二重積分部分練習(xí)題

1、二重積分局部練習(xí)題 日期:題目局部,卷面共有10 0題,40 5 . 0分,各大題標(biāo)有題量和總分 一、選擇16小題,共53 .0分2 分1 3分2二重積分xydxdy (其中 D ：ow y< x2, o< x< 1)的值為1(A)-61(D )4( )(3 分)3 假設(shè)區(qū)域 D 為 Ow ywx2, |x | <2,那么 xy2dxdyD(A) 0;647(D) 25 6答f是區(qū)域)x|+| y |f(x2, y2)dxdyDf (x2, y2)dxdyDi(A)2(B )4(C) 83分4 設(shè)Di是由ox軸,oy軸及直線x+ y= 1所圈成的有界閉域, w1上的連續(xù)

2、函數(shù),那么二重積分01 x2dx1x 1(A)1dy0 J(B)1 '0dy(C)1 ydy0 1(D)2dy '0 1f (x, y)dy(3 分)6y 121 f(x,y)dx 1 dyy 1f(x, y)dx11 - 2f(x, y)dx 1 dy2 1f (x, y)dx答上連續(xù),那么二重積分答3分5 設(shè)fx,y 是連續(xù)函數(shù),那么二次積分-y2 11 f(x, y)dx1 f (x, y)dx設(shè)函數(shù)f X ,y在區(qū)域D : y 2 w -xf x, ydxdy可化累次積分為D(A)1(C) 0dy0x2匸 f(x,y)dyy2y f (x,y)dx(D)X201dx x

3、 f (x,y)dy1y20dy yf(x,y)dx(B )(3分)7 設(shè)f (x,y)為連續(xù)函數(shù),那么二次積分1°dy1 2 f (x, y)dx可交換積分次序?yàn)?2y ,1(A) dx0a'2x0 f (x,y)dy3dx1f (x,y)dy1(B) o2dx、阪0 f (x, y)dy、21 dx210 f(x,y)dy.3dx.3 x20 f (x,y)dy1(C) 0dx3 x2.2. f(x,y)dy2cos cossin2,r sin)rdr答()(3分)8設(shè)f (x, y)為連續(xù)函數(shù),那么積分1 xdx0 022 xf (x,y)dy 1 dx 0 f (x,

4、y)dy可交換積分次序?yàn)?y2 2y(A) 0dy 0 f (x,y)dxdy1 0f (x,y)dx1x22 2x(B) 0dy 0 f(x,y)dxdy1 0f (x, y)dx12 y(C) dy _ f(x,y)dx1 2 x(D) 0dy x2 f(x,y)dx( )(4分)9假設(shè)區(qū)域D為(x-1) 2+ y 2w 1,那么二重積分f (x, y)dxdy化成累次積分為2cosD2cos(A)dF(r, )dr0 0(B)d0F(r, )dr(c)2cosd 0 F(r, )dr2(D)22cos2d00F(r, )dr其中F(r, 0 ) =f( r cos 0 , r sin 0

5、 )r.答()(3 分):1 0 假設(shè)區(qū)域D為x2+ y 2< 2x,那么一重積分(xyhx2y2 dxdy化成累次積分為sin2cos)J2r cos rdr2 d2cos(cos2(B )(cos0 sin(C )20(cossin(D)22 (cossino2)d)d)d2cos2cos(4 分)11設(shè) I1由 x=0, y =0, x(5 分)122(A)3(C)r3drr3drr3dry)7dxdy2(x y)7dxdy3Dln(xD1y ,x+y=1所圍成的區(qū)域,那么I1, |2,|3的大小順序是I 1< I 2 < I 3;(A)(C ) 1 1 < |3

