正態(tài)分布及其經(jīng)典習(xí)題和答案(共7頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題：正態(tài)分布例：（1）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且E（X）=2.4，V（X）=1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值為 An=4，p=0.6Bn=6,p=0.4Cn=8，p=0.3Dn=24，p=0.1答案：B。解析：，。 （2）正態(tài)曲線下、橫軸上，從均數(shù)到的面積為( )。A95% B50% C97.5% D不能確定（與標(biāo)準(zhǔn)差的大小有關(guān)） 答案：B。解析：由正態(tài)曲線的特點(diǎn)知。（3）某班有48名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，平均分為80，標(biāo)準(zhǔn)差為10，理論上說在80分到90分的人數(shù)是 （ ）A 32 B 16 C 8 D 20答案：B。解析:數(shù)學(xué)成績是XN(

2、80,102)，。 （4）從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)之積的數(shù)學(xué)期望為_ 。答案：8.5。解析：設(shè)兩數(shù)之積為X，X23456810121520P0.10.10.10.10.10.10.10.10.10.1E(X)=8.5. （5）如圖，兩個(gè)正態(tài)分布曲線圖：1為，2為，則 ， （填大于，小于）答案：，。解析：由正態(tài)密度曲線圖象的特征知。【課內(nèi)練習(xí)】1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為( )。A0與1 B1與0 C0與0 D1與1答案：A。解析：由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的定義知。2正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)與，( )相應(yīng)的正態(tài)曲線的形狀越扁平。A越大 B越小 C越大 D越小答案： C。解析：由正

3、態(tài)密度曲線圖象的特征知。3已在個(gè)數(shù)據(jù)，那么是指A B C D（ ）答案：C。解析：由方差的統(tǒng)計(jì)定義知。 4設(shè)，則的值是 。答案：4。解析：，5對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)題，甲解出的概率為，乙解出的概率為，兩人獨(dú)立解題。記X為解出該題的人數(shù)，則E（X）= 。答案：。解析：。6設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則下列結(jié)論正確的是 。 (1) (2)(3)(4)答案：(1),(2),(4)。解析：。7拋擲一顆骰子，設(shè)所得點(diǎn)數(shù)為X，則D（X）= 。答案：。解析：，按定義計(jì)算得。【作業(yè)本】A組1袋中裝有5只球，編號(hào)為1，2，3，4，5，從中任取3球，以X表示取出球的最大號(hào)碼，則E（X）等于 （ ） A、4 B、5 C、4.5 D

4、、4.75答案：C。解析：X的分布列為X345P0.10.30.6故E（X）=30.1+40.3+50.6=4.5。2下列函數(shù)是正態(tài)分布密度函數(shù)的是 （ ）A BC D答案：B。解析：選項(xiàng)B是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)。3正態(tài)總體為概率密度函數(shù)是 （ ）A奇函數(shù) B偶函數(shù) C非奇非偶函數(shù) D既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)答案：B。解析：。4已知正態(tài)總體落在區(qū)間的概率是05，那么相應(yīng)的正態(tài)曲線在 時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)。答案：0.2。解析：正態(tài)曲線關(guān)于直線對(duì)稱，由題意知。5一次英語測(cè)驗(yàn)由40道選擇題構(gòu)成，每道有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的，每個(gè)選對(duì)得3分，選錯(cuò)或不選均不得分，滿分120分，某學(xué)生選對(duì)一道題的概率為0

5、.7，求該生在這次測(cè)驗(yàn)中的成績的期望為 ；方差為 。答案：84；75.6。解析：設(shè)X為該生選對(duì)試題個(gè)數(shù)，為成績，則XB（50，0.7），=3XE(X)=40×0.7=28 V(X)=40×0.7×0.3=8.4故E()=E(3X)=3E(X)=84 V()=V(3X)=9V(X)=75.66某人進(jìn)行一個(gè)試驗(yàn)，若試驗(yàn)成功則停止，若實(shí)驗(yàn)失敗，再重新試驗(yàn)一次，若試驗(yàn)三次均失敗，則放棄試驗(yàn)，若此人每次試驗(yàn)成功的概率為，求此人試驗(yàn)次數(shù)X的分布列及期望和方差。解：X的分布列為X123P故，。7甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員，甲射擊一次命中10環(huán)的概率為0.5，乙射擊一次命中10環(huán)的概率

