高中物理微積分應用(完美)

1、高中物理中微積分思想偉大的科學家牛頓，有很多偉大的成就，建立了經(jīng)典物理理論，比如：牛頓三大定律，萬有引力定律等；另外，在數(shù)學上也有偉大的成就，創(chuàng)立了微積分 。微積分（ Calculus）是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應用的數(shù)學分支。微積分是建立在實數(shù)、函數(shù)和極限的基礎上的。微積分最重要的思想就是用" 微元 "與 " 無限逼近 " ，好像一個事物始終在變化你很難研究，但通過微元分割成一小塊一小塊，那就可以認為是常量處理，最終加起來就行。微積分學是微分學和積分學的總稱。它是一種數(shù)學思想， 無限細分就是微分，無限求和就是積分。無限就是極限，極限的思想是微

2、積分的基礎，它是用一種運動的思想看待問題。微積分堪稱是人類智慧最偉大的成就之一。在高中物理中，微積分思想多次發(fā)揮了作用。1、解決變速直線運動位移問題勻速直線運動，位移和速度之間的關(guān)系x=vt ；但變速直線運動，那么物體的位移如何求解呢？例 1、汽車以 10m/s 的速度行駛， 到某處需要減速停車， 設汽車以等減速 2m/s2 剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少公里？【解析 】 現(xiàn)在我們知道，根據(jù)勻減速直線運動速度位移公式v v0 at x v0 t1 at 2 就可以求得汽車a=-2m/s22走了 0.025 公里。但是，高中所謂的的勻變速直線運動的位移公式是怎么來的，其實就是應用了微積分

3、思想：把物體運動的時間無限細分。在每一份時間微元內(nèi)，速度的變化量很小，可以忽略這種微小變化，認為物體在做勻速直線運動，因此根據(jù)已有知識位移可求；接下來把所有時間內(nèi)的位移相加，即“無限求和”，則總的位移就可以知道。 現(xiàn)在我們明白， 物體在變速直線運動時候的位移等于速度時間圖像與時間軸所圍圖形的“面積”，即 x v0t1 at 2 。2【微積分解 】汽車在減速運動這段時間內(nèi)速度隨時間變化的關(guān)系v v0 at 102t ，從開始剎車到停車的時間 t=5s， 所以汽車由剎車到停車行駛的位移55a t 2 )55at)dt (v0t(10t t 2 )xv(t )dt(v00.025km00200小結(jié)：

4、 此題是一個簡單的勻變速直線運動求位移問題。對一般的變速直線運動，只要結(jié)合物理知識求速度關(guān)于時間的函數(shù)，畫出v t 圖像，找“面積”就可以?；蛘?，利用定積分就可解決.2、解決變力做功問題恒力做功，我們可以利用公式直接求出W Fs ；但對于變力做功，我們?nèi)绾吻蠼饽?？?2：如圖所示，質(zhì)量為 m 的物體以恒定速率v 沿半徑為 R 的豎直圓軌道運動，已知物v體與豎直圓軌道間的摩擦因數(shù)為，求物體從軌道最低點運動到最高點的過程中，摩擦力做了多少功?！窘馕觥?物體沿豎直圓軌道從最低點勻速率運動到最高點的過程中，在不同位置與圓環(huán)間的正壓力不同，故而摩擦力為一変力，本題不能簡單的用WFs 來求。y可由圓軌道的

5、對稱性，在圓軌道水平直徑上、下各取兩對稱位置A和B，設 OA、OB 與水平直徑的夾角為。在SR的足夠短圓弧上，S 可看.B作直線，且摩擦力可視為恒力，則在A、B 兩點附近的 S 內(nèi)，摩擦力所做的NBx功之和可表示為：mgONAW fN A R(NBR)AmgL（弧長） =(弧度 )x r( 半徑 ) ( 弧度制 )1又因為車在 A、 B 兩點以速率v 作圓周運動，所以：mv2mv2N Amg sinF=圓周運動向心力公式RRN Bmv2mg sinR綜合以上各式得：Wf2 mv2故摩擦力對車所做的功： W fW f2 mv22 mv2mv2【微積分解 】物體在軌道上受到的摩擦力 FfN ，從最

