第4章矩陣的特征值

1、山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香1第四章第四章 矩陣的特征值矩陣的特征值本章要點(diǎn)：本章要點(diǎn)：1.特征值與特征向量及其求法特征值與特征向量及其求法 2.矩陣的相似矩陣的相似 3.實(shí)對(duì)稱矩陣的相似實(shí)對(duì)稱矩陣的相似矩陣的特征值是代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在經(jīng)濟(jì)理論研究矩陣的特征值是代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在經(jīng)濟(jì)理論研究及其他學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。及其他學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用。特征值特征值特征向量特征向量方陣方陣對(duì)角形對(duì)角形( (或或約當(dāng)形約當(dāng)形) )相似于相似于對(duì)角形對(duì)角形元素元素轉(zhuǎn)化矩陣轉(zhuǎn)化矩陣山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香2第一節(jié)第一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量矩陣的特征值與特征向量一一. 矩陣的特征值與特

2、征向量矩陣的特征值與特征向量則稱則稱 為為 A 的的一個(gè)特征值一個(gè)特征值，定義定義4.1 4.1 設(shè)設(shè)A A為為n n階方陣階方陣,是一個(gè)數(shù)是一個(gè)數(shù), ,若存在若存在非零非零列向量列向量 x,x,使得使得1 ( )Axx 1. 特征值與特征向量的概念特征值與特征向量的概念對(duì)應(yīng)于特征值對(duì)應(yīng)于特征值的的特征向量特征向量，簡(jiǎn)稱為，簡(jiǎn)稱為 A 的特征向量。的特征向量。非零向量非零向量 x 稱為矩陣稱為矩陣 A 的的11,41A 例例. 求方陣求方陣111,1,2 由于由于1111111,41222A 221113133,41262A 所以所以11 是是A的一個(gè)的一個(gè)特征值特征值，而，而的的特征向量特征

3、向量112 是是A的屬于的屬于11 221,3,2 所以所以23 是是A的一個(gè)的一個(gè)特征值特征值，而，而的的特征向量特征向量212 是是A的屬于的屬于23 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香3 2.求法求法整理（整理（1 1）式）式, ,得得()(2)A xo 特征向量特征向量可看成方程組可看成方程組(2)的非零解的非零解.x0A 特征向量特征向量方程組方程組(2)的非零解的非零解.特征值特征值轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化存在條件存在條件確確定定1 ( )Axx 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香4總結(jié)求矩陣特征值與特征向量的方法總結(jié)求矩陣特征值與特征向量的方法:第一步第一步:令令0A 求特征值求特征值. 第二步第二步:

4、對(duì)于每一個(gè)對(duì)于每一個(gè), 求求 A xo 基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系,第三步第三步:基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系的非零線性組合非零線性組合為為A對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于的全部特征向量的全部特征向量. 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香5A 0A 3. 其它相關(guān)的概念其它相關(guān)的概念定義定義4.2 設(shè)設(shè)A為階方陣為階方陣,A (的的 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式)行列式行列式特征方程的根特征方程的根對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的x()A xo 特征矩陣特征矩陣特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式特征方程特征方程特征根特征根特征向量特征向量0A 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香63. 問(wèn)題問(wèn)題(1) 矩陣的特征值是否總存在的矩陣的特征值是否總存在的?若存在若存在,有多少個(gè)有多少個(gè)

5、?(2) 若若為為矩陣矩陣A A的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值,那么對(duì)應(yīng)于那么對(duì)應(yīng)于的特征向量的特征向量有多少個(gè)有多少個(gè)?命題命題1: 任一任一 n 階方陣都有階方陣都有 n 個(gè)復(fù)特征根個(gè)復(fù)特征根.4.有關(guān)矩陣特征值與特征向量有下面的結(jié)論有關(guān)矩陣特征值與特征向量有下面的結(jié)論:命題命題2: (1)若若x A為為的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于的特征向量的特征向量,則則(0)kkx A也為也為的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于的特征向量的特征向量.x A同為同為的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于的特征向量的特征向量,(2)若若y與與x的非零線性組合的非零線性組合y與與則則 A的對(duì)應(yīng)于的對(duì)應(yīng)于的特征向量的特征向量.,也是也是山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香7

6、5.舉例舉例122311221A 例例1.求三階方陣求三階方陣的特征值及特征向量的特征值及特征向量.122311221A 解解 (1)先求特征根先求特征根矩陣矩陣A的特征多項(xiàng)式為的特征多項(xiàng)式為122(3) 111121 2(3) (3)由由得得A的特征根的特征根1233,3. 0A 3001302213 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香81233,3 13 1)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),齊次線性方程組齊次線性方程組(3)A xo ,即即123422034102240 xxx 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為的一個(gè)基礎(chǔ)解系為111 ,1 的全部特征向量為的全部特征向量為則對(duì)應(yīng)于則對(duì)應(yīng)于13 111(0).cc 233 2)當(dāng)當(dāng)時(shí)

