2015屆數(shù)學(xué)高考完整版筆記(吐血整理)

1、集合與簡(jiǎn)易邏輯1集合的概念及運(yùn)算集合定義特征一組對(duì)象的全體形成一個(gè)集合確定性、互異性、無(wú)序性表示法分類列舉法1,2,3,、描述法x|P、圖示法有限集、無(wú)限集數(shù)集關(guān)系自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R、正整數(shù)集N、空集屬于、不屬于、包含于、真包含于、子集、真子集運(yùn)算性質(zhì)交集 ABx|xA且xB；并集 ABx|xA或xB；補(bǔ)集x|xA且xU，U為全集AA；A；假設(shè)AB，BC，那么AC；AAAAA； A；AA；ABAABBAB；ACA； ACAI；C( CA)A；C(AB)CACB方法韋恩示意圖數(shù)軸分析注意： 區(qū)別與、與 、a與a、與、(1,2)與1,2；屬于與不屬于的關(guān)系 AB時(shí)，A有兩種

2、情況：A與A 如果a²,a,0，那么a0，且a1元素的唯一性 是任何非空集合的真子集，和任何集合的子集。與是附屬關(guān)系 0是以0為元素的集合，不是空集。集合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)定義補(bǔ)充：真子集：如果A是B的子集，并且B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集。包含與真包含：B中的元素都屬于A，那么稱A包含B.B中的元素都屬于A且A中至少有一個(gè)元素不屬于B，那么稱A真包含B.不等式絕對(duì)值不等式一元二次不等式|x|>a (a>0) x>a或x<a；去絕對(duì)值|x|<a (a>0) a<x<a去絕對(duì)值形式：axbxc>0或axbxc<

3、;0 a0；解法：方程的根函數(shù)草圖觀察得解注意：含參數(shù)的不等式axbxc>0恒成立問(wèn)題含參不等式axbxc>0的解集是R； 方程：分a0(驗(yàn)證bxc>0是否恒成立)、a0a<0且<0兩種情況 不等式：分a=0，a0，a0三種情況集合A是空集，0 集合A只有一個(gè)元素，=0 集合A非空集，0不等式知識(shí)網(wǎng)絡(luò)2四種命題及充要條件一四種命題：1原命題：假設(shè)p那么q 逆命題：假設(shè)P那么q，即交換原命題的條件和結(jié)論； 否命題：假設(shè)q那么p，即同時(shí)否認(rèn)原命題的條件和結(jié)論； 逆否命題：假設(shè)P那么q，即交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否認(rèn)2四個(gè)命題的關(guān)系： 原命題為真，它的逆命題不一

4、定為真； 原命題為真，它的否命題不一定為真； 原命題為真，它的逆否命題一定為真原命題假設(shè)p那么q逆命題假設(shè)q那么p否命題假設(shè)那么q逆否命題假設(shè)那么互逆互互互為互否逆逆否否否否否兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性。原命題與逆否命題；逆命題與否命題同真同假 兩個(gè)命題互為逆命題或否命題，他們的真假性沒(méi)有關(guān)系 原命題和逆否命題為等價(jià)命題如果原命題成立，逆否命題成立逆命題和否命題為等價(jià)命題，如果逆命題成立，否命題成立 命題的否認(rèn)形式與原命題互異二充分條件與必要條件1“假設(shè)那么是真命題，記做， “假設(shè)那么為假命題，記做，2假設(shè)，那么稱是的充分條件，是的必要條件 假設(shè)，且，那么稱是的充要條件；3假設(shè)的

5、充分條件是，那么； 假設(shè)的必要條件是，那么注意：注意區(qū)分“命題的否認(rèn)與“否命題這兩個(gè)不同的概念。命題的否認(rèn)為“非，記作，一般只是否認(rèn)命題的結(jié)論，否命題是對(duì)原命題“假設(shè)那么既否認(rèn)它的條件，又否它的結(jié)論。3邏輯連結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞一全稱量詞與存在量詞含有一個(gè)量詞的全稱命題的否認(rèn)，有下面的結(jié)論：全稱命題：，它的否認(rèn)：全稱命題的否認(rèn)是存在性命題。含有一個(gè)量詞的存在性命題的否認(rèn)，有下面的結(jié)論：存在性命題：，它的否認(rèn)：存在性命題的否認(rèn)是全稱命題二邏輯聯(lián)結(jié)詞：1命題是可以判斷真假的語(yǔ)句的語(yǔ)句，其中判斷為正確的稱為真命題，判斷為錯(cuò)誤的為假命題如果不易判斷命題真假，可由它的逆否命題判斷。2邏輯聯(lián)結(jié)詞有“或

