高等數(shù)學(xué)第九章9-8

1、上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)1第八節(jié)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法四、小結(jié)四、小結(jié)一、問題的提出一、問題的提出二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)2實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每實(shí)例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進(jìn)價(jià)瓶進(jìn)價(jià)1元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)元，外地牌子每瓶進(jìn)價(jià)1.2元，店主估元，店主估計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣計(jì)，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶賣每瓶賣 元，則每天可賣出元，則每天

2、可賣出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可問：店主每天以什么價(jià)格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益為每天的收益為 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.一、問題的提出一、問題的提出上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)3二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz 播放播放上一頁上一頁下一頁下一

3、頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)4 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于有定義，對于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點(diǎn)的點(diǎn)),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極極大大值值、極極小小值值統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為極極值值. .使使函函數(shù)數(shù)取取得得極極值值的的點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為極

4、極值值點(diǎn)點(diǎn). .上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)5(1)(2)(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)6定理定理 1 1（必要條件）（必要條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx具有偏導(dǎo)數(shù)，且具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00

5、yxfy. .2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件不不妨妨設(shè)設(shè)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處有有極極大大值值,則則對對于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,證證上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)7故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時(shí)時(shí)，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy.推推廣廣 如如果果三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxfu

6、 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxP具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則它它在在),(000zyxP有有極極值值的的必必要要條條件件為為 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)8例例如如, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是是函函數(shù)數(shù)xyz 的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn). 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)的點(diǎn)，均稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？問題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？定定理理 2 2（充充分

7、分條條件件）設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，有有一一階階及及二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，注意：注意：上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)9又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下：（1 1）02 BAC時(shí)具有極值，時(shí)具有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值；（2 2）02 BAC時(shí)沒有極值

8、；時(shí)沒有極值；（3 3）02 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值, ,也可能沒有極值，也可能沒有極值，還需另作討論還需另作討論上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)10例例 4 4 求由方程求由方程yxzyx22222 0104 z確定的函數(shù)確定的函數(shù)),(yxfz 的極值的極值將方程兩邊分別對將方程兩邊分別對yx,求偏導(dǎo)求偏導(dǎo) 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函數(shù)數(shù)取取極極值值的的必必要要條條件件知知,駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為)1, 1( P,將將上上方方程程組組再再分分別別對對yx,求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),解解上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)11,

9、21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(122 zzACB,函函數(shù)數(shù)在在P有有極極值值.將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,當(dāng)當(dāng)21 z時(shí)時(shí)，041 A,所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值；當(dāng)當(dāng)62 z時(shí)時(shí)，041 A,所所以以6)1, 1( fz為為極極大大值值.上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)12求求函函數(shù)數(shù)),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟：第一步第一步 解方程組解方程組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)解解，得得駐駐點(diǎn)點(diǎn).第第二二步步 對對于于每每一一

10、個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)),(00yx，求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的值值 A、B、C. 第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符號號，再再判判定定是是否否是是極極值值.上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)13求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函

11、數(shù)的最大值和最小值.3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)14例例 5 5 求求二二元元函函數(shù)數(shù))4(),(2yxyxyxfz 在在直直線線6 yx，x軸軸和和y軸軸所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域D上上的的最最大大值值與與最最小小值值.解解先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，xyo6 yxDD如圖如圖,上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)15解解方方程程組組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(, 且且4)1 , 2( f, 再

12、再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)16在在邊邊界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值,64)2 , 4( f為為最最小小值值.xyo6 yxD上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)17例例 6 6 求求122 yxyxz的最大值和最小值的最大值和最小值., 0

13、)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))21,21(和和)21,21( ,解解 由由上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)18即即邊邊界界上上的的值值為為零零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為，最小值為21 .因?yàn)橐驗(yàn)?1lim22 yxyxyx無條件極值無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件外，并無其他條件.上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)19實(shí)例：實(shí)例： 小王有小王有200元

