第4章矩陣的特征值

1、山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香1第四章第四章 矩陣的特征值矩陣的特征值本章要點：本章要點：1.特征值與特征向量及其求法特征值與特征向量及其求法 2.矩陣的相似矩陣的相似 3.實對稱矩陣的相似實對稱矩陣的相似矩陣的特征值是代數(shù)學的重要內(nèi)容之一，在經(jīng)濟理論研究矩陣的特征值是代數(shù)學的重要內(nèi)容之一，在經(jīng)濟理論研究及其他學科中都有廣泛的應(yīng)用。及其他學科中都有廣泛的應(yīng)用。特征值特征值特征向量特征向量方陣方陣對角形對角形( (或或約當形約當形) )相似于相似于對角形對角形元素元素轉(zhuǎn)化矩陣轉(zhuǎn)化矩陣山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香2第一節(jié)第一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量一一. 矩陣的特征值與特

2、征向量矩陣的特征值與特征向量則稱則稱 為為 A 的的一個特征值一個特征值，定義定義4.1 4.1 設(shè)設(shè)A A為為n n階方陣階方陣,是一個數(shù)是一個數(shù), ,若存在若存在非零非零列向量列向量 x,x,使得使得1 ( )Axx 1. 特征值與特征向量的概念特征值與特征向量的概念對應(yīng)于特征值對應(yīng)于特征值的的特征向量特征向量，簡稱為，簡稱為 A 的特征向量。的特征向量。非零向量非零向量 x 稱為矩陣稱為矩陣 A 的的11,41A 例例. 求方陣求方陣111,1,2 由于由于1111111,41222A 221113133,41262A 所以所以11 是是A的一個的一個特征值特征值，而，而的的特征向量特征

3、向量112 是是A的屬于的屬于11 221,3,2 所以所以23 是是A的一個的一個特征值特征值，而，而的的特征向量特征向量212 是是A的屬于的屬于23 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香3 2.求法求法整理（整理（1 1）式）式, ,得得()(2)A xo 特征向量特征向量可看成方程組可看成方程組(2)的非零解的非零解.x0A 特征向量特征向量方程組方程組(2)的非零解的非零解.特征值特征值轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化存在條件存在條件確確定定1 ( )Axx 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香4總結(jié)求矩陣特征值與特征向量的方法總結(jié)求矩陣特征值與特征向量的方法:第一步第一步:令令0A 求特征值求特征值. 第二步第二步:

4、對于每一個對于每一個, 求求 A xo 基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系,第三步第三步:基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系的非零線性組合非零線性組合為為A對應(yīng)于對應(yīng)于的全部特征向量的全部特征向量. 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香5A 0A 3. 其它相關(guān)的概念其它相關(guān)的概念定義定義4.2 設(shè)設(shè)A為階方陣為階方陣,A (的的 n 次多項式次多項式)行列式行列式特征方程的根特征方程的根對應(yīng)的對應(yīng)的x()A xo 特征矩陣特征矩陣特征多項式特征多項式特征方程特征方程特征根特征根特征向量特征向量0A 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香63. 問題問題(1) 矩陣的特征值是否總存在的矩陣的特征值是否總存在的?若存在若存在,有多少個有多少個

5、?(2) 若若為為矩陣矩陣A A的一個特征值的一個特征值,那么對應(yīng)于那么對應(yīng)于的特征向量的特征向量有多少個有多少個?命題命題1: 任一任一 n 階方陣都有階方陣都有 n 個復特征根個復特征根.4.有關(guān)矩陣特征值與特征向量有下面的結(jié)論有關(guān)矩陣特征值與特征向量有下面的結(jié)論:命題命題2: (1)若若x A為為的對應(yīng)于的對應(yīng)于的特征向量的特征向量,則則(0)kkx A也為也為的對應(yīng)于的對應(yīng)于的特征向量的特征向量.x A同為同為的對應(yīng)于的對應(yīng)于的特征向量的特征向量,(2)若若y與與x的非零線性組合的非零線性組合y與與則則 A的對應(yīng)于的對應(yīng)于的特征向量的特征向量.,也是也是山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香7