7、時(shí),齊次線性方程組齊次線性方程組( 3)A xo ,即即123222032102220 xxx 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為的一個(gè)基礎(chǔ)解系為212 ,1 的全部特征向量為的全部特征向量為則對(duì)應(yīng)于則對(duì)應(yīng)于222(0).cc 233 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香9111131111A 例例2.求三階方陣求三階方陣的特征值及特征向量的特征值及特征向量.111131111A 解解 (1)先求特征根先求特征根2(2) (1)0得得A的特征根的特征根1232,1.(2)再求特征向量再求特征向量山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香10,即即123111011101110 xxx 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為的一個(gè)基礎(chǔ)解系為12111

8、,001 31 2)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),齊次線性方程組齊次線性方程組()A xo 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為的一個(gè)基礎(chǔ)解系為311,1 的全部特征向量為的全部特征向量為則對(duì)應(yīng)于則對(duì)應(yīng)于3(0).cc 31 1232,1.1)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),齊次線性方程組齊次線性方程組(2)A xo 122的全部特征向量為的全部特征向量為則對(duì)應(yīng)于則對(duì)應(yīng)于112212(,ccc c 不全為零不全為零)122,即即123011012101100 xxx 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香11的的特特征征值值及及特特征征向向量量。求求三三階階方方陣陣?yán)?1630530643A解解163053064 AI 18)5)(4()1( )2)(1(2

9、0)2() 1(2 . 21321 ，的的特特征征值值為為A山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香1212336 0 x0360 x0360 x0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 100,01221 的的全全部部特特征征向向量量為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于因因此此，121 A),(212211不不全全為為零零cccc 123660 x0330 x0363x0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系為的一個(gè)基礎(chǔ)解系為 1113 的的全全部部特特征征向向量量為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于因因此此，23 A)0(3 cc ，即即齊齊次次線線性性方方程程組組對(duì)對(duì)于于0)(, 121 xAI 1)，即即齊齊次次線線性性方方程程組組對(duì)對(duì)于于0)2(, 23 x

10、AI 2)山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香13aAaa 例例4.求三階方陣求三階方陣的特征值及特征向量的特征值及特征向量.aAaa 解解 (1)先求特征根先求特征根3()0a 得得A的特征根的特征根123. a 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香14所以任意含三個(gè)向量的三維向量組都是它的基礎(chǔ)解系所以任意含三個(gè)向量的三維向量組都是它的基礎(chǔ)解系,123. a當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),齊次線性方程組齊次線性方程組()A xo ,即即123aoxo 1221000 ,1 ,0001 作為其基礎(chǔ)解系作為其基礎(chǔ)解系.取三維初始單位向量組取三維初始單位向量組112233123(,cccc c c不全為零不全為零)的全部特征向量為

11、的全部特征向量為則對(duì)應(yīng)于則對(duì)應(yīng)于123a(2)再求特征向量再求特征向量山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香15例例5. 證明：三角形矩陣的特征值是主對(duì)角線上的證明：三角形矩陣的特征值是主對(duì)角線上的n個(gè)元素個(gè)元素.證明證明: 不妨設(shè)不妨設(shè)11121n222nnnaaa0aaA, 00a 11121n222nnnaaa0aaIA00a 1122nnaaa 0 得得A的全部特征值的全部特征值111222nnna ,a ,a . 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香16第五 章 第 一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量5 , A BnABBA例設(shè)均為 階方陣，則與有相同的特征多項(xiàng)式。0,00 0AIIBIAIAIBIIB

12、IBAIAAIIABIIBIBIABIBA 我們由來(lái)考察的行列式,由知，IABIBA證明：即證山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香17二二. 特征值與特征向量的基本性質(zhì)特征值與特征向量的基本性質(zhì)12110 是是特特征征值值，是是其其特特征征向向量量，定理定理4.1 n階方陣階方陣ATA有有相同的特征值相同的特征值.與它的轉(zhuǎn)置矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣證明證明 考察它們的特征多項(xiàng)式考察它們的特征多項(xiàng)式 .TTAAA 這說(shuō)明它們這說(shuō)明它們有相同的特征多項(xiàng)式有相同的特征多項(xiàng)式,所以特征值相同所以特征值相同.注注: A與與AT有沒(méi)有相同的特征向量呢有沒(méi)有相同的特征向量呢? 看下面的例子看下面的例子:1101A ，設(shè)