6、、“且、“非3不含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題，叫做簡(jiǎn)單命題，由簡(jiǎn)單命題再加上一些邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題叫復(fù)合命題4真值表：pq非pp且qP或q真真假真真真假假真假真真假真假假假假5關(guān)鍵詞的否認(rèn)關(guān)鍵詞大小于是有全部任何，所有的至少有一個(gè)至多有一個(gè)對(duì)任意使真否認(rèn)不大小于不是無(wú)不全，不都某些，有幾個(gè)一個(gè)也沒(méi)有至少有兩個(gè)存在使假關(guān)鍵詞p且q且=都是至多有N個(gè)任意N個(gè)否認(rèn)p或q或不都是至少有N+1個(gè)存在N個(gè)函數(shù)1函數(shù)及其表示一函數(shù)的概念1映射：設(shè)A、B兩個(gè)非空集合，如果按照某中對(duì)應(yīng)法那么，對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素，在集合B中都有唯一的一個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)就稱為從集合A到集合B的映射2函數(shù)：在某種變化過(guò)程

7、中的兩個(gè)變量、，對(duì)于在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法那么，都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么稱是的函數(shù)，記做，其中稱為自變量，變化的范圍叫做函數(shù)的定義域，和對(duì)應(yīng)的的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的變化范圍叫做函數(shù)的值域3函數(shù)三要素：定義域值域?qū)?yīng)關(guān)系二函數(shù)的表示：解析法圖像法列表法解析式：1根據(jù)對(duì)應(yīng)法那么的意義求函數(shù)的解析式；例如：，求函數(shù)的解析式2函數(shù)的解析式一般形式，求函數(shù)的解析式；例如：是一次函數(shù)，且，函數(shù)的解析式3注明定義域分段函數(shù)三函數(shù)的定義域樹(shù)立定義域優(yōu)先的思想1根據(jù)給出函數(shù)的解析式求定義域：含有絕對(duì)值的不等式分段求解|f(x)|+g(x)0 f(x)0 或 f(x)0 f(x)+g

8、(x)0 -f(x)+g(x)0 整式： 分式：分母不等于0 偶次方根：被開(kāi)方數(shù)大于或等于0 含0次冪、負(fù)指數(shù)冪：底數(shù)不等于0 對(duì)數(shù)：底數(shù)大于0且不等于1，真數(shù)大于0 三角函數(shù)中的y=tanx：xk+k/2(kZ)2根據(jù)對(duì)應(yīng)法那么的意義求函數(shù)的定義域：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，求函數(shù)fg(x)的定義域，只需g(x)D例：定義域?yàn)?，求定義域；函數(shù)fg(x)的定義域，求函數(shù)f(x)的定義域，只需xy|y=g(x)，即g(x)的值域例：定義域?yàn)?，求定義域；3實(shí)際問(wèn)題中，根據(jù)自變量的實(shí)際意義決定的定義域六難點(diǎn)1沒(méi)有告訴定義域同對(duì)應(yīng)法那么y=f(x)中括號(hào)內(nèi)范圍相同同對(duì)立法那么2相同函數(shù) 定義域相同 對(duì)

9、應(yīng)法那么相同 恒等變換含有絕對(duì)值的不等式分段求解|f(x)|+g(x)0 f(x)0 或 f(x)0 f(x)+g(x)0 -f(x)+g(x)0含有絕對(duì)值的不等式分段求解|f(x)|+g(x)0 f(x)0 或 f(x)0 2函數(shù)的根本性質(zhì)一 函數(shù)的單調(diào)性1單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2 當(dāng)x1<x2時(shí),都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就說(shuō)函數(shù)fx在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是自左向右看圖象是注意：判斷單

10、調(diào)性 定義法 兩個(gè)增(減)函數(shù)的和仍為增(減)函數(shù)；一個(gè)增(減)函數(shù)與一個(gè)減(增)函數(shù)的差是增函數(shù) 奇函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上具有相反的單調(diào)性 導(dǎo)數(shù)2單調(diào)區(qū)間的定義假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)fx在這一區(qū)間上具有嚴(yán)格的單調(diào)性，區(qū)間D叫做fx的單調(diào)區(qū)間. 3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：對(duì)于復(fù)合函數(shù)，設(shè)，那么，可根據(jù)它們的單調(diào)性確定復(fù)合函數(shù)，具體判斷如下表增增減減增減增減增減減增假設(shè)均為某區(qū)間上的增減函數(shù)，那么在這個(gè)區(qū)間上也為增減函數(shù)假設(shè)為增減函數(shù)，那么為減增函數(shù)假設(shè)與的單調(diào)性相同，那么是增函數(shù)；假設(shè)與的單調(diào)性不同，那么是減函數(shù)。奇函數(shù)在對(duì)稱

11、區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比擬大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。4判斷單調(diào)性的常用方法1定義法2兩個(gè)增減函數(shù)的和仍為增減函數(shù)；一個(gè)增減函數(shù)與一個(gè)增減函數(shù)的差仍為增減函數(shù)。3奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上具有相同單調(diào)性，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上具有相反的單調(diào)性。4利用導(dǎo)函數(shù)二 函數(shù)的最值前提 設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足 條件 于任意xI，都有f(x)M； 存在x0I,使得f(xo)=M 于任意xI，都有f(x)M 在x0I,使得f(xo)M結(jié)論 M為最大值 M為最小值 三函數(shù)的奇偶性1判斷函數(shù)奇偶性的步驟：判斷函數(shù)的定義域

