Chapter13VARMA模型

1、1919 VARMAVARMA模型1980 年 Sims 提出向量自回歸模型( vector autoregressive model)。這種模型采用多方程 聯(lián)立的形式，它不以經(jīng)濟(jì)理論為基礎(chǔ)，在模型的每一個(gè)方程中，內(nèi)生變量對(duì)模型的全部?jī)?nèi)生 變量的滯后值進(jìn)行回歸，從而估計(jì)全部?jī)?nèi)生變量的動(dòng)態(tài)關(guān)系。8.1基本概念8.1.1向量平穩(wěn)過(guò)程設(shè) Xt= (Xit, X2t,XNt)由 N 個(gè)隨機(jī)過(guò)程構(gòu)成的多維隨機(jī)過(guò)程。如果 Xt的一階矩(均值)和 二階矩(協(xié)方差)Mt=E( X Xt)k-E(X Xt - M)(X Xt _k - pt _k)為時(shí)不變的，即s rk與 t沒(méi)有關(guān)系，則稱(chēng) Xt 為弱平穩(wěn)過(guò)程。

2、當(dāng) k=0 時(shí)，0=E( X Xt)(X Xt出)表示 Xt的同期協(xié)方差矩陣，對(duì)角線(xiàn)元素，i(0)表示過(guò)程Xit的方差，非對(duì)角線(xiàn)元素 j(0)表示過(guò)程Xit與Xjt的協(xié)方差。當(dāng) k乒0時(shí)，對(duì)角線(xiàn)元素ii(k)表示Xit與Xi, t-k的協(xié)方差，非對(duì)角線(xiàn)元素fij(k)表示Xit與Xj, t-k的協(xié)方差。8.1.2跨相關(guān)矩陣令 D 表示 Xt= (X1t, X2t,XNt)標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)成的對(duì)角矩陣，貝UXt與 Xt-k的相關(guān)系數(shù)矩陣為：P k=D D 七kDD其中，第 i 行第 j 列的元素具體為：、cov(Xit,Xjt)cov(Xt,XjtQij(k)-std(Xit)std(Xjj) std(

3、Xt)std(Xjt)當(dāng) k=0時(shí)，PO=D-1RD-1表示 Xt的同期相關(guān)系數(shù)矩陣。 對(duì)角線(xiàn)元素 Ri(0)表示過(guò)程xit的同 期相關(guān)系數(shù) 1，非對(duì)角線(xiàn)元素 R(0)表示過(guò)程xit與xjt的同期跨相關(guān)系數(shù)。 當(dāng) k 乒0時(shí)，對(duì)角線(xiàn) 兀素i(k)表示Xit與Xit-k的自相關(guān)系數(shù)，非對(duì)角線(xiàn)元素Aj(k)表示Xit與 Xjt-k的跨相關(guān)系數(shù)。顯然，R(k)與 Ri(k)表示不同的線(xiàn)性依存關(guān)系，一般情況下，Aj(k)希(k)。因此，j(k)和pij(k)不是對(duì)稱(chēng)矩陣。由cov(xt,Xj,j) =cov(Xj,j,Xt)以及平穩(wěn)條件可得：cov(Xj,3,Xit) =cov(Xj,t,Xi,t k

4、) =cov(Xjt,K,t)即：j(k)=ji(-k),Ej(k)表示矩陣 r(k)的第 i 行第 j 列元素，ji(-k)表示矩陣(-k)的第 j 行第 i 列兀素。因此，r(k) (-k)，而是 E(k) =(-k)。同樣地，pij(k)制-k),而是 p(k)= p(-k)。 將多維相關(guān)矩陣總結(jié)如下。pj(k) (k=0,1, 表示(xit的自相關(guān)函數(shù)。9j(k) (k=0,1, 表示xit與(xjt的同期相關(guān)系數(shù)。偉(k) (k=0,1, 表示xit與xj,t-k的跨期相關(guān)系數(shù)。樣本相關(guān)系數(shù)矩陣估計(jì)公式為：?k=D-D-?k!?-!?-其中，Xt/T.T?t項(xiàng)X Xt-?)(X X頃

5、-？)k=kkKosking (1980, 1981 )和 Li and McLeod (1981)將單變量情形下的Ljung-Box Q 統(tǒng)計(jì)量推廣到多元情形。原假設(shè)為：p(k)= 0, k=1,2,-m。即不存在自相關(guān)和跨相關(guān)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為： cm1Q(m) =T2土Trace(?k?XW)kT -k在原假設(shè)成立的條件下，Q(m) ，2(Nm2)。其中，N表示變量的個(gè)數(shù)。例：1926年 1 月至 1999年 11月，SP500指數(shù)收益率和 舊 M股價(jià)收益率的自相關(guān)和跨相關(guān)。例：石油期貨與現(xiàn)貨價(jià)格8.1.3多維變量濾子設(shè) A(L)和 B(L)表示兩個(gè)濾子。 Aj和 Bj表示 的 和 險(xiǎn) 矩陣