13、設(shè)110111011010TA 結(jié)論結(jié)論: A與與AT特征向量不一定相同的特征向量不一定相同的.山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香18 線 性 代 數(shù) 講 義第五 章 第 一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量114 2 () (1)1 (1,2,) (2)1 (1,2,)(1,2,)1 1 1,2,ijnijjnijikkAanainajnAknkn 定定理理 . .設(shè)設(shè)是是 階階方方陣陣，如如果果中中有有一一個(gè)個(gè)成成立立，則則矩矩陣陣的的所所有有特特征征值值的的模模小小于于 ，即即山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香19的的特特征征向向量量，為為對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于的的特特征征值值，是是證證明明：設(shè)設(shè) nxxxxA2

14、1), 2 , 1( )1(22112121nixxaxaxaxxxxxxAininiinn 即即，成成立立時(shí)時(shí)則則有有當(dāng)當(dāng)條條件件knknkkkknkxxaxaxaxxxxxx 221121 | |)| ,|,| |,max(| 則則有有，設(shè)設(shè)山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香201|1112211 kkkknknkkkkaaaxxaxxaxxa的的特特征征值值亦亦有有所所以以對(duì)對(duì)于于有有相相同同的的特特征征值值，與與即即可可。成成立立時(shí)時(shí)，此此時(shí)時(shí)取取當(dāng)當(dāng)條條件件AAAATT)2(kk11k22knnkkxa xa xa x| | xx ), 2 , 1(1nkk 的的任任意意性性知知：有有)

15、,2 , 1(1nkk 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香21121212111212122212 , , ,immiiitittmmmtnAA 推推論論： 設(shè)設(shè)是是 階階方方陣陣 的的互互異異的的特特征征值值，為為 的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)于于的的線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)的的特特征征向向量量，則則向向量量組組線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān). . 定理定理4.3： n階方陣階方陣A的的互異特征值互異特征值 所對(duì)應(yīng)的特征向量組成的特征向量組所對(duì)應(yīng)的特征向量組成的特征向量組線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).12,m 是是n階方陣階方陣A的的互異特征值，互異特征值，12,m 為為A的分別對(duì)應(yīng)于的分別對(duì)應(yīng)于12,m 的特征向量，的特征向量，即：設(shè)即：設(shè)1

16、2,m 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).則則山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香22第五 章 第 一節(jié) 矩陣的特征值與特征向量結(jié)論：結(jié)論：1） 為為 的特征值的特征值.k kA2） 為為 的特征值的特征值k Ak3） 為為 的特征值的特征值.1 AI112212( )nnntr Aaaa4)4)125)nA 12,n 6) 若若A可逆，可逆，為其特征值，則為其特征值，則12111n， ， ，為為的特征值，的特征值，1A 12nAAA ， ， ，A 為為的特征值。的特征值。山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香23111212122212nnnnnnaaaaaaIAaaa 證明：為證明（證明：為證明（4）與（）與（5），考

17、慮特征多項(xiàng)式），考慮特征多項(xiàng)式1122()()()nnaaa為其展開(kāi)式中的一項(xiàng)，為其展開(kāi)式中的一項(xiàng)，則則其余的項(xiàng)至多含有其余的項(xiàng)至多含有(n2)個(gè)主對(duì)角線上的元素，個(gè)主對(duì)角線上的元素，即在其余的項(xiàng)中即在其余的項(xiàng)中 的次數(shù)最高為的次數(shù)最高為(n2)1122()()()nnaaa所以，所以， 的大于的大于(n2)次的項(xiàng)只能出項(xiàng)在次的項(xiàng)只能出項(xiàng)在 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香24112211122()()()()nnnnnnaaaaaa 而而1211212()()()()( 1)nnnnnnIA 又又112212( )nnntr Aaaa所所以以有有12120( 1)nnnAA 令令 ，即即有有，

18、即即山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香25例例1.三階方陣三階方陣A的特征值為的特征值為-1,2,3,求求 (1)2A的特征值的特征值, (2)A2的特征值的特征值, (3)|A|.例例2.試證試證:n階方陣階方陣A是奇異矩陣的充分必要條件是是奇異矩陣的充分必要條件是A有一個(gè)特征有一個(gè)特征 值為零值為零.解解 12nA定理定理4.4： 若若 是方陣是方陣A的的 重特征值，則重特征值，則A的屬于的屬于 的的特征向特征向量組的秩量組的秩0 0 . k k山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香26三三.雜例雜例例例1. 設(shè)矩陣設(shè)矩陣1232,4, 有特征值為有特征值為1333366Aab 求參數(shù)求參數(shù)a,b的值