6、<|2;(B)|3<| 2<|1；(D)|3V |1V |2.dxdy2 2|X| |y| 11 cos X sin y,那么I滿足(B )2 I 3(4分)1 3設(shè) x y1其中D是由直線x=0,2sin7(x y)dxdy其中 D 是D(D) 1 I 0及x+y = 1所圍成的區(qū)域,那么I 1,1 2, I 3的大小順序?yàn)镮 2< I 1;I 1 < I 3 <|2；(B) I 1 <|2< I 3 ；(D)I 3< I 1< I 2.(A ) I 3<(C)答3分1 4設(shè)有界閉域 D1與D2關(guān)于o y軸對(duì)稱,且D 1 n

7、D2= ,f x , y 是定義在D1U D 2 上的連續(xù)函數(shù),那么二重積分2f(x , y)dxdyD2(A) 2 f(x ,y)dxdyD12(B)4 f (x ,y)dxdyD2(D) -f (x, y)dxdy(3 分)15假設(shè)區(qū)域 D為x|wl,|y|wi ,那么xecos(xy) sin(xy)dxdyD(A) e;(B) e-1 ；(C )0；(D) n .答()(4 分)16 設(shè) D : x2+y2 w a2( a > 0),當(dāng) a = _ 時(shí),JOx2 dxdyDD答()二、填空(6小題,共21.0分)(4分)1設(shè)函數(shù)f( x, y )在有界閉區(qū)域 D上有界,把D任意分

8、成n個(gè)小區(qū)域厶d i(i=1,2, n),在每一個(gè)小區(qū)域厶d i任意選取一點(diǎn)(E i, n i),如果極限nli叫f( i, i) i (其中入是di(i=1, 2 ,n)的最大直徑)存在,那么稱此極0 i 1限值為 _的二重積分.(4分)2假設(shè)D是以(0 ,0 ), (1, 0)及(0 ,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,由二重積分的幾何意義知(1 x y)=_-.D(3 分)3 設(shè) D:0 y xa2 x2,0x 0,由二重積分的幾何意義知、a2 x2 y2 dxdy D(3 分)4設(shè) D: x2+y2< 4, y > 0,那么二重積分sin (x3y2)dD2 .(4分)5設(shè)區(qū)域D是x

9、 2+y2w 1與x + y2w 2x的公共局部,試寫(xiě)出 f(x,y)dxdy在極坐標(biāo)D系 下 先 對(duì)2cos° F(r, )dr212cos3d o F(r, )dr jd F(r, )dr _.33x),由二重積分的幾何意義知(3 分)6 設(shè) D:0W x< 1,0 w yW2(l y1 x dxdy =三、計(jì)算7 8小題,共33 1 .0分3分1設(shè)fx,y為連續(xù)函數(shù),交換二次積分2 y0dy iy fx, ydx的積分次序.3分2 設(shè)2yf x,y為連續(xù)函數(shù),交換二次積分2 2x0 dx x f x,ydyD的積分次序.3分3設(shè)f x ,y為連續(xù)函數(shù),交換二次積分0 01

10、dy _fx,ydx1y1 02dy的積分次序.(3分)4設(shè)f ( x, y)為連續(xù)函數(shù)1 1f (x, y)dx0dx 1 x2 f (x,y)dx,交換二次積分1inxfx,ydyedxi的積分次序.4分5 計(jì)算二重積分2x y dxdyD其中 D : 0< yW sinx,0< x< n .3分6計(jì)算二重積分xydxdyD其中D是由曲線y= x,直線y =0,x=2所圍成區(qū)域.3 分 7計(jì)算二重積分xydxdyD其中D為由y= x , y=2 x , x=4所圍成的區(qū)域.3分8計(jì)算二重積分xydxdyD其中 D : x< yw .疋 x,1 w x<2 .3