6、低點運動到最高點摩擦力所做的功為Wf( N A R N B R)d22202 mv dmv小結(jié)： 這題是一個復雜的變力做功問題，利用公式直接求功是難以辦到的。利用微積分思想，把物體的運動無限細分，在每一份位移微元內(nèi)，力的變化量很小，可以忽略這種微小變化，認為物體在恒力作用下的運動；接下來把所有位移內(nèi)的功相加，即“無限求和”，則總的功就可以知道。在高中物理中還有很多例子，比如我們講過的瞬時速度，瞬時加速度、感應電動勢、引力勢能等都用到了微積分思想，所有這些例子都有它的共性。作為大學知識在高中的應用，雖然微積分高中不要求，但他的思想無不貫穿整個高中物理。 “微積分思想”豐富了我們處理問題的手段，拓

7、展了我們的思維。我們在學習的時候，要學會這種研究問題的思想方法，只有這樣，在緊張的學習中，我們才能做到事半功倍。一場源點荷為Q,在距 Q為 r 的 A 點有一點電荷為q, 此 A 處電勢 =kQ/r【例】 問均勻帶電的立方體角上一點的電勢是中心的幾倍。分析：根據(jù)對稱性，可知立方體的八個角點電勢相等；將原立方體等分為八個等大的小立方體 , 原立方體的中心正位于八個小立方體角點位置；而根據(jù)電勢疊加原理，其電勢即為八個小立方體角點位置的電勢之和，即U1=8U2 ；立方體角點的電勢與什么有關(guān)呢?電荷密度 ；二立方體的邊長a；三立方體的形狀；KQ及量綱知識，可猜想邊長為a 的立方體角點電勢為根據(jù)點電荷的

8、電勢公式 U=rCKQ2U= a =Ck a；其中 C 為常數(shù)，只與形狀（立方體）及位置（角點）有關(guān)，Q 是總電量， 是電荷密度；其中 Q= a32U = Ck （a2 CK a2 大立方體的角點電勢： U = Ck a ；小立方體的角點電勢：2） =402大立方體的中心點電勢：U1=8U2=2 Ck a21；即 U0= U12【小結(jié)】我們發(fā)現(xiàn)，對于一個物理問題，其所求的物理量總是與其他已知物理量相關(guān)聯(lián)，或者用數(shù)學語言來說，所求的物理量就是其他物理量（或者說是變量）的函數(shù)。如果我們能夠把這個函數(shù)關(guān)系寫出來，或者將其函數(shù)圖像畫出來，那么定量或定性地理解物理量的變化情況，幫助我們解決物理問題。2導

9、數(shù) 物理量的變化率我們經(jīng)常對物理量函數(shù)關(guān)系的圖像處理，比如 v-t圖像，求其斜率可以得出加速度va，求其面積可以得出位移s，而斜率和面積是幾何意義上的微積分。我們知道，過v-t v圖像中某個點作出切線，其斜率即a= t .下面我們從代數(shù)上考察物理量的變化率：t【例】若某質(zhì)點做直線運動， 其位移與時間的函數(shù)關(guān)系為上s=3t+2t 2, 試求其 t 時刻的速度的表達式。（所有物理量都用國際制單位，以下同） s分析： 我們知道，公式v= t 一般是求 t 時間內(nèi)的平均速度，當t 取很小很小，才可近似處理成瞬時速度。s(t)=3t+2t2s(t+ t)=3(t+ t)+2(t+ t) 2 s=s(t+