6、。濾子的積為D(L)=A(L) B(L)A A0B B=D=D0A A0B BIA AIB B0= DIA A0B B2A A1B B1A A2B B0= = D D2A A0B BjA AIB BjA AjB B0= = D Dj如果 A(L) B(L)= I,則稱(chēng) B(L)為 A(L)的逆，或者 A(L)為 B(L)的逆。從卷積公式可以看出,ut t5ID ( 0, Q)是 NX1 階隨機(jī)誤差列向量，其中每一個(gè)元素都是非自相關(guān)的，但這些元素,即不同方程對(duì)應(yīng)的隨機(jī)誤差項(xiàng)之間可能存在相關(guān)。用滯后算子的表述為：(I-PL42L2-pLP) Yt = O(L)Yt = c + ut此處，c 表示的

7、不是 Yt的均值。對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程來(lái)講，Yt的均值為:E(Yt) = M=中(1)-1c,其中中(1)=g 1力2-研以?xún)蓚€(gè)變量 yt,y2t滯后 1 期的 VAR(1)模型為例，y1, t= C1+11y1, t-1+12y2, t-1+ U1ty2, t= C2+21y1, t-1+22y2, t-1+ U2 t只要 A。四，A(L)的逆就存在。比如，求一階多項(xiàng)式中(L) = I-SL 的逆。Ao#I , A1=-炯。Bo=IBi+ A1=0.B1=- A1=：i,2B2+ A1B1+ A2= 0 ,B2=- A1B1= ：1 Bj= ：.：”8.2 向量自回歸模型設(shè)定VAR模型是自回歸模型的

8、聯(lián)立形式，所以稱(chēng)向量自回歸模型。假設(shè)系，如果分別建立兩個(gè)自回歸模型yn,yn,y2t之間存在關(guān)y1, t= f (y1, t-1, y1, t-2,-)y2, t= f (y2, t-1, y2, t-2,-)則無(wú)法捕捉兩個(gè)變量之間的關(guān)系。如果采用聯(lián)立的形式,就可以建立起兩個(gè)變量之間的關(guān)系。VAR 模型的結(jié)構(gòu)與兩個(gè)參數(shù)有關(guān)。一個(gè)是所含變量個(gè)數(shù)個(gè)變量滯后 k 期的 VAR 模型表示如下：N, 一個(gè)是最大滯后階數(shù)k。含有 NYt= c + 中1Yt-1+ 中2Yt-2+ + 中kYt-k+ ut, ut t- IID ( 0, Q)(8.4)其中,匕1 1Et-G 1C2小6 * T1 1j.甲1

9、 2 .丁N j 1dd - -頂N1.j令N2.jNN.jj jYt t為 NX1 階時(shí)間序列列向量。c 為 NX1階常數(shù)項(xiàng)列向量。Ut1 1U2t_UNt中1,供k均為 NN階參數(shù)矩陣,(8.1)其中 Ult, U2 t為獨(dú)立白噪聲過(guò)程，但 uit與 U2 t存在相關(guān)關(guān)系。牝體現(xiàn)了 yi的滯后項(xiàng)對(duì)其當(dāng)期項(xiàng)的影響，*2體現(xiàn)了 y2的滯后項(xiàng)對(duì) yi當(dāng)期項(xiàng)的影響； 也1體現(xiàn)了 yi的滯后項(xiàng)對(duì) y2當(dāng)期 項(xiàng)的影響，02體現(xiàn)了 y2的滯后項(xiàng)對(duì) y2當(dāng)期項(xiàng)的影響。如果*2=0,由i乒0,說(shuō)明從 yi到 y2存 在單向影響關(guān)系；如果 板=0, ei2乒0,說(shuō)明從 y2到 y存在單向影響關(guān)系。如果 2I=

10、0,由2=0, 說(shuō)明V2與 yi不存在反饋關(guān)系。如果 板乒0,。2乒Q說(shuō)明V2與 yi存在雙向反饋關(guān)系。 V2與 yi的當(dāng)期相關(guān)關(guān)系通過(guò) 瑚2體現(xiàn)。如果切2=0,說(shuō)明V2與 yi不存在當(dāng)期相關(guān)。其矩陣形式是,jit1=,11+ .IMi I出口1+ ?Uit _y2t|_C2_*2i.i，22.i -y2，J_設(shè)，丫 t = |yitI，c =M 6 J1ut JT2tC2一他2i.iM.i?2t _|則， 丫t= c +/iYt-i+ ut因 VAR模型中每個(gè)方程的右側(cè)只含有內(nèi)生變量的滯后項(xiàng)，他們與 所以可以用 OLS法依次估計(jì)每一個(gè)方程，得到的參數(shù)估計(jì)量都具有一致性。VAR 模型的特點(diǎn)是：