19、及的值及3. 解解:由由1333323662Aab ()().3 540ab2333343664Aab ()().3 540ab得得,.-54ab又又,一方面一方面( )11540tr Aab另一方面另一方面( ),123324tr A 故故.32 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香27例例2. 已知已知11,1x 的一個(gè)有特征向量為的一個(gè)有特征向量為2125312Aab 求參數(shù)求參數(shù)a,b的值及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值的值及特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值. 解解 設(shè)設(shè) 為特征向量為特征向量x所對(duì)應(yīng)的特征值所對(duì)應(yīng)的特征值,則則,Axx 即即2121153111211ab 2125312ab 解得解得,.30

20、1ab 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香28例例3. 設(shè)設(shè)A為四階方陣為四階方陣,滿足條件滿足條件30,2 ,TAAA 而且而且0.A 求求A的伴隨矩陣的伴隨矩陣的一個(gè)特征值的一個(gè)特征值.A 解解 ()(),433130AAA 故故A有一個(gè)特征值為有一個(gè)特征值為. 3 2 ,TAA 又又2216,TAAA 所以所以4.A 得得0,A 因?yàn)橐驗(yàn)?.A 所以所以.43A 有一個(gè)特征值為有一個(gè)特征值為于是于是,A 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香294.2 相似矩陣相似矩陣一一 相似矩陣及其性質(zhì)相似矩陣及其性質(zhì)1. 定義定義定義定義1. A與與B為為n階方陣階方陣,若存在一個(gè)可逆矩陣若存在一個(gè)可逆矩陣

21、使得使得,P1,PAPB 稱稱A相似于相似于B，記作，記作.AB例如例如,12,34A 381021643B 25,13P 令令135,12P 則則135122538102.1234131643PAP .AB從而從而山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香302. 矩陣相似關(guān)系的性質(zhì)矩陣相似關(guān)系的性質(zhì)AA(1)自反性自反性(2)對(duì)稱性對(duì)稱性AB， .BA則則若若.AC(3)傳遞性傳遞性,AB BC，若若則則3. 矩陣相似的其它性質(zhì)矩陣相似的其它性質(zhì) .AB 則則AB，若若(1) ( )( ).r Ar B 則則AB，若若(2)AB，若若(3)則則或或者者都都可可逆逆，或或者者都都不不可可逆逆,A B而且

22、當(dāng)它們可逆時(shí)而且當(dāng)它們可逆時(shí),11.ABAB，若若(4)則則.kkAB山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香314. 矩陣相似與特征值的關(guān)系矩陣相似與特征值的關(guān)系定理定理1 若若n階方陣與階方陣與B相似相似,則則A與與B有相同的特征值有相同的特征值.注注: 逆命題不成立逆命題不成立, 即即A與與B有相同的特征值有相同的特征值,但但A與與B不一定相似不一定相似例如例如,30,03A 3103B 對(duì)于任何可逆矩陣對(duì)于任何可逆矩陣P,1.PAPAB 推論推論()().ABtr Atr B 證明證明相相似似與與BAIB 1PIA P 1PIA P BAPPP 1,使得使得可逆陣可逆陣IA 這說(shuō)明它們這說(shuō)明它們

23、有相同的特征多項(xiàng)式有相同的特征多項(xiàng)式,所以特征值相同所以特征值相同. 11PI PPAP 1IPAP 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香32二二 矩陣可對(duì)角化的條件矩陣可對(duì)角化的條件定義定義: 若若A相似于一個(gè)對(duì)角形矩陣相似于一個(gè)對(duì)角形矩陣, 則稱則稱A可對(duì)角化可對(duì)角化.定理定理5.5 n階方陣階方陣A相似于對(duì)角形矩陣相似于對(duì)角形矩陣12 n 的充要條件為的充要條件為A有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香33()(),121212nnnA xxxxxx 則有則有設(shè)設(shè),12 An 則存在可逆的矩陣則存在可逆的矩陣P,使使,1PAP 即即.APP設(shè)設(shè)(),12

24、nPxxx ()1122nnxxx 即即(, , )1 2iiiAxxin 因因P可逆可逆,有有, 0P 所以所以(, , )1 2ixin 都是非零向量都是非零向量,因而因而,12nxxx都是都是A的特征向量的特征向量,是線性無(wú)關(guān)是線性無(wú)關(guān),12nxxx并且由并且由P的可逆性知的可逆性知即即A有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.證明證明 ()山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香34()是是A的的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,它們所對(duì)應(yīng)它們所對(duì)應(yīng),12nxxx設(shè)設(shè)的特征值分別為的特征值分別為,12n則有則有(, , ).1 2iiiAxxin (),12nPxxx 令令則有