10、 t)-s(t)=3(t+ t)+2(t+ t) 2 -3t-2t2=3 t+4t t+2 t 2 s 3 t+4t t+2 t 2v= t = t=3+4t+2 t當 t 取很小，小到跟3+4t 相比忽略不計時， v=3+4t即為 t時刻的瞬時速度。【練】假設一個閉合線圈匝數(shù)為100 匝，其磁通量為 =3t+4t 3 ,求感應電動勢隨時間 t 的函數(shù)關(guān)系?！拘〗Y(jié)】回顧我們求物理量y=f(t) 的變化率瞬時值 z 的步驟：寫出 t 時刻 y0=f(t)的函數(shù)表達式；寫出 t+ t時刻 y =f(t+ t) 的函數(shù)表達式；1求出 y=y1- y 0=f(t+ t)- f(t)； yf(t+ t)

11、- f(t)求出 z= t = t；注意 t 取很小，小到與有限值相比可以忽略不計。 無窮小 s QN 當 t 取很小時，可以用V= t求瞬時速度，也可用i= t求瞬時電流 , 用 = t求瞬時感應電動勢。下面，我們來理解t ： t 是很小的不為零的正數(shù)，它小到什么程度呢？可以說，對于我們?nèi)我饨o定一個不為零的正數(shù) ，都比 t 大，即： > t?；蛘邚膭討B(tài)的角度來看，給定一段時間t ，我們進行如下操作：第一次，我們把時間段平均分為2 段，每段時間 t= t；2t第二次，我們把時間段平均分為3 段，每段時間 t= 3；第三次，我們把時間段平均分為t；4 段，每段時間 t=4t第 N 次，我們

12、把時間段平均分為N+1段，每段時間 t= ； N+1一直這樣進行下去，我們知道，t 越來越小，雖然它不為零，但永遠逼近零，我們稱它為無窮小，記為 t 0 。或者，用數(shù)學形式表示為lim t=0 。其中“ lim ”表示極限，意思是t 的極限值為0。t0t0常規(guī)計算：3 lim （ t+C ） =C lim C· t=0 lim f( t)=f(0)t0t0t 0 lim f(t+ t)=f(t)sin( t)=1 lim tt0t0附錄常用等價無窮小關(guān)系（ x0） sin xx ； tan xx； 1cosx1x2； ln 1 xx ； ex1 x2 導數(shù)前面我們用了極限“l(fā)im ”

13、的表示方法，那么物理量y 的變化率的瞬時值z 可以寫成 :t0 y, 并簡記為 z=dyt 的導數(shù)。物理上經(jīng)常用某物理量的變化z= lim, 稱為物理量 y 函數(shù)對時間變量t0 td tdxdvdqddW率來定義或求解另一物理量，如v=、a=、i=、 =N等，甚至不限于對時間求導，如Fd td tF=、d td td xx dUdmE =dx 、 =dl等。這個 dt （也可以是 dx、dv、dm等）其實相當于微元法中的時間微元t ，當然每次這樣用lim 來求物t 0理量變化率的瞬時值太繁瑣了，畢竟微元法只是草創(chuàng)時期的微積分。如果能把常見導數(shù)計算的基本規(guī)律弄懂，那么我們可以簡單快速地求解物理量

14、變化率的瞬時值（導數(shù)）了。同學們可以課后推導以下公式： 導數(shù)的四則運算ududvud(u ± v)dudvd( v )d t· v - u · d tvd t= d t ± d t d t=v2d(u · v)dudvud t= d t ·v + u · d tv 常見函數(shù)的導數(shù)dCdcost dt=0(C 為常數(shù) )； dt=-sint ；nt dt=ntn-1(n 為實數(shù) ) ；de=et ；dtdt dsint =cost； dt 復合函數(shù)的導數(shù)在數(shù)學上，把 u=u(v(t)稱為復合函數(shù)，即以函數(shù)v(t) 為 u(x)

