2020年高考數(shù)學(xué)(理)總復(fù)習(xí)：立體幾何中的向量方法(原卷版)

1、2020年高考數(shù)學(xué)(理)總復(fù)習(xí)：立體幾何中的向量方法題型一利用向量證明平行與垂直【題型要點(diǎn)】向量證明平行與垂直的4步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系，建系時(shí)，要盡可能地利用載體中的垂直關(guān)系；建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面的要素；(3)通過空間向量的運(yùn)算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直關(guān)系;(4)根據(jù)運(yùn)動(dòng)結(jié)果解釋相關(guān)問題.【例1】如圖，在直三棱柱ADE - BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)。為DF的中點(diǎn).運(yùn)用向量方法證明:(1) 0M /平面 BCF ；(2)平面 MDF _L平面 EFCD .11題組訓(xùn)練

2、一利用向量證明平行與垂直如圖，在底面是矩形的四棱錐P- ABCD中，PAjjg面ABCD，點(diǎn)E, F分別是PC, PD的中點(diǎn)，PA = AB = 1, BC= 2.求證：EF 平面PAB；/ :4'(2)求證：平面PAD _L平面PDC.B題型二 利用空間向量求空間角【題型要點(diǎn)】1利用向量法求直線與平面所成角時(shí)易混淆直線與平面所成角與直線方向向量和平面的法向量的夾角的關(guān) 系，一定要注意線面角B與夾角a的關(guān)系為sin。= |cos此2.求二面角0,主要通過兩平面的法向量n, m的夾角求得，即先求|cos (n, m> |,再根據(jù)所求二面角是鈍 角還是銳角寫出其余弦值.若0為銳角，則

3、cos 0= |cos <n, m> |；若 0 為鈍角則 cos 0=一 |cos < n, m> |.【例 2如圖，AD / BC 且 AD = 2BC, AD ± CD , EG / AD 且 EG = AD ,-CD / FG 且 CD = 2FG , DG _L平面 ABCD , DA = DC = DG = 2.*f*(1)若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN /平面CDE ；(2)求二面角E-BC-F的正弦值;若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°求線段DP的長(zhǎng).題組訓(xùn)練二利用空間向量求空間角如圖，四面體A

4、BCD中， ABC是正三角形，AACD是直角三角形，/ ABD = Z CBD ,AB= BD.(1)證明：平面ACD _L平面ABC；(2)過AC的平面交BD于點(diǎn)E,若平面AEC把四面體ABCD分成體 積相等的兩部分，求二面角D - AE- C的余弦值.題型三利用空間向量解決探索性問題【題型要點(diǎn)】利用空間向量巧解探索性問題空間向量最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它無需進(jìn)行復(fù)雜的作圖、論證、推理，只需通過坐標(biāo)運(yùn)算 進(jìn)行判斷.(2)解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把是否存在”可題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這

5、一方法解題.E為BC中點(diǎn).【例3】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD - AiBiCiDi中，AB=AA=1,(1)求證：CiD _L DiE；(2)在棱AA上是否存在一點(diǎn)M，使得BM 平面ADiE?若存在，求令蘿的 值，若不存在，說明理由.AAi若二面角Bi AE- Di的大小為900求AD的長(zhǎng).題組訓(xùn)練三利用空間向量解決探索性問題如圖，已知等邊 ABC中，E, F分別為AB, AC邊的I中點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，N為BC邊上一點(diǎn),且CN = : BC,4將Za AEF沿EF折到 A'EF的位置，使平面A'EF _L平面EFCB.(I)求證：平面A MN _L平面A BF；(n )求二面角E

6、-A F-b的余弦值.題型四建立空間直角坐標(biāo)系的方法坐標(biāo)法是利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算解答立體幾何問題的重要方法，運(yùn)用坐標(biāo)法解題往往需要建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)空間幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，充分利用圖形中的垂直關(guān)系或構(gòu)造垂直關(guān)系來建立空間直角坐標(biāo)系，是運(yùn)用坐標(biāo)法解題的關(guān)鍵，下面舉例說明幾種常見的空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建策略.方法一利用共頂點(diǎn)的互相垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標(biāo)系【例4】已知直四棱柱ABCD - AiBCiDi中，AAi=2，底面ABCD是直角梯形，/ A為直角，AB/ CD , AB= 4, AD= 2, DC = 1,求異面直線B。與DC所成角的余弦值.方法二利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系【例5

7、】如圖，在三棱柱ABC中，ABJJM面BBQiC, E為棱CC上異于C,Ci 的一點(diǎn) , EA _L EBi.已知 AB = 2, BBi= 2, BC = 1 , / BCCi = i求二面角AEBi Ai的平面角的正切值.方法三利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系【例6如圖，在四棱錐V - ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD ±底面ABCD.求證AB _L平面VAD；求二面角A - VD - B的余弦值.方法四利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標(biāo)系【例7】 已知正四棱錐V ABCD中，E為AC中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2a,高為求/ DEB的余弦值：(

8、2)若BE_LVC,求/ DEB的余弦值.如圖，四棱錐PABCD , AB 二 BC【專題訓(xùn)練】1.如圖，在四棱錐P ABCD中，PC jjg面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB± AD, AB /CD , AB = 2AD = 2CD = 2, PE = 2BE.(D求證：平面EAC _L平面PBC；(2)若二面角P - AC- E的余弦值為-3 求直線PA與平面EAC所成角的正 弦值.2.ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面1=2AD，/ BAD = Z ABC = 90 ° E 是 PD 的中點(diǎn).(1)證明：直線CE平面PAB；點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45。求二面 角M AB- D的余弦值.3.AB = 2AD = 2, / DAB如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為等腰梯形，AB II CD,FH二60'四邊形CDEF為正方形，平面CDEF _L平面ABCD.(1)若點(diǎn)G是棱AB的中點(diǎn)，求證：EG I平面BDF ；(2)求直線AE與平面BDF所成角的正弦值；(3)在線段FC上是否存在點(diǎn)H，使平面BDF _L平面HAD ?若存在，求麗的值；若不存在，說明理由.4.如圖，已知圓錐00i和圓柱0。2的組合體(它們的底面重合)，圓錐的底