3 函數(shù)展開成冪級數(shù)ppt課件

1、函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù) 由于冪級數(shù)在收斂域內(nèi)確定了一個和函數(shù)，因此我們就有可能利用冪級數(shù)來表示函數(shù)。如果一個函數(shù)已經(jīng)表示為冪級數(shù)，那末該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分等問題就迎刃而解。一、泰勒級數(shù)一、泰勒級數(shù)上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級數(shù)在其收斂存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)為和函數(shù)問題問題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?定定理理 1 1 如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)具具有有任任意意

2、階階導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù), , 且且在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)能能展展開開成成)(0 xx 的的冪冪級級數(shù)數(shù), , 即即 nnnxxaxf)()(00 則則其其系系數(shù)數(shù) ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann 且且展展開開式式是是唯唯一一的的. . 證明證明即即內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010逐項求導(dǎo)任意次逐項求導(dǎo)任意次,得得 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即即得得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系數(shù)泰

3、勒系數(shù)泰勒系數(shù)是唯一的泰勒系數(shù)是唯一的,.)(的展開式是唯一的的展開式是唯一的xf 如果如果)(xf在點在點0 x處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo), ,則冪級數(shù)則冪級數(shù)nnnxxnxf)(!)(000)( 稱為稱為)(xf在點在點0 x的的泰勒級數(shù)泰勒級數(shù). .nnnxnf 0)(!)0(稱稱為為)(xf在在點點0 x的的麥麥克克勞勞林林級級數(shù)數(shù). .問題問題nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)? 不一定不一定.定義定義 0, 00,)(21xxexfx例如例如在在x=0點任意可導(dǎo)點任意可導(dǎo),), 2 , 1 , 0(0)0(

4、)( nfn且且 00)(nnxxf的的麥麥?zhǔn)鲜霞壖墧?shù)數(shù)為為. 0)(),( xs內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù)該級數(shù)在該級數(shù)在).()(,0 xfxfx于于的麥?zhǔn)霞墧?shù)處處不收斂的麥?zhǔn)霞墧?shù)處處不收斂外外除除 定定理理 2 2 )(xf在在點點0 x的的泰泰勒勒級級數(shù)數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于)(xf在在)(0 xU 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. .證明證明必要性必要性,)(能展開為泰勒級數(shù)能展開為泰勒級數(shù)設(shè)設(shè)xf)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn )()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 充分性

5、充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒級數(shù)收斂于的泰勒級數(shù)收斂于定定理理 3 3 設(shè)設(shè))(xf在在)(0 xU上上有有定定義義, ,0 M, ,對對),(00RxRxx , ,恒恒有有 Mxfn )()(), 2 , 1 , 0( n, ,則則)(xf在在),(00RxRx 內(nèi)內(nèi)可可展展開開成成點點0 x的的泰泰勒勒級級數(shù)數(shù). .證明證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收收斂斂在在 nn

6、nxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故),(00RxRxx .0的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù)可展成點可展成點x二、函數(shù)展開成冪級數(shù)二、函數(shù)展開成冪級數(shù)1.1.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討討論論).(xf斂斂于于則則級級數(shù)數(shù)在在收收斂斂區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)收收例例1.)(展展開開成成冪冪級級數(shù)數(shù)將將xexf 解解,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me nx

7、xnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例2.sin)(的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x例例3.)()1()(的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成將將xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1

8、, 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 R若設(shè)若設(shè)內(nèi)內(nèi)在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利利用用)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且兩邊積分兩邊積分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 即即,)1

9、ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2留意留意: :.1的取值有關(guān)的取值有關(guān)處收斂性與處收斂性與在在 x);1 , 1(1 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為;1 , 1(11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為.1 , 11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為牛頓二項式展開式牛頓二項式展開式有有時時當(dāng)當(dāng),21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx 1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx 1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx雙階乘雙階乘2.2

10、.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過變量代換通過變量代換, 四則運算四則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), 逐項積分逐項積分,復(fù)合復(fù)合等方法等方法,求展開式求展開式.例如例如)(sincos xx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x例例4處處展展開開成成泰泰勒勒級級數(shù)數(shù)在在將將141)( xxxxf).1()1()(nfx并并求求的的冪冪級級數(shù)數(shù)展展開開成成 解解)1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 xxxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是,31n .3!)1()(nnnf 故故三、小結(jié)三、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級數(shù)如何求函數(shù)的泰勒級數(shù);2.泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法函數(shù)