11、(1)不以嚴(yán)格的經(jīng)濟(jì)理論為依據(jù)。在建模過(guò)程中只需明確兩件事：共有哪些變量是相 互有關(guān)系的，把有關(guān)系的變量包括在 VAR 模型中；確定滯后期 k。使模型能反映出變量間 相互影響的絕大部分。(2)VAR 模型對(duì)參數(shù)不施加零約束。 (對(duì)無(wú)顯著性的參數(shù)估計(jì)值并不從模型中剔除，不 分析回歸參數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義。)(3)VAR 模型的解釋變量中不包括任何當(dāng)期變量，所有與聯(lián)立方程模型有關(guān)的問(wèn)題在VAR 模型中都不存在(主要是參數(shù)估計(jì)量的非一致性問(wèn)題)。(4)VAR 模型的另一個(gè)特點(diǎn)是有相當(dāng)多的參數(shù)需要估計(jì)。比如一個(gè)VAR 模型含有三個(gè) 變量，最大滯后期 k = 3 ,則有 kN2= 3乂32= 27 個(gè)參數(shù)需要估

12、計(jì)。當(dāng)樣本容量較小時(shí)，多數(shù) 參數(shù)的估計(jì)量誤差較大。var(u ut) = var(u utu ut)=|h；2iGi22。2(8.2)(8.3)ut是漸近不相關(guān)的,(5)無(wú)約束 VAR 模型的應(yīng)用之一是預(yù)測(cè)。 由于在 VAR模型中每個(gè)方程的右側(cè)都不含有 當(dāng)期變量，這種模型用于樣本外一期預(yù)測(cè)的優(yōu)點(diǎn)是不必對(duì)解釋變量在預(yù)測(cè)期內(nèi)的取值做任何預(yù)測(cè)。(6) 用 VAR 模型做樣本外近期預(yù)測(cè)非常準(zhǔn)確。做樣本外長(zhǎng)期預(yù)測(cè)時(shí)，則只能預(yù)測(cè)出變 動(dòng)的趨勢(shì)，而對(duì)短期波動(dòng)預(yù)測(cè)不理想。西姆斯(Sims)認(rèn)為 VAR模型中的全部變量都是內(nèi)生變量。近年來(lái)也有學(xué)者認(rèn)為具有單向因果關(guān)系的變量，也可以作為外生變量加入VAR 模型。附

13、錄：(file:B8c1 )8.3 VAR 模型的平穩(wěn)條件根據(jù)齊次差分方程理論，VAR(p)模型平穩(wěn)性的充分必要條件為：如下特征方程的特征根落在單位圓之外。| I-iL-中1L2- -pLp| = 0或者等價(jià)地表述為：如下特征方程的特征根落在單位圓之內(nèi)。| I Lp-中1Lp-1-ILp-2-饑 | = 0顯然，這兩個(gè)特征方程的特征根互為倒數(shù)。以 VAR( 1)模型 Yt= c +中 1Yt-1+ ut,為例。將其用滯后算子表述為(8.13)*1 01(5/8) L (1/2)L| I - SL | = J 1-J：0 1_ (1/4)L(5/8) L=(1- (5/8) L)2- 1/8 L

14、2= (1-0.978 L) (1-0.27 L) = 0求解得L1= 1/0.978 = 1.022, L2= 1/0.27 = 3.690因?yàn)?L1,L2都大于 1,所以對(duì)應(yīng)的 VAR模型是穩(wěn)定的。例 8.2 對(duì)于 2個(gè)變量、2 階 VAR 模型：保持 VAR 模型穩(wěn)定的條件是都落在單位圓以?xún)?nèi)。而 例 8.1 對(duì)于二變量(沖=膂2：1/4,5/8其中，1 =1|1/ 4其特征方程是| I -1L | = 0的根都在單位圓以外，或者 |中1- L I | = 0 的根|中1- L I | = 0 的根即是矩陣 給的特征根。N = 2 ) , k = 1 的 VAR 模型：I .y1,t =

15、1十也 |J， 一1/25/8y2,t A1/2L 5/8(8.14)1 (5/8)L-(1/2LIL(1/4)L1- (5/8)L(8.15)Yt= c +：1Yt-1+:2Yt-2+ ut其特征方程為：| I - 5 L - ：.：，2 L2| = 0IELC L2| = ?0Lf5/8)L (1/2)L(T8)L：(1/4)L2l!。1_ !(1/4)L (5/8) L- -1/4)L2(3/ 4) L2%(5/8) L+1/8 L2(1/2)L+(1/4)L21=22：_(1/4)L+(1/4)L 1 (5/8) L(3/4)L _=1- (5/8) L - 1/8 L2 1- (5/

16、8) L - 3/4 L2 - - (1/2) L + 1/4 L2 - (1/4) L + 1/4 L2=(1-0.978 L) (1-0.27 L) = 0(8.15)求解得 4 個(gè)根如下表所示。L1= 1.0001.000L2= 0.9470.947L3= 0.380-0.144 i0.406L4= 0.380-0.144 i0.406其中，3個(gè)根在單位圓內(nèi)，一個(gè)根落在單位圓上，所以平穩(wěn)性條件未能得到滿(mǎn)足。練習(xí)：模擬上述兩個(gè)模型的隨機(jī)數(shù)據(jù)，觀察其變化趨勢(shì)。注：對(duì)于高階自回歸方程，可以通過(guò)友矩陣變換(companion form )的方法將其轉(zhuǎn)換為 VAR(1)模型，然后根據(jù) VAR(1)

