2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形第1講任意角和蝗制及任意角的三角函數(shù)教學(xué)案理北師大版

1、高考總復(fù)習(xí)第1講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)晨新考綱考向預(yù)測r1.丁帆讓意他的糊檀和姐般制的悵立.工怪進(jìn)叮瓠度耳角戰(zhàn)的曳牝.，一理時任也南 也出也1步足，氽強(qiáng).命題起務(wù)去謂:以理聊任點的一角南！t的權(quán)定.他也行蛇用度的u化我痢 格H長、面積的計算為主.常。向址，三用恒等變換M姑介，的我一 加陽鞅他式的應(yīng)用及三曲面載能牝浦與求境.與曹介類i：論思思同蒙 皚。W罩的應(yīng)用窟識,題繼磔選程眈為主.信F灘蛾正切卜的定義核心*養(yǎng)曲學(xué)抽象，數(shù)學(xué)加齊J理牧M 夯H聯(lián)箭卸ts 走迸教材一、知識梳理1.角的有關(guān)概念(1)從運(yùn)動的角度看，角可分為正角、負(fù)角和零角.(2)從終邊位置來看，角可分為象限角與軸線角.

2、(3)若§與a是終邊相同的角，則 B用a表示為3 =2kTt + a , kZ.2.弧度制(1)定義：在單位圓中，長度為 1的弧所對的圓心角稱為1弧度角，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù) j角的弧度數(shù)是零._一，一 兀180(2)角度制和弧度制的互化：180 =7t rad , 1 =彳而rad , 1 rad = =_.(3)扇形的弧長公式：l = | g | r,扇形的面積公式：S= Ir =二| a | r2.2- 21. 一個口訣三角函數(shù)值在各象限的符號：一全正、二正弦、三正切、四余弦.2 . 一個結(jié)論兀右 a C 0, -2 ,貝u tan a > a >

3、sin a .3 .三角函數(shù)定義的推廣y設(shè)點Rx, y）是角a終邊上任息一點且不與原點重合，r=|Op,則sin a =-, cos a4 .象限角'第一象限趣）（機(jī)8加環(huán)金正句24ir+ <a<2Au+-nAEZ|«第 源取財卜班”+*（制+等*E?,第叫象限期:W則*咨"<出葉2叫*E司5.軸線角終選落祗"上的甭可 Hr/口）隆邊將在弗上一的的 信卜嚀+自小/怨力落ft型初,軸一的餅心印-”1-*;二、教材衍化1 .角225 =弧度，這個角在第 象限.心5兀答案：一7二42 .設(shè)角e的終邊經(jīng)過點 P（4 , 3）,那么2cos e -

4、 sin 0 =解析：由已知并結(jié)合三角函數(shù)的定義，得sin 0 = -|,5cos 0 =7,所以 2cos 0 sin 0 =2x7 =.555511答案：-53 . 一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角大小為 弧度.»一 兀答案：73走出誤區(qū)、思考辨析判斷正誤(正確的打“，”，錯誤的打“X”)小于90°的角是銳角.()(2)三角形的內(nèi)角必是第一、第二象限角. ()(3)不相等的角終邊一定不相同.()答案：(1) X (2) X (3) X二、易錯糾偏常見誤區(qū)| K(1)終邊相同的角理解出錯；(2)三角函數(shù)符號記憶不準(zhǔn)；(3)求三角函數(shù)值不考慮終邊所在象限.1 .下列與

5、93的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是()4A. 2k% 45° (kCZ)B. k - 360° +9兀(kCZ)4C. k - 360° 315° (kCZ)D. k% +4(k Z)解析：選C.與"的終邊相同的角可以寫成2k兀+ 岑(k e Z),但是角度制與弧度制不44能混用，所以只有 C正確.故選C.2 .若sin a <0,且tan a>0,則a是第 象限角.解析：由sin a<0知a的終邊在第三、第四象限或 y軸的負(fù)半軸上；由tan a >0知a的終邊在第一或第三象限，故 a是第三象限角.答案：三3 .已知角

6、 a的終邊在直線 y= x上，且cos a <0,則tan a =.解析：如圖，由題意知，角 a的終邊在第二象限，在其上任取一點P(x, y),則y= x,由三角函.、 Iy x數(shù)的定義得tan a=y=-x-=- 1.答案：1明善向百田考例考流.考點象限角及終邊相同的角（自主練透）1 .給出下列四個命題：3一-4是第二象限角；3-是第三象限角；一 400。是第四象限角；一315。是第一象限角.其中正確命題的個數(shù)為（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：選c. 34匚是第三象限角，故錯誤；4-=兀+3,所以卷是第三象限角，故正確； 400° =- 360° -40&

7、#176; ,所以一400°是第四象限角，故正確； 315。=- 3600 +45。，所以一315。是第一象限角，故正確，故選 C.一一 口2 .若角a是第二象限角，則萬是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象PM角D.第二或第四象限角,.一 .一. 一 ，一. 兀解析：選C.因為a是第二象限角，所以2_ + 2卜兀<“<兀+ 2k Tt , kCZ,一 兀a 兀所以 -十 k兀萬+k兀'k e Z.a當(dāng)k為偶數(shù)時，萬是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時，y是第三象限角.a所以萬是第一或第三象限角.兀兀3 .集合a kTt+ < a<kTt + -2-