15、 的自變量。du(v(t)=du(v(t)dv(t)d td v(t)· d t復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)，乘以中間變量對自變量的導數(shù)稱為鏈式法則。在簡諧振動中，在單位時間內(nèi)物體完成全振動的次數(shù)叫頻率，用f 表示，頻率的2倍叫角頻率，即=2 f【練】 1、某彈簧振子在X 軸上做直線運動，其位移x 與時間 t 的關(guān)系為x=Asin t，即，質(zhì)點在坐標原點2附近往復運動，最大位移為A（ A 稱為振幅），周期為 （ 稱為角頻率），物理上把這種運動叫簡諧運動。請完成以下幾問：求出 t 時刻的速度v4寫出合力 F 與位移 x 的關(guān)系驗證簡諧運動中質(zhì)點的機械能守恒?！揪?/p>

16、】 2、某矩形線框面積為S，匝數(shù)為 N，處于磁感應強度為B 的勻強磁場中，如圖所示，線框繞PQ 軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動，從水平位置開始計Q時，在 t 時刻：寫出磁通量的表達式求出線框產(chǎn)生的感應電動勢P三：微分和積分 簡單問題【例】電容器是一種存儲電荷的元件，它的基本工作方式為充電和放電，我們先考察電容器放電時的情況。某電容為 C 的電容器，其已充電的電量為Q 0，若讓該電容與另一個阻值為R 的的電阻串聯(lián)起來，該電容器將會放電，其釋放的電能轉(zhuǎn)化電阻的焦耳熱（內(nèi)能）。試討論，放電時流過電阻R 的電流隨時間 t 的變化關(guān)系如何？分析： 根據(jù)電荷守恒定律，當通過電阻R的電量為 q 時，電容器的電量從Q0

17、變成 Q1，滿足 Q0=Q1+q ，即q=Q0-Q1 ；dq流過電阻 R 的電流 i 與通過電阻 R 的電量 q滿足關(guān)系式： i= d tqQ0Q1根據(jù)電容電量公式Q=CU,有 Q1=CU=CRi ，那么 q= Q0- CRi；dq d(Q0- CRi)di聯(lián)立上式，有 i= d t =d t=-CRd ttdidi進行公式變形，令x= -CR ,則有 i= - CRd t =dx同學們思考一下，i 應該是什么函數(shù)，才能滿足i=di？，或者說什么函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)本身？dxxdi我們觀察到，只有y=Ce 形式的函數(shù)才滿足i=dx關(guān)系， C 為待定常數(shù)。故可以知道， i = Ce x = Ce

18、-t/CR當 t=0 時， U0= Q0， i 0= U0=Q0；而把 t=0代人，得 i = Ce -t/CR =C；故 C=Q0CRCRCR所以，流過電阻 R 的電流隨時間t的變化關(guān)系為： i =0eQ-t/CRCR【練】對于上例電容器放電問題，試討論，放電時電容器的電量Q 隨時間 t 的變化關(guān)系如何？微分1、從上面式子可以看出，理論上雖然我們說是要經(jīng)過無窮長的時間電容才放完電，電流為零，但實際上只需要電流減少足夠小時，電流計就檢測不到有電流了。didi2、對于 i= - CR d t 或 i=dx ，我們稱之為微分方程，最直觀的解決方法是觀察有哪些函數(shù)滿足該微分方程的函數(shù)關(guān)系，當然，我們

19、要注意比如上題中的t=0之類的初始條件。3、一般來說，微積分可以幫助同學們深刻理解物理概念和公式，但微元法可以幫助同學們更細致地明了物理過程。下面我們用微元法的方式來處理這個問題。在 t 的時間內(nèi)，通過電阻R 的電量為 q。雖然電流隨時間發(fā)生變化，但在很短的時間 t 內(nèi)，可以認為 電流幾乎不變， 當成恒定電流處理，故有q= i t 。對電容有 Q=CU=CiR， Q= i ；由電量守恒，Q= q ，故 i t i ，然后把“”形式改寫成微積分語言的“d”形式，就有 idt di （ dt 和 di 稱之為微分） , 數(shù)學變形為 i= - CRdi，即以上dt解法中的微分方程。5微分與導數(shù)有什么

