傅里葉變換的通俗解釋

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔傅里葉變換的通俗解釋 韓昊德國(guó)斯圖加特大學(xué)通信與信息工程專業(yè)碩士生提要：這篇文章的核心思想就是：要讓讀者在不看任何數(shù)學(xué)公式的情況下理解傅里葉分析.傅里葉分析不僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)工具,更是一種可以徹底顛覆一個(gè)人以前 世界觀的思維模式.但不幸的是,傅里葉分析的公式看起來(lái)太復(fù)雜了,所以 很多大一新生上來(lái)就懵圈并從此對(duì)它深惡痛絕.老實(shí)說(shuō),這么有意思的東西 居然成了大學(xué)里的殺手課程,不得不歸咎于編教材的人實(shí)在是太嚴(yán)肅了.您把教材寫得好玩一點(diǎn)會(huì)死嗎？會(huì)死嗎？所以我一直想寫一個(gè)有意思的文章 來(lái)解釋傅里葉分析,有可能的話高中生都能看懂的那種.所以,不管讀到這 里的您從事何種工作,我保證您都能看懂,并且

2、一定將體會(huì)到通過(guò)傅里葉分 析看到世界另一個(gè)樣子時(shí)的快感.至于對(duì)于已經(jīng)有一定根底的朋友,也希望 不要看到會(huì)的地方就急忙往后翻,仔細(xì)讀一定會(huì)有新的發(fā)現(xiàn).以上是開(kāi)場(chǎng)白,下面進(jìn)入正題：抱歉,還是要啰嗦一句：其實(shí)學(xué)習(xí)本來(lái)就不是易事,我寫這篇文章的初衷也是希望大家學(xué)習(xí)起來(lái)更加輕松, 充滿樂(lè)趣.無(wú)論如何,耐下心,讀下去. 這篇文章要比讀課本要輕松、開(kāi)心得多一、啥叫頻域？從我們出生,我們看到的世界都以時(shí)間貫穿,股票的走勢(shì)、人的身高、 汽車的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變.這種以時(shí)間作為參照來(lái)觀察動(dòng)態(tài)世界的 方法我們稱其為時(shí)域分析.而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為,世間萬(wàn)物都在隨著時(shí)間 不停的改變,并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來(lái).但如果我

3、告訴你,用另一種方法來(lái)觀 察世界的話,你會(huì)發(fā)現(xiàn)世界是永恒不變的,你會(huì)不會(huì)覺(jué)得我瘋了？我沒(méi)有瘋,這個(gè)靜止的世界就叫做頻域.先舉一個(gè)公式上并非很恰當(dāng),但意義上再貼切不過(guò)的例子:在你的理解中,一段音樂(lè)是什么呢?這是我們對(duì)音樂(lè)最普遍的理解,一個(gè)隨著時(shí)間變化的震動(dòng).但我相信對(duì)于樂(lè)器小能手們來(lái)說(shuō),音樂(lè)更直觀的理解是這樣的：好的！下課,同學(xué)們?cè)僖?jiàn).是的,其實(shí)這一段寫到這里已經(jīng)可以結(jié)束了. 上圖是音樂(lè)在時(shí)域的樣子, 而下列圖那么是音樂(lè)在頻域的樣子.所以頻域這一概念對(duì)大家都從不陌生,只是 從來(lái)沒(méi)意識(shí)到而已現(xiàn)在我們可以回過(guò)頭來(lái)重新看看一開(kāi)始那句癡人說(shuō)夢(mèng)般的話：世界是永 恒的將以上兩圖簡(jiǎn)化:時(shí)域：頻域:在時(shí)域,我們

4、觀察到鋼琴的琴弦一會(huì)上一會(huì)下的擺動(dòng),就如同一支股票的走勢(shì)；而在頻域,只有那一個(gè)永恒的音符.所以,你眼中看似落葉紛飛變化無(wú)常的世界,實(shí)際只是躺在上帝懷中一 份早已譜好的樂(lè)章.抱歉,這不是一句雞湯文,而是黑板上確鑿的公式：傅里葉同學(xué)告訴我 們,任何周期函數(shù),都可以看作是不同振幅,不同相位正弦波的疊加.在第 一個(gè)例子里我們可以理解為,利用對(duì)不同琴鍵不同力度,不同時(shí)間點(diǎn)的敲擊, 可以組合出任何一首樂(lè)曲.而貫穿時(shí)域與頻域的方法之一,就是傳中說(shuō)的傅里葉分析.傅里葉分析可分為傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier Serie)和傅里葉變換(Fourier Transformation),我 們從簡(jiǎn)單的開(kāi)始談起.二、傅里

5、葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)還是舉個(gè)栗子(舉個(gè)例子)并且有圖有真相才好理解.如果我說(shuō)我能用前面說(shuō)的正弦曲線波疊加出一個(gè)帶90度角的矩形波來(lái),你會(huì)相信嗎？你不會(huì),就像當(dāng)年的我一樣.但是看看下列圖：第一幅圖是1個(gè)郁悶的正弦波 COS X；第二幅圖是2個(gè)賣萌的正弦波的疊加 cos x +a.cos 3x;第三幅圖是4個(gè)發(fā)春的正弦波的疊加；第四幅圖是10個(gè)便秘的正弦波的疊加；隨著正弦波數(shù)量逐漸的增長(zhǎng),他們最終會(huì)疊加成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形,大家 從中體會(huì)到了什么道理？隨著疊加的遞增,所有正弦波中上升的局部逐漸讓原本緩慢增加的曲線 不斷變陡,而所有正弦波中下降的局部又抵消了上升到最高處時(shí)繼續(xù)上升的 局

