1.4.1正余弦函數(shù)的圖像和性質(二)

1、正弦.余弦函數(shù)的圖象和，性質y=s 嗎(xcR)義域 xeR> < 值域 ye-l,ly=cosx (xwR)lk周期性一般地，對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T ,使得當x取定義域內的每一個值時，都有"x+T)=f(x), 那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的 周期。知：函數(shù)y=sinx和y=cosx都是周期函數(shù)， 2kir(kwZ且kwO)都是它的周期，最小正周期是2tto對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在 一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周 期。由sin(x+2kTT)=sinx ; cos(x+2kT

2、T)=cosx 不(k后Z)周期性注意：(工)周期T為非零常數(shù)。(2 )等式f(x+T)=f(x)對于定義域M內任意一個 x都成立。(3 )周期函數(shù)f(x)的定義域必為無界數(shù)集(至少 一端是無界的)(4 )周期函數(shù)不一定有最小正周期。. T例：f(x) = l(x£R),任一非零實數(shù)都是函數(shù) 的周期，但在正實數(shù)中無最小值，故不存V 在最小正周期。* ”，乂cos 2x + sin 2x = /(x)/Xx)的周期為九y = A sin( wx + (p)y = Acos(wx +(p)的最小正周期因為 f (x) = As i n (co x <p)=As i n F(3x +

3、 cp)+27t2兀=A sin F<x)( x ) +(pco/27c .=f(X 1 )co= A sin(yvv 4- <p)及= A cos( vpjv + cp) x 三 R 最小正周期月必 ，v dCD例：求證一一 1 ) y=cos2x+sin2xH勺周期為兀證明：+ 兀)=cos 2(工 + 兀)+ sin 2(% + 兀) cos(2x + 2k) + sin(2x 4- 2k)2 ) y = sin4 x + cos4 HKl J司3 一27U證明：/ (x H ) = sin 4(X H) + cos4 ( X H)j242 42=cos x + sin x=

4、f x) /(X)的周期為一。 23 ) y = I sin x + I cos x 的周期為三 2一證明：/(X H) = I sin(x H) I + I COS( X H)222tp I cos x| + I sin x =f (x)>.，(x)的周期為一。鼠，課堂練習：出下列函數(shù)的周期(1) y = sin 3x, x e Rr 71(2) y = v3 sin ( x -) , x e R24奇偶性一般的，如果對于一個定義域對稱的函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個X ,都有=則稱f(x)為這一定義域內的奇函數(shù)。奇函數(shù)的圖像關于原點對稱。一般的，如果對于一個定義域對稱的函數(shù) f(x

5、)的定義域內的任意一個X ,都有f(x)=f(x),像關于y軸對稱。則稱f(x)為這一定義域內的偶函數(shù)。偶函數(shù)的圖正弦.余弦函數(shù)的奇偶性.單調性正弦、余弦函數(shù)的奇偶性正弦.余弦函數(shù)的奇偶性.單調性正弦函數(shù)的單調性V增區(qū)間為q+2ke：+2kGkeZ其值從口增至1減區(qū)間為?+2k7r,?Mk7i,keZ其值從1減至14r 7 ,，2 匚3 .、正弦.余弦函數(shù)的奇偶性.單調性余弦函數(shù)的單調性 v-7C 2 0 2 71COSX-1/0/1、0、-1，=8SX (XgR) 增區(qū)間為1-乃+2knf 2k九,kwZ其值從日增至1減區(qū)間為2k陽2k九+同，keZ其值從1減至1單調性 7T7C7 y二si

6、nx在個閉區(qū)間卜 y+2kiTf 三+2kir(kez )上都是增函數(shù)，其值從口增大到1;在每一個閉區(qū)間W+2kTT,罷+2kE (k£Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到Ly=8sx在每一個閉區(qū)間(2 k1)tt, 2 kn(keZ)上都是增函數(shù)，其值從口增大到1;在每一個閉區(qū)間2kiT , (2k+I)E (kwZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到口.例：求函數(shù)y = 2a嬴+1的定義域值域, 并求當x為何值時，y取到最大值，最大值為 多少？解：由 COSXN0 得：-二 +2kTT< X < +2kTT(kGZ) .函數(shù)定義域為二+ 2kTT,巴2+2kTT2 2由 0&l