6、5.舉例舉例122311221A 例例1.求三階方陣求三階方陣的特征值及特征向量的特征值及特征向量.122311221A 解解 (1)先求特征根先求特征根矩陣矩陣A的特征多項式為的特征多項式為122(3) 111121 2(3) (3)由由得得A的特征根的特征根1233,3. 0A 3001302213 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香81233,3 13 1)當當時時,齊次線性方程組齊次線性方程組(3)A xo ,即即123422034102240 xxx 的一個基礎(chǔ)解系為的一個基礎(chǔ)解系為111 ,1 的全部特征向量為的全部特征向量為則對應(yīng)于則對應(yīng)于13 111(0).cc 233 2)當當時

7、時,齊次線性方程組齊次線性方程組( 3)A xo ,即即123222032102220 xxx 的一個基礎(chǔ)解系為的一個基礎(chǔ)解系為212 ,1 的全部特征向量為的全部特征向量為則對應(yīng)于則對應(yīng)于222(0).cc 233 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香9111131111A 例例2.求三階方陣求三階方陣的特征值及特征向量的特征值及特征向量.111131111A 解解 (1)先求特征根先求特征根2(2) (1)0得得A的特征根的特征根1232,1.(2)再求特征向量再求特征向量山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香10,即即123111011101110 xxx 的一個基礎(chǔ)解系為的一個基礎(chǔ)解系為12111

8、,001 31 2)當當時時,齊次線性方程組齊次線性方程組()A xo 的一個基礎(chǔ)解系為的一個基礎(chǔ)解系為311,1 的全部特征向量為的全部特征向量為則對應(yīng)于則對應(yīng)于3(0).cc 31 1232,1.1)當當時時,齊次線性方程組齊次線性方程組(2)A xo 122的全部特征向量為的全部特征向量為則對應(yīng)于則對應(yīng)于112212(,ccc c 不全為零不全為零)122,即即123011012101100 xxx 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香11的的特特征征值值及及特特征征向向量量。求求三三階階方方陣陣例例 1630530643A解解163053064 AI 18)5)(4()1( )2)(1(2

9、0)2() 1(2 . 21321 ，的的特特征征值值為為A山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香1212336 0 x0360 x0360 x0 的一個基礎(chǔ)解系為的一個基礎(chǔ)解系為 100,01221 的的全全部部特特征征向向量量為為對對應(yīng)應(yīng)于于因因此此，121 A),(212211不不全全為為零零cccc 123660 x0330 x0363x0 的一個基礎(chǔ)解系為的一個基礎(chǔ)解系為 1113 的的全全部部特特征征向向量量為為對對應(yīng)應(yīng)于于因因此此，23 A)0(3 cc ，即即齊齊次次線線性性方方程程組組對對于于0)(, 121 xAI 1)，即即齊齊次次線線性性方方程程組組對對于于0)2(, 23 x

10、AI 2)山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香13aAaa 例例4.求三階方陣求三階方陣的特征值及特征向量的特征值及特征向量.aAaa 解解 (1)先求特征根先求特征根3()0a 得得A的特征根的特征根123. a 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香14所以任意含三個向量的三維向量組都是它的基礎(chǔ)解系所以任意含三個向量的三維向量組都是它的基礎(chǔ)解系,123. a當當時時,齊次線性方程組齊次線性方程組()A xo ,即即123aoxo 1221000 ,1 ,0001 作為其基礎(chǔ)解系作為其基礎(chǔ)解系.取三維初始單位向量組取三維初始單位向量組112233123(,cccc c c不全為零不全為零)的全部特征向量為

11、的全部特征向量為則對應(yīng)于則對應(yīng)于123a(2)再求特征向量再求特征向量山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香15例例5. 證明：三角形矩陣的特征值是主對角線上的證明：三角形矩陣的特征值是主對角線上的n個元素個元素.證明證明: 不妨設(shè)不妨設(shè)11121n222nnnaaa0aaA, 00a 11121n222nnnaaa0aaIA00a 1122nnaaa 0 得得A的全部特征值的全部特征值111222nnna ,a ,a . 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香16第五 章 第 一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量5 , A BnABBA例設(shè)均為 階方陣，則與有相同的特征多項式。0,00 0AIIBIAIAIBIIB