11、分9計(jì)算二重積分cosx ydxdyD其中D是由直線x=0,y= n和y= x圍成的區(qū)域.4分1 0計(jì)算二重積分2 2x y ydxdyD其中D是由直線y =x, y= x+1 , y =1及y=3所圍成的區(qū)域. 3分11計(jì)算二重積分x cos2xydxdy其中 D:0 x ,143分1 2 計(jì)算二重積分x ydxdyD其中D為由y=x, x =0,y= 1所圍成的區(qū)域.3分1 3計(jì)算二重積分x 6ydxdyD其中D是由直線y= x,y=5 x及x= 1所圍成的區(qū)域.3分1 4計(jì)算二重積分xydxdyD1其中D是由雙曲線y,直線y =x及x= 2所圍成的區(qū)域.x3分15計(jì)算二重積分dxdyD

12、x其中D是由直線y = 2x,y=x,x= 2及x=4所圍成的區(qū)域.3分16 計(jì)算二重積分y dxdyD其中 D:|x|+ |y|w 1.3分17計(jì)算二重積分xydD其中 D : |x |+|y|w 1.4分18 計(jì)算二重積分xy2 dxdy1其中 D： y x,1 x 2x4分19 計(jì)算二重積分x2 y2 dxdyD其中D是由直線y= x ,y=x+ a,y=a及y= 3a a >0所圍成的區(qū)域.4分2 0計(jì)算二次積分3 3 x0dx 02x ydy4分2 1 計(jì)算二重積分xydxdyD其中D是由y= x,x y =1, x = 3所圍成的區(qū)域.4分2 2計(jì)算二重積分x2 y2 xdx

13、dyD其中D是由y=2,y= x, y =2x所圍成的區(qū)域. 4分2 3 計(jì)算二重積分x 1ydxdyD其中D是由曲線x 1 y ,y=1 x及y=1所圍成的區(qū)域.4分24計(jì)算二重積分11 x4dxdy其中D是由y= x,y=O, x =1所圍成的區(qū)域.4分2 5計(jì)算二重積分xy2dxdyD其中D為工二/口7與x=0所圍成的區(qū)域.4分26計(jì)算二重積分xdxdyD1其中D是由拋物線y x2及直線y= x+ 4所圍成的區(qū)域.24分27計(jì)算二重積分ex ydxdyD其中D為由y= x , y = 0 ,x=1所圍成的區(qū)域.4分2 8 計(jì)算二重積分2ydxdyd y其中D是由曲線xy=1,y=x2與直

14、線x =2所圍成的區(qū)域.5分29計(jì)算二重積分24y sinxydxdyD其中D是由x= 0 ,y=x所圍成的區(qū)域.4分30計(jì)算二重積分x y2dxdyD其中 D:OW yw s i nx,5分31計(jì)算二重積分x2 y cos(xy2 )dxdyD其中D :0W yw 2 4分32計(jì)算二重積分x ydxdyD其中D是由拋物線y 、只及y =x2所圍成的區(qū)域.4分3 3 計(jì)算二重積分ydxdyD2b2»亠 x 其中Da4分34 計(jì)算二重積分xdxdyD其中 D:2 x y 1.15分3 5 計(jì)算二重積分x2,0 x 1r2drdD其中 D : acos ra,0尹0)24 x22 24分

15、36利用極坐標(biāo)計(jì)算二次積分2dx 0 x y dy5分37利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分arctg JdxdyD其中 D : K x2 + y2W 4,y> 0, yWx.4分3 8利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分y arctg dxdyx其中 D:a2w x2+ y 2<1, x >0,y> 0,a> 0, x=0 處廣義.5分3 9試求函數(shù)fx,y=2x+ y在由坐標(biāo)軸與直線 x+y=3所圍成三角形內(nèi)的平均值.6分4 0 試求函數(shù)fx, y =x+ 6 y在由直線y = x,y=5x和x=1所圍成三角形內(nèi)的平均 值.4分41由二重積分的幾何意義,求x2(一1 x2 y2y2 1