12、是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果對(duì)稱可進(jìn)一步驗(yàn)證，如果不對(duì)稱；驗(yàn)證與的關(guān)系，假設(shè)滿足，那么為奇函數(shù)，假設(shè)滿足，那么為偶函數(shù)，否那么既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)2性質(zhì)：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱3、分別是定義在區(qū)間、上的奇偶函數(shù)，分別根據(jù)條件判斷以下函數(shù)的奇偶性奇奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶偶偶4如果一個(gè)奇函數(shù)在處有定義，那么，如果一個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，那么反之不成立。奇偶函數(shù)之和差為奇偶函數(shù)；之積商為偶函數(shù)。一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積商為奇函數(shù)。5一次函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是； 二次函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是 假設(shè)a0，b0時(shí)，那么非奇非偶；假設(shè)b0，a=c=0時(shí)，該正比例

13、函數(shù)是奇函數(shù)4、兩個(gè)函數(shù)和復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。5、假設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么可以表示為，該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和。6判斷奇偶性的常用方法函數(shù)的定義域，看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，假設(shè)不對(duì)稱，那么該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)假設(shè)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)表達(dá)式能化簡(jiǎn)的，那么對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)，以便于判斷利用定義域進(jìn)行等價(jià)變形判斷分段函數(shù)應(yīng)分段討論，要注意根據(jù)x的范圍取得相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式或者利用圖像判斷3二次函數(shù)與冪函數(shù)一定義一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系： y=ax2+

14、bx+ca0，那么稱y為x的二次函數(shù)。二二次函數(shù)的三種表達(dá)式 一般式：y=ax2+bx+ca0頂點(diǎn)式：y=a(x-h) 2+ka0，此時(shí)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Ph，k，適用于頂點(diǎn)坐標(biāo)和最大最小值交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)a0僅用于函數(shù)圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，x1、x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為Ax1，0和 Bx2，0，對(duì)稱軸所在的直線為注：在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中，有如下關(guān)系：，； =；三二次函數(shù)的圖像 從圖像可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，屬于軸對(duì)稱圖形。四拋物線的性質(zhì)1拋物線是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸為直線，對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)b=0時(shí)，拋

15、物線的對(duì)稱軸是y軸即直線x=02拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P，。 當(dāng)時(shí)，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y有最小值；當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y有最大值。當(dāng)時(shí)，P在y軸上即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0；當(dāng)= b2-4ac=0時(shí)，P在x軸上即函數(shù)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)。3二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小即形狀。 當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)a0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。|a|越大，那么拋物線的開(kāi)口越小。對(duì)于兩個(gè)拋物線，假設(shè)形狀相同，開(kāi)口方向相同，那么a相等；假設(shè)形狀相同，開(kāi)口方向相反，那么a互為相反數(shù)。4二次項(xiàng)系數(shù)a和一次項(xiàng)系數(shù)b共同決定對(duì)稱軸的位置，四字口訣為“左同右異，即：當(dāng)對(duì)稱軸在y軸左邊時(shí)，a與b同號(hào)即ab0； 當(dāng)對(duì)

16、稱軸在y軸右邊時(shí)，a與b異號(hào)即ab0。 5常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置，拋物線與y軸交于點(diǎn)0，c。6實(shí)根分布拋物線y=ax2+bx+ca0與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程ax2+bx+c=0的根的判定方法：= b2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根；= b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根。 = b2-4ac0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，對(duì)應(yīng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。 分布：替換0滿足根在a的右側(cè)0，左側(cè)0五二次函數(shù)與一元二次方程 特別地，二次函數(shù)以下稱函數(shù)y=ax2+bx+ca0，當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0

17、，此時(shí)，函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。參考四-6六常用的計(jì)算方法：1求解析式的時(shí)候：實(shí)根分布假設(shè)給定三個(gè)普通點(diǎn)的坐標(biāo)，那么設(shè)為一般式y(tǒng)=ax2+bx+ca0，分別將三點(diǎn)坐標(biāo)代入組成三元一次方程組，然后解此方程組求出a、b、c，再代回設(shè)的一般式中即可求出解析式；假設(shè)給定有頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸、最值，那么設(shè)為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+ka0，再找一點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a，再代回設(shè)的頂點(diǎn)式即可求出解析式；假設(shè)給定有與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，那么設(shè)為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)a0，再找一點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出a，再代回設(shè)的交點(diǎn)式即可求出解析式。以上方法特別要注意括

18、號(hào)內(nèi)的正負(fù)號(hào)。2假設(shè)求函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，讓y=0，解一元二次方程所得的根就是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；3假設(shè)求函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，用配方的方法或者直接套用頂點(diǎn)坐標(biāo)的公式；4假設(shè)求函數(shù)的最大值或者最小值，也可以用配方的方法或者直接套用最值的公式同頂點(diǎn)坐標(biāo)。5當(dāng)需要判定函數(shù)y=ax2+bx+ca0與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，需判定方程ax2+bx+c=0的<0，同理，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，=0，與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，>0。對(duì)的判定方法仍然是用配方的方法。 6二次函數(shù)y=ax2+bx+c不妨設(shè)a0在區(qū)間m，n上的最大值或最小值(1)當(dāng)，即對(duì)稱軸在所給區(qū)間內(nèi)時(shí)，的最小值在對(duì)稱軸處取得，其值是，的最大值在離對(duì)稱軸較

