高等數(shù)學(xué)(高職教育)全套教學(xué)課件

高等數(shù)學(xué)全套可編輯PPT課件函數(shù)、極限與連續(xù)導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用不定積分定積分及其應(yīng)用模塊1

函數(shù)、極限與連續(xù)1.1函數(shù)1.2初等函數(shù)1.3極限的概念1.4極限的運(yùn)算1.5函數(shù)的連續(xù)性

案例（Excel表格中的函數(shù)）如圖1-1所示，在Excel表格窗口中的第A列依次輸入8個(gè)數(shù)，然后在第B列的第一行中輸入公式“=2+A1^3”，按“回車”鍵后得到對(duì)應(yīng)的B1單元的值為，向下拖動(dòng)B1單元右下角的黑點(diǎn)，依次可得B2，B3，，B8單元對(duì)應(yīng)的值．1.1函數(shù)圖1-11.1.1函數(shù)的概念在實(shí)際問題中，函數(shù)的定義域是根據(jù)問題的實(shí)際意義確定的。但在數(shù)學(xué)上作一般性研究時(shí)，對(duì)于只給出表達(dá)式而沒有說明實(shí)際背景的函數(shù)，我們規(guī)定：函數(shù)的定義域就是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍．圖1-2圖1-3

圖1-4

圖1-5

我們看到，有時(shí)一個(gè)函數(shù)要用幾個(gè)式子表示．這種在自變量的不同變化范圍內(nèi)對(duì)應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)．

圖1-61.1.2函數(shù)的幾種特性1．函數(shù)的單調(diào)性

圖1-7

圖1-8如圖1-7所示為單調(diào)增加函數(shù)，如圖1-8所示為單調(diào)減少函數(shù)．分析函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，要在軸上從左向右看函數(shù)值的變化．

圖1-92．函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖形關(guān)于軸對(duì)稱，如圖1-10所示．

圖1-103．函數(shù)的周期性

圖1-114．函數(shù)的有界性1.2初等函數(shù)1.2.1基本初等函數(shù)1．冪函數(shù)

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

（f）2．指數(shù)函數(shù)圖1-133．對(duì)數(shù)函數(shù)圖1-144．三角函數(shù)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，其圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如圖1-15所示．圖1-15余弦函數(shù)是偶函數(shù)，其圖形關(guān)于

軸對(duì)稱，如圖1-16所示．圖1-16圖1-17

圖1-185．三角函數(shù)1）反正弦函數(shù)圖1-192）反余弦函數(shù)圖1-203）反正切函數(shù)圖1-214）反余切函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)，這五類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)．圖1-221.2.2復(fù)合函數(shù)上例表明，復(fù)合順序不同，所得的復(fù)合函數(shù)是不同的．1.2.3初等函數(shù)1.3極限的概念案例1（水溫的變化）一池60℃的熱水在溫度為10℃的自然環(huán)境里，水的溫度將逐漸降低，隨著時(shí)間的推移，水溫會(huì)越來越接近自然溫度10℃．我們把10℃稱為這池?zé)崴臉O限溫度．如圖1-23所示的高原溫泉，溫泉表面的溫度保持在某一溫度附近，隨著空間逐漸向外推移，其溫度逐漸由溫泉表面的溫度接近自然溫度．圖1-23圖1-241.3.1數(shù)列的極限1.3.2函數(shù)的極限1．自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限圖1-25圖1-25圖1-262．自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限圖1-27圖1-28解觀察圖1-29知：圖1-29圖1-301.3.3無窮小與無窮大1．無窮小定義6

極限是零的變量，稱為無窮小量，簡(jiǎn)稱無窮?。?．無窮大圖1-31圖1-323．無窮小與無窮大的關(guān)系4．無窮小的比較1.4極限的運(yùn)算1.4.1極限的四則運(yùn)算法則1.4.2兩個(gè)重要極限1.5函數(shù)的連續(xù)性案例1如圖1-33所示，溫度計(jì)中水銀柱高度隨溫度的改變是如何變化的？圖1-33案例2

