線性代數(shù)第三章

1、一、概念的引入一、概念的引入三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 112233122331132132a a aa a aa a a 13 22 3111 23 3212 21 33a a aa a aa a a 說明說明（1）三階行列式共有）三階行列式共有6項，即項，即 項項3 ?。?）每項都是位于不同行不同列的三個元素的）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積乘積（3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列）每項的正負號都取決于位于不同行不同列 的三個元素的下標排列的三個元素的下標排列例如例如322113aaa列標排列的逆序數(shù)為列標排列的逆序數(shù)為 3

2、121 12, 322311aaa列標排列的逆序數(shù)為列標排列的逆序數(shù)為 132101, 偶排列偶排列奇排列奇排列正正號號 ,負號負號 123111213212223123313233( 1).pppaaaaaaaaaaaa 二、二、n階行列式的定義階行列式的定義111212122212,nnnnnnnaaaaaaaaan 階階行行列列式式是是所所有有取取自自不不同同行行不不同同列列的的個個元元素素的的乘乘積積的的代代數(shù)數(shù)和和 即即定義定義12121212()12(-1).nnnnp ppp ppppnpnp ppaaa 其其中中表表示示對對所所有有 級級排排列列求求和和，項項的的符符號號是是1

3、212121112121222()1212(-1)nnnnnp ppppnpp ppnnnnaaaaaaaaaaaa ).det(ija簡記作簡記作說明說明(1) 行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解線行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解線性方程組的需要而定義的性方程組的需要而定義的;(2) 階行列式是階行列式是 項的代數(shù)和項的代數(shù)和;n!n(3) 階行列式的每項都是位于不同行、不同階行列式的每項都是位于不同行、不同列列 個元素的乘積個元素的乘積;nn(4) 一階行列式一階行列式 不要與絕對值記號相混淆不要與絕對值記號相混淆;aa (5) 的符號為的符號為nnpppaaa2121 12()1n

4、p pp 例例 1 在六階行列式中，下列兩項各應(yīng)帶什么符號在六階行列式中，下列兩項各應(yīng)帶什么符號.;)1(651456423123aaaaaa.)2(256651144332aaaaaa解解651456423123)1(aaaaaa431265的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為102210 , 6 所以所以 前邊應(yīng)帶正號前邊應(yīng)帶正號.651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa例例2 2計算計算0004003002001000分析分析展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa從而這個項為零，從而這個項為零，所以所以

5、只能等于只能等于4 , 1p同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解即行列式中不為零的項為即行列式中不為零的項為.aaaa41322314;21n n 21一般地，一般地，對角行列式對角行列式0004003002001000 432111 2 3 4 .24 例例3 3 計算計算上三角行列式上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析分析展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不為零的項只有所以不為零的項只有.2211nnaaa解解nnnnaaaaaa00022211211 1

6、211221nnna aa 1122nna aa 例例4?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 12121nppp nDaaa 定理定理 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n其中其中 為行標排列為行標排列 的逆序數(shù)的逆序數(shù). . nppp21 階行列式也可定義為階行列式也可定義為n 1 12 21n np qp qp qDaaa 其中其中 是兩個是兩個 級排列，級排列， 為行為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序

7、數(shù)的和標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和. .nnqqq,ppp2121n 行標排列行標排列341562的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為列標排列列標排列234165的逆序數(shù)為的逆序數(shù)為400301 t所以所以 前邊應(yīng)帶正號前邊應(yīng)帶正號.256651144332aaaaaa6400200 t324314516625a a a a a a例例 在六階行列式中，項在六階行列式中，項 帶什么符號帶什么符號.例例5 5 用行列式的定義計算用行列式的定義計算nnDn0000000010020001000 !.1221nDnnn 221 nn解解 1,12,21,11nnnnnnDaaaa 1 1 21nn 1!,n 1221nnn 1232 nn已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系數(shù)的系數(shù)求求 x思考題解答思考題解答解解含含 的項有兩項的項有兩項,即即3x 1211123111211xxxx