12、IBAIAAIIABIIBIBIABIBA 我們由來考察的行列式,由知，IABIBA證明：即證山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香17二二. 特征值與特征向量的基本性質(zhì)特征值與特征向量的基本性質(zhì)12110 是是特特征征值值，是是其其特特征征向向量量，定理定理4.1 n階方陣階方陣ATA有有相同的特征值相同的特征值.與它的轉(zhuǎn)置矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣證明證明 考察它們的特征多項式考察它們的特征多項式 .TTAAA 這說明它們這說明它們有相同的特征多項式有相同的特征多項式,所以特征值相同所以特征值相同.注注: A與與AT有沒有相同的特征向量呢有沒有相同的特征向量呢? 看下面的例子看下面的例子:1101A ，設(shè)

13、設(shè)110111011010TA 結(jié)論結(jié)論: A與與AT特征向量不一定相同的特征向量不一定相同的.山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香18 線 性 代 數(shù) 講 義第五 章 第 一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量114 2 () (1)1 (1,2,) (2)1 (1,2,)(1,2,)1 1 1,2,ijnijjnijikkAanainajnAknkn 定定理理 . .設(shè)設(shè)是是 階階方方陣陣，如如果果中中有有一一個個成成立立，則則矩矩陣陣的的所所有有特特征征值值的的模模小小于于 ，即即山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香19的的特特征征向向量量，為為對對應(yīng)應(yīng)于于的的特特征征值值，是是證證明明：設(shè)設(shè) nxxxxA2

14、1), 2 , 1( )1(22112121nixxaxaxaxxxxxxAininiinn 即即，成成立立時時則則有有當當條條件件knknkkkknkxxaxaxaxxxxxx 221121 | |)| ,|,| |,max(| 則則有有，設(shè)設(shè)山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香201|1112211 kkkknknkkkkaaaxxaxxaxxa的的特特征征值值亦亦有有所所以以對對于于有有相相同同的的特特征征值值，與與即即可可。成成立立時時，此此時時取取當當條條件件AAAATT)2(kk11k22knnkkxa xa xa x| | xx ), 2 , 1(1nkk 的的任任意意性性知知：有有)

15、,2 , 1(1nkk 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香21121212111212122212 , , ,immiiitittmmmtnAA 推推論論： 設(shè)設(shè)是是 階階方方陣陣 的的互互異異的的特特征征值值，為為 的的對對應(yīng)應(yīng)于于的的線線性性無無關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量，則則向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān). . 定理定理4.3： n階方陣階方陣A的的互異特征值互異特征值 所對應(yīng)的特征向量組成的特征向量組所對應(yīng)的特征向量組成的特征向量組線性無關(guān)線性無關(guān).12,m 是是n階方陣階方陣A的的互異特征值，互異特征值，12,m 為為A的分別對應(yīng)于的分別對應(yīng)于12,m 的特征向量，的特征向量，即：設(shè)即：設(shè)1

16、2,m 線性無關(guān)線性無關(guān).則則山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香22第五 章 第 一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量結(jié)論：結(jié)論：1） 為為 的特征值的特征值.k kA2） 為為 的特征值的特征值k Ak3） 為為 的特征值的特征值.1 AI112212( )nnntr Aaaa4)4)125)nA 12,n 6) 若若A可逆，可逆，為其特征值，則為其特征值，則12111n， ， ，為為的特征值，的特征值，1A 12nAAA ， ， ，A 為為的特征值。的特征值。山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香23111212122212nnnnnnaaaaaaIAaaa 證明：為證明（證明：為證明（4）與（）與（5），考

17、慮特征多項式），考慮特征多項式1122()()()nnaaa為其展開式中的一項，為其展開式中的一項，則則其余的項至多含有其余的項至多含有(n2)個主對角線上的元素，個主對角線上的元素，即在其余的項中即在其余的項中 的次數(shù)最高為的次數(shù)最高為(n2)1122()()()nnaaa所以，所以， 的大于的大于(n2)次的項只能出項在次的項只能出項在 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香24112211122()()()()nnnnnnaaaaaa 而而1211212()()()()( 1)nnnnnnIA 又又112212( )nnntr Aaaa所所以以有有12120( 1)nnnAA 令令 ，即即有有，

18、即即山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香25例例1.三階方陣三階方陣A的特征值為的特征值為-1,2,3,求求 (1)2A的特征值的特征值, (2)A2的特征值的特征值, (3)|A|.例例2.試證試證:n階方陣階方陣A是奇異矩陣的充分必要條件是是奇異矩陣的充分必要條件是A有一個特征有一個特征 值為零值為零.解解 12nA定理定理4.4： 若若 是方陣是方陣A的的 重特征值，則重特征值，則A的屬于的屬于 的的特征向特征向量組的秩量組的秩0 0 . k k山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香26三三.雜例雜例例例1. 設(shè)矩陣設(shè)矩陣1232,4, 有特征值為有特征值為1333366Aab 求參數(shù)求參數(shù)a,b的值

