二元函數(shù)泰勒展開-ppt課件

1、10.4 10.4 二元函數(shù)的泰勒公式二元函數(shù)的泰勒公式 就本節(jié)本身而言，引入高階偏導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)出泰勞公式的需求；而泰勞公式除了用于近似計(jì)算外, 又為建立極值判別準(zhǔn)那么作好了預(yù)備. 三、極值問題三、極值問題 一、高階偏導(dǎo)數(shù)一、高階偏導(dǎo)數(shù)二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式一、高階偏導(dǎo)數(shù)一、高階偏導(dǎo)數(shù) ( , )( , ),( , )xyzf x yfx yfx y 由由于于的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)一一般般仍仍,x y然然是是的的函函數(shù)數(shù)假設(shè)它們關(guān)于假設(shè)它們關(guān)于 x 與與 y 的偏導(dǎo)數(shù)也的偏導(dǎo)數(shù)也 導(dǎo)數(shù)有如下四種方式導(dǎo)數(shù)有如下四種方式: 22( , ),xxzzfx yxxx 2( , ),x yz

2、zfx yx yyx 存在存在, 闡明闡明f具有二階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的二階偏具有二階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的二階偏2( , ),yxzzfx yy xxy 22( , ).y yzzfx yyyy 類似地可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)類似地可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù), 例如例如 ( , )zf x y 的三階偏導(dǎo)數(shù)共有八種情形的三階偏導(dǎo)數(shù)共有八種情形: 3323( , ),xzzfx yxxx 2222( , ),x yzzfx yyxxy 23( , ),( , ),( , ),xyxxyyfx yfx yfx y22( , ),( , ),( , ).yxyy xyxfx yfx yfx y解解 由于由于 22

3、e,2e,xyxyzzxy 例例1 1 322e.xyzzy x 求求函函數(shù)數(shù)的的所所有有二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)和和因此有因此有2222(e)e;xyxyzxx 222(e)2e;xyxyzx yy 222(2e)2e;xyxyzy xx 2222(2e)4e;xyxyzyy 32222(2e)2e.xyxyzzxy xxy x 數(shù)為數(shù)為 222222 22,()zyxyxxxyxy 例例2 2 arctan.yzx 求求函函數(shù)數(shù)的的所所有有二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)2222222 2,()zyxyxyyxyxy 2222222 2,()zxxyy xxxyxy 222222 22.()zxxyyyx

4、yxy 留意留意 在上面兩個(gè)例子中都有在上面兩個(gè)例子中都有 22,zzxyy x 數(shù)為混合偏導(dǎo)數(shù)數(shù)為混合偏導(dǎo)數(shù)). 但是這個(gè)結(jié)論并不對(duì)任何函數(shù)都但是這個(gè)結(jié)論并不對(duì)任何函數(shù)都成立，例如函數(shù)成立，例如函數(shù)22222222,0,( , )0,0.xyxyxyxyf x yxy 它的一階偏導(dǎo)數(shù)為它的一階偏導(dǎo)數(shù)為 xyyx即先對(duì) 、 后對(duì)與先對(duì) 、 后對(duì)的兩個(gè)二階偏導(dǎo)即先對(duì) 、 后對(duì)與先對(duì) 、 后對(duì)的兩個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)相等數(shù)相等 (稱這種既有關(guān)于稱這種既有關(guān)于 x, 又有關(guān)于又有關(guān)于 y 的高階偏導(dǎo)的高階偏導(dǎo)42242222 222(4),0,()( , )0,0;xy xx yyxyxyfx yxy 42

5、242222 222(4),0,()( , )0,0.yx xx yyxyxyfx yxy 的混合偏導(dǎo)數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù): 00(0,)(0,0)(0,0)limlim1,xxxyyyfyfyfyy 00(,0)(0,0)(0,0)limlim1.yyyxxxfxfxfxx 由此看到由此看到, 這兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān)這兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān). 那么那么 在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)呢在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)呢? 為此為此 式式. 由于由于 0(, )( , )( , )lim,xxf xx yf x yfx yx 因此有因此有0000000(,)(,)(,)lim