25、則有()()1212nnAPA xxxAxAxAx(),1212nnxxx ()1122nnxxx P是線性無(wú)關(guān)是線性無(wú)關(guān),12nxxxP可逆可逆,1PAP 因而因而A相似于對(duì)角形矩陣相似于對(duì)角形矩陣.山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香3512nA 推論推論1 設(shè)設(shè)n階方陣階方陣A有有n個(gè)互異的特征值個(gè)互異的特征值,12n 則則注注: 反之不成立反之不成立.推論推論2： 若若n階方陣階方陣A可以對(duì)角化的充要條件為對(duì)于每一個(gè)可以對(duì)角化的充要條件為對(duì)于每一個(gè)的秩的秩是是in重特征值重特征值,i 矩陣矩陣 iA .inn 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香36推論推論2： 若若n階方陣階方陣A可以對(duì)角化的充

26、要條件為對(duì)于每一個(gè)可以對(duì)角化的充要條件為對(duì)于每一個(gè)的秩的秩是是in重特征值重特征值,i 矩陣矩陣 iA .inn 證明證明 ()12,s 是是n階方陣階方陣A的的互異特征值互異特征值，設(shè)設(shè)其重?cái)?shù)分別為其重?cái)?shù)分別為12,.snnn對(duì)于對(duì)于,i 由于由于 ,iinnAIr 所以方程組所以方程組 oxAIi 的基礎(chǔ)解系含有的基礎(chǔ)解系含有in個(gè)解向量個(gè)解向量 1,2,.is 1,siinn 又又由定理由定理4.1.3知方陣知方陣A有有n個(gè)個(gè)特征向量特征向量線性線性無(wú)關(guān)無(wú)關(guān).故故A可以對(duì)角化?？梢詫?duì)角化。()由定理由定理4.1.4可知，可知， ,iirIAn n 若對(duì)于若對(duì)于A的某個(gè)的某個(gè)in重特征值重

27、特征值,i 有有 ,iirIAn n 則則A的特征向量組的秩小于的特征向量組的秩小于n. 于是于是A的任意含的任意含n個(gè)個(gè)特征向量的向量組特征向量的向量組必必線性相關(guān)，線性相關(guān)， 即即A不能對(duì)角化，矛盾。不能對(duì)角化，矛盾。山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香37例例1 ,111A= 131111 試判斷試判斷A可否對(duì)角化可否對(duì)角化? 若可對(duì)角化若可對(duì)角化, 試試寫(xiě)出可逆矩陣寫(xiě)出可逆矩陣P及相應(yīng)的對(duì)角形矩陣及相應(yīng)的對(duì)角形矩陣.解解: 上一節(jié)已求出上一節(jié)已求出A的特征值的特征值1232,1.311.1 及對(duì)應(yīng)的特征向量對(duì)應(yīng)的特征向量12111 ,0 ,01 由定理由定理5.5可知可知,A可對(duì)角化可對(duì)角化

28、.101,111 1110P 令令則則,111221PAP 2110P 111 ,101 3101P 111 ,110 ,122212PAP .133212PAP 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香38460350 ,361A 例例2 試判斷試判斷A可否對(duì)角化可否對(duì)角化? 若可對(duì)角化若可對(duì)角化, 試試寫(xiě)出可逆矩陣寫(xiě)出可逆矩陣P及相應(yīng)的對(duì)角形矩陣及相應(yīng)的對(duì)角形矩陣.山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香39例例3 31,13A (1)試判斷試判斷A可否對(duì)角化可否對(duì)角化? 若可對(duì)角化若可對(duì)角化, 試寫(xiě)出可逆矩陣試寫(xiě)出可逆矩陣P及相應(yīng)的對(duì)角形矩陣及相應(yīng)的對(duì)角形矩陣.(2) A可與哪些對(duì)角形矩陣相似可與哪些對(duì)角形

29、矩陣相似?(3) 求求10A山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香40122311221A 是否與對(duì)角形矩陣相似是否與對(duì)角形矩陣相似?例例4. 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香4100111,100Aa 問(wèn)：?jiǎn)枺篴為何值時(shí)，矩陣為何值時(shí)，矩陣A可對(duì)角化？可對(duì)角化？例例5. 20111(1) (1),10Aa 解解 (1)先求特征根先求特征根得得A的特征根的特征根1231,1. (2)要要A可對(duì)角化，可對(duì)角化，1()1,rIA 110110101Aa 1()1,rIA 要使要使101001000a 10,1.aa即 則：則：山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香42P,出似于對(duì)角形，若能，寫(xiě)。判斷下列矩陣能否相2