19、遠(yuǎn)的端點(diǎn)處取得，它是、中的較大者2當(dāng)，即給定的區(qū)間在對(duì)稱軸的一側(cè)時(shí)，是單調(diào)函數(shù)。假設(shè)，在上是增函數(shù)，的最小值是，最大值是，假設(shè)，在上是減函數(shù)，的最小值是，最大值是七冪函數(shù)的概念1冪函數(shù)的定義：函數(shù)叫做冪函數(shù)。其中是常數(shù)，是自變量。冪函數(shù)的定義域由的值確定。2冪函數(shù)的圖像：1圖像都經(jīng)過(guò)點(diǎn)1，1和第一象限；2>0時(shí)圖像過(guò)原點(diǎn)0，0；<0時(shí)圖像不過(guò)遠(yuǎn)點(diǎn)；3在第一象限內(nèi)，當(dāng)<0時(shí)圖像向上無(wú)限接近y軸，向右無(wú)限接近x軸；當(dāng)0<<1時(shí)圖像向上凸起；當(dāng)>1時(shí)圖像向下凸起。3冪函數(shù)的性質(zhì)：1單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間0，+上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間0，+上是減函數(shù)。2奇偶性：設(shè)當(dāng)都

20、是奇數(shù)時(shí)，它是奇函數(shù)；當(dāng)是偶數(shù)是奇數(shù)時(shí)，它是偶函數(shù)；是奇數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它非奇非偶。八冪函數(shù)圖象特征：1當(dāng)時(shí)，在第一象限內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞減，圖象為凹的曲線；2當(dāng)時(shí)，圖象是一條不包括點(diǎn)0，1的直線；3當(dāng)時(shí)，在第一象限內(nèi)，圖象單調(diào)遞增，圖象為凸的曲線；4當(dāng)時(shí)，圖象是一、三象限的角平分線；5當(dāng)時(shí)，在第一象限內(nèi)，圖象單調(diào)遞增，圖象為凹的曲線.6冪函數(shù)圖象不經(jīng)過(guò)第四象限；7當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)0，0和點(diǎn)1，18如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸沒(méi)有交點(diǎn)，那么；9如果冪函數(shù)、都是正整數(shù)，且、互質(zhì)的圖象不經(jīng)過(guò)第三象限，那么可取任意正整數(shù)，、中一個(gè)為奇數(shù)，另一個(gè)為偶數(shù).4 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一指數(shù)的概念1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式

21、：如果，那么稱是的次方根，的次方根為0，假設(shè)，那么當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的次方根有1個(gè)，記做；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)沒(méi)有次方根，正數(shù)的次方根有2個(gè)，其中正的次方根記做負(fù)的次方根記做1負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；2兩個(gè)關(guān)系式：；3正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：；，且 正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：，且4分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)： ； ； ； ； ，其中、均為有理數(shù)，均為正整數(shù)5指數(shù)運(yùn)算法那么：1；2；3二指數(shù)的圖像函數(shù)指數(shù)函數(shù)定義域值域圖象性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)減函數(shù)增函數(shù)奇偶性非奇非偶注意：恒成立問(wèn)題（1） 函數(shù)y=f(x),假設(shè)f(x)b恒成立，f(x)minb（2） 相反，f(x)a恒成立，f(x)maxa5 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一對(duì)數(shù)及其運(yùn)算

22、1定義：假設(shè)，且，那么2指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：.3三條性質(zhì)： 1的對(duì)數(shù)是0，即； 底數(shù)的對(duì)數(shù)是1，即； 負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)4四條運(yùn)算法那么： ； ； ； 5其他運(yùn)算性質(zhì)：1 對(duì)數(shù)恒等式：；2 對(duì)數(shù)的換底公式 (,且,且,).推論 (,且,且,).6. 設(shè)函數(shù),記.假設(shè)的定義域?yàn)?那么，且;假設(shè)的值域?yàn)?那么，且.對(duì)于的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).三 對(duì)數(shù)的圖像函數(shù)對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)定義域值域圖象性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)減函數(shù)增函數(shù)奇偶性非奇非偶6 函數(shù)的圖像 將圖像上每一點(diǎn)向上或向下平移個(gè)單位，將圖像上每一點(diǎn)向左或向右平移個(gè)單位，將圖像上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)拉伸或壓縮為原來(lái)的倍，將圖像上的每一點(diǎn)縱橫坐標(biāo)保持不變，橫坐

