平面向量的物理背景及其含義課件

1、平面向量的物理背景及其含義2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義含義2.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角夾角平面向量的物理背景及其含義平面向量的物理背景及其含義平面向量的物理背景及其含義已知兩個非零向量已知兩個非零向量a和和b，作，作OA=a， OB=b，則，則AOB= （0 180）叫做向量叫做向量a與與b的的夾角夾角。OBA當0時，a與b同向；OAB當180時，a與b反向；OABB當90時，稱a與b垂直， 記為ab.OAab平面向量的物理背景及其含義 我們學過功的概念，即一個物體在力我們學過功的概念，即一個物體在力F

2、的作用下產(chǎn)生位移的作用下產(chǎn)生位移s（如圖）（如圖）FS力力F所做的功所做的功W可用下式計算可用下式計算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F與與S的夾角的夾角 從力所做的功出發(fā)，我們引入向量從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積數(shù)量積”的概念。的概念。平面向量的物理背景及其含義 已知兩個非零向量已知兩個非零向量a與與b，它們的，它們的夾角為夾角為，我們把數(shù)量，我們把數(shù)量|a| |b|cos叫做叫做a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積（或（或內(nèi)積內(nèi)積），記作），記作ab ab=|a| |b| cos規(guī)定規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為零向量與任一向量的數(shù)量積為0。 |a| cos（|b| cos）叫）叫

3、做向量做向量a在在b方向上（向方向上（向量量b在在a方向上）的方向上）的投影投影。注意：向量注意：向量的數(shù)量積是的數(shù)量積是一個數(shù)量。一個數(shù)量。平面向量的物理背景及其含義 向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，那么它什么時候為正，什么時候為負？什么時候為正，什么時候為負？ab=|a| |b| cos當當0 90時時ab為正；為正；當當90 180時時ab為負。為負。當當 =90時時ab為零。為零。平面向量的物理背景及其含義設設ba、是非零向量，是非零向量，be是與方向相同的方向相同的單位向量，單位向量，ea與是的夾角，則的夾角，則cos|) 1 (aeaae0)2(baba|;|

4、) 3(bababa同向時，與當|;|bababa反向時，與當特別地特別地2|aaaaaa |或2a|cos)4(baba| )5(babaOAB abB1| | | | | c co os sa ab ba ab b 平面向量的物理背景及其含義解：解：ab = |a| |b|cos= 54cos120 =54（-1/2）= 10例例1 1 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a與與b b的夾角的夾角=120=120，求，求abab。例例2 已知已知a=(1,1),b=(2,0),求求ab。解：解： |a| =2, |b|=2, =45 ab=|a| |b|cos= 22c

5、os45 = 2平面向量的物理背景及其含義OAB|b|cos abB1ba等于等于a的長度的長度|a方向上的投影在ab與與cos|b的乘積。的乘積。平面向量的物理背景及其含義練習：練習：1 1若若a = =0，則對任一向量，則對任一向量b ，有，有a b= =02若若a 0，則對任一非零向量，則對任一非零向量b ,有有a b03 3若若a 00，a b b = =0，則，則b= =04 4若若a b= =0，則，則a b中至少有一個為中至少有一個為05 5若若a0，a b= = b c，則，則a=c6 6若若a b = = a c , ,則則bc, ,當且僅當當且僅當a= =0 時成立時成立7

6、對任意向量對任意向量 a 有有22|aa 平面向量的物理背景及其含義二、二、平面向量的數(shù)量積的運算律平面向量的數(shù)量積的運算律：數(shù)量積的運算律：數(shù)量積的運算律：cbcacbabababaabba)(3()()()(2() 1 (其中，其中，cba、是任意三個向量，是任意三個向量，R注：注：)()(cbacba平面向量的物理背景及其含義 則 (a + b) c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = ac + bc . ONMa+bbac 向量a、b、a + b在c上的射影的數(shù)量分別是OM、MN、 ON, 證明運算律證明運算律(3)平面向量的物理背景及

7、其含義例例 3：求證：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.證明：證明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.平面向量的物理背景及其含義例例 3：求證：求證：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.證明：證明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.平面向量的物理背景及其含義例例4、2 2 ) ) ( (3 3 ) )a ab ba ab b 求求（。| | |6 6, ,| | |4 4, ,a ab ba ab b 已已知知與與60 ,60 ,o o 的夾角為的夾角為解解:平面向量的物理背景及其含義5.| 3,| 4,abkakbakb例 已知當且僅當 為何值時，向量與互相垂直？平面向量的物理背景及其含義作業(yè)：作業(yè)：)(,2432, 1|1cbacabacbakbakbababa求證：是非零向量，且、設的值。互相垂直，求也與且、若平面向量的物理背景及其含義3、用向量方法證明：直徑所對的圓周、用向量方法證明：直徑所對的圓周角為直角。角為直角。ABCO分析：要證分析：要證ACB=90，只須證向，只須證向量量 ，即，即 。A AC CC CB B 0 0A AC CC CB B 設設 則則 ，由此可得：由此可得：, ,A AO Oa a