16、1)dxdy4分4 2計(jì)算二重積分xdxdyD其中 D : x2+y2 <2 及 x>y2.原式=i2屮1dy y2xdx0(2 y2 y4)dy2215(3分)43計(jì)算二重積分x2e dxdyD其中D是第一象限中由y =x和y= x3所圍成的區(qū)域.1 x2e dx 01 2x(xe0 1e 12xx3dy3 x2 .x e )dx(4 分)44 :xdxdyD計(jì)算二重積分其中D :x2+ ( y-1) 2>1 ,x2+(y-2)2<4 ,y<2 , x > 0.4y y22dy02°ydy2(5分)45計(jì)算二重積分xy2dxdyD其中 D:x2+

17、 y2< 5, x 1 > y2.(5分)4 6計(jì)算二重積分.2y y2 xdxxydxdyD2其中D是由x - 2 +y 2=1的上半圓和x軸所圍成的區(qū)域.34xxdxo3i x4xx2 3ydyi2434分47計(jì)算二重積分x y2 x2dxdyDx2 3dxD其中D是由直線x= 0 ,y=1及y=x所圍成的區(qū)域.3分4 8計(jì)算二重積分x3 y2dxdyD其中 D:x 2 +y2W R2.5分4 9計(jì)算二重積分x2dxdyd x yX2其中區(qū)域D 1x2, y x 24分50計(jì)算二重積分2x7dxdyd y其中D是由直線x= 2,y=x和雙曲線x y=1所圍成的區(qū)域. 4分51

18、計(jì)算二重積分xdxdyD其中 D : x2 + y2w a 2,y>0.5分5 2 計(jì)算二重積分xdxdyD2 2其中D：務(wù)占 1a2 b25分5 3 計(jì)算二重積分、4 x2 y2dxdy其中D為由y=0, x =1,y=2 x圍成的區(qū)域.(5分)5 4 計(jì)算二重積分yexydxdyD其中D是由y =1 n2, y=ln 3 , x =2, x =4所圍成的區(qū)域.(5分)55計(jì)算二重積分xy2 dxdyD其中D是由拋物線y 2=2px和直線x=p (p> 0 )所圍成的區(qū)域. (6分)5 6計(jì)算二重積分2(x y)dxdyDD是由拋物線y=x 2和y2=x所圍成的區(qū)域. (6分)5

19、7 計(jì)算二重積分xeydxdyD其中D是由拋物線y= . (x>l )和直線y=x,y=2所圍成的區(qū)域. (5分 )58計(jì)算二重積分xy y2dxdyD其中D是以0(0,0), A (1 0 ,1)和B (l,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域.(5分)5 9 計(jì)算二重積分(12x2 16x3y3)dxdyD其中D是由x= 1, y=xy=-J7所圍成的區(qū)域. (8分)6 0 計(jì)算二重積分x2 y2 dxdyD其中D是以0(0, 0),A ( 1, 1)和B(1,1 )為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域. (3分)6 1 計(jì)算二重積分si nx dxdyD x其中D是由y =x,y=0 , x= 1所圍成的區(qū)域.(

20、4分)62計(jì)算二重積分sin x 1 , dxdyD x其中D是由y= x2, y=0, x = 1所圍成的區(qū)域. (5分)6 3 計(jì)算二重積分ln(1 x2 y2)dxdyD其中 D :x2+y2< 4,x> 0,y >0.(5分)6 4 計(jì)算二重積分寂y2 dxdyD其中 D : X2+y2 >2 X ,x2+y2w 4 X .(5分)65計(jì)算二重積分賦_ dxdyD其中 D: X 2+ y2 < 2x.(4分)6 6 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分2 2sin(x y )dxdyD其中 D: n 2W x 2+y2<4 n 2 (4分)67計(jì)算二重積分1 x2

