高中數(shù)學1.1空間幾何體1.1.2棱柱、棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特征1.1.3圓柱、圓錐、圓臺和球例題與探究新人教B版必修

1、棱柱、棱錐和棱臺的結(jié)構(gòu)特征圓柱、圓錐、圓臺和球典題精講例 1(1) 命題“一個幾何體有兩個面平行 , 其余各面為四邊形 , 則此幾何體為棱柱”是否正確？(2) 命題“一個幾何體有兩個面平行 , 其余各面為梯形 , 則此幾何體為棱臺”是否正確？思路解析：嚴格結(jié)合棱柱、棱臺的定義和性質(zhì)來判定.答案： (1) 不正確 , 其余各面為四邊形 , 不能反應出側(cè)棱互相平行 . 如圖圖 1-1-(2,3)-1 滿足命題條件 , 但不是棱柱 .(2) 不正確 , 此命題不能反映出側(cè)棱延長后交于一點. 如圖圖1-1-(2,3)-1滿足命題條件, 但不是棱臺 .圖 1-1-(2,3)-1綠色通道： 如果肯定一個命

2、題成立, 則需要嚴格證明, 而否定一個命題成立, 只要舉出一個反例即可 .黑色陷阱： 對于棱柱這一幾何體的認識如果只停留在表面, 則會在感官上產(chǎn)生錯覺, 比如例題解析中的反例就是認識中容易忽略的物體形狀.變式訓練 1 下列命題正確的是（）A. 有一個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱B.有兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C.相鄰兩個側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D.底面是正多邊形的棱柱是直棱柱思路解析： 主要看由條件能否得出側(cè)棱與底面垂直的結(jié)論. 要使側(cè)棱與底面垂直, 需要側(cè)棱與底面內(nèi)的兩條相交直線垂直. 這里只有 C 滿足條件 .答案： C例 2 棱臺的上、下底面面積分別為S1,S 2, 平行于底面的截面將棱臺

3、的側(cè)面積分成m、 n 兩部分, 則截面面積為 _.思路解析： 設截面面積為x, 截得棱臺的大棱錐被上底面S1 的平面截下的小棱錐的側(cè)面積為p, 夾在S1 與x 間的側(cè)面積為m,夾在x 與S2 之間的側(cè)面積為n, 則, 即.又有,即.兩式相除 ,得,所以, 即 x=.答案：綠色通道： 如果題目中給出的量較為分散, 應該先把這些量集中, 最好是集中到某一個三角1 / 4形中再求解 .變式訓練2 已知正三棱錐S ABC的高 SO=h,斜高 SM=l, 求經(jīng)過 SO的中點且平行于底面的截面 ABC的面積.解： 連結(jié) OA、OM,在 RtSOM中, OM=,因為棱錐S ABC 是正棱錐, 所以點O 是正

4、 ABC的中心 , AB=2BM=2OMtan60°=,S ABC=AB2=·4·3(l2-h 2)=(l 2-h 2).因為 ABC過SO的中點，所以三棱錐SABC的高h=h.根據(jù)一般三棱錐的截面性質(zhì), 有,所以 SABC =(l 2-h 2).例 3(2006 湖南高考 , 理 9) 棱長為 2的正四面體的四個頂點都在同一個球面上, 若過該球球心的一個截面如圖1-1- （ 2，3） -2,則圖中三角形 ( 正四面體的截面 ) 的面積是（）圖 1-1-(2,3)-2A.B.C.D.思路解析： 首先根據(jù)題中所給的平面圖形畫出相應的立體圖形, 找出多面體的邊長與球的