19、及的值及3. 解解:由由1333323662Aab ()().3 540ab2333343664Aab ()().3 540ab得得,.-54ab又又,一方面一方面( )11540tr Aab另一方面另一方面( ),123324tr A 故故.32 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香27例例2. 已知已知11,1x 的一個有特征向量為的一個有特征向量為2125312Aab 求參數(shù)求參數(shù)a,b的值及特征向量所對應(yīng)的特征值的值及特征向量所對應(yīng)的特征值. 解解 設(shè)設(shè) 為特征向量為特征向量x所對應(yīng)的特征值所對應(yīng)的特征值,則則,Axx 即即2121153111211ab 2125312ab 解得解得,.30

20、1ab 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香28例例3. 設(shè)設(shè)A為四階方陣為四階方陣,滿足條件滿足條件30,2 ,TAAA 而且而且0.A 求求A的伴隨矩陣的伴隨矩陣的一個特征值的一個特征值.A 解解 ()(),433130AAA 故故A有一個特征值為有一個特征值為. 3 2 ,TAA 又又2216,TAAA 所以所以4.A 得得0,A 因為因為4.A 所以所以.43A 有一個特征值為有一個特征值為于是于是,A 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香294.2 相似矩陣相似矩陣一一 相似矩陣及其性質(zhì)相似矩陣及其性質(zhì)1. 定義定義定義定義1. A與與B為為n階方陣階方陣,若存在一個可逆矩陣若存在一個可逆矩陣

21、使得使得,P1,PAPB 稱稱A相似于相似于B，記作，記作.AB例如例如,12,34A 381021643B 25,13P 令令135,12P 則則135122538102.1234131643PAP .AB從而從而山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香302. 矩陣相似關(guān)系的性質(zhì)矩陣相似關(guān)系的性質(zhì)AA(1)自反性自反性(2)對稱性對稱性AB， .BA則則若若.AC(3)傳遞性傳遞性,AB BC，若若則則3. 矩陣相似的其它性質(zhì)矩陣相似的其它性質(zhì) .AB 則則AB，若若(1) ( )( ).r Ar B 則則AB，若若(2)AB，若若(3)則則或或者者都都可可逆逆，或或者者都都不不可可逆逆,A B而且

22、當它們可逆時而且當它們可逆時,11.ABAB，若若(4)則則.kkAB山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香314. 矩陣相似與特征值的關(guān)系矩陣相似與特征值的關(guān)系定理定理1 若若n階方陣與階方陣與B相似相似,則則A與與B有相同的特征值有相同的特征值.注注: 逆命題不成立逆命題不成立, 即即A與與B有相同的特征值有相同的特征值,但但A與與B不一定相似不一定相似例如例如,30,03A 3103B 對于任何可逆矩陣對于任何可逆矩陣P,1.PAPAB 推論推論()().ABtr Atr B 證明證明相相似似與與BAIB 1PIA P 1PIA P BAPPP 1,使得使得可逆陣可逆陣IA 這說明它們這說明它們

23、有相同的特征多項式有相同的特征多項式,所以特征值相同所以特征值相同. 11PI PPAP 1IPAP 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香32二二 矩陣可對角化的條件矩陣可對角化的條件定義定義: 若若A相似于一個對角形矩陣相似于一個對角形矩陣, 則稱則稱A可對角化可對角化.定理定理5.5 n階方陣階方陣A相似于對角形矩陣相似于對角形矩陣12 n 的充要條件為的充要條件為A有有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量.山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香33()(),121212nnnA xxxxxx 則有則有設(shè)設(shè),12 An 則存在可逆的矩陣則存在可逆的矩陣P,使使,1PAP 即即.APP設(shè)設(shè)(),12