30、3142281232A3221AA相似？陣與矩陣。判斷下列矩陣哪個(gè)矩3000200121A3001200122A3000201023A3110210024A| |,|)()()(:,AIBBBAABA3321352132求對(duì)角形；能否對(duì)角化？若能寫(xiě)出矩陣的特征值；求，矩陣的特征值分別是。設(shè)三階矩陣山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香43第三節(jié)第三節(jié) 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化第五 章 第 三節(jié) 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化先來(lái)看一點(diǎn)補(bǔ)充知識(shí)：矩陣的共軛矩陣的共軛2121212121zzzzzzzzbiazbiaz）質(zhì)：復(fù)數(shù)的共軛滿足如下性，其共軛為復(fù)數(shù)的共軛：設(shè) ;)( ) ;)( ) ; ) ;

31、) )()(TTsnijnmijnmijAAbBBABAAkAkBABAAaAaA4321其中質(zhì)：矩陣的共軛具有如下性的共軛矩陣。為為復(fù)數(shù)，稱為一復(fù)矩陣，即各元素設(shè)矩陣矩陣的共軛：山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香44一一. 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積1. 向量的內(nèi)積定義向量的內(nèi)積定義與性質(zhì)與性質(zhì):( ,). 1212()()nna aab bb ，,1 1221nnniiia ba ba ba b 設(shè)設(shè)n維向量維向量稱實(shí)數(shù)稱實(shí)數(shù)為向量為向量與與的的內(nèi)積內(nèi)積，記作，記作.,TTnR為為列列向向量量時(shí)時(shí)，、，當(dāng)當(dāng)為為行行向向量量時(shí)時(shí)，、中中內(nèi)內(nèi)積積的的定定義義可可得得，當(dāng)當(dāng)由由注：注：(1) 定義定義第三

32、節(jié)第三節(jié) 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 12011012 ，,例：設(shè)向量例：設(shè)向量( ,) 則則3. 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香451 1） (,)=(, ) 2 2） (k,)=k( ,) 3 3） (+,)=( , )+(, ) 4 4） (, ) 0,0,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)=0=0時(shí)時(shí)有有(, )0 0 (2)內(nèi)積性質(zhì)內(nèi)積性質(zhì)2 . 向量的長(zhǎng)度與性質(zhì)向量的長(zhǎng)度與性質(zhì)(1) 定義定義12()naaa ，設(shè)設(shè)n維向量維向量稱實(shí)數(shù)稱實(shí)數(shù)為向量為向量的的22212( , )naaa . 模模（長(zhǎng)長(zhǎng)度度或或范范數(shù)數(shù)），記記作作山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香46( (2 2) )模模的的性

33、性質(zhì)質(zhì)2(1)(,) (2)0,00 當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， ，(3)kk (4)( , ) ()CauchySchwarz 不不等等式式121222111()()nnnnniiiiiiiaaabbba bab ，,(5) () 三三角角不不等等式式對(duì)于對(duì)于n維向量維向量山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香4711模為 的向量稱為單位向量，如果，則向量即為一個(gè)單位向量。o由由Cauchy-SchwarzCauchy-Schwarz不等式知，當(dāng)不等式知，當(dāng)( , ) 11 于是，我們可以定義兩個(gè)向量之間的夾角：于是，我們可以定義兩個(gè)向量之間的夾角：0 ,),(arccos200時(shí)時(shí)，其其夾夾角角為為，

34、或或規(guī)規(guī)定定：當(dāng)當(dāng)(3)單位向量單位向量3.正交向量組正交向量組, oo 時(shí)，有,對(duì)于任意的非零向量對(duì)于任意的非零向量用用的長(zhǎng)度的倒數(shù)乘以向量的長(zhǎng)度的倒數(shù)乘以向量,就得到就得到一個(gè)一個(gè)單位向量單位向量這一過(guò)程稱為這一過(guò)程稱為把向量把向量單位化單位化。 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香48 12011012 ，,例例1：設(shè)向量：設(shè)向量則則( ,)31cos,266 故故2.3 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香49(1)(1)正交（或垂直）正交（或垂直）( ,)0 設(shè)設(shè) ， 為為任任意意兩兩個(gè)個(gè)向向量量，若若，則則稱稱 ， 正正交交或或垂垂直直，記記作作。)0,0,0,1(1)0,0,1 ,0(2)1

35、 ,0,0,0(n中，向量組中，向量組例如：在例如：在nR任意兩個(gè)向量都正交，稱其兩兩正交。任意兩個(gè)向量都正交，稱其兩兩正交。定義定義222例2：設(shè)向量 與向量 正交，證明。山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香50由單個(gè)非零向量所組成的向量組也是由單個(gè)非零向量所組成的向量組也是正交向量組正交向量組。(2) 標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)準(zhǔn)正交向量組向量組 如果正交向量組中每個(gè)向量都是單位向量，則稱其為如果正交向量組中每個(gè)向量都是單位向量，則稱其為單位正交向量組單位正交向量組（或稱（或稱標(biāo)準(zhǔn)正交向量組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組）.例例21, 0 ,21,21, 0 ,21,010321），（向向量量組組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量