6、為s，若他們獨(dú)立的射擊兩次，設(shè)乙命中10環(huán)的次數(shù)為X，則EX=，Y為甲與乙命中10環(huán)的差的絕對(duì)值.求s的值及Y的分布列及期望.答案：解：由已知可得，故有Y的取值可以是0，1，2. 甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)都是0次的概率是， 甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)都是1次的概率是， 甲、乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)都是2次的概率是 所以； 甲命中10環(huán)的次數(shù)是2且乙命中10環(huán)的次數(shù)是0次的概率是，甲命中10環(huán)的次數(shù)是0且乙命中10環(huán)的次數(shù)是2次的概率是 所以，故 所以Y的分布列是Y123P 所以 Y的期望是E（Y）=。B組1某產(chǎn)品的廢品率為0.05，從中取出10個(gè)產(chǎn)品，其中的次品數(shù)X的方差是 （ ）A、0.5

7、B、0.475 C、0.05 D、2.5答案：B。解析：XB（10，0.05），。2若正態(tài)分布密度函數(shù)，下列判斷正確的是 （ ）A有最大值，也有最小值 B有最大值，但沒最小值 C有最大值，但沒最大值 D無最大值和最小值 答案：B。3在一次英語考試中，考試的成績服從正態(tài)分布，那么考試成績?cè)趨^(qū)間內(nèi)的概率是 A06826 B03174 C09544 D09974答案：C。解析：由已知XN（100，36），故。4袋中有4個(gè)黑球，3個(gè)白球，2個(gè)紅球，從中任取2個(gè)球，每取到一個(gè)黑球得0分，每取到一個(gè)白球得1分，若取到一個(gè)紅球則得2分，用X表示得分?jǐn)?shù)，則E（X）=_；D(X)= _.答案：；。解析：由題意知

8、，X可取值是0，1，2，3，4。易得其概率分布如下：X01234PE(X)=0×+1×2×3×4× V(X)= ×+×××× 注：要求次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差，應(yīng)先列出次品數(shù)X的分布列。5若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)是，則= 。答案：-5。解析：。6一本書有500頁，共有100個(gè)錯(cuò)字，隨機(jī)分布在任意一頁上，求一頁上錯(cuò)字個(gè)數(shù)X的均值、標(biāo)準(zhǔn)差。解：XBX的標(biāo)準(zhǔn)差。8一批電池（一節(jié)）用于手電筒的壽命服從均值為35.6小時(shí)、標(biāo)準(zhǔn)差為4.4小時(shí)的正態(tài)分布，隨機(jī)從這批電池中任意取一節(jié)，問這節(jié)電池可持續(xù)使用不

9、少于40小時(shí)的概率是多少？答案：解：電池的使用壽命XN(35.6,4.42)則即這節(jié)電池可持續(xù)使用不少于40小時(shí)的概率是0.1587。正態(tài)分布雙基自測(cè)1設(shè)有一正態(tài)總體，它的概率密度曲線是函數(shù)f(x)的圖象，且f(x)e，則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是()A10與8 B10與2 C8與10 D2與10解析由ee，可知2，10.答案B2(2011·湖北)已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(2，2)，且P(4)0.8，則P(02)等于()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2解析由P(4)0.8知P(4)P(0)0.2，故P(02)0.3.故選C.答案C3(2010·廣東)已知隨機(jī)

10、變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2X4)0.682 6，則P(X4)等于()A0.158 8 B0.158 7 C0.158 6 D0.158 5解析由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x3對(duì)稱，P(X4)0.5P(2X4)0.5×0.682 60.158 7.故選B4(2010·山東)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0，2)，若P(X>2)0.023，則P(2X2)等于()A0.477 B0.628 C0.954 D0.977解析P(2X2)12P(X>2)0.954.答案C5設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c1)P(X<c1)，則