如圖1-34所示，郵費(fèi)隨郵件重量的增加是如何變化的？圖1-341.5.1函數(shù)的增量1.5.2函數(shù)連續(xù)的定義圖1-35圖1-361.5.3函數(shù)的間斷點(diǎn)舉例：圖1-371.5.4連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則及初等函數(shù)的連續(xù)性因?yàn)榉侄魏瘮?shù)一般不是初等函數(shù)，所以定理3對(duì)分段函數(shù)一般不成立．在討論分段函數(shù)的連續(xù)性時(shí)，要根據(jù)連續(xù)的定義討論分界點(diǎn)的連續(xù)性．1.5.5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)圖1-38圖1-39上述推論又稱為零點(diǎn)定理．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)用MATLAB繪圖、求極限1．MATLAB簡(jiǎn)介MATLAB（MatrixLaboratory，即矩陣實(shí)驗(yàn)室）是由美國(guó)TheMathWorks公司開發(fā)，并于1984年推出的一套數(shù)值計(jì)算軟件．它分為總包和若干個(gè)工具箱，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)值分析、優(yōu)化、統(tǒng)計(jì)、偏微分方程數(shù)值解、自動(dòng)控制、信號(hào)處理、圖像處理等若干個(gè)領(lǐng)域的計(jì)算和圖形顯示功能，而且利用符號(hào)工具箱可得出各種數(shù)學(xué)問題的解析解．它將不同數(shù)學(xué)分支的算法以函數(shù)的形式分類成庫，使用時(shí)直接調(diào)用這些函數(shù)并賦予實(shí)際參數(shù)就可以解決問題，快速而且準(zhǔn)確．MATLAB具有簡(jiǎn)單易學(xué)、代碼短小高效、計(jì)算功能強(qiáng)大、繪圖方便、可擴(kuò)展性強(qiáng)等特點(diǎn)．下面我們將逐章介紹MATLAB的一些簡(jiǎn)單用法．MATLAB安裝成功后，在Windows桌面：“開始”>“程序”>“MATLAB”菜單項(xiàng)（或雙擊桌面上的MATLAB快捷鍵）即可打開MATLAB界面，如圖1-40所示．圖1-40界面中，第一欄為MATLAB標(biāo)題欄，第二欄為菜單欄，第三欄為工具欄．在工具欄中，除了一般的Windows程序通用按鈕之外，還有一個(gè)仿真程序啟動(dòng)按鈕，此外在最右端還有一個(gè)當(dāng)前目錄窗口．界面下面有多個(gè)窗口，右邊最大的窗口為命令窗口（CommandWindow），“>>”代表命令提示符，用戶可在此鍵入命令；左邊一列窗口分別為歷史命令（CommandHistory）窗口、工作空間（Workspace）窗口和路徑編輯器窗口，這些窗口可通過View菜單打開或關(guān)閉．歷史命令窗口保留了每次運(yùn)行過的所有命令以及操作時(shí)間，雙擊歷史命令窗口中的某一命令，則可在命令窗口再次運(yùn)行該命令．工作空間窗口顯示出當(dāng)前MATLAB工作空間所有的變量名和占用內(nèi)存的情況，并可對(duì)變量及其賦值進(jìn)行修改．若要退出，單擊右上角關(guān)閉按鈕即可．2．函數(shù)簡(jiǎn)介3．上機(jī)實(shí)驗(yàn)THEEND

高等數(shù)學(xué)模塊2

導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2.3高階導(dǎo)數(shù)2.4函數(shù)的微分圖2-1

案例（自由落體的瞬時(shí)速度）

如圖2-1所示為著名的伽利略自由落體實(shí)驗(yàn)的場(chǎng)景．如果物體在真空中自由下落，則它的運(yùn)動(dòng)方程為分析：當(dāng)物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在任意時(shí)刻的速度可用公式圖2-22.1.1導(dǎo)數(shù)的定義2.1.2導(dǎo)數(shù)的幾何意義圖2-32.1.3可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系圖2-42.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算圖2-52.2.1導(dǎo)數(shù)的基本公式2.2.2函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則

由此得函數(shù)商的求導(dǎo)法則：兩個(gè)可導(dǎo)函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的乘積減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的乘積，再除以分母的平方．2.2.3復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

從以上兩例可以看出，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)時(shí)，關(guān)鍵是將函數(shù)分解為可以求導(dǎo)的若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)．在熟練了復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則以后，中間變量可以不寫出來，從外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，一直求到對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)為止．2.2.4隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)先取對(duì)數(shù)，再利用隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)，這種方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法．2.3高階導(dǎo)數(shù)圖2-62.3.1高階導(dǎo)數(shù)的定義2.3.2高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算2.4函數(shù)的微分圖2-72.4.1微分的定義2.4.2微分的幾何意義圖2-82.4.3微分公式與微分運(yùn)算法則1．微分的基本公式2．函數(shù)和、差、積、商的微分法則3．復(fù)合函數(shù)的微分法則2.4.4微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

用MATLAB求導(dǎo)數(shù)THEEND

高等數(shù)學(xué)模塊3

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3.1中值定理3.2洛必達(dá)法則3.3函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值3.4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)3.1中值定理圖3-1圖3-13.1.1羅爾（Rolle）定理圖3-23.1.2拉格朗日（Lagrange）定理圖3-3由推論1可得到下面的推論．3.1.3柯西（Cauchy）定理3.2洛必達(dá)法則

洛必達(dá)法則雖然是求未定式的一種有效方法，但不一定是最簡(jiǎn)捷的方法．因此，在求極限過程中，最好將洛必達(dá)法則與其他求極限的方法結(jié)合使用．例如，能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能化簡(jiǎn)，能用兩個(gè)重要極限時(shí)應(yīng)盡可能用兩個(gè)重要極限等．只有這樣才能使運(yùn)算簡(jiǎn)捷．另外，應(yīng)注意洛必達(dá)法則的條件．否則，洛必達(dá)法則可能失效．當(dāng)法則失效時(shí)，并不意味著原極限不存在，這時(shí)應(yīng)改用其他方法求解．3.2.3其他類型的未定式3.3函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值圖3-4