17、模型的平穩(wěn)條件判斷其平穩(wěn)性。具體變換過(guò)程如下。給出 k 階 VAR 模型，Yt= c+ 中1Yt-1+ 中2Yt-2+ - +中kYt-k+ ut再配上如下等式，Yt-1= Yt-1Yt-2= Yt-2Yt-k+1= Yt- k+1把以上 k 個(gè)等式寫(xiě)成分塊矩陣形式,8 8 4 4/ / / /1 1 1 1-= =2 20 0,J J6 6 6 61 1 1 1/ / / /5 38 8 4 4/ / / /5 5 3 3 - -(8.17)其中每一個(gè)元素都表示一個(gè)向量或矩陣。令Yt= (Yt-iYt-2- Yt-k+1) NK XIC = (c 0 00)NKHkk I0 00 00 00

18、 0I I0 0NKNKUt= ( Ut0 00) NK網(wǎng)上式可寫(xiě)為Yt= C + A Yt -1+ Ut這樣，k階 VAR模型用友矩陣表示成了1階分塊矩陣的 VAR 模型。VAR 模型的穩(wěn)定性要求 A 的全部特征值，即特征方程 | I - A L | = 0的全部根必須在單位 圓以外，或者特征方程| A -九 I | = 0 的全部根落在單位圓以?xún)?nèi)。注意，特征方程中的A 是NkKNk 階的。特征方程中的I 也是 NMNk 階的。對(duì)于 k 階 VAR 模型的友矩陣變換形式，特征方程是，1 10 0 0 0 0 0 12k A k0 0 I I 0 00 0I I 0 0 0 00 0A- ZI

19、 | =0 00 0 0 00 00 0 I I 0 00 0L+ . A A+ A J J.， A A000 0 0 0 I I J J000 0 I I0 0 J J1L2L_中kL-kL-I L00 00 00 0-I L 0 00 0-+ - - 0 00-I LI I一匕YtYtA AYyc cl l0 00 0NK 1一iI I+ + 0 0 0 02 20 0I I(8.18)12I I0 0A =0 0I I0 00 0(8.19)k kl l0 0 0 00 0NK NKUtUtl l0 0+ + 0 0- -L0_NK1即:| I - 1L -中2L2-kLk| = 0的全

20、部根必須在單位圓以外。例：以例 8.1為例，其友矩陣變換形式是仲=阿+儼12 E+ lu t!。I0 0！。的特征根落在單位圓之外。例：2 變量 2 階 VAR 模型的友矩陣變換形式是Yt = fL代1 2U t IL1。恥虹(8.20)其中等式的每一個(gè)元素（項(xiàng)）都表示一個(gè)平穩(wěn)性條件要求其特征方程為：4x1階向量或 4x4 階矩陣。I I0 0| | 1 2II I 1L2L| I - AL| =|- I12L =120 0I I1 1I I0 0-I-I L I I=I - ：，1 L - ：，2 L2= 0的全部根必須在單位圓以外。例：2 變量 3 階 VAR 模型的友矩陣變換形式是(8.

21、22)平穩(wěn)性條件要求其特征方程為:(8.21)j j0 001123】I -山2 2L L3 3L LI - A L| =0 0I I0 0i i - - i i0 00 0 L-I LI I00 00 0L Li0 0i i0 0一0-I LI I其中等式的每一個(gè)元素（項(xiàng)）都表示一個(gè)6x1 階向量或 6x6階矩陣。=| I -巾1L -:2L2-:：3L3| = 0(8.23)=+3/4+5/163/16 ,1 1 O O-1/8-1/400-1/43/40p I Y1UJJ| *2tyt qjj2t-2(8.25)1I)+Jj(u1t ”才)甘J0婦(8.26)或 Yt= C + A Yt

22、 -1+ Ut因?yàn)?A 的階數(shù)為 4 v2均為 0新息（u1 u2也為 0）。那么 y2、y3分別為:_ 0y y1|3.57y y2= y+ u u2=0.4|0.20.40.20.10肝昌0.357：0.53.57_!。!1.785_0.1 0.35700.32130.51.785足一 一扇639一雖然喬利斯基分解被廣泛應(yīng)用，但是對(duì)于共同部分的歸屬來(lái)說(shuō)，它還是一種很隨意的方法。方程順序的改變將會(huì)影響到脈沖響應(yīng)函數(shù)。因此在解釋脈沖響應(yīng)函數(shù)時(shí)應(yīng)小心。比如，在上例中，將方程的順序更改為，回J0.2呵忡斗加Q2501 ：0.4 0.1&_一ht：14 16一Q Q 的 Cholesky分解

23、矩陣為：；50 M M = = J J2.8 2.86_第 1期的 y1的 1 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差沖擊，即瞄= =0 0一 V11_15u u = = MvMv1= = J J上.8 2.86_0邛=。L J2.86-設(shè)第 2、3 期 V1、V2均為。新息（U1、U2也為 0）。那么V2、y3分別為:0y yi|2.86 0.2 0.5001.43y y2=y y i i+ + U U2 =11+ 1=0.4 0.12.8600.2860.2 0.5 1.4300.429V V3 =y2+ + U U3=lI I+ I =1y3 y0.4 0.10.28600.6006類(lèi)似地，第 1期的 y1的 1 個(gè)

