高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)

1、第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 1第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 第二節(jié)第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的微分函數(shù)的微分 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 2第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 本節(jié)主要內(nèi)容本節(jié)主要內(nèi)容: : 一一. .導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義 二二. .導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義 三三. .函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 3一一. .導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義例例1

2、. 瞬時(shí)速度問題瞬時(shí)速度問題vtx 平平均均速速度度00( )( )f tf ttt ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)tt 取極限得瞬時(shí)速度取極限得瞬時(shí)速度0000( )( )|lim t tttf tf tvt t一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在x軸上作變速直線運(yùn)動(dòng)軸上作變速直線運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程x=f(t),求求 時(shí)刻的瞬時(shí)速度。時(shí)刻的瞬時(shí)速度。0t第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 4 T0 xxoxy)(xfy CNM如圖如圖, 如果割線如果割線MN繞點(diǎn)繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線C在點(diǎn)在點(diǎn)M處的處的切線切線極限位置即極限位置即.

3、0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的的斜斜率率為為割割線線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲線線的斜率為的斜率為切線切線MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 例例2.切線問題切線問題第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 5,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 記記為為處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)并并稱稱這這個(gè)個(gè)極極限限為為函函處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)的的極極限限存存在在之之比比當(dāng)當(dāng)與與如如

4、果果得得增增量量取取相相應(yīng)應(yīng)地地函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)仍仍在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)處處取取得得增增量量在在當(dāng)當(dāng)自自變變量量有有定定義義的的某某個(gè)個(gè)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定義定義2.1.100( ),x xx xdydf xfxdxdx0或或或 ()第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 6如果如果 存在，則稱存在，則稱y=f (x)在在x0處可導(dǎo)處可導(dǎo).0limxyx 如果如果 不存在，則稱不存在，則稱y=f (x)在在x0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo).0limxyx 如果如果 ，則稱，則稱y=f (x)在在x0處導(dǎo)數(shù)為無窮大處導(dǎo)數(shù)為無窮大.0limxyx 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)

5、與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 7.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即例例3( )10 ,(1).f xxf求解：解：0010()1010(1)limlim10hhxhxhfhh第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 8.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或記作記作的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)這個(gè)函數(shù)叫做原來函數(shù)導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值的一個(gè)確定的的一個(gè)確定的都對應(yīng)著都對應(yīng)著對于

6、任一對于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :00()( ).x xfxfx 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 92.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):定義定義2.1.2 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.

7、定理定理2.1.1第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 10由定義求導(dǎo)數(shù)步驟由定義求導(dǎo)數(shù)步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限例例4.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解：解：hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 11例例5.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)解：解：hxhxxhsin)sin(lim

8、)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 12例例6.)(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為正正整整數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)nxyn 解：解：hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 13例例7解：解：

9、00( )( )ff 01( )f 00sin ,( ),x xf xx x 00()(0)sin(0)limlim10 xxfxfxfxx已知已知求求0( ).f 00()(0)(0)limlim10 xxfxfxfxx第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 14oxy)(xfy T0 xM切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 表示曲線y=f(x)上點(diǎn) 0()fx000(,()P xf x處切線的斜率。 二二. .導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概

10、念導(dǎo)數(shù)的概念 15解解: : 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, ,得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即.,)221(1x例例9,方程和法線方程方程和法線方程并寫出在該點(diǎn)處的切線并寫出在該點(diǎn)處的切線斜率斜率處的切線的處的切線的在點(diǎn)在點(diǎn)求等邊雙曲線求等邊雙曲線y 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 16定理定理2.1.2 2.1.2 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù). .證證,)(

11、0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxf.)(0連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)xxf三三. .函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系)(lim00 xfxyx 即即00000limlim() limxxxyyxfxxx 有有注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立.第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 17例例10.0)(處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解: :xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點(diǎn)點(diǎn)不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxfy0( )