11、c等于()A1 B2 C3 D42，由正態(tài)分布的定義知其函數(shù)圖象關(guān)于x2對(duì)稱，于是2，c2.答案B考向一正態(tài)曲線的性質(zhì)【例1】若一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為 .(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；(2)求正態(tài)總體在(4,4的概率解(1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即0.由，得4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是，(x)e，x(，)(2)P(4<X4)P(04<X04)P(<X)0.682 6.【訓(xùn)練1】 設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A12，12

12、B12，12C12，12D12，12解析根據(jù)正態(tài)分布N(，2)函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于直線x對(duì)稱，在x處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；越大，曲線的最高點(diǎn)越低且較平緩；反過來，越小，曲線的最高點(diǎn)越高且較陡峭，故選A.考向二服從正態(tài)分布的概率計(jì)算【例2】設(shè)XN(1,22)，試求(1)P(1<X3)；(2)P(3<X5)；(3)P(X5)解XN(1,22)，1，2.(1)P(1<X3)P(12<X12)P(<X)0.682 6.(2)P(3<X5)P(3<X1)，P(3<X5)P(3<X5)P(1<X3)P(14<X14)P(1

13、2<X12)P(2<X2)P(<X)×(0.954 40.682 6)0.135 9.(3)P(X5)P(X3)，P(X5)1P(3<X5)1P(14<X14)1P(2<X2)×(10.954 4)0.022 8.【訓(xùn)練2】 隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(1，2)，已知P(0)0.3，則P(2)_.解析由題意可知，正態(tài)分布的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，所以P(2)P(0)0.3，P(2)10.30.7.答案0.7考向三正態(tài)分布的應(yīng)用【例3】2011年中國汽車銷售量達(dá)到1 700萬輛，汽車耗油量對(duì)汽車的銷售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車制造企業(yè)積極采用新

14、技術(shù)降低耗油量，某汽車制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車的耗油情況，共抽查了1 200名車主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車的平均耗油為百公里8.0升，并且汽車的耗油量服從正態(tài)分布N(8，2)，已知耗油量7,9的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車大約有_輛解由題意可知N(8，2)，故正態(tài)分布曲線以8為對(duì)稱軸，又因?yàn)镻(79)0.7，故P(79)2P(89)0.7，所以P(89)0.35，而P(8)0.5，所以P(9)0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1 200×0.15180輛【訓(xùn)練3】 工廠制造的某機(jī)械零件尺寸X服從正態(tài)分布N，問在一次正常的試驗(yàn)中，取1 000個(gè)零件時(shí)，不屬于區(qū)間(3,5

15、這個(gè)尺寸范圍的零件大約有多少個(gè)？解XN，4，.不屬于區(qū)間(3,5的概率為P(X3)P(X5)1P(3X5)1P(41X41)1P(3X3)10.997 40.002 60.003，1 000×0.0033(個(gè))，即不屬于區(qū)間(3,5這個(gè)尺寸范圍的零件大約有3個(gè)閱卷報(bào)告19正態(tài)分布中概率計(jì)算錯(cuò)誤【問題診斷】 正態(tài)分布是高中階段唯一連續(xù)型隨機(jī)變量的分布，這個(gè)考點(diǎn)雖然不是高考的重點(diǎn)，但在近幾年新課標(biāo)高考中多次出現(xiàn)，其中數(shù)值計(jì)算是考查的一個(gè)熱點(diǎn)，考生往往不注意對(duì)這些數(shù)值的記憶而導(dǎo)致解題無從下手或計(jì)算錯(cuò)誤【防范措施】 對(duì)正態(tài)分布N(，2)中兩個(gè)參數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)值及其意義應(yīng)該理解透徹并記住，且注意第二個(gè)數(shù)值應(yīng)該為2而不是，同時(shí)，記住正態(tài)密度曲線的六條性質(zhì)【示例】 已知某次數(shù)學(xué)考試的成績服從正態(tài)分布N(116，64)，則成績?cè)?40分以上的考生所占的百分比為A0.3% B0.23% C1.5% D0.15%錯(cuò)因(1)不能正確得出該正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)，導(dǎo)致計(jì)算無從下手(2)對(duì)正態(tài)分布中隨機(jī)變量在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率數(shù)值記憶不準(zhǔn)，導(dǎo)致計(jì)算出錯(cuò)實(shí)錄