6、xxxyyfxyyfxyfxyy 00000(,)(,)limxf xx yf xyx 000000(,)(,)1limlimyxf xx yyf xyyyx 00001limlim(,)yxf xx yyxy 000000(,)(,)(,) ;(1)f xyyf xx yf xy 類似地有類似地有 這兩個(gè)累次極限相等這兩個(gè)累次極限相等. 下述定理給出了使下述定理給出了使 (1) 與與 (2) 相等的一個(gè)充分條件相等的一個(gè)充分條件 延續(xù)，那延續(xù)，那么么 0000001(,)limlim(,)yxxyfxyf xx yyxy 000000(,)(,)(,) . (2)f xx yf xyyf x

7、y 證證 令令 00000000(,)(,)(,)(,)(,),Fxyf xx yyf xx yf xyyf xy 00( )( ,)( ,).xf x yyf x y 于是有于是有 00(,)()().Fxyxxx (4)0000(,)(,).xyyxfxyfxy (3)01(, ), xfxx yy 又又作作為為的的可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù) 再再使使用用微微分分000102()()(,).xyxxxfxx yyxy 由由 (4) 那么那么有有 010212(,)(,)(0,1).xyFxyfxx yyxy (5)假設(shè)令假設(shè)令0001()()()xxxxxx 010010(,)(,).xxfxx y

8、yfxx yx 00( )(,)(,),xf xx yf xy 那么那么有有 00(,)()().Fxyyyy用前面一樣的方法用前面一樣的方法, 又可得到又可得到 030434(,)(,)(0,1).yxFxyfxx yyxy (6)010203041234(,)(,)(0,1).(7)xyyxfxx yyfxx yy 在且相等，這就得到所要證明的在且相等，這就得到所要證明的 (3) 式式 合偏導(dǎo)數(shù)都與求導(dǎo)順序無關(guān)合偏導(dǎo)數(shù)都與求導(dǎo)順序無關(guān) 注注2 這個(gè)定理對(duì)這個(gè)定理對(duì) n 元函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)也成立元函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)也成立. 例例 ( , , ),( , , ),( , , ),xyzxzyyz

9、xfx y zfx y zfx y z( , )( , )xyyxfx yfx y與與00(,)xy由定理假設(shè)由定理假設(shè) 都在點(diǎn)都在點(diǎn) 連連 續(xù)續(xù), 故當(dāng)故當(dāng) 0,0 xy 時(shí)時(shí), (7) 式兩邊極限都存式兩邊極限都存 如三元函數(shù)如三元函數(shù) ( , , )f x y z的如下六個(gè)三階混合偏導(dǎo)數(shù)的如下六個(gè)三階混合偏導(dǎo)數(shù) ( , , ),( , , ),( , , )yxzzx yzyxfx y zfx y zfx y z假設(shè)在某一點(diǎn)都延續(xù)，那么它們?cè)谶@一點(diǎn)都相等假設(shè)在某一點(diǎn)都延續(xù)，那么它們?cè)谶@一點(diǎn)都相等 今后在牽涉求導(dǎo)順序問題時(shí)今后在牽涉求導(dǎo)順序問題時(shí), 除特別指出外除特別指出外, 普通普通 都

10、假設(shè)相應(yīng)階數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)延續(xù)都假設(shè)相應(yīng)階數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)延續(xù) 復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè)設(shè) ( , ),( , ),( , ).zf x yxs tys t 數(shù)數(shù) ( ( , ),( , ),zfs ts ts t 對(duì)對(duì)于于同樣存在二階延續(xù)同樣存在二階延續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù). 詳細(xì)計(jì)算如下詳細(xì)計(jì)算如下: ,zzxzysxsys ;zzxzytxtyt,zzzzs tstxy顯然與仍是的復(fù)合函數(shù) 其中是顯然與仍是的復(fù)合函數(shù) 其中是,.xxyyx ys tzstst的函數(shù)是的函數(shù) 繼續(xù)求的函數(shù)是的函數(shù) 繼續(xù)求22zzxzxsxsxssszyzysysyss 2222222222zxzy