36、組.注：注：把正交向量組中每個(gè)向量單位化就得到標(biāo)準(zhǔn)正交向量組把正交向量組中每個(gè)向量單位化就得到標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.12s ， ，如果向量組如果向量組兩兩正交兩兩正交, ,且且 1,2,jo js 則稱則稱12s ， ，為一個(gè)為一個(gè)正交向量組正交向量組。12s ， ，是正交向量組是正交向量組,則將則將每個(gè)向量單位化后得每個(gè)向量單位化后得即：若即：若12s ， ，為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組,其中其中 1,2,.jjjjs 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香51定理定理1 1：正交向量組必是線性無(wú)關(guān)的向量組正交向量組必是線性無(wú)關(guān)的向量組. .20, ,(,), .ijiij ij 1211220.mm

37、mkkkkkk 設(shè)設(shè)有有數(shù)數(shù)， ，使使得得(,)0.iiiik 用用與與上上面面等等式式兩兩邊邊作作內(nèi)內(nèi)積積，可可得得, 0), 0iii有有（由由于于m),1,2,i 0 （從而從而ik.21線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，正正交交向向量量組組m證明證明:12m ， ，設(shè)設(shè)為正交向量組，則為正交向量組，則正交向量組的性質(zhì)：正交向量組的性質(zhì)：注：線性無(wú)關(guān)向量組未必是正交的向量組注：線性無(wú)關(guān)向量組未必是正交的向量組. .例例 120 1 0 ,1,1,2 向向量量組組（ ， ，）是線性無(wú)關(guān)，但不是正交的。是線性無(wú)關(guān)，但不是正交的。山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香52施密特（施密特（SchmidtSchmidt）

38、正交化方法）正交化方法化無(wú)關(guān)組為正交向量組化無(wú)關(guān)組為正交向量組12121212,mmmmn 設(shè)設(shè)， ，是是 維維線線性性無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)向向量量組組，則則存存在在一一個(gè)個(gè)正正交交向向量量組組，使使與與， ，等等價(jià)價(jià)。施密特正交化方法施密特正交化方法: :11 (1)令2122111(,) (2)(,) (m) ),(),(),(),(),(),(111122221111mmm-m-mmmmm(3) ),(),(),(),(222231111333 定理定理2山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香53例例3 3：123(1,1,1,1),(3,3, 1, 1),( 2,0,6,8). 設(shè)線性無(wú)關(guān)的向量組用施密特

39、正交化方法求與其等價(jià)的正交向量組222231111333),(),(),(),()1 , 1 , 1 , 1 (11令令2122111(,) (,) 4(3,3,1,1)(1,1,1,1)42, 2, 2 , 2) 8 , 6 , 0 , 2() 1 , 1 , 1 , 1 (412)2, 2, 2 , 2(1632解解:) 8 , 6 , 0 , 2() 3 , 3 , 3 , 3() 4, 4, 4 , 4() 1 , 1, 1 , 1(山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香54222231111333),(),(),(),(123(1,1,0),(1, 2,0),(1,0,1) )0 , 1 ,

40、 1 (11取取2122111(,) (,) 1(1, 2,0)(1,1,0)20 ,23,23) 1 , 0 , 1 ()0 , 1 , 1 (21)0 ,23,23(31) 1 , 0 , 0(解解 : 1)先正交化先正交化標(biāo)準(zhǔn)正交化標(biāo)準(zhǔn)正交化例例4：將向量組：將向量組山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香55)0 , 1 , 1 (10 ,23,232) 1 , 0 , 0(32)再單位化再單位化1111)0 , 1 , 1 (210 ,21,212221)0 ,23,23(129)0 ,23,23(32)0 ,22,22(3331) 1 , 0 , 0(123, 是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。是一個(gè)標(biāo)

41、準(zhǔn)正交向量組。則則山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香56為為正正交交矩矩陣陣。，則則稱稱滿滿足足若若實(shí)實(shí)方方陣陣AIAAAT4.4.正交矩陣：正交矩陣：10010cossin, , 0121201sincos01212如：2).2).正交矩陣正交矩陣的性質(zhì)：的性質(zhì)：。為為正正交交矩矩陣陣，則則若若IAAAAATT) 1 (都都是是正正交交矩矩陣陣。、為為正正交交矩矩陣陣，則則若若1)2(AAAT?；蚧?yàn)闉檎唤痪鼐仃囮嚕瑒t則若若11)3(AA為為正正交交矩矩陣陣。為為同同階階正正交交矩矩陣陣，則則、若若ABBA)4(1). 定義定義3). 標(biāo)準(zhǔn)正交向量組與正交矩陣之間的關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)正交向量組與正交矩