24、nPxxx ()1122nnxxx 即即(, , )1 2iiiAxxin 因因P可逆可逆,有有, 0P 所以所以(, , )1 2ixin 都是非零向量都是非零向量,因而因而,12nxxx都是都是A的特征向量的特征向量,是線性無關(guān)是線性無關(guān),12nxxx并且由并且由P的可逆性知的可逆性知即即A有有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量.證明證明 ()山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香34()是是A的的n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量,它們所對應(yīng)它們所對應(yīng),12nxxx設(shè)設(shè)的特征值分別為的特征值分別為,12n則有則有(, , ).1 2iiiAxxin (),12nPxxx 令令則有

25、則有()()1212nnAPA xxxAxAxAx(),1212nnxxx ()1122nnxxx P是線性無關(guān)是線性無關(guān),12nxxxP可逆可逆,1PAP 因而因而A相似于對角形矩陣相似于對角形矩陣.山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香3512nA 推論推論1 設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A有有n個互異的特征值個互異的特征值,12n 則則注注: 反之不成立反之不成立.推論推論2： 若若n階方陣階方陣A可以對角化的充要條件為對于每一個可以對角化的充要條件為對于每一個的秩的秩是是in重特征值重特征值,i 矩陣矩陣 iA .inn 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香36推論推論2： 若若n階方陣階方陣A可以對角化的充

26、要條件為對于每一個可以對角化的充要條件為對于每一個的秩的秩是是in重特征值重特征值,i 矩陣矩陣 iA .inn 證明證明 ()12,s 是是n階方陣階方陣A的的互異特征值互異特征值，設(shè)設(shè)其重數(shù)分別為其重數(shù)分別為12,.snnn對于對于,i 由于由于 ,iinnAIr 所以方程組所以方程組 oxAIi 的基礎(chǔ)解系含有的基礎(chǔ)解系含有in個解向量個解向量 1,2,.is 1,siinn 又又由定理由定理4.1.3知方陣知方陣A有有n個個特征向量特征向量線性線性無關(guān)無關(guān).故故A可以對角化。可以對角化。()由定理由定理4.1.4可知，可知， ,iirIAn n 若對于若對于A的某個的某個in重特征值重

27、特征值,i 有有 ,iirIAn n 則則A的特征向量組的秩小于的特征向量組的秩小于n. 于是于是A的任意含的任意含n個個特征向量的向量組特征向量的向量組必必線性相關(guān)，線性相關(guān)， 即即A不能對角化，矛盾。不能對角化，矛盾。山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香37例例1 ,111A= 131111 試判斷試判斷A可否對角化可否對角化? 若可對角化若可對角化, 試試寫出可逆矩陣寫出可逆矩陣P及相應(yīng)的對角形矩陣及相應(yīng)的對角形矩陣.解解: 上一節(jié)已求出上一節(jié)已求出A的特征值的特征值1232,1.311.1 及對應(yīng)的特征向量對應(yīng)的特征向量12111 ,0 ,01 由定理由定理5.5可知可知,A可對角化可對角化

28、.101,111 1110P 令令則則,111221PAP 2110P 111 ,101 3101P 111 ,110 ,122212PAP .133212PAP 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香38460350 ,361A 例例2 試判斷試判斷A可否對角化可否對角化? 若可對角化若可對角化, 試試寫出可逆矩陣寫出可逆矩陣P及相應(yīng)的對角形矩陣及相應(yīng)的對角形矩陣.山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香39例例3 31,13A (1)試判斷試判斷A可否對角化可否對角化? 若可對角化若可對角化, 試寫出可逆矩陣試寫出可逆矩陣P及相應(yīng)的對角形矩陣及相應(yīng)的對角形矩陣.(2) A可與哪些對角形矩陣相似可與哪些對角形

29、矩陣相似?(3) 求求10A山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香40122311221A 是否與對角形矩陣相似是否與對角形矩陣相似?例例4. 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香4100111,100Aa 問：問：a為何值時，矩陣為何值時，矩陣A可對角化？可對角化？例例5. 20111(1) (1),10Aa 解解 (1)先求特征根先求特征根得得A的特征根的特征根1231,1. (2)要要A可對角化，可對角化，1()1,rIA 110110101Aa 1()1,rIA 要使要使101001000a 10,1.aa即 則：則：山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香42P,出似于對角形，若能，寫。判斷下列矩陣能否相2