20、關(guān)系呢？對某自變量為時間t 的函數(shù) F(t) ，它的極其微小的變化，我們記它為微分dFdt ，其中dF為 F 對 t 的導數(shù)。dF，它與時間微分 dt 滿足關(guān)系式： dF=dtdt下面是常見的微分公式與微分運算法則： dc0 dxnnxn 1dx d sin xcosxdx dcosxsin xdx dexex dx du vdudv dcucdu duvvduudv duvduudvvv2積分在上例問題中，在 t 的時間內(nèi)，通過電阻R 的電量為 q= i t ， q 稱為電量微元。如果我們把0到 t 時間內(nèi)的 q 加起來，用求和符號“”表示，則有：q= i t 。由于 t=N t, 當 t取

21、無窮小時，那么 i t 就有 N個，也就是，我們要把無窮個i t 進行相加操作，為了方便，我們用微積分符號idt表示 q= lim i t=idt ，稱為對 i 在時間上求積分。我們來看一下t 0這么做有什么意義：從幾何上看，對于i-t圖像， q= lim i t=idtt0就是圖像中的面積。對于恒定電流，很簡單，q= i t ，即小塊矩形面積；對于變化的電流，用q= i t來計算，發(fā)現(xiàn)有一小塊近似三角形面積的誤差，不過當我們?nèi)‘攖取無窮小時，用極限處理后，該誤差會無窮逼近零，可以忽略不計，那么計算的面積就無限精確接近實際面積了。dq，積分用了 q= idt ?？梢钥闯?，從某種程前面我們求導用

22、了i= dt度上說，積分實際是求導的逆運算，比如：q=Q0-Q=Q0(1-e -t/CR ),i =Q0CRe-t/CR 滿足求導和積分的運算關(guān)系i=dq、 q= idt 。d tF，如果有 f=dFf dt =F+C 。請思考，為什么積分中會出現(xiàn)常數(shù)C？對于一般函數(shù)dt，那么就有下面是常見的積分公式，請同學們對照求導公式理解： kdx kxcxndxxn1cn1 cosxdxsin xcfsin xdxcosxc exdx ex c現(xiàn)在我們用微積分書寫方式來來解答上題。由 Q0=Q+q ； Q=Q0-q ；UQ則 dQ= - dq = - idt= -dt= -dt；RCR6dQ1t1dQ呢

23、？我們知道det即 Q=-dt；怎么來求d t=e ，CRQ對等號兩邊積分：11dt ；tdQ=令 F(t)=e ，有 t=lnF ；QCRtFF-t/CRdd=F，即 F=dt=d(lnF)有 lnQ = -CR C ，或者 Q=Ce；則有 d t；當 t=0 時， Q(0)=C=Q0 ；所以電容器電量為0-t/CR。1dQ=Q= Q ed(lnQ) = lnQ+C 。那么Q1 dt =？請同學們自己推導。CR 定積分【例】某質(zhì)點在 X 軸上做直線運動，其速度 v 滿足函數(shù)關(guān)系 v=3t2, 求從 t=1s 到 t=3s 時間內(nèi)質(zhì)點發(fā)生的位移。分 析 ： 在 dt 時 間 內(nèi) ， 質(zhì) 點 可

24、 以 認 為 做 勻 速 直 線 運 動 ， 即 ds=vdt,那么對等號兩邊積分，有dsvdt3t 2 dt ，則有： s= t3 +C ；現(xiàn)在有問題了：當t=0時， S(0) 等于多少我們不知道！而且已知條件中的時間“從t=1s到 t=3s ”也沒有用上！下面我們從物理上考察C這個常數(shù)的意義。t=0時， s(0)=C 。當我們令 C=0 時，相當于質(zhì)點在零時刻從坐標原點開始運動；當我們令C=1時，相當于質(zhì)點在零時刻從坐標位置X=1m處開始運動；。我們發(fā)現(xiàn)， C 這常數(shù)的取值相當于選取觀察質(zhì)點運動的靜止參考系位置，然而所求的從t=1s 到 t=3s 時間內(nèi)質(zhì)點發(fā)生的位移應該與所選取的靜止參考