42、陣之間的關(guān)系1TAA 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香57) ( 2121nnAA的的列列向向量量組組，即即是是，設(shè)設(shè)證證明明：1212 TTTnTnA A111212122212TTTnTTTnTTTnnnn 111212122212( , ) ( , )( ,)( , ) ( , )( ,)( , ) ( , )( ,)nnnnnn 定理定理：設(shè)設(shè) A A 為為 n n 階實(shí)方陣，階實(shí)方陣，A A 為正交矩陣為正交矩陣的充分必的充分必要條件是其要條件是其行（列）向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組行（列）向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香58100010001TAAI即即A是正交矩陣是

43、正交矩陣.AAT111212122212( ,)( ,)( ,)(,) (,)(,)(,) (,)(,)nnnnnn 12, , ,n:是單位正交充分性向量組，即jiji, ji 01)(所以所以山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香59必要性必要性:設(shè)設(shè)A為正交矩陣，即為正交矩陣，即IAAT100010001AAT111212122212( , ) ( ,)( ,)( , ) ( ,)( ,)( , ) ( ,)( ,)nnnnnn jiji, ji 01)(即有即有., , , 21是是單單位位正正交交向向量量組組所所以以n 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香60第五 章 第 三節(jié) 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

44、二二. 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化定理定理1 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣A有有n個(gè)實(shí)特征值，且特征向量是實(shí)向量個(gè)實(shí)特征值，且特征向量是實(shí)向量.證明證明: 因?yàn)槿我粚?shí)對(duì)稱矩陣都有因?yàn)槿我粚?shí)對(duì)稱矩陣都有n個(gè)復(fù)特征值個(gè)復(fù)特征值,所以只需證明所以只需證明每個(gè)復(fù)特征均為實(shí)數(shù)即可每個(gè)復(fù)特征均為實(shí)數(shù)即可.為為設(shè)設(shè)的一復(fù)特征值的一復(fù)特征值,A x為對(duì)應(yīng)于為對(duì)應(yīng)于 的特征向量的特征向量, 則有則有( ) 1Axx 轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置TTTx Ax 取共軛取共軛TTTxAx ，因因A為實(shí)對(duì)稱矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣,從從而而( ) 2TTxAx (1)左乘左乘Tx ，(2)右乘右乘, x有有 TTTTx Axx xxA

45、xxx，即即 TTx xx x，因因,2 0Tx xx從而從而. 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香61 線 性 代 數(shù) 講 義第五 章 第 三節(jié) 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化定理定理3 實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量正交向量正交.定理定理2 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣A有有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.即即111222 , AxxAxx一方面一方面(,)(,)(,),12112112Axxxxxx另一方面另一方面 (,)(,),121212122212212TTTTAxxAxxxAxxxxxxx結(jié)合上兩式結(jié)合上兩式(,)(,),11221212x

46、xxx所以所以(,),120 xx 從而從而.12xx 設(shè)設(shè)為為的兩個(gè)特征值的兩個(gè)特征值,且且A,12 ,12xx分別為對(duì)應(yīng)于分別為對(duì)應(yīng)于,12 的特征向量的特征向量,12 證明證明山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香62 線 性 代 數(shù) 講 義第五 章 第 三節(jié) 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化定理定理2 實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量 正交正交.111222 , AxxAxx一方面一方面(,)(,)(,),12112112Axxxxxx另一方面另一方面 (,)121212122212TTTTAxxAxxxAxxxxx結(jié)合上兩式結(jié)合上兩式(,)(,),11221212xxxx所以所以(,),120 xx 從而從而.12xx 證明證明:,12xx分別為對(duì)應(yīng)于分別為對(duì)應(yīng)于,12 的特征向量的特征向量,即：設(shè)即：設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣為實(shí)對(duì)稱矩陣的兩個(gè)特征值的兩個(gè)特征值,且且A,12 ,12 12xx與正交.則則(,),212xx 山財(cái)大數(shù)學(xué)與數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)院楊素香63 線 性 代 數(shù) 講 義第五 章 第 三節(jié) 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化定理定理3 n階實(shí)對(duì)稱矩陣階實(shí)對(duì)稱矩陣A的每一個(gè)的每一個(gè)in,i 的秩的秩是是特征矩陣特征矩陣 iA .inn