23、標(biāo)壓縮或拉伸為原來(lái)的，關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱去負(fù)翻正將位于軸下方的局部沿軸對(duì)稱到上方，可得的圖像7 函數(shù)的值域與最值 一函數(shù)的值域：函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域，求值域必須在其定義域內(nèi)進(jìn)行。二常見(jiàn)函數(shù)的值域名稱解析式值域一次函數(shù)二次函數(shù)時(shí)，時(shí)，反比例函數(shù)，且指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)四 函數(shù)的最值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：1 對(duì)于任意的xI，都有f(x)M，且存在x0I，使得f(x0)=M，那么M就是函數(shù)y=f(x)的最大值2 對(duì)于任意的xI，都有f(x)M，且存在x0I，使得f(x0)=M，那么M就是函數(shù)y=f(x)的最小 值五 求值域的方法1配方法：

24、對(duì)于求二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為形如的函數(shù)的值域最值一類問(wèn)題，我們常常可以通過(guò)配方法來(lái)進(jìn)行求解.2換元法：通過(guò)引入一個(gè)或多個(gè)新變量或代數(shù)式代替原來(lái)的變量或代數(shù)式或超越式，通過(guò)換元，我們常?？梢曰叽螢榈痛?、化分式為整式、化無(wú)理式為有理式、化超越式為代數(shù)式等，這樣我們就能將比擬復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化成易于求值域的函數(shù)進(jìn)行求解.3單調(diào)性法：對(duì)于形如、為常數(shù)，或者形如而使用不等式法求值域卻未能湊效的函數(shù)，我們往往可以考慮使用單調(diào)性法.4判別式法：一般地，形如、的函數(shù)，我們可以將其轉(zhuǎn)化為的形式，再通過(guò)求得的范圍.但當(dāng)函數(shù)為指定區(qū)間上的函數(shù)時(shí)，用判別式法求出的范圍后，應(yīng)將端點(diǎn)值代回到原函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，防止發(fā)生錯(cuò)誤.5數(shù)形

25、結(jié)合法2.8 函數(shù)與方程一函數(shù)的零點(diǎn)1如果函數(shù)y=f(x)在實(shí)數(shù)a處的值等于零，即f(a)=0，那么a叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)2函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)的就是方程f(x)=g(x)的實(shí)根；即函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)二零點(diǎn)存在定理1在閉區(qū)間a,b上連續(xù)2f(a)·f(b)0三二分法第一步：確定區(qū)間a,b，驗(yàn)證f(a)·f(b)0，給定精確度第二步：求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)x1第三步：計(jì)算f(x1) 假設(shè)f(x1)=0，那么x1就是函數(shù)的零點(diǎn) 假設(shè)f(a)·f(x1)0，那么令b=x1此時(shí)零點(diǎn)x0(a,x1) 假設(shè)f(x1)·f(b

26、)0，那么令a=x1此時(shí)零點(diǎn)x0(x1,b)此時(shí)長(zhǎng)度減半了的新區(qū)間(a,b)第四步：判斷是否到達(dá)精確度，即假設(shè)|a-b|，那么得到零點(diǎn)或近似值a(b)，否那么重復(fù)二、三、四部立體幾何1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖 一柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征二斜二測(cè)畫(huà)法： 原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變；原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。2 空間幾何體的外表積與體積一體積公式：柱體： 圓柱體： 圓錐體： 錐體： 球體：圓臺(tái)和棱臺(tái)：，其中和分別為上、下底面積，為高二側(cè)面積：圓柱側(cè)面積： 圓柱外表積圓錐側(cè)面積： 圓錐外表積圓臺(tái)側(cè)面積 圓臺(tái)外表積球的外表積：三幾個(gè)根本公式：弧長(zhǎng)公式

27、：是圓心角的弧度數(shù)，>0； 扇形面積公式：3 直線、平面平行的判定和性質(zhì)一直線與平面平行1判定定理如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。線面平行線線平行 直線a在平面外直線b在平面內(nèi)兩直線a、b平行2性質(zhì)定理一條直線和一個(gè)平面平行，那么過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行線面平行線線平行二平面與平面平行1判定定理判定定理1：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行線面平行面面平行判定定理2：如果兩個(gè)平面同垂直于一條直線，那么這兩個(gè)平面平行判定定理3：平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行2性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三

28、個(gè)平面相交，那么它們的交線平行面面平行線線平行三證明方法1證明直線與直線的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無(wú)交點(diǎn)；2轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；3轉(zhuǎn)化為線面平行；4轉(zhuǎn)化為線面垂直；5轉(zhuǎn)化為面面平行.2證明直線與平面的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為直線與平面無(wú)公共點(diǎn)；2轉(zhuǎn)化為線線平行；3轉(zhuǎn)化為面面平行.3證明平面與平面平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定二平面無(wú)公共點(diǎn)；2轉(zhuǎn)化為線面平行；3轉(zhuǎn)化為線面垂直.4直線、平面垂直的判定和性質(zhì)一直線與平面垂直1判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面2.性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行性質(zhì)定理2如果兩條平行線

29、中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面二平面與平面垂直1判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直線面垂直面面垂直2 性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線必垂直于另一個(gè)平面性質(zhì)定理2：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直線，在第一個(gè)平面內(nèi)三點(diǎn)到面的距離1.過(guò)平面外一點(diǎn)A平面引垂線，那么點(diǎn)A和垂足BA在上的正射影之間的距離叫做點(diǎn)A到平面的距離2.求點(diǎn)到平面的距離的關(guān)鍵是確定垂足的位置，然后通過(guò)解三角形求值。有時(shí)把點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐的高，用等體積法求解四直線與平面所成角1.平面的一條