11、xzxsxyssxxszxzyyzyyxsssyys 222222222222.zxzxysxyssxzyzxzysxyyss 22222222222222;zzxzxytxytttxzyzxzytxyytt同理可得同理可得 22222222;zzxxzxyxyststxysttsxzyyzxzystxstysty 22.zztsst 222(,),.xzzzfxyxyx 設(shè)設(shè)求求例例3 3 改寫成如下方式改寫成如下方式: ( , ),.xzf u vux vy由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有 1.zfufvffyxuxvxuv ,ffu vx yuv 注注意意 這這里里仍仍是是以

12、以為為中中間間變變量量, ,為為自變量的復(fù)合函數(shù)所以自變量的復(fù)合函數(shù)所以 221zffxuyvx 2222221fufvfufvxu vxyv uxxuv 22222221,fffyu vuyv 21zffxyyuyv22221fufvfyu vyvuy 2221fufvyv uyyv 2223221.xfxffu vvyyvy 二、中值定理和泰勒公式二、中值定理和泰勒公式 二元函數(shù)的中值公式和泰勒公式二元函數(shù)的中值公式和泰勒公式, 與一元函數(shù)的拉與一元函數(shù)的拉 也有一樣的公式，只是方式上更復(fù)雜一些也有一樣的公式，只是方式上更復(fù)雜一些 先引見凸區(qū)域先引見凸區(qū)域 假設(shè)區(qū)域假設(shè)區(qū)域 D 上恣意兩點(diǎn)

13、的連線都含于上恣意兩點(diǎn)的連線都含于 D, 那么稱那么稱 D 為凸區(qū)域?yàn)橥箙^(qū)域 (圖圖10.3- 6). 這就是說這就是說, 假設(shè)假設(shè) D 為為 一切一切 (01), 恒有恒有121121(),() ).P xxxyyyD 上延續(xù)上延續(xù), 在在 D 的一切內(nèi)點(diǎn)都可微的一切內(nèi)點(diǎn)都可微, 那么對(duì)那么對(duì) D 內(nèi)恣意兩內(nèi)恣意兩 定理定理 8 ( 中值定理中值定理 ) 設(shè)設(shè) ( , )f x y2RD 在凸區(qū)域在凸區(qū)域 圖圖 10.3 - 6 凸凸 1P2PPD D 非凸非凸 PD1P2PD 的一元延續(xù)函數(shù)的一元延續(xù)函數(shù), 且在且在 (0, 1) 內(nèi)可微內(nèi)可微. 根據(jù)一元函數(shù)根據(jù)一元函數(shù) 其中其中 中值定

14、理，中值定理， (01) ，使得，使得 ( )(,)(,).xyfah bk hfah bk k (10) (9), (10) 兩式即得所要證明的兩式即得所要證明的 (8) 式式 注注 假設(shè)假設(shè) D D 為嚴(yán)厲凸區(qū)域，即為嚴(yán)厲凸區(qū)域，即 111222(,),(,)P xyP xy,(01)D，都有，都有 121121(),() )int,P xxxyyyD 式成立式成立 ( 為什么為什么? ) 公式公式 (8) 也稱為二元函數(shù)也稱為二元函數(shù) (在凸域上在凸域上) 的中值公式的中值公式. 它與定理它與定理17.3 的中值公式的中值公式 (12) 相比較相比較, 差別在于這差別在于這 0,xyff