24、標(biāo)準(zhǔn)差沖擊，即伯=1U U1=Mv=Mv1=501=52.8 2.86 |0|（2.8設(shè)第 2、3 期 v1 v2均為 0新息（u1 u2也為 0）。那么 y2、）3分別為:5y y1= 2.80.4y y2二y y1 *U2=0 20.4y y3 =y2+ 此=0 2每個(gè)變量在不同期的響應(yīng)如下表和下圖所示。注意：對(duì)于 Ut中的每一個(gè)誤差項(xiàng)，內(nèi)生變量都對(duì)應(yīng)著一個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)。這樣，一個(gè)含 有 4 個(gè)內(nèi)生變量的 VAR 將有 16個(gè)脈沖響應(yīng)函數(shù)。8.5.2預(yù)測(cè)誤差方差分解VAR 模型的另一種分析方法是方差分解，既分析未來(lái) t+s 期的 yj,t+s的預(yù)測(cè)誤差的方差由不同新息的沖擊影響的比例。與脈

25、沖響應(yīng)函數(shù)(impulse response function)相對(duì)應(yīng)，方差分解提供了另一種描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)變化的方法。脈沖響應(yīng)函數(shù)是追蹤系統(tǒng)對(duì)一個(gè)內(nèi)生變量的沖擊效果，反映一個(gè)變量的沖擊對(duì)所有內(nèi)生變量當(dāng)期及未來(lái)各期的影響，而方差分解將 VAR 系統(tǒng)中任意一個(gè)內(nèi)生變量的預(yù)測(cè)均方誤差分解成系統(tǒng)中各變量的隨機(jī)沖擊所做的貢獻(xiàn)，然后計(jì)算出每一 個(gè)變量沖擊的相對(duì)重要性，即各變量沖擊的貢獻(xiàn)占總貢獻(xiàn)的比例。比較這個(gè)相對(duì)重要性信息 隨時(shí)間的變化， 就可以估計(jì)。50=2.280.52.8|02.40幣28十吐1520.52.4一656一出該變量的作用時(shí)滯，還可估計(jì)出各變量效應(yīng)的相對(duì)大小。因此,方差分解揭示了一個(gè)變量的

26、運(yùn)動(dòng)軌跡在多大程度上是由于自己的沖擊，多大程度上是由于系 統(tǒng)中其它變量的沖擊。另外，在 VAR 模型中，如果對(duì)一個(gè)方程的沖擊在任何預(yù)測(cè)區(qū)間都不能解釋所關(guān)注變量的 預(yù)測(cè)誤差方差，那么稱(chēng)所關(guān)注的這些變量為外生的，其運(yùn)動(dòng)獨(dú)立于其它方程的沖擊。另一方 面，如果一個(gè)方程的沖擊在任何區(qū)間完全解釋了所關(guān)注變量的預(yù)測(cè)誤差方差，那么稱(chēng)所關(guān)注 的這些變量為完全內(nèi)生的，其運(yùn)動(dòng)完全取決于其他方程的沖擊。在這一方面，預(yù)測(cè)誤差方差 分解也為我們提供了非常有用信息。以 VAR(1)模型為例(假設(shè)均值為0)。yt= A yt -i+ ut對(duì)(t+1)期的預(yù)測(cè)值為：Y Yt i= = AYAYtu uti=：Y Yt i=E(

27、Y Yti|Y Yt, Y Yi) = = AYAYt對(duì)(t+2)期的預(yù)測(cè)值為：Y Yt 2= =AYAYt i -ut 2= =A A2Y YtAuAut iU Ut 2-Y-Yt 2=E(Y Yt 2IY Yt，Y Yi) = = A A2 2Y Yt依此類(lèi)推，可得到對(duì) (t+s)期的預(yù)測(cè)值丫危=AY=AYt siu uts=A=As sY YtA As s% %t iAuAutu ut s-丫t s= = A AsY Yt預(yù)測(cè)誤差為：e es= = Y Yt s -* s= = AsAsiAuAut .sju ut s預(yù)測(cè)誤差的方差為：Var(e es s) ) = = Q Q +AQA

28、+AQA + + A A2 2QAQA2+A+AsQAs對(duì)于 VAR(k)過(guò)程的預(yù)測(cè)誤差，可以通過(guò)其友矩陣變換的形式來(lái)計(jì)算。VAR( k)模型轉(zhuǎn)換而得到的關(guān)于Yt的一階向量自回歸模型。Yt= A Yt -i+ UtQ, t= sE( UtUs)=0, t = s其中_Q 0 010 00QNkNk=。 I!。0 0一假設(shè)下式是由任(8.38)對(duì)(8.38)進(jìn)行迭代運(yùn)算,Y Yt2= = AYAYt 1u ut 2= = A AsY YtA As-U-Ut 1AUAUt，sjU Ut s上式中的前 N行(原 VAR 中的方程)可用向量表示為，Yt+s= A11(S)Yt+ A12(s)Yt-1