30、斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線斜線與這個(gè)平面所成的角。直線和平面所成角的范圍是2確定斜線和平面所成角的關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，其核心是找到斜線上異于斜足的一點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足五證明方法1證明直線與直線的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為相交垂直；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；3轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；4轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.2證明直線與平面垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；2轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；3轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；4轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面；5轉(zhuǎn)化為該直線與兩個(gè)垂直平面的交線垂直.3證明平面與平面的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判斷二

31、面角是直二面角；2轉(zhuǎn)化為線面垂直.平面向量1 平面向量與平面向量的線性運(yùn)算一向量的根本概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量可以用一條有向線段來(lái)表示2向量的長(zhǎng)度：向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度也稱為的模，記作3零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作，零向量的方向是任意的4單位向量：長(zhǎng)度等于1的向量叫做單位向量5平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量，也叫做共線向量，假設(shè)向量、平行，記作0與任一向量平行。6相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量二向量的加、減的法那么1兩個(gè)向量的和：向量、，平移向量，使的起點(diǎn)與的終點(diǎn)重合，那么以的起點(diǎn)為起點(diǎn)，的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量叫做向量與向量的和求

32、兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法2向量加法的三角形法那么：根據(jù)向量和的定義，以第一個(gè)向量的終點(diǎn)A為起點(diǎn)作第二個(gè)向量，那么以的起點(diǎn)O為起點(diǎn)，以的終點(diǎn)B為終點(diǎn)的向量就是與的和，這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的三角形法那么3向量加法的平行四邊形法那么：以同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個(gè)向量、為鄰邊作平行四邊形ABCD，那么以A為起點(diǎn)的對(duì)角線就是，這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法那么4向量加法運(yùn)算律： 交換律： 結(jié)合律：5相反向量：與向量方向相反的向量叫做的相反向量，記作規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量性質(zhì)： 6兩個(gè)向量的差：加上的相反向量叫做與的差，即：法那么：如下圖，向量、，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)

33、O，作，那么，即表示從向量的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量三實(shí)數(shù)與向量的積1實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反2實(shí)數(shù)與向量的積所滿足的運(yùn)算律：設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么：；2平面向量的根本定理及坐標(biāo)運(yùn)算一平面向量根本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使二平面向量的坐標(biāo)：1概念：分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量、作為基底，對(duì)于一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使得，那么稱為向量的坐標(biāo)，記做2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算： 設(shè)，那么： ； ； 假設(shè)點(diǎn)，那么3.向量平行共線的坐標(biāo)表示1

34、向量與共線的充要條件是2向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得3平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律1兩個(gè)向量的夾角：兩個(gè)非零向量，作，那么叫做向量與的夾角當(dāng)時(shí)，與同向；當(dāng)時(shí)，與反向，如果與的夾角是時(shí)，那么稱與垂直，記作2兩個(gè)向量的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，那么數(shù)量叫做與的數(shù)量積，記作，即：規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即3向量數(shù)量積的幾何意義：叫做向量在方向上的投影，其中當(dāng)為銳角時(shí)，它是正值，當(dāng)為鈍角時(shí)，它是負(fù)值，當(dāng)時(shí)，它是0，當(dāng)時(shí)，它是的幾何意義是：數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積4向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)、都是非零向量，是與的夾角，那么：是與方向相同的單位向量 當(dāng)

35、與同向時(shí)，； 當(dāng)與反向時(shí)，；特殊的，或者5向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：；6向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算： 設(shè)，那么 假設(shè)向量，垂直的充要條件是2 假設(shè)，那么3 設(shè)，那么三角函數(shù)1三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式一角度與弧度制1弧度與角度的互化：2終邊相同角：與角有相同終邊的角的集合可以表示為：3特殊角的集合： 各個(gè)象限的角的集合 第一象限角： 第二象限角： 第三象限角： 第四象限角： 角的終邊在各個(gè)坐標(biāo)軸上的角的集合 終邊在軸的角： 終邊在軸的角： 終邊在坐標(biāo)軸上的角： 終邊在第一三象限角平分線上： 終邊在第二四象限角平分線上：4弧長(zhǎng)公式和扇形面積公式 設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，那么弧長(zhǎng)，扇形的

36、面積二任意角三角函數(shù)的定義：1定義：以角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，始邊為軸的非負(fù)半軸建立直角坐標(biāo)系。在角的終邊上任取不同于原點(diǎn)的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)與原點(diǎn)的距離為，那么，那么角的六個(gè)三角函數(shù)依次為：， ， ， ， 2三角函數(shù)的定義域與值域：定義域值域RRR3三角函數(shù)值的符號(hào)：4三角函數(shù)線正弦線、余弦線正切線以角的終邊與單位圓的公共點(diǎn)作軸的垂線軸，垂足為，那么過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交的終邊或終邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，那么：5同角三角函數(shù)根本關(guān)系式： 商數(shù)關(guān)系：、平方關(guān)系：6三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：，口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限，口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限7.誘導(dǎo)公式可簡(jiǎn)單的概括為：“奇變偶不變，符號(hào)看象限，其中“奇變偶不變的含義為