15、 請(qǐng)讀者作為練習(xí)自行證明此推論請(qǐng)讀者作為練習(xí)自行證明此推論 23 2122 (13 )(123). 分析分析 將上式改寫成將上式改寫成 23 212(13 )(123),2 21( , )21f x yxxy 例例4 對(duì)對(duì) 運(yùn)用微分中值定運(yùn)用微分中值定 理，證明存在某個(gè)理，證明存在某個(gè) (01), 使使得得12(1,0)(0,1)PP與與之間運(yùn)用微分中值定理之間運(yùn)用微分中值定理計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算偏導(dǎo)數(shù): 23 223 2,.(21)(21)xyxyxffxxyxxy (0,1) 1(0,1) ( 1)xyff 221xy 時(shí)時(shí)2210.xxy證證 首先首先, 當(dāng)當(dāng) , 有有 再再 11(1,0)(

16、0,1)2ff23 2(1)12 (1)1 f000(,)P xy的的某某鄰鄰域域定理定理 9 (泰勒定理泰勒定理) 假設(shè)假設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn) 00(,),(0,1),xh yk 使使得得0()U P0()U P內(nèi)有直到內(nèi)有直到 階的延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)階的延續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 那么對(duì)那么對(duì) 1n23 2( 1)2 (1)1 23 2(13 )(123). 1001(,),(1)!nnRhkf xh yknxy 000000(,)(,)(,)f xh ykf xyhkf xyxy 001(,),(11)!nnhkf xyRnxy2001(,)2!hkf xyxy 其中其中00(,)mhkf xyxy

17、 證證 類似于定理類似于定理8 的證明，先引入輔助函數(shù)的證明，先引入輔助函數(shù) 00( )(,).tf xth ytk (11) 式稱為式稱為 0fP在點(diǎn)在點(diǎn)的的 n 階泰勒公式階泰勒公式, 并稱其中并稱其中 00(,)f xy0m 而首項(xiàng)而首項(xiàng) 也可看作也可看作 的情形的情形. 000C(,)mmiim imim iif xyh kxy (1, 2,),mn 件，于是有件，于是有()00( )(,)mmthkf xth ytkxy 由假設(shè)，由假設(shè)， ( )0,1t 在在上滿足一元函數(shù)泰勒公式的條上滿足一元函數(shù)泰勒公式的條運(yùn)用復(fù)合求導(dǎo)法那么運(yùn)用復(fù)合求導(dǎo)法那么, 可求得可求得 ( ) t 的各階導(dǎo)

18、數(shù)如下的各階導(dǎo)數(shù)如下: (0)(0)(1)(0)1!2! (12)( )(1)(0)( )(01).!(1)!nnnn (0,1,1),mn ()00(0)(,)(0,1, ), (13)mmhkf xymnxy 1(1)00( )(,).(14)nnhkf xh ykxy 公式公式 (11)將將 (13), (14) 兩式代入兩式代入 (12) 式式, 就得到所求之泰勒就得到所求之泰勒 時(shí)的特殊情形時(shí)的特殊情形. 此時(shí)的此時(shí)的 n 階泰勒公式可寫作階泰勒公式可寫作 ( , ),(1,4)1,yf x yxf那么僅需那么僅需 0()fU P在在內(nèi)存在內(nèi)存在 n 階的延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)即可階的延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)

19、即可, 000001(,)(,)().!pnnpf xh ykhkf xyopxy (15)1( , ),(1,4)4,yxxfx yyxf ( , )ln ,(1,4)0,yyyfx yxxf222( , )(1),(1,4)12,yxxfx yy yxf 11( , )ln ,(1,4)1,yyxyxyfx yxyxxf222( , )(ln ) ,(1,4)0.yyyfx yxxf將它們代入泰勒公式將它們代入泰勒公式 (15)，即有，即有 2214(1)6(1)(1)(4)().yxxxxyo 3. 9621.0814 0.086 0.080.08 0.041.3552 . 與與1、例、

20、例7 的結(jié)果的結(jié)果 (1. 32) 相比較，這是更接近于真相比較，這是更接近于真 微分近似相當(dāng)于如今的一階泰勒公式微分近似相當(dāng)于如今的一階泰勒公式三、極值問題三、極值問題 多元函數(shù)的極值問題是多元函數(shù)微分學(xué)的重要應(yīng)多元函數(shù)的極值問題是多元函數(shù)微分學(xué)的重要應(yīng) 用用, 這里仍以二元函數(shù)為例進(jìn)展討論這里仍以二元函數(shù)為例進(jìn)展討論. 有定義有定義. 假設(shè)假設(shè) 0( , )(),P x yU P 滿滿足足00( )() ( )() )f Pf Pf Pf P 或或，極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn) 的極大的極大 (或極小或極小) 值點(diǎn)值點(diǎn). 極大值、極小值統(tǒng)稱極值極大值、極小值統(tǒng)稱