8、, kCZ中的角所表示的范圍（陰影部分）是（）.一一 .、.兀兀 .,兀斛析：選 C.當(dāng)k= 2n( n C Z)時，2n兀+ < a w 2n兀+ ,此時 a表本的氾圍與 a & 2表示的范圍一樣；當(dāng)k=2n+ 1(n2 Z)時,兀兀,2n兀 + 兀 + WaW2nTt + Tt + ,此時，一，.，一，兀兀，一，.，一，、，、，a表小的氾圍與 兀+ < a W兀+ 表布的氾圍一樣，故選 C.4 .在一720°0°范圍內(nèi)所有與45°終邊相同的角為 解析：所有與45。終邊相同的角可表示為：B =45° + kX360° (k

9、CZ),則令 720° W 45° +kX360° <0° (kCZ),得765° WkX360° < 45° ( k Z), 76545一解得礪忘k<-礪(心與，從而k=2和k= 1, 360360代入得3 =675° 和 3 =- 315°答案：675°和一315°5.終邊在直線y=，3x上，且在2兀，2兀)內(nèi)的角 a的集合為解析：如圖,19在坐標(biāo)系中畫出直線 y = 43x,可以發(fā)現(xiàn)它與X軸的夾角是-y,在0 , 2兀)內(nèi)，終邊在直線y=J3x上的角有兩個:在2

10、兀，0)內(nèi)滿足條件的角有兩個：一 粵，一萼，故滿足條件的角 a構(gòu)成的集合 335兀35兀答案：一二713，(1)終邊在某直線上角的求法4步驟數(shù)形結(jié)合，在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線;按逆時針方向?qū)懗?, 2兀內(nèi)的角；再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合;求并集化簡集合.(2)判斷象限角的2種方法圖象法：在平面直角坐標(biāo)系中， 作出已知角并根據(jù)象限角的定義直接判斷已知角是第 幾象限角；轉(zhuǎn)化法：先將已知角化為k - 360° + a(0° W “<360° , kC Z)的形式，即找出與已知角終邊相同的角a ,再由角a終邊所在的象限判斷已知角是第幾象限角.,

11、、a* 一 確定ka , y(k N)的終邊位置3步驟用終邊相同角的形式表示出角a的范圍;再寫出ka或+的范圍;k_. a然后根據(jù)k的可能取值討論確定k a或式的終邊所在的位置.提醒終邊在一條直線上的角之間相差180。的整數(shù)倍；終邊在互相垂直的兩條直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍.考點扇形的弧長及角度公式(師生共研)例國 已知一扇形的圓心角為a ,半徑為R弧長為l .若a=60° , R= 10 cm,求扇形的弧長l;(2)已知扇形的周長為 10 cm,面積是4 cm2,求扇形的圓心角；(3)若扇形周長為20 cm,當(dāng)扇形的圓心角 a為多少弧度時，這個扇形的面積最大?一一c

12、?！窘狻?1) a = 60 = _rad ,一一.兀10 71所以 l = a , Rf= _x 10= -(cm).332R+ Ra =10(2)由題意得12 R2=4R= 4,R= 1 ,(舍去)或 1a = 8a = .1故扇形圓心角為2 rad.(3)由已知得l +2R= 20, ,11o2所以 S= 2lR=2(20 2R) R= 10R R= (R 5) + 25,所以當(dāng)R= 5 cm時，S取得最大值25 cm2,此時 l = 10 cm, a = 2 rad.弧度制下有關(guān)弧長、扇形面積問題的解題策略(1)利用扇形的弧長和面積公式解題時，要注意角的單位必須是弧度.(2)求扇形面積

13、最大值的問題時，常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，利用配方法使問題得 到解決.(3)在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.1 .已知2弧度的圓心角所對的弦長為2,那么這個圓心角所對的弧長是()A. 2B. sin 2C.sin7D. 2sin 1解析：選C.如圖,/AO屋2弧度，過 O點作OCL AB于點C,并延長 O改ABF D則/ AOD= / BOD= 1 弧度,且 AC= 2AB= 1,在 RtAAOO, AC 11A sin Z AOC- sin 1 ' r - sin 1 '從而AB勺長為l = a - r = -.故選C. sin 12 . （

14、2020 四川樂山、峨眉山二模 ）九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中方田章給出計算弧田面積所用的經(jīng)驗公式為：弧田面積=；(弦x矢+矢2),弧田由圓弧和其所對弦所圍成，公式中“弦” 指圓弧對弦長，“矢”指半徑長與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為二，半徑長為4的弧田(如圖所示)，按照上述公式計算出弧田的面積為 .2兀.兀兀解析：由題意可得/ AOB=-OA= 4.在 RtAAOD,易得/ AOD=, Z DAO= , ODAB= 2AD= 4 j3.=/A= 3X 4= 2,可得矢=4-2 = 2.由 AD= AQin -3- = 4X g-= 2、/3,可得弦_ 1、.212所以弧田面

15、積=2(弦x矢+矢)= X (4PX2