37、：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的三角函數(shù)值為的余函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的三角函數(shù)值為的原函數(shù)；“符號(hào)看象限的含義為在的三角函數(shù)前加上一個(gè)把看作銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào).8特殊角的值0sin01cos10tan01不存在2 三角恒等變換一根本公式：二兩角和與差的正切公式的變形：三二倍角與余弦的變形應(yīng)用1升冪 2降冪 四二倍角與正弦的變形應(yīng)用3 三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)一正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像：1正弦函數(shù)2余弦函數(shù)2正切函數(shù)函 數(shù)名 稱正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)定義域RR值 域R最 值最小正周 期奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱軸對(duì) 稱中 心單調(diào)性增減二三角函數(shù)圖像的根本概念函數(shù)的最大值是，最小值是，周期是，頻率是，相位是

38、，初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線，但凡該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。三三角函數(shù)的圖象變換：1：將圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)拉伸或壓縮為原來(lái)的倍得到2：將圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)壓縮或拉伸為原來(lái)的倍得到3：將的圖象向右或向左平移個(gè)單位得到4函數(shù)的圖象可以看作是由函數(shù)的圖象分別經(jīng)過(guò)下面的兩種方法得到： 將的圖象向左或向右平移個(gè)單位，可得到函數(shù)圖象； 將得到圖象點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)壓縮或拉伸為原來(lái)的倍，得到函數(shù)圖象； 將新圖象各點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)拉伸或壓縮為原來(lái)的倍，可得函數(shù)圖象 將圖象點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)壓縮或拉伸為原來(lái)的倍，可以得到函數(shù)圖象； 將得到的圖象向

39、左或向右平移個(gè)單位就得到函數(shù)圖象； 將新的圖象各點(diǎn)橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)拉伸或壓縮為原來(lái)的倍，可得函數(shù)的圖象老師推薦振幅變化周期變化相位變化四形如的函數(shù)圖像的畫(huà)法 五點(diǎn)法，即根據(jù)分別取、時(shí)對(duì)應(yīng)的與的值描點(diǎn)作出的一個(gè)周期的圖像4解三角形一正弦定理： 在一個(gè)三角形中，各邊和他所對(duì)角的正弦的比都等于該三角形外接圓的直徑，即二余弦定理：三角形任意一邊的平方等于其他兩邊的平方減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍即：推論：；三相關(guān)結(jié)論：在中，角、所對(duì)的邊分別為、， ， ， ， 根據(jù)正弦定理：， 三角形面積公式： 三角形的面積等于三角形任意一邊與對(duì)應(yīng)邊上的高的乘積的一半，即： 三角形的面積等于三角形的任意兩

40、邊與其夾角的正弦值乘積的一半，即：5 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用三角方法求最值的常見(jiàn)函數(shù) 變正弦變余弦導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算一 在處的導(dǎo)數(shù)二函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是.三 幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)C為常數(shù).(2).(3).(4). (5) ；.(6) ;.四 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么1.2.3.2.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一極值、最值的概念1.極值 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義,是區(qū)間內(nèi)的一個(gè)點(diǎn),如果對(duì)于點(diǎn)附近的任意點(diǎn),都成立,那么稱是函數(shù)的一個(gè)極大值；如果對(duì)于點(diǎn)附近的任意點(diǎn),都成立,那么稱是函數(shù)的一個(gè)極小值。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)2.

41、最值 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取得的最大的函數(shù)值叫做函數(shù)的最大值；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取得的最小的函數(shù)值叫做函數(shù)的最小值。最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。二用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值及閉區(qū)間上的最值1. 多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的判別法(1) 如果在內(nèi)，那么函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，此時(shí)的叫做單調(diào)增區(qū)間；(2) 如果在內(nèi)，那么函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減加，時(shí)的叫做單調(diào)減區(qū)間。2. 多項(xiàng)式函數(shù)極值的判別法設(shè)假設(shè)，那么點(diǎn)叫做函數(shù)的駐點(diǎn)(1) 如果時(shí)，；時(shí)，那么函數(shù)在處取得極大值。圖6.3(2) 如果時(shí)，；時(shí)，那么函數(shù)在處取得極小值。圖6.3(3) 如果的兩側(cè)，具有相同的符號(hào)，那么函數(shù)在處不取得極值。圖6.33. 求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間、極值

42、的步驟：(1) 求；(2) 令，求出駐點(diǎn)；(3) 分析各駐點(diǎn)是不是極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)；(4) 極大值點(diǎn)左側(cè)緊鄰單調(diào)增區(qū)間，右側(cè)緊鄰單調(diào)減區(qū)間；極小值點(diǎn)左側(cè)緊鄰單調(diào)減區(qū)間，右側(cè)緊鄰單調(diào)增區(qū)間；(5) 將各極值點(diǎn)代入即可得各個(gè)極值。數(shù)列1.數(shù)列的概念及其表示一數(shù)列的概念1. 數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)2. 數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)3. 有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列4. 無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列5. 遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列6. 遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列7. 常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列8. 擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)