案例2（易拉罐的設(shè)計(jì)）

圖3-5所示為生活中常見的易拉罐．企業(yè)在設(shè)計(jì)易拉罐時(shí)，為了用最小的成本獲得最大的利潤(rùn)，需要考慮在體積一定的情況下用料最省的問題．測(cè)量一個(gè)你身邊的易拉罐，分析它的設(shè)計(jì)是否達(dá)到了企業(yè)的期望．如果沒有達(dá)到，請(qǐng)你改進(jìn)．圖3-53.3.1函數(shù)的單調(diào)性（a）

（b）

圖3-6 表3-1例3表明，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)．3.3.2函數(shù)的極值1．函數(shù)極值的定義圖3-7

由定義知，函數(shù)的極值概念是局部性的．在指定的區(qū)間上，一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)極值，極大值也可能小于極小值，但函數(shù)的極值一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部．2．函數(shù)極值的判定和求法圖3-7下面研究極值存在的充分條件．圖3-10

圖3-11圖3-8圖3-9

綜上所述，函數(shù)的極值只可能在駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)取得．因此，求函數(shù)的極值時(shí)，可以先求出函數(shù)的所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，再判別這些點(diǎn)中哪些是極值點(diǎn)．3.3.3函數(shù)的最值及其應(yīng)用（a）

（b）

圖3-123.4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

在圖3-13和圖3-14中的曲線上各點(diǎn)作切線，可以看出：當(dāng)曲線弧是凹的時(shí)，曲線弧上每一點(diǎn)的切線都位于該曲線弧的下方；當(dāng)曲線弧是凸的時(shí)，曲線弧上每一點(diǎn)的切線都位于該曲線弧的上方．圖3-13圖3-14圖3-15數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

用MATLAB求一元函數(shù)的最大值和最小值THEEND

高等數(shù)學(xué)模塊4

不定積分4.1不定積分的概念4.2不定積分的基本公式與運(yùn)算法則、直接積分法4.3換元積分法4.4分部積分法4.1不定積分的概念圖4-14.1.1原函數(shù)的概念

滿足何種條件的函數(shù)必定存在原函數(shù)？如果存在，是否唯一？？因?yàn)槌醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，所以初等函數(shù)在其定義區(qū)間上有原函數(shù)．4.1.2不定積分的定義4.1.3

不定積分的幾何意義圖4-2圖4-34.2不定積分的基本公式與運(yùn)算法則、直接積分法圖4-44.2.1不定積分的基本公式表4-1牢記4.2.2不定積分的基本運(yùn)算法則法則2對(duì)于有限個(gè)函數(shù)的代數(shù)和的情形也是成立的．

在分項(xiàng)積分后，每個(gè)不定積分的結(jié)果都應(yīng)有一個(gè)積分常數(shù)，但任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此最后結(jié)果只要寫一個(gè)任意常數(shù)即可．4.2.3直接積分法直接用積分基本公式與運(yùn)算性質(zhì)求不定積分，或者對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃危òù鷶?shù)變形和三角變形），再利用積分基本公式與運(yùn)算法則求不定積分的方法稱為直接積分法．4.3換元積分法圖4-54.3.1第一類換元積分法熟記下列微分式，將對(duì)解題有很大幫助：4.3.2第二類換元積分法于是變量置換法主要解決被積函數(shù)中帶有根式積分．4.4分部積分法圖4-6從上面的例子可以看出：（1）分部積分法一般用于被積函數(shù)為不同類型的函數(shù)乘積式，但也用于某些函數(shù)，如對(duì)數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

用MATLAB求不定積分THEEND

高等數(shù)學(xué)模塊5

定積分及其應(yīng)用5.1定積分的概念與性質(zhì)5.2微積分基本公式5.3定積分的計(jì)算5.4定積分的應(yīng)用5.1定積分的概念與性質(zhì)案例（窗戶的采光面積）

如圖5-1所示為現(xiàn)在房屋中出現(xiàn)較多的歐式窗戶，如圖5-2所示為其平面圖（單位：cm），其曲線段是拋物線型．試計(jì)算窗戶的采光面積．圖5-1圖5-2分析不難看出，將長(zhǎng)方形的面積減去圖中陰影部分的面積即得所求的面積．因此，只需要求出圖中陰影部分的面積即可．下面我們研究如何求該部分面積．為了方便，將圖5-2中的陰影部分旋轉(zhuǎn)180°，得到圖5-3（a）．該圖形由三條直線（其中兩條互相平行且與第三條垂直）與一條連續(xù)曲線所圍成，這樣的圖形稱為曲邊梯形．圖5-3如圖5-3（b）所示，建立直角坐標(biāo)系，求得拋物線的方程為．（a）（b）圖5-4表5-2圖5-55.1.1定積