25、系無關(guān)，也就是對任意靜止參考系，質(zhì)點發(fā)生的位移應該是一致的，如圖所示。那么我們就隨便選取某一參考系， 使質(zhì)點在零時刻從坐標位置X=Cm處開始運動，則位移與時間的函數(shù)關(guān)系式為：s(t)= t3 +C。題目中所求的 1 到 3 秒的位移為： s1=s(3)-s(1)=（33+C） - （13+C）=8m 。題目中所要求的位移（速度積分）與積分式f dt =F+C 中的C 無關(guān)，當要求t=t 1 到 t=t2 時間內(nèi)位移時， s(t 1 t 2)=s(t 2) -s(t 2)。這個相當于我們用s=v t 來求 v-t 圖像中的從 t=t 1 到 t=t2 范圍b內(nèi)的面積。我們用一種簡單符號表示這種關(guān)

26、系：f dt =F(b) aF(a) 。這種積分叫定積分。【練】 1、已知導線中的電流按 I = t 3-0.5t+6 的規(guī)律隨時間 t 變化，式中電流和時間的單位分別為A 和 s。計算在 t =1s 到 t =3s 的時間內(nèi)通過導線截面的電荷量。【練】 2、某質(zhì)量為 m 的均勻細桿，長為L ，繞其一端點做角速度為的勻速轉(zhuǎn)動，試求其動能?！揪殹?3、某彈簧勁度系數(shù)為K ，原長為L ，若將彈簧從 2L長拉伸至 3L 長處，問應克服彈簧彈力做多少7V0，若其他電阻不計，則功？【練】 4、對于某電路，通過電阻 R=2 的電流 i=2t+1(A) ，問從 t=0 時刻開始經(jīng)過 4s 后，電阻產(chǎn)生的焦耳

27、熱是多少？四：課后習題1、質(zhì)量為2kg 的某物體在平面直角坐標系中運動，已知其x 軸上的坐標為x=3+5cos2t ，y 軸上的坐標為y=-4+5sin2t， t 為時間物理量，問：物體的速度是多少？物體所受的合外力是多少?該物體做什么樣的運動？能否找出該物體運動的特征物理量嗎？2、一質(zhì)點在某水平力F 的作用下做直線運動，該力做功W與位移 x 的關(guān)系為 W=3x-2x2, 試問當位移x 為多少時 F 變?yōu)榱?。KQ3、已知在距離點電荷Q為 r 處點的場強大小為 E=r2 ,請驗證點處的電勢公式為： U =KQr 。4、某復合材料制成的一細桿OP長為 L，其質(zhì)量分布不均勻。在桿上距離O端點為 x

28、處取點 A，令 M為細桿上 OA段的質(zhì)量。已知2dMLM為 x 的函數(shù)，函數(shù)關(guān)系為 M=kx ，現(xiàn)定義線密度 = , 問當 x=處 B 點的線密dx2度為何？-515、某彈簧振子的總能量為2× 10J，當振動物體離開平衡位置2 振幅處，其勢能 EP=，動能E =。k6、取無窮遠處電勢為零。若將對電容器充電等效成把電荷從無窮遠處移到電容器極板上，試問，用電壓U對電容為C的電容器充電，電容器存儲的電能為何？開始時電容器存放的電荷量為零。7、在光滑的平行導軌的右端連接一阻值為R 的電阻，導軌寬度為L，整個導軌水平放置在方向豎直向下的磁場中，磁場的磁感應強度為B。有一導體棒ab 垂直軌桿并停

29、放在導軌上，導體棒與導軌有良好的接觸。在 t=0 時刻，給導體棒一水平向左的初速度求導體棒的速度v 隨時間 t 的函數(shù)表達式；求導體棒從開始運動到停下為止，其滑行的總位移S；求導體棒在運動過程中產(chǎn)生的感應電流I 隨時間 t 的函數(shù)關(guān)系；求全過程中流過導體棒的總電荷Q。一、變力做功在功的問題中，恒力做功是最簡單的，公式為WFS8“以常代變” ，功的微元應該通過恒力做功公式得到的例8 一壓簧， 原長1m ，把它每壓縮1cm 時所用的力為0.05N問在彈性范圍內(nèi)把它由1m（如3 1圖 8 3 1）壓縮到60 cm （如圖 8 3 2）所做的功圖 8 31圖 83 2解令起點為原點，壓縮的方向為x 軸