43、，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列二數(shù)列的表示1. 數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系的公式2. 數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)或前幾項(xiàng)間的關(guān)系的公式3. 如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差4. 由三個(gè)數(shù)，組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，那么稱為與的等差中項(xiàng)假設(shè)，那么稱為與的等差中項(xiàng)5. 數(shù)列的前項(xiàng)和：6. 與的關(guān)系：2.等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和一等差數(shù)列的概念定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d

44、表示。二等差數(shù)列的判定方法1 定義法：對(duì)于數(shù)列，假設(shè)(常數(shù))，那么數(shù)列是等差數(shù)列。 2等差中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，假設(shè)，那么數(shù)列是等差數(shù)列。三等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，那么等差數(shù)列的通項(xiàng)為。假設(shè)、，那么說(shuō)明該公式整理后是關(guān)于n的一次函數(shù)。四等差數(shù)列的前n項(xiàng)和1 2.說(shuō)明對(duì)于公式2整理后是關(guān)于n的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)。五等差中項(xiàng)如果，成等差數(shù)列，那么叫做與的等差中項(xiàng)。即：或說(shuō)明：在一個(gè)等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；事實(shí)上等差數(shù)列中某一項(xiàng)為哪一項(xiàng)與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)。六等差數(shù)列的性質(zhì)1等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等

45、差數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，公差為，那么有對(duì)于等差數(shù)列，假設(shè)，那么。假設(shè)某幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列，那么對(duì)應(yīng)的項(xiàng)也成等差數(shù)列，即：假設(shè)假設(shè)，那么2也就是：，如下圖：3假設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等差數(shù)列。如以下圖所示：4設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是奇數(shù)項(xiàng)的和，是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和，是前n項(xiàng)的和，那么有如下性質(zhì)：前n項(xiàng)的和當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，其中d為公差；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，那么，其中是等差數(shù)列的中間一項(xiàng)。5假設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，那么。七證明數(shù)列是等差數(shù)列的方法：1利用定義證明：2利用等差中項(xiàng)證明：3利用通項(xiàng)公式證明：4利用前項(xiàng)和公式證明：注： 前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)使用的是倒序相加法

46、的方法 在數(shù)列中，通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式均是關(guān)于項(xiàng)數(shù)的函數(shù)，在等差數(shù)列通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)關(guān)系，前項(xiàng)和公式是關(guān)于的沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)關(guān)系 在等差數(shù)列中包含、這五個(gè)根本量，上述的公式中均含有4根本量，因此在數(shù)列運(yùn)算中，只需知道其中任意3個(gè)，可以求出其余根本量2.等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和一等比數(shù)列的概念定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。二等比中項(xiàng)如果在與之間插入一個(gè)數(shù)，使，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)。也就是，如果是的等比中項(xiàng)，那么，即。三等比數(shù)列的判定方法1 定義法：對(duì)于數(shù)列，假設(shè)，

47、那么數(shù)列是等比數(shù)列。 2等比中項(xiàng)：對(duì)于數(shù)列，假設(shè)，那么數(shù)列是等比數(shù)列。四等比數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，那么等比數(shù)列的通項(xiàng)為。五等比數(shù)列的前n項(xiàng)和當(dāng)時(shí)，六等比數(shù)列的性質(zhì)1等比數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系：如果是等比數(shù)列的第項(xiàng)，是等差數(shù)列的第項(xiàng)，那么有對(duì)于等比數(shù)列，假設(shè)，那么假設(shè)某幾項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列，那么對(duì)應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列，即：假設(shè)，那么也就是：。如下圖：4假設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和，那么，成等比數(shù)列。如以下圖所示：3數(shù)列求和1常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和： 自然數(shù)數(shù)列：1，2，3，n， 奇數(shù)列：1，3，5， 偶數(shù)列：2，4，6， 自然數(shù)平方數(shù)列：， 2等差、等比數(shù)列：利用等差、等比數(shù)列的求和公式3數(shù)列滿足：，其中、為等差或者等比數(shù)列方法：拆項(xiàng)，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)等差或等比各項(xiàng)的和差4數(shù)列滿足：，其中是公差為的等差數(shù)列；是公比為的等比數(shù)列方法：錯(cuò)位相減 5假設(shè)數(shù)列滿足：，其中、均為常數(shù)方法：裂項(xiàng)法，設(shè)，其中為可確定的參數(shù)不等式1不等式的概念和性質(zhì)、根本不等式一兩個(gè)實(shí)數(shù)比擬大小的依據(jù)：二反對(duì)稱性：如果，那么；如果，那么三傳遞性：如果，且，那么四加法性質(zhì)：如果，那么 推論1：如果，那么 推論2：如果，那么 推論3：如果，那么五乘法性質(zhì)：如果，那么； 如果，那么 推論1：如