29、+.+A1k (s)Yt -k+1+ ut +s+ A11ut+s -1+ A11(2)ut+s -2 +.+All (s)ut +1(8.40)其中(A A1/)Yt+ A/Yt-1+A1k (s)Yt -k+1)表示(8.39)式中 AYt的前 N 行。(u ut +s+ A11ut+s -1+ A1/ut+s -2+A1siut +1)表不 (8.39)式中(Ut+s+ A Ut+s -1+AUt+s -2+ + + As1Ut +1)的前 N 行。其中 A1j(s), ( j =1,2, -k,)表示 As中第 1 至 N 行和N(k-1)+1到 Nk 列圍成的塊。An(i), (i=

30、1,2, )表示 A的左上塊。Ai為 A 的 i 次方。把(8.40)式寫(xiě)成，(s)(s)(s).Yt+s= A11Yt+ A12Yt-1 +.+AkYt -k+1+ ut +s+乎1ut+s -1+中2ut+s -2 + .+中s-1ut +1(8.41)其中 A11=棗1,A11=必，.，A11(s-1)=甲s-1?？傻玫綄?duì)(t+s)期的預(yù)測(cè)值：(s)(s)(s)Yft= A11()Yt+ A12()Yt-1 +.+A1k()Yt -k+1預(yù)測(cè)誤差為：Yt+s-礦耳=ut+s+棗1ut+s-1 +棗s-2ut+ 2+棗s-1ut+1預(yù)測(cè)誤差的方差為：Var(es) = Q + 甲1勰1+

31、甲2依2 +- +甲s-1勰s-1(8.40)其中 Q= E( utut)。(不同期的 ut等于零)下面考察每一個(gè)正交化誤差項(xiàng)對(duì)預(yù)測(cè)誤差方差的貢獻(xiàn)。通過(guò)下式把 ut變換為正交化誤差項(xiàng) Vt。根據(jù) Cholesky分解，可以找到矩陣M , M 滿(mǎn)足：MM = QTM-1Q M-1= I。vt= M-1ut。則 Vt的協(xié)方差矩陣為：cov( vtvt) = cov( M1utut M1) = M1。M1 = I。vt= M1ut- (0, I),或者 ut= Mvt轉(zhuǎn)換后的 vt彼此正交，稱(chēng)為正交誤差項(xiàng)。vt的方差矩陣為 var(vt) = I, I 為對(duì)角矩陣。每一期隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差為：Q =E

32、( u utu ut) =E(Mv vtv vtM ) =MM Q 中的每一個(gè)元素都是N0階的。注意,(8.38)式中的前 N行就是原 VAR( k)模型。將其帶入預(yù)測(cè)誤差方差表達(dá)式中，Var(e es) =MM *A*A (MM )A A +A A2(MM ) A A 2中+A+A (MM ) A A 心=MM (A AM)(A AM) - (A A2M)(A A2M)時(shí)牌(A AsJM)(A AsM)這里，我們注意和式中每一項(xiàng)的結(jié)構(gòu)。以二元VAR 模型為例。根據(jù) Cholesky 分解,Q =E(U Utu ut)=E(MV Vtv vtM ) =MM vi0ICii02iI0嘰20C22

33、-Gi0LQ = J 1%C220第 i期的預(yù)測(cè)誤差為 Q,即yi的預(yù)測(cè)誤差為：var(務(wù))y2的預(yù)測(cè)誤差為：var(y2i)二2。+%22冬2yi的預(yù)測(cè)誤差方差完全是由于第i 個(gè)方程的新息帶來(lái)的，ioo%和 0%。y2i的預(yù)測(cè)誤差則是由于第i 個(gè)方程的新息:v2共同帶來(lái)的，var(vi)和 var(v2)各自的比例為 C2i/( C2i+ C22)和 C22/( C2i+ C22)o第 2期的預(yù)測(cè)誤差為 Q+ AQA,即yi的預(yù)測(cè)快差為：var(?i2)=Gi*(aiiGi*ai2qi)(aiiGi*ai2qi)Ovi *622 v2y2的預(yù)測(cè)誤差為：var(務(wù)i) =var(?22) =%

34、 (a2iC|ia22C2i)(a2iCiia22p2i)；-vi(C22a22C22)，v2因此，第 i、2個(gè)方程的新息在？2的預(yù)測(cè)誤差方差中所占比重分別為：2Gi(aiiC|i ,ai2C2i)(aiiC|i ,ai2C2i)Cii2- (anGi - agXaiiGi，ag) - ag22ai2C22vi = v2 =i因此，例為C22 :、即 var(vi)和 var(v2)各自的比C2i2Gvi和第 2 個(gè)方程的新息2(aiiCliai2C2i)(aiiCliai2C2i)ai2C22第 i、2個(gè)方程的新息在？22的預(yù)測(cè)誤差方差中所占比重分別為:2% (a2iCii a22C2i)(