14、錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買購買 張磁盤，張磁盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為效果函數(shù)為 設(shè)每張磁設(shè)每張磁盤盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果元以達(dá)到最佳效果xyyxyxUlnln),( 問題的實(shí)質(zhì)：求問題的實(shí)質(zhì)：求 在條在條件件 下的極值點(diǎn)下的極值點(diǎn)yxyxUlnln),( 200108 yx三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)20拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找

15、函數(shù)要找函數(shù)),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的下的可能極值點(diǎn)，可能極值點(diǎn)，先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ，其中其中 為某一常數(shù)，可由為某一常數(shù)，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)21拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：要找函數(shù)要找函數(shù)),(tzy

16、xfu 在條件在條件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的極值，下的極值， 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù) ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均為常數(shù)，可由均為常數(shù)，可由 偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出偏導(dǎo)數(shù)為零及條件解出tzyx,，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo)，即得極值點(diǎn)的坐標(biāo).上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)22例例 7 7 將將正正數(shù)數(shù) 12分分成成三三個(gè)個(gè)正正數(shù)數(shù)zyx,之之和和 使使得得zyxu23 為為最最大大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解

17、解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故故最最大大值值為為上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)23例例 8 8 在在第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)作作橢橢球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面與與三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積最最小小，求求切切點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo).解解設(shè)設(shè)),(000zyxP為為橢橢球球面面上上一一點(diǎn)點(diǎn),令令1),(222222 czbyaxzyxF,則則202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 過過),(000zyxP的的切切平平面面方方程程為

18、為上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)24 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化化簡簡為為 1202020 czzbyyaxx,該該切切平平面面在在三三個(gè)個(gè)軸軸上上的的截截距距各各為為 02xax ，02yby ，02zcz ,所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zyxcbaxyzV ,上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)25在條件在條件1220220220 czbyax下求下求 V 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(22022022

19、0 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)26當(dāng)當(dāng)切切點(diǎn)點(diǎn)坐坐標(biāo)標(biāo)為為(3a，3b，3c)時(shí)時(shí),四四面面體體的的體體積積最最小小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)27多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值多元函數(shù)

20、的最值四、小結(jié)上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)28思考題思考題 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx點(diǎn)點(diǎn)均均取取得得極極值值， 則則),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx是是否否也也取取得得極極值值？上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)29思考題解答思考題解答不不是是.例如例如 22),(yxyxf ,當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取極極大大值值;當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)，時(shí)，2)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取極小值取極小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不不取取極極值值.上一頁上一頁下一頁下一頁湘

21、潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)30一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù))4)(6(),(22yyxxyxf 在在_點(diǎn)取點(diǎn)取得極得極_值為值為_._.2 2、 函數(shù)函數(shù)xyz 在附加條件在附加條件1 yx下的極下的極_值值為為_._.3 3、 方程方程02642222 zyxzyx所確定的所確定的函數(shù)函數(shù)),(yxfz 的極大值是的極大值是_,_,極小值極小值是是_._.二二、 在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 點(diǎn)點(diǎn) , , 使使 它它 到到0, 0 yx及及0162 yx三三直直線線的的距距離離平平方方之之和和為為最最小小. .三三、 求求內(nèi)內(nèi)接接于于半半徑徑為為a的的球球且

22、且有有最最大大體體積積的的長長方方體體. .練練 習(xí)習(xí) 題題上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)31四、四、 在第一卦限內(nèi)作球面在第一卦限內(nèi)作球面1222 zyx的切平面的切平面, ,使使得切平面與三坐標(biāo)面所圍的四面體的體積最小得切平面與三坐標(biāo)面所圍的四面體的體積最小, ,求求切點(diǎn)的坐標(biāo)切點(diǎn)的坐標(biāo). .上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)32一一、1 1、( (3 3, ,2 2) ), ,大大, ,3 36 6； 2 2、大大, ,41； 3 3、7 7, ,- -1 1. .二二、)516,58(. .三三、當(dāng)當(dāng)長長, ,寬寬, ,高高都都是是32a時(shí)時(shí), ,可可得得最最大大的的體體積積. .四四、).31,31,31(練習(xí)題答案練習(xí)題答案上一頁上一頁下一頁下一頁湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 王文強(qiáng)33的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的