30、3142281232A3221AA相似？陣與矩陣。判斷下列矩陣哪個矩3000200121A3001200122A3000201023A3110210024A| |,|)()()(:,AIBBBAABA3321352132求對角形；能否對角化？若能寫出矩陣的特征值；求，矩陣的特征值分別是。設(shè)三階矩陣山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香43第三節(jié)第三節(jié) 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化第五 章 第 三節(jié) 實對稱矩陣的對角化先來看一點補充知識：矩陣的共軛矩陣的共軛2121212121zzzzzzzzbiazbiaz）質(zhì)：復數(shù)的共軛滿足如下性，其共軛為復數(shù)的共軛：設(shè) ;)( ) ;)( ) ; ) ;

31、) )()(TTsnijnmijnmijAAbBBABAAkAkBABAAaAaA4321其中質(zhì)：矩陣的共軛具有如下性的共軛矩陣。為為復數(shù)，稱為一復矩陣，即各元素設(shè)矩陣矩陣的共軛：山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香44一一. 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積1. 向量的內(nèi)積定義向量的內(nèi)積定義與性質(zhì)與性質(zhì):( ,). 1212()()nna aab bb ，,1 1221nnniiia ba ba ba b 設(shè)設(shè)n維向量維向量稱實數(shù)稱實數(shù)為向量為向量與與的的內(nèi)積內(nèi)積，記作，記作.,TTnR為為列列向向量量時時，、，當當為為行行向向量量時時，、中中內(nèi)內(nèi)積積的的定定義義可可得得，當當由由注：注：(1) 定義定義第三

32、節(jié)第三節(jié) 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化 12011012 ，,例：設(shè)向量例：設(shè)向量( ,) 則則3. 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香451 1） (,)=(, ) 2 2） (k,)=k( ,) 3 3） (+,)=( , )+(, ) 4 4） (, ) 0,0,當且僅當當且僅當=0=0時時有有(, )0 0 (2)內(nèi)積性質(zhì)內(nèi)積性質(zhì)2 . 向量的長度與性質(zhì)向量的長度與性質(zhì)(1) 定義定義12()naaa ，設(shè)設(shè)n維向量維向量稱實數(shù)稱實數(shù)為向量為向量的的22212( , )naaa . 模模（長長度度或或范范數(shù)數(shù)），記記作作山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香46( (2 2) )模模的的性

33、性質(zhì)質(zhì)2(1)(,) (2)0,00 當當且且僅僅當當時時， ，(3)kk (4)( , ) ()CauchySchwarz 不不等等式式121222111()()nnnnniiiiiiiaaabbba bab ，,(5) () 三三角角不不等等式式對于對于n維向量維向量山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香4711模為 的向量稱為單位向量，如果，則向量即為一個單位向量。o由由Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz不等式知，當不等式知，當( , ) 11 于是，我們可以定義兩個向量之間的夾角：于是，我們可以定義兩個向量之間的夾角：0 ,),(arccos200時時，其其夾夾角角為為，

34、或或規(guī)規(guī)定定：當當(3)單位向量單位向量3.正交向量組正交向量組, oo 時，有,對于任意的非零向量對于任意的非零向量用用的長度的倒數(shù)乘以向量的長度的倒數(shù)乘以向量,就得到就得到一個一個單位向量單位向量這一過程稱為這一過程稱為把向量把向量單位化單位化。 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香48 12011012 ，,例例1：設(shè)向量：設(shè)向量則則( ,)31cos,266 故故2.3 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香49(1)(1)正交（或垂直）正交（或垂直）( ,)0 設(shè)設(shè) ， 為為任任意意兩兩個個向向量量，若若，則則稱稱 ， 正正交交或或垂垂直直，記記作作。)0,0,0,1(1)0,0,1 ,0(2)1

35、 ,0,0,0(n中，向量組中，向量組例如：在例如：在nR任意兩個向量都正交，稱其兩兩正交。任意兩個向量都正交，稱其兩兩正交。定義定義222例2：設(shè)向量 與向量 正交，證明。山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香50由單個非零向量所組成的向量組也是由單個非零向量所組成的向量組也是正交向量組正交向量組。(2) 標準正交標準正交向量組向量組 如果正交向量組中每個向量都是單位向量，則稱其為如果正交向量組中每個向量都是單位向量，則稱其為單位正交向量組單位正交向量組（或稱（或稱標準正交向量組標準正交向量組）.例例21, 0 ,21,21, 0 ,21,010321），（向向量量組組為標準正交向量組為標準正交向量