7、t;cosx<l 1<2a/cosx +1<37函數(shù)值域為1 , 3當 cosx=l 即 x=2kTT ( kGZ)日寸，y 取至U 最大值3.Jn n ""<<< 一/BT 210182. sin(- -) < sin(-1018圖 3 cos(-=cos 費cos（一 苧=cos 寧=cos 7又丫工0§、在0,乃1上是減函數(shù)BP：3"兀cCOS- - COS <0，4從而cos（一次）cos（-子）VO5正弦.余弦函數(shù)的奇偶性.單調性例1不通過求值，指出下列各式大于。還是小于0 : （l）sin（一爭

8、-sin（一含）又y=sinx在-日上是增函數(shù)）即：sin（-巳）-sin（-白）0 lo1U(2) cos(- -) - cos(-二三) 542k 7C< 2x< 2k 兀 +冗冗3本-fc7T < X < k 兀 + 2883萬7/rk 兀 +M x M A 7F +88兀37r解:單調減區(qū)間為kr kn + -83nAr/r + 9k.+正弦.余弦函數(shù)的奇偶性.單調性例2求下列函數(shù)的單調區(qū)間：T" y=2sin（-x ）解：y=2sin（-x ） = -2sinx函數(shù)在-?+2km；+2k7c,keZ上單調遞減函數(shù)在y+2kK,4-2k7c,keZ上單

9、調遞增 (2) y=3sin(2x-:)2471幾2k 兀 + M 2x - 4 2k 兀 + 24所以：單調增區(qū)間為正弦.余弦函數(shù)的奇偶性,單調性(3) y=(tan 把嚴、解：e O < tan ""< 8單調減區(qū)間為單調增區(qū)間為kn ,k 兀 +4兀14 萬 + >k 兀 +4土43萬4 J解：定義域 Ikn - - x <lkn234297r3 兀=6k 兀一< x < 6k 7T +,k g Z44- - < x + 2k7r 即 6A 乃一軍 < x £ 6k 九 一 e Z 為臧區(qū)間 o 23444&l

10、t; + < 2k幾 十 艮/A乃-< .r < 6k冗-H ,A g 南增區(qū)間。 34244正弦.余弦函數(shù)的奇偶性.單調性(5) y = -| sin(x+)1解：令x+： =u ,貝! y= -|sinu|大致圖象如下：V.正弦.余弦函數(shù)的奇偶性.單調性奇偶性單調性單調區(qū)間）正弦函數(shù)奇函數(shù)-+2kK，7+2kK,kZ 單調遞增 22y+2k7r,+2kK,keZ 單調遞減余弦函數(shù)偶函數(shù)-+2®, 2kK,kZ 單調遞增2k%2k兀+冗,keZ單調遞減1 .直接利用相關性質2 .復合函數(shù)的單調性3 .利用圖象尋找單調區(qū)間例2、求下列函數(shù)的定義域 、值域(2) y

11、= v - 3 sin x (3)y = 1g sin x例3、求F列函數(shù)的最大值，并找出最大值時x的集合冗(1) T = cos 2x (2)y = sin( x d) + 1； 廠4=1 a I sin x，b (4)_y = a sin x +。 y i= 2 cos 2 x + 5 sin x - 4.正弦函數(shù)y=sinx余弦函數(shù)y=cosx定義域RR值域-1A當 X=2kTT+Xk£Z)時 ymax=l當 X=2kTT+在 kWZ)時 ymm = -l-1,1當乂= 2kTT (k£Z)時ymax=l 當 X=2kTT+TT(k£Z)時 ymm = l周期