21、 y2dxdyD其中 D:x2+ y2< 1 , x > 0, y>0.(7分)68設(shè)區(qū)域D： x2 +y2< a2(a>0),計(jì)算二重積分f (x, y)dxdyD2 2其中f(x,y)ex y 當(dāng) x 0, y 00 其它點(diǎn)4分6 9 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分ydxdyD其中 D : x 2+ y2< a2, x>0, y >0 .a>03分70 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分2 2 1(x y ) dxdy d3其中 D: 1< X 2 + y2< 8.(3分)71 計(jì)算二重積分2 2(4 x y )dxdyD其中 D:x2+y2&

22、lt; 4.(5分)72計(jì)算二重積分xydxdyD其中 D: X +y2>1 , x 2+y2<2 x,y > 0.2 25分73計(jì)算二重積分xye % y d ,其中區(qū)域D為x 2+ y1在第一象限局部.D5分74將二重積分f x, yd化為在極坐標(biāo)系中先對(duì)r積分的累次積分,其中D: 0<DXW 、,OW y<l.6分75 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分xdxdyD其中 D: x 2+ y2< 2x,x2 + y2>x .5分7 6 計(jì)算二重積分其中 D: y W x< . 16 y2 , 0W y< 2 2 ,y> 0.6分77計(jì)算二重積

23、分ln1 x2 y2dxdyD2其中 D : x2+ y 2W R R>0,x> 0, y>0.5分78 利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分sin x2 y2 dxdyD其中 D : lW x 2+y2w 4,x> 0,y> 0. ,j,答案局部,卷面共有100題,4 05. 0分,各大題標(biāo)有題量和總分一、選擇1 6小題,共5 3.0分2分:1答案B.3分2 :答案B.3分3答案A.3分4答案B.3分5答案C.3分6答案C.3分7 答案B.3分:8答案C4分9 答案 C .3分10答案D.4分11 :答案C.5分12答案A.4分1 3 答案B.3分14 :答案A.3分15答案

24、C.4分16答案B.二、填空6小題,共2 1 .0分4分1答案函數(shù)fx, y在D上4分2 答案63分3答案13na63分4答案0.4分5 :答案記 Fr,0 = f rcos 0 ,r s in 0 r,2cosFr, dr2cos1o Fr, dro Fr, dr jd2333分:6答案13三、計(jì)算78小題,共33 1.0分3分1答案1 2x22原式=0dx x f x,ydy 1 dx x fx,ydy3分2答案原式=2y420 dy 1y fx,ydx 2 dy 1y f x, ydx2y 2 y3分3 答案原式=0x21dx x2 2 fx, ydy(3分):4答案1 ey原式=0dy

25、 1yf(x,y)dx(4分)5答案 原式sin x20 dx 0 (x y )dy(xsin xi 3 dxsin1 * 3 * x)393分6答案原式02xdx.ydyx5dx1633分7 :答案原式4038473分8 答案 原式0 dx x cos(xy)dy(si n(x)sin 2x)dx4分10 答案原式3y1dy y1(x2y2 y)dx3 13y1 3(y321) y y dy322y1 ,1 2y-dy310(3分)1 1 答案 原式1°4 dx 1 xcos2xydy4 si n2xdx o123分12 :答案原式1x=°dy 0(xy)dx1 -(x

26、021 3 -y I2或解原式1 1=dx (x0 X 'y)20 dyy)dy1(2y20 1 y2 )dy025131 13 2o(2 x產(chǎn)皿12(3分)1 3答案原式1 5x0dx x (x 6y)dy76x2dx3分14答案 原式2x1 xdx i ydyx(x1x10：x(x212)dxx158In23分:15答案原式4 1 2x dx ydy2 x x43 xdx2 29(3分)1 6答案 原式11 x4 dx ydyo o1 22 0(1 x )dx23(3分)17答案原式11 x3 xdx ydy001 22 Qx(1 x)2dx164分:18答案原式2x 21 xdx