35、a2iCii，C2i (a2iCii,a22C2i)(a2iCii, a22C2i)(C22,a22C22)(C22 a22C22)C21(a2iGia22C2i)(a2iCn,a22C2i)(C22,a22C22)每一期的預(yù)測(cè)誤差都可以做同樣的分解。因此，在預(yù)測(cè)誤差方差中，我們可以通過(guò)Cholesky分解把每個(gè)變量的預(yù)測(cè)誤差方差分解到不同變量的沖擊項(xiàng)當(dāng)中。 這便是預(yù)測(cè)誤差方 差分解。例：考察如下模型的第i、2、3 期的預(yù)測(cè)誤差方差分解。.yit=.0.4。叫閔+巴偵偵2 0.5i6 i4 Q - I:J4 25_Q 的 Cholesky分解矩陣為:4 M M = =3.5 3.5707根據(jù)預(yù)

36、測(cè)誤差方差分解公式：22s 1 s 1Var(es)es) = = Q Q +A+A QAQA + + A A2QAQA2寸 +A+A “QAQA 22 .s 1s 1 .=MM - - A A(MM )A A A A (MM )A AA (MM )A A第 1期的預(yù)測(cè)誤差方差分解為：40Var (e e)= Q=MM= _、-v1p.5 3.57 | 0第 2期的預(yù)測(cè)誤差方差分解為：16 14C.：Q Q +A+A QAQA = = | |1+1+ I I14 25|(0.219.800.1*2=*第 3期的預(yù)測(cè)誤差：0.404 3.516cv20 3.57 *12.25uv1十12.75o

37、v2v10.10.5|(3.50f043.50.40.23.5710cv203.570.10.5*18.75 了115.94。2Var(e e3) = Q +A QA + + A A2QA2 = MM + +A A (MM )A A + + A A2(MM ) A A2 _ 36.87710.23；2-|*33.77。 29.62。2以此類(lèi)推，我們可以得到如下預(yù)測(cè)誤差方差分解表。 表：預(yù)測(cè)誤差方差分解表8.6 結(jié)構(gòu) VAR 模型在 VAR 模型中，變量之間的當(dāng)期相關(guān)關(guān)系沒(méi)有直接體現(xiàn)出來(lái)，而是通過(guò)隨機(jī)誤差項(xiàng)的協(xié)方差矩陣體現(xiàn)的。將其稱(chēng)作簡(jiǎn)化形式(reduced form ) VAR 模型。為了更直

38、接地體現(xiàn)變量之間直接的線(xiàn)性相關(guān)和考察脈沖響應(yīng)的直接的經(jīng)濟(jì)含義,先來(lái)看如下例子。考慮對(duì) VAR 模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q。 首例：在如下結(jié)構(gòu)模型中,一 1_日(。) 廠21_&(。)尸32I-明l：:；.(0)i：:； .(0)一12一131-1(。)I23-:(0)1321_ :(。) _一：(。)12121M學(xué)。-IP Pt120+Y P30L LR R一 ：.401-:(。)14-1(。 )24I壬()一34111：:； .(1)21E.(1)32E.(1)12R(1)121氏32E.(1)12|：.(1)13:(1)231101)12知TMI陽(yáng)1)24K3411 1脂將其表述為A (L

39、)Yt- c + vt,其中，A (L)= A0+ A1L + + ApLvt t、IID ( 0, I)pv2tMt 一假定 Vt是白噪聲過(guò)程。如果不滿(mǎn)足這一假定，比如說(shuō)，vt是一個(gè)向量自回歸過(guò)程：vt= CMvt-i+中 2vt-2+ - + 中kvt-k+ et, et tIID ( 0, Q)則可以通過(guò)在結(jié)構(gòu)模型兩邊同時(shí)乘以(I -1L -中2/-中kLk)將誤差項(xiàng)轉(zhuǎn)換為白噪聲過(guò)程。即在模型中增加Yt的滯后項(xiàng)，由 p 階滯后增加到(p+k)階滯后。模型中，Vi、V2、V3、V4分別表示貨幣余額、名義利率、收入和價(jià)格水平的沖擊項(xiàng)。將此模型轉(zhuǎn)換為 VAR模型，即兩邊同時(shí)乘以Ao-1,新的隨

40、機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)為Ao1vt t= ut每個(gè)新的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)都是Ui、U2、U3、U4的一個(gè)線(xiàn)性組合。這時(shí)候，脈沖響應(yīng)函數(shù)為：.Yt+s/；:Ui,t顯然，它沒(méi)有直接的經(jīng)濟(jì)含義。我們更感興趣的是cYt+s/5Vi,t。結(jié)構(gòu) VAR 模型是通過(guò) VAR 模型的估計(jì)結(jié)果來(lái)計(jì)算事t+s/汐i,t的重要方法。8.6.1 Cholesky 分解Cholesky 分解：任意對(duì)稱(chēng)正定矩陣A 可以寫(xiě)為一個(gè)下三角矩陣L 與其轉(zhuǎn)置 U=L 的乘積，即 A=LU?？紤]對(duì) L進(jìn)行進(jìn)一步轉(zhuǎn)換。令 di表示 L 對(duì)角線(xiàn)元素的倒數(shù)。令D =Diag(di, d2, -,曲)，.* O *. .則 A=LU = LD D D U =