36、組.注：注：把正交向量組中每個向量單位化就得到標準正交向量組把正交向量組中每個向量單位化就得到標準正交向量組.12s ， ，如果向量組如果向量組兩兩正交兩兩正交, ,且且 1,2,jo js 則稱則稱12s ， ，為一個為一個正交向量組正交向量組。12s ， ，是正交向量組是正交向量組,則將則將每個向量單位化后得每個向量單位化后得即：若即：若12s ， ，為標準正交向量組為標準正交向量組,其中其中 1,2,.jjjjs 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香51定理定理1 1：正交向量組必是線性無關(guān)的向量組正交向量組必是線性無關(guān)的向量組. .20, ,(,), .ijiij ij 1211220.mm

37、mkkkkkk 設(shè)設(shè)有有數(shù)數(shù)， ，使使得得(,)0.iiiik 用用與與上上面面等等式式兩兩邊邊作作內(nèi)內(nèi)積積，可可得得, 0), 0iii有有（由由于于m),1,2,i 0 （從而從而ik.21線線性性無無關(guān)關(guān)，正正交交向向量量組組m證明證明:12m ， ，設(shè)設(shè)為正交向量組，則為正交向量組，則正交向量組的性質(zhì)：正交向量組的性質(zhì)：注：線性無關(guān)向量組未必是正交的向量組注：線性無關(guān)向量組未必是正交的向量組. .例例 120 1 0 ,1,1,2 向向量量組組（ ， ，）是線性無關(guān)，但不是正交的。是線性無關(guān)，但不是正交的。山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香52施密特（施密特（SchmidtSchmidt）

38、正交化方法）正交化方法化無關(guān)組為正交向量組化無關(guān)組為正交向量組12121212,mmmmn 設(shè)設(shè)， ，是是 維維線線性性無無關(guān)關(guān)向向量量組組，則則存存在在一一個個正正交交向向量量組組，使使與與， ，等等價價。施密特正交化方法施密特正交化方法: :11 (1)令2122111(,) (2)(,) (m) ),(),(),(),(),(),(111122221111mmm-m-mmmmm(3) ),(),(),(),(222231111333 定理定理2山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香53例例3 3：123(1,1,1,1),(3,3, 1, 1),( 2,0,6,8). 設(shè)線性無關(guān)的向量組用施密特

39、正交化方法求與其等價的正交向量組222231111333),(),(),(),()1 , 1 , 1 , 1 (11令令2122111(,) (,) 4(3,3,1,1)(1,1,1,1)42, 2, 2 , 2) 8 , 6 , 0 , 2() 1 , 1 , 1 , 1 (412)2, 2, 2 , 2(1632解解:) 8 , 6 , 0 , 2() 3 , 3 , 3 , 3() 4, 4, 4 , 4() 1 , 1, 1 , 1(山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香54222231111333),(),(),(),(123(1,1,0),(1, 2,0),(1,0,1) )0 , 1 ,

40、 1 (11取取2122111(,) (,) 1(1, 2,0)(1,1,0)20 ,23,23) 1 , 0 , 1 ()0 , 1 , 1 (21)0 ,23,23(31) 1 , 0 , 0(解解 : 1)先正交化先正交化標準正交化標準正交化例例4：將向量組：將向量組山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香55)0 , 1 , 1 (10 ,23,232) 1 , 0 , 0(32)再單位化再單位化1111)0 , 1 , 1 (210 ,21,212221)0 ,23,23(129)0 ,23,23(32)0 ,22,22(3331) 1 , 0 , 0(123, 是一個標準正交向量組。是一個標

41、準正交向量組。則則山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香56為為正正交交矩矩陣陣。，則則稱稱滿滿足足若若實實方方陣陣AIAAAT4.4.正交矩陣：正交矩陣：10010cossin, , 0121201sincos01212如：2).2).正交矩陣正交矩陣的性質(zhì)：的性質(zhì)：。為為正正交交矩矩陣陣，則則若若IAAAAATT) 1 (都都是是正正交交矩矩陣陣。、為為正正交交矩矩陣陣，則則若若1)2(AAAT。或或為為正正交交矩矩陣陣，則則若若11)3(AA為為正正交交矩矩陣陣。為為同同階階正正交交矩矩陣陣，則則、若若ABBA)4(1). 定義定義3). 標準正交向量組與正交矩陣之間的關(guān)系標準正交向量組與正交矩