27、 1 y dyx1)dx4分:19答案原式3a ya dy y a(x)dx3a2a(ay1 33a)dy14a4(4分)20答案原式3 9(3x 0 2273 x2)dx24 分2原式答案3xdxydyx1x3/ 31(x$dxx110 I n324分22答案原式2 ydy y(x219 3y24y2 x)dx3y2 dy84分原式23答案ydy"(x 1)dx、y丄21240 y(y y2)dy4分2 4 答案原式11x4dx dy01 x401 x rdx01 x41 1d(x2)2 01x44分2 5 答案原式22.4 y22y dy 0 xdx2 220y2(4 y2)dy

28、6415(4分)2 6 答案原式x4xdx2x 4& dy24(x22 '4x-x3 )dx218(4分)2 7 答案原式1xexdx eydy oo(ex 1)dx1 x eo2e_2(4分)28答案交點(diǎn)為1(I 込(2,4)原式2x21A dxx(5分)29答案原式4 0 2 ydyy0 ysin(xy)dx4 0 2 y(i2cosy2)dy4分:30答案原式si nx20 dx 0 (x y )dy2 (xsin x ?sin3 x)dx035分31答案原式2 2 2° x y cos(xy )dy2 sin 4xdx0 216(4分)32答案交點(diǎn)為(0,0)

29、 ,(1 , 1) 原式°、ydy ； xdx2：(y；y y4 .y)dy6554分33 :答案y|=y.由對(duì)稱性知,此積分等于D域位于第一象限中的局部D1上積分的4倍,在第一象限|原式a0axydya b220尹4ab4分3 4答案原式11 1 X2xdx02 xx(x,1 x2 1)dx5分35 :答案原式2 d r2dr0acoso2(13cos)d3(4分)3 6答案原式d r2dr0 032r5分37 :答案原式rdrdD24 drd0 12 /1(4 1)32 23 2644分38:答案原式rdrdrdra2a16(1f (x, y)d(2xy)dxdyDD312x(3

30、0x) 2 (3x) dx272而D的面積_ 92所求平均值=3.(5分)3 9 答案(6分)4 0答案3 x0 (2Xy)dy1 5xf(x,y)dxdy 0dx x (x by)dyD1 2 2o(4x72x )dx763而D的面積1 5x=dx dy0 x14xdx022所求平均值=123(4分)41答案原式=x* 2 3dxdy4分4 2答案3分43答案 4分44答案 5分4 5答案交點(diǎn)為2, 1與2, - 11 2. 5一iV dy 1 y2 XdX1,Y24 3y2 y4dy621055分46 :答案4分4 7答案:dy o' xX2dx1 1 3 y dy3 0丄123分

31、原式=5分48答案R 2 .口 3R y dy R2y2 X dXJr2 y23、3對(duì)于 2 2 x dX被積函數(shù)x“R2 y2積分為零.故原式=0.49答案為奇函數(shù)2 x x1dx 彳 XT?dy原式=arcta n?dxarcta n2ln84分50答案2 X 1x dx 1 pdyx2x$dxX44分5 1答案dya2 0 xdx 02x2 dx5分52 :答案由對(duì)稱性知,此積分等于D域位于第一象限中的局部Di上的積分的4倍,在第一象限xi=x.b ： b2y24 0dy 0 xdx"b20 b2y2dy5分53答案y2dy20x2dx5分54答案ln34dyyexydxIn

32、22ln3e4ye2ydyIn 21335分5 5答案?i2p2臥yw2py2 xdx2p-2p 2/1 22py 2p6分:56答案44 分62 :答案1 2 x1x dx 2 dy xdy0x201 _0 (x2 . x x4)dx33140(6分)57 答案2 x2 y2dy eydx1 y21 (yey ye)dy2 3 e e2(5分)58答案dyJxy y dxy '2ydXy3)dyyo1 2018y dy6(5分)59答案x y)32 ioyydy1x323 30dx x(12x2 16x3y3)dy4x3(x12 x2) dx1 12x2(x3,x04x15)dx；(12x2G 8x55 84(8分)60答案0dx x2 y2dy0(yc1 -x2dx0 22X arcs in2inyxxxdx