5、半徑之間的關系即可. 棱長為 2 的正四面體ABCD的四個頂點都在同一個球面上, 若過該球球心的一個截面為 ABF，如圖1-1- (2,3)-3所示，則圖中AB=2，E 為 AB 中點，則EFDC，在 DCE中， DE=EC=， DC=2，EF=. 三角形ABF的面積是.圖 1-1- (2,3)-3答案： C2 / 4綠色通道： 正四面體是一個重要的幾何體, 由于其具有很好的對稱性, 所以經(jīng)常把它和球結(jié)合起來考查 . 解決此類問題除了對幾何體的性質(zhì)有所了解之外, 還要有極強的空間想象能力,掌握三維圖形與二維圖形的轉(zhuǎn)化方法等.變式訓練3 表面積為的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的直徑

6、為（）A.B.C.D.思路解析： 此正八面體是每個面的邊長均為a 的正三角形，所以由8×=，知a=1，則此球的直徑為.答案： A問題探究問題 1 如圖 1-1- (2,3)-4 ，在正方形 ABCD中，邊長為 a， E、 F、 G、 H 分別為四邊 AB、BC、 CD、 DA的中點 . 請?zhí)骄咳缦聠栴}：若沿 EF、 FG、 GH、 HE 將四角折起，試問能折成一個四棱錐嗎？為什么？你從中能得到什么結(jié)論？對于圓錐有什么類似的結(jié)論？圖 1-1- (2,3)-4圖 1-1- (2,3)-5導思： 把由平面圍成的幾何體沿著若干條棱剪開后，幾何體的各面就可展開在同一平面內(nèi)，得到一個平面多邊形，

7、這個平面多邊形就叫做這個幾何體的表面展開圖. 由于剪開的棱不同，同一個幾何體的表面展開圖可以不是全等形，但是，無論怎樣剪，同一個多面體的表面展開圖的面積是一樣的. 這種把有關立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的數(shù)學思想方法和類比思想方法是我們解決立體幾何問題的重要思想方法.棱錐的側(cè)面展開圖是由有一個公共頂點的若干個三角形組成的( 三角形的個數(shù)與棱錐的側(cè)棱數(shù)相同 ) ；棱錐的展開圖是側(cè)面展開圖拼接底面多邊形組成的. 判斷一平面展開圖能否還原成棱錐的關鍵是先選好底面，然后再將從底面各邊出發(fā)的三角形沿頂點折起，若各個頂點能重合且位于平面多邊形外，則能構(gòu)成棱錐，否則將不能構(gòu)成棱錐.探究： 連結(jié) EG、 F

8、H，將正方形分成四個一樣的小正方形. 若將正方形ABCD沿 EF、 FG、 GH、HE折起，則四個頂點必重合于正方形的中心，故不能折成一個四棱錐.由此我們可以推想：(1) 所有棱錐的側(cè)面三角形上以公共頂點為頂點的所有角之和必小于360°；(2) 所有棱錐的側(cè)面展開圖不可能是一個有公共頂點在一個多邊形內(nèi)部的圖形( 如圖1-1-(2,3)-5所示 ).另外，對于圓錐我們有下列猜測：圓錐的側(cè)面展開圖一定是一個扇形，絕不可能是圓，但可以是一個半圓.問題 2 在圖 1-1- (2,3)-6中， M、 N 是圓柱體的同一條母線上分別位于上、下底面上3 / 4的兩點，若從M點繞圓柱體的側(cè)面到達N，沿怎樣的路線路程最短？圖 1-1-(2,3)-6圖 1-1-(2,3)-7導思： 幾何體表面上的最短線路問題是立體幾何中的典型問題，是溝通立體幾何與平面幾何的途徑題目，體現(xiàn)了解決立體幾何問題的主要思想，就是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.對于圓柱、圓錐、圓臺這些旋轉(zhuǎn)體，通常利用側(cè)面展開圖解決，對于棱柱、棱錐、棱臺這些多面體，通常把多面體展到平面上，然后在平面上求兩點間的距離.探究： 首先注意題目中的“繞”字，這要求所求路徑從俯視的角度看應該成為一個圓. 沿圓柱體的母線MN將圓柱的側(cè)面剪開鋪平，得出圓柱的側(cè)面展開圖，如