6、部使其變?yōu)樗骄€.一個(gè)矩形就這么疊加而成了.但是要多少個(gè)正弦波疊 加起來(lái)才能形成一個(gè)標(biāo)準(zhǔn) 90度角的矩形波呢？不幸的告訴大家,答案是無(wú) 窮多個(gè).上帝：我能讓你們猜著我？不僅僅是矩形,你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波疊加起 來(lái)的.這是沒(méi)有接觸過(guò)傅里葉分析的人在直覺(jué)上的第一個(gè)難點(diǎn),但是一旦接 受了這樣的設(shè)定,游戲就開(kāi)始有意思起來(lái)了.還是上圖的正弦波累加成矩形波,我們換一個(gè)角度來(lái)看看：文案大全6在這幾幅圖中,最前面黑色的線就是所有正弦波疊加而成的總和,也就 是越來(lái)越接近矩形波的那個(gè)圖形.而后面依不同顏色排列而成的正弦波就是 組合為矩形波的各個(gè)分量.這些正弦波根據(jù)頻率從低到高從前向后排列開(kāi)來(lái)

7、, 而每一個(gè)波的振幅都是不同的.一定有細(xì)心的讀者發(fā)現(xiàn)了,每?jī)蓚€(gè)正弦波之 間都還有一條直線,那并不是分割線,而是振幅為0的正弦波！也就是說(shuō),為了組成特殊的曲線,有些正弦波成分是不需要的.這里,不同頻率的正弦波我們成為頻率分量.好了,關(guān)鍵的地方來(lái)了！ ！如果我們把第一個(gè)頻率最低的頻率分量看作 “ 1:我們就有了構(gòu)建頻域的 最根本單元.對(duì)于我們最常見(jiàn)的有理數(shù)軸,數(shù)字 “ 1就是有理數(shù)軸的根本單元.好吧,數(shù)學(xué)稱法為一一基.在那個(gè)年代,這個(gè)字還沒(méi)有其他奇怪的解 釋,后面還有正交基這樣的詞匯我會(huì)說(shuō)嗎 ?時(shí)域的根本單元就是“1秒,如果我們將一個(gè)角頻率為的正弦波 cost 看作根底,那么頻域的根本單元就是.有

8、了 “ 1,還要有“0才能構(gòu)成世界,那么頻域的“0是什么呢？ cos 0t 就是一個(gè)周期無(wú)限長(zhǎng)的正弦波,也就是一條直線！所以在頻域,0頻率也被稱為直流分量,在傅里葉級(jí)數(shù)的疊加中,它僅僅影響全部波形相對(duì)于數(shù)軸整 體向上或是向下而不改變波的形狀.接下來(lái),讓我們回到初中,回憶一下已經(jīng)死去的八戒,啊不,已經(jīng)死去 的老師是怎么定義正弦波的吧.f=400MH/GT>lE?fc 波正弦波就是一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)在一條直線上的投影.所以頻域的根本單元也可以理解為一個(gè)始終在旋轉(zhuǎn)的圓4win 0 n4 sin30 3k4sin505rr4sin7e7>-n2sln202tt2sin39 -3n2前4日-4jt

9、介紹完了頻域的根本組成單元,我們就可以看一看一個(gè)矩形波,在頻域 里的另一個(gè)模樣了:這是什么奇怪的東西？這就是矩形波在頻域的樣子,是不是完全認(rèn)不出來(lái)了？教科書(shū)一般就給 到這里然后留給了讀者無(wú)窮的遐想,以及無(wú)窮的吐槽,其實(shí)教科書(shū)只要補(bǔ)一 張圖就足夠了：頻域圖像,也就是俗稱的頻譜,就是 一一-2 0再清楚一點(diǎn):可以發(fā)現(xiàn),在頻譜中,偶數(shù)項(xiàng)的振幅都是0,也就對(duì)應(yīng)了圖中的彩色直線到了這種表達(dá)方法,而且,后面還會(huì)參加維基沒(méi)有表示出來(lái)的另一個(gè)譜 相位譜.但是在講相位譜之前,我們先回憶一下剛剛的這個(gè)例子究竟意味著什么.記得前面說(shuō)過(guò)的那句 世界是靜止的嗎？估計(jì)好多人對(duì)這句話都已經(jīng)吐槽半 天了.想象一下,世界上每一個(gè)看似混亂的表象,實(shí)際都是一條時(shí)間軸上不 規(guī)那么的曲線,但實(shí)際這些曲線都是由這些無(wú)窮無(wú)盡的正弦波組成.我們看似 不規(guī)律的事情反而是規(guī)律的正弦波在時(shí)域上的投影,而正弦波又是一個(gè)旋轉(zhuǎn) 的圓在直線上的投影.那么你的腦海中會(huì)產(chǎn)生一個(gè)什么畫(huà)面呢？我們眼中的世界就像皮影戲的大幕布,幕布的后面有無(wú)數(shù)的齒輪,大齒