42、陣之間的關(guān)系1TAA 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香57) ( 2121nnAA的的列列向向量量組組，即即是是，設(shè)設(shè)證證明明：1212 TTTnTnA A111212122212TTTnTTTnTTTnnnn 111212122212( , ) ( , )( ,)( , ) ( , )( ,)( , ) ( , )( ,)nnnnnn 定理定理：設(shè)設(shè) A A 為為 n n 階實方陣，階實方陣，A A 為正交矩陣為正交矩陣的充分必的充分必要條件是其要條件是其行（列）向量組為標準正交向量組行（列）向量組為標準正交向量組。山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香58100010001TAAI即即A是正交矩陣是

43、正交矩陣.AAT111212122212( ,)( ,)( ,)(,) (,)(,)(,) (,)(,)nnnnnn 12, , ,n:是單位正交充分性向量組，即jiji, ji 01)(所以所以山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香59必要性必要性:設(shè)設(shè)A為正交矩陣，即為正交矩陣，即IAAT100010001AAT111212122212( , ) ( ,)( ,)( , ) ( ,)( ,)( , ) ( ,)( ,)nnnnnn jiji, ji 01)(即有即有., , , 21是是單單位位正正交交向向量量組組所所以以n 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香60第五 章 第 三節(jié) 實對稱矩陣的對角化

44、二二. 實對稱矩陣的對角化實對稱矩陣的對角化定理定理1 n 階實對稱矩陣階實對稱矩陣A有有n個實特征值，且特征向量是實向量個實特征值，且特征向量是實向量.證明證明: 因為任一實對稱矩陣都有因為任一實對稱矩陣都有n個復特征值個復特征值,所以只需證明所以只需證明每個復特征均為實數(shù)即可每個復特征均為實數(shù)即可.為為設(shè)設(shè)的一復特征值的一復特征值,A x為對應(yīng)于為對應(yīng)于 的特征向量的特征向量, 則有則有( ) 1Axx 轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置TTTx Ax 取共軛取共軛TTTxAx ，因因A為實對稱矩陣為實對稱矩陣,從從而而( ) 2TTxAx (1)左乘左乘Tx ，(2)右乘右乘, x有有 TTTTx Axx xxA

45、xxx，即即 TTx xx x，因因,2 0Tx xx從而從而. 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香61 線 性 代 數(shù) 講 義第五 章 第 三節(jié) 實對稱矩陣的對角化定理定理3 實對稱矩陣實對稱矩陣A的對應(yīng)于不同特征值的特征的對應(yīng)于不同特征值的特征向量正交向量正交.定理定理2 n 階實對稱矩陣階實對稱矩陣A有有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量.即即111222 , AxxAxx一方面一方面(,)(,)(,),12112112Axxxxxx另一方面另一方面 (,)(,),121212122212212TTTTAxxAxxxAxxxxxxx結(jié)合上兩式結(jié)合上兩式(,)(,),11221212x

46、xxx所以所以(,),120 xx 從而從而.12xx 設(shè)設(shè)為為的兩個特征值的兩個特征值,且且A,12 ,12xx分別為對應(yīng)于分別為對應(yīng)于,12 的特征向量的特征向量,12 證明證明山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香62 線 性 代 數(shù) 講 義第五 章 第 三節(jié) 實對稱矩陣的對角化定理定理2 實對稱矩陣實對稱矩陣A的對應(yīng)于不同特征值的特征向量的對應(yīng)于不同特征值的特征向量 正交正交.111222 , AxxAxx一方面一方面(,)(,)(,),12112112Axxxxxx另一方面另一方面 (,)121212122212TTTTAxxAxxxAxxxxx結(jié)合上兩式結(jié)合上兩式(,)(,),11221212xxxx所以所以(,),120 xx 從而從而.12xx 證明證明:,12xx分別為對應(yīng)于分別為對應(yīng)于,12 的特征向量的特征向量,即：設(shè)即：設(shè)為實對稱矩陣為實對稱矩陣的兩個特征值的兩個特征值,且且A,12 ,12 12xx與正交.則則(,),212xx 山財大數(shù)學與數(shù)量經(jīng)濟學院楊素香63 線 性 代 數(shù) 講 義第五 章 第 三節(jié) 實對稱矩陣的對角化定理定理3 n階實對稱矩陣階實對稱矩陣A的每一個的每一個in,i 的秩的秩是是特征矩陣特征矩陣 iA .inn