21、極值; 極極 留意留意 這里討論的極值點(diǎn)只限于定義域的內(nèi)點(diǎn)這里討論的極值點(diǎn)只限于定義域的內(nèi)點(diǎn) 點(diǎn)點(diǎn), 是是 g 的極大值點(diǎn)的極大值點(diǎn), 但不是但不是 h 的極值點(diǎn)這是因的極值點(diǎn)這是因 同極值同極值; 00(, )f xyyy 必必定定在在也取一樣極值也取一樣極值. 于是于是 得到二元函數(shù)取極值的必要條件如下得到二元函數(shù)取極值的必要條件如下:定理定理 10 (極值的必要條件極值的必要條件) 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) ( , )f x y在點(diǎn)在點(diǎn) 值值 (, (0,0,0).zx y 的的圖圖像像是是一一馬馬鞍鞍面面為為其其鞍鞍點(diǎn)點(diǎn)f00(,)xy注注 由定義可見由定義可見, 假設(shè)假設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn)取極值取極

22、值, 那么當(dāng)固那么當(dāng)固 000(,)P xy0P存在偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù), 且在且在獲得極值獲得極值, 那么必有那么必有 的穩(wěn)定點(diǎn)的穩(wěn)定點(diǎn). 上述定理指出上述定理指出: 偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí), 極值點(diǎn)必是穩(wěn)定點(diǎn)極值點(diǎn)必是穩(wěn)定點(diǎn). 但要留意但要留意: 穩(wěn)定點(diǎn)并不都是極值點(diǎn)在例穩(wěn)定點(diǎn)并不都是極值點(diǎn)在例 6 中之所中之所 以只討論原點(diǎn)以只討論原點(diǎn), 就是由于原點(diǎn)是那三個(gè)函數(shù)的獨(dú)一就是由于原點(diǎn)是那三個(gè)函數(shù)的獨(dú)一 穩(wěn)定點(diǎn)；而對(duì)于函數(shù)穩(wěn)定點(diǎn)；而對(duì)于函數(shù) h, 原點(diǎn)雖為其穩(wěn)定點(diǎn)原點(diǎn)雖為其穩(wěn)定點(diǎn),但卻不但卻不 是它的極值點(diǎn)是它的極值點(diǎn). 與一元函數(shù)的情形一樣與一元函數(shù)的情形一樣, 多元函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)不存在多元函

23、數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)不存在 原點(diǎn)沒有偏導(dǎo)數(shù)原點(diǎn)沒有偏導(dǎo)數(shù), , 但但 (0,0)0.f 顯顯然然是是它它的的極極小小值值000000()()(),()()xxx yxxx yfyxy yyxy yPfPfPffHPfPfPff(17)定點(diǎn)定點(diǎn), 那么有如下結(jié)論那么有如下結(jié)論: 000000()(),()(),(18)()().fffHPf PHPf PHPf P 為正定矩陣為極小值為正定矩陣為極小值為負(fù)定矩陣為極大值為負(fù)定矩陣為極大值為不定矩陣不是極值為不定矩陣不是極值00()0,()0,xyfPfP 于是有于是有 f0P證證 由由 在在的二階泰勒公式，并留意到條件的二階泰勒公式，并留意到條件00000