30、的正方向當把彈簧自原點壓縮至0,0.4 之間的任意點x 處時（如圖8 3 3）圖 8 33由胡克定律知所承受的彈簧的壓力為0.05Fxx5x0.01在此力的作用下，再繼續(xù)壓縮一點點dx ，即壓縮至 xdx 處由于 dx 很小，這個壓縮過程可認為力F x 不變，即恒力做功則由恒力做功公式得功的微元dW Fx dx積分得 W0.4F x dx00.45xdx05 x2 0.42 090.4J例 83 2在原點處有一帶電量為q 的點電荷，在它的周圍形成了一個電場現(xiàn)在xa處有一單位正電荷沿 x 軸正方向移至xb 處，求電場力所做的功又問若把該電荷繼續(xù)移動，移動至無窮遠處，電場力要做多少功解點電荷在任意

31、點x 處時所受的電場力為qF x k x2（ k 為常數(shù)）電場力做功的微元dW 為點電荷由任意點x 處移動至 xdx 處時電場力 F x 所做的功即 dWFx dx k q2 dxx則移至 xb 處電場力做的功bq2Wkdxax1 bkqx akq11；ab移至無窮遠處電場力做的功Wk q2 dxaxkqa（物理學中稱此值為電場在xa處的電位） 例 8 3 3一圓臺形水池，深15 m ，上下口 半徑 分別為 20 m 和 10 m ，如果把其中盛滿的水全部抽干，需要做多少功?解水是被“一層層”地抽出去的，在這個過程中，不但每層水的重力在變，提升的高度也在連續(xù)地變化圖 834其中抽出任意一層水（

32、 x 處厚為 dx 的扁圓柱體， 如圖 834 陰影部分）所做的功為抽水做功的微元dW10即 dWdm g xdVg x2gx20 2 xdx31522則 Wgx 20xdx03215 2gx 20xdx03此處 常用符號是 ，表示水的密度， 計算時為1000 kg/m 3g 200x280x31x41599020625 g202125000J 二、物體質(zhì)量對于密度均勻的物體的質(zhì)量mll 或 mAA 、 mV ，這時密度是常量；但對于密度不均勻（密度是變量）的物體的質(zhì)量就不能直接用上述公式了，而應該用微元法例 83 4 一半圓形金屬絲，其上任意點處的線密度與該點到連接金屬絲端點的直徑的距離成正

33、比，求金屬絲的質(zhì)量解 建立如圖 8 3 5 坐標系圖 8 35則lxkykR2x2k0yxR2x222dsdxdy1y 2 dxRdxR2x211dmlxds22RkRxdxkRdxRmkRdxR2kR2 例 8 3 5設有一心臟線r1cos形的物質(zhì)薄片，其面密度A質(zhì)量解dA1 r 2 d1 1cos2（參照例81 10 ）d22dmAdA2cos11 cos22d145cos2cos 2cos3d21m25cos2cos23d24cos0145sinsin 2sin1 sin320234 2cos，試求此物質(zhì)薄片的1例 8 3 6 設一立體為曲線y關(guān)于 x 軸的旋轉(zhuǎn)體，其上任一點x 的體密度等于其橫坐標的絕對值1x2即xx ，試求該立體的質(zhì)量解圖 836122dVx1dx （圖 8 3 6中小圓柱體體積）1x2dmx dVx21x1x2dxx1x2 2 dxmx2 dxx212x2 dx0x211x22d 1 x2011x20三、液體壓力液面下 h 深處水平放置的面積為A 的薄板承受的液體壓力P 可以由壓強乘以面積得到，即Pgh A ，其中為液體密度，壓強gh 是個常量（勻