41、(LD )D(D U) = LDL 。(L )是一個(gè)特殊的下三角矩陣，其形 式為：一 11W211，*、(L) =W31W321YN1WN2WN31J在 VAR模型Yt= c + 1Yt-1+ 中2Yt-2+ + OkYt-k+ ut, ut t-IID ( 0, Q)中，Q 為對(duì)稱(chēng)正定矩陣。根據(jù)Cholesky分解，Q = L* D2L* = L* G L*。由此可得：(L*)-1Q(L*)-1= G。G= D2為對(duì)角矩陣。模型兩邊同時(shí)乘以(L *)-1得到：*-1* -1* .1* .1* .1* -1(L ) Yt= (L ) c + ( L )中1Yt-1+ (L )中2Yt-2+ -

42、 + (L )中kYt-k+ ( L ) ut, Yt*= c*+。*丫t-1+ 電* Yt-2+ + 中k*Yt-k+ ut*在轉(zhuǎn)換的新模型中，中k*= (L*)-Wk。*4-1* A* A_var(u utu ut) =var(L L u utu utL L ) = L LQL L = = G G*. . *根據(jù) L 的形式可知，Yt的形式為：*. *Yt = 10.一1iyi,tJ，U1t i4kEt，W2iYit = 20.一、2iyi,tu2t iJYNt，WNiYt，WN JYNJ,t由于 ut的萬(wàn)差矩陣為對(duì)角矩陣，程為結(jié)構(gòu)(structural ) VAR 模型。需要注意的是，在

43、SVAR 模型分析中，Cholesky分解結(jié)果依賴(lài)于變量的排序。事實(shí)上,由于 L*是下三角矩陣，因此， Cholesky分解體現(xiàn)了變量因果關(guān)系的一種遞推關(guān)系，即每個(gè)變 量影響排在其后面的所有變量，但不受排在其前面的變量的影響。因此，第一個(gè)變量影響所 有其他變量而不受其他變量的影響，是外生性最強(qiáng)的；而最后一個(gè)變量受所有其他變量的影 響，而不影響其他變量，是內(nèi)生性最強(qiáng)的。例：考慮如下二元 VAR(1)模型：=/2+0.20.30+ &.4偵.6 1.1血,口一2tJ2 1var(u utu ut) = =t t|(1 1根據(jù) Cholesky分解，可得：L0卜0.5 1模型兩邊同時(shí)乘以L(fǎng)-

44、1,I 10y1t = p.2+0.2。期卬,.*L-0.5 1也0.31-0.7 0.95女,口煩第二個(gè)方程(y2)為：y2t=0.3 0.5y1t-0.7乂,心0.95y2,t nv*類(lèi)似地，將變量重新排序，可得到第二個(gè)方程( y)為：y1t=0.2 1.0y2t0.8y -0.8貝 協(xié)8.6.2 短期 SVAR 模型Cholesky 分解只是 SVAR模型的一種特殊形式。其最大局限在于，分析結(jié)果直接受到變 量排序的影響，而這一個(gè)問(wèn)題的來(lái)源在于Cholesky分解中的遞歸性質(zhì)。SVAR估計(jì)的主要目的在于在脈沖響應(yīng)分析中獲得隨機(jī)誤差項(xiàng)的非遞歸正交分解。設(shè)一般形式的系統(tǒng)方程為：k-* 一 *-

45、N 0一 一Niyi,t JU2t i1WNj直接體現(xiàn)了變量的當(dāng)期相關(guān)關(guān)系，因此，稱(chēng)這種方A(L)Yt= c + vt, vt t、IID ( 0, I) 其中，A(L)= A0+ AiL+ + ApLP，為 nXh的多項(xiàng)式矩陣，I 為單位矩陣。注意，在結(jié)構(gòu)方 程中每個(gè)方程中都存在內(nèi)生解釋變量。方程兩邊同時(shí)乘以 A0-1可得：A0-1A (L) Yt= A0-1c + A0-1vtA0 1(A0+ A1L + + ApLP)Yt= A0】vt即(I + 中1L + - + Q LP) = m + ut ,ut IID ( 0, Q) 這即是 VAR 模型的形式。其中， 中1= A0-1A1,.,乳=A0-1Ap； m =Ac。A0直接體現(xiàn)了變量的相關(guān)關(guān)系，是否可以由 VAR 模型求出 A中的未知參數(shù)呢？重寫(xiě)結(jié)構(gòu) VAR 模型與 SVAR 模型的參數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系為：VAR 模型：(I + 寺1L+ - + 中pLP) Yt= m + ut, ut t- IID ( 0, Q)SVAR 模型：(A0+ A1L+ + ApLp) Yt= c + vt, vt t- IID (0, I)一者的對(duì)應(yīng)關(guān)系： 中1= A0A1,.,中 p= A0Ap；m = A0c；ut= A0vt(A0A0 = Q)。當(dāng)然，我們也可以在 VAR模型兩邊同時(shí)乘以(A。)，得到結(jié)構(gòu)模型。(