24、0( , )(,)(,)(,)f x yf xyf xx yyf xy T2201(,)()(,)().2fxy HPxyoxy 二次型二次型 T0(,)(,)()(,)0.fQxyxy HPxy 延續(xù)函數(shù)延續(xù)函數(shù) ( 仍為一正定二次型仍為一正定二次型 ) T022(,)( , )( , )()( , ) ,fQxyQ u vu v HPu vxy 0()fHPf首先證明首先證明: : 當(dāng)當(dāng) 正定時(shí)，正定時(shí)， 在點(diǎn)在點(diǎn) 獲得極小獲得極小 0P值這是由于，此時(shí)對(duì)任何值這是由于，此時(shí)對(duì)任何 (,)(0,0),xy 恒使恒使 22(,)2 ().Qxyqxy 22220022( , )(,)()()

25、() (1)0,f x yf xyqxyoxyxyqo 極大值極大值22( , )1,u vuv 恒恒滿滿足足( , )Q u v由于由于 因此因此在此有界在此有界 閉域上存在最小值閉域上存在最小值 20q ，于是有，于是有f00(,)xy即即在點(diǎn)在點(diǎn) 獲得極小值獲得極小值00,xxtxyyty 00( , )(,)( )0f x yf xtx ytytt 在在亦取亦取 ( ),xytfxfy 那么沿著過那么沿著過 0P的任何直線的任何直線 0()fHPf最后證明最后證明: 當(dāng)當(dāng) 為不定矩陣時(shí)為不定矩陣時(shí), , 在點(diǎn)在點(diǎn) 0P不不 22( )2,x xx yy ytfxfxyfy T0(0)(

26、,)()(,) ,fxy HPxy 極小值極小值, 那么將導(dǎo)致那么將導(dǎo)致 0()fHP必需是正半定的必需是正半定的. 也就是也就是 的或負(fù)半定的，這與假設(shè)相矛盾的或負(fù)半定的，這與假設(shè)相矛盾0()fHPf這闡明這闡明 必需是負(fù)半定的必需是負(fù)半定的. 同理同理, 倘假設(shè)倘假設(shè) 取取 系，定理系，定理11又可寫成如下比較適用的方式又可寫成如下比較適用的方式 根據(jù)對(duì)稱矩陣的定號(hào)性與其主子行列式之間的關(guān)根據(jù)對(duì)稱矩陣的定號(hào)性與其主子行列式之間的關(guān) 假假設(shè)設(shè)f如定理如定理11 所設(shè)，那么有如下結(jié)論所設(shè)，那么有如下結(jié)論: 200()0, ()()0,i)xxxxy yx yfPfffPf 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)在在200(

27、)0,(ii)()()0,xxxxy yx yfPfffPf 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)在在200()()0,;(iii)xxy yx yfffPfP 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)在在不不取取極極值值200()()0(i,v)xxyyx yfffPfP 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) 不不能能肯肯定定在在能否獲得極值能否獲得極值 解解 由方程組由方程組 例例7 7 22( , )56106.f x yxyxy 求求的的極極值值獲得極小值獲得極小值; 0P獲得極大值獲得極大值; 0P260 ,10100 xyfxfy 00()20,()0,xxx yfPfP 200()10, ()()200,yyxxyyx yfPfffP 0(3, 1).fP 解解出出

28、的的穩(wěn)穩(wěn)定定點(diǎn)點(diǎn)由由于于例例8 討論討論 2( , )f x yxxy 能否存在極值能否存在極值 得極值得極值?2(0, 0)()0,xxy yx yfff 2(0, 0)()10 xxy yx yfff f因因 ，故原點(diǎn)不是，故原點(diǎn)不是 的的 ff極值點(diǎn)極值點(diǎn). 又因又因 處處可微，所以處處可微，所以 沒有極值點(diǎn)沒有極值點(diǎn). 解解 容易驗(yàn)證原點(diǎn)是容易驗(yàn)證原點(diǎn)是 f的穩(wěn)定點(diǎn)的穩(wěn)定點(diǎn), 且且 故由定理故由定理11 無法判別無法判別 f在原點(diǎn)能否獲得極值在原點(diǎn)能否獲得極值 但由于在原點(diǎn)的恣意小鄰域內(nèi)但由于在原點(diǎn)的恣意小鄰域內(nèi), 當(dāng)當(dāng) 222xyx 時(shí)時(shí) 由極值定義知道由極值定義知道, 極值只是函數(shù)

29、的一個(gè)部分性概念極值只是函數(shù)的一個(gè)部分性概念.想求出函數(shù)在有界閉域上的最大值和最小值想求出函數(shù)在有界閉域上的最大值和最小值, 方法方法 與一元函數(shù)問題一樣：需先求出在該區(qū)域上一切穩(wěn)與一元函數(shù)問題一樣：需先求出在該區(qū)域上一切穩(wěn) 定點(diǎn)、無偏導(dǎo)數(shù)點(diǎn)處的函數(shù)值定點(diǎn)、無偏導(dǎo)數(shù)點(diǎn)處的函數(shù)值, 還有在區(qū)域邊境上還有在區(qū)域邊境上 的這類特殊值；然后比較這些值的這類特殊值；然后比較這些值, 其中最大其中最大 (小小)者者 即為問題所求的最大即為問題所求的最大 (小小) 值值 以以 f (0, 0) = 0 不是極值不是極值 ( 參見圖參見圖10.3-7 ) 例例10 證明證明: 圓的一切外切三角形中圓的一切外切

30、三角形中, 以正三角形的以正三角形的 面積為最小面積為最小證證 如圖如圖10.3- 8 所示所示, 設(shè)圓的半徑為設(shè)圓的半徑為 a, 任一外切三角任一外切三角 圖圖10.3-8圖圖10.3-72yx22yxxyO ABCa式為式為 2tantantan222Sa 2tantantan,222a 2221secsec0,222Sa 其中其中 ,(0,) . 為求得穩(wěn)定點(diǎn)為求得穩(wěn)定點(diǎn), 令令 ,2.ABC 其其中中易易知知的的面面積積表表達(dá)達(dá)形為形為 ABC, 三切點(diǎn)處的半徑相夾的中心角分別為三切點(diǎn)處的半徑相夾的中心角分別為 , 2221secsec0.222Sa 在定義域內(nèi)在定義域內(nèi), 上述方程組

31、僅有獨(dú)一解上述方程組僅有獨(dú)一解: 22,2().33r 的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù): 2224 3,2 3,4 3.SaSaSa 240,360,SSSSaS 由于因此在由于因此在此穩(wěn)定點(diǎn)處獲得極小值此穩(wěn)定點(diǎn)處獲得極小值 由于由于 , 面積函數(shù)面積函數(shù) S 在定義域中處處存在偏在定義域中處處存在偏正三角形的面積為最小正三角形的面積為最小解解 (i) 求穩(wěn)定點(diǎn)：解方程組求穩(wěn)定點(diǎn)：解方程組 2( , )3420,( , )220,xyfx yxxyfx yxy 導(dǎo)數(shù)，而詳細(xì)問題存在最小值，故外切三角形中以導(dǎo)數(shù)，而詳細(xì)問題存在最小值，故外切三角形中以 642( , ),22fxHx y 02( 2 3

32、,2 3)(),22fH 不不定定因此因此 (0,0)0,( 2 3,2 3).ff為極小值不是極值為極小值不是極值得穩(wěn)定點(diǎn)得穩(wěn)定點(diǎn) (0,0)( 2 3, 2 3).和和(ii) 求極值：由于求極值：由于 ( , )f x y的黑賽矩陣為的黑賽矩陣為 D 2x 時(shí)時(shí), ,(iii) 求在求在 上的特殊值上的特殊值: 當(dāng)當(dāng) 2( 2, )4, 2,2,fyyyy 2(2, )164, 2,2,fyyyy 32( , 2)244, 2,2,f xxxxx 22d82( , 2)34430,3d3f xxxxx由由當(dāng)當(dāng)2x 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2y 時(shí)時(shí)，2y 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,32( ,2)244, 2,2,f xxxxx 算出算出 268(, 2 )(2, 2)12.327ff與兩端值與兩端值( 2, 2)4,f (2