,y，半徑為，那么由題設(shè)有由橢圓定義可知

14、m在以，為焦點(diǎn)的橢圓上 ，故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為12. 解：設(shè)點(diǎn) m的坐標(biāo)為，點(diǎn) 的坐標(biāo)為，那么，因?yàn)樵趫A上，所以將，代入方程得 即1所以點(diǎn)m的軌跡是一個(gè)橢圓點(diǎn)評(píng)：1在求點(diǎn)mx,y的軌跡方程時(shí)，也可尋找 x、y與中間變量、之間的關(guān)系利用關(guān)于、之間關(guān)系的方程，得到關(guān)于x、y的方程，這種利用中間變量求點(diǎn)的軌跡方程的方法也是常用的方法2由此題的結(jié)論可以看出，將圓按照某個(gè)方向均勻地壓縮拉長(zhǎng)，可以得到橢圓13. 分析：1由可得，再利用橢圓定義求解2由g的軌跡方程、a坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求a的軌跡方程解：1以 bc所在的直線為 x軸，bc中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系設(shè)g點(diǎn)坐標(biāo)為x,y，由，知g點(diǎn)的軌跡是以 、為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)因 ，有，故其方程為2設(shè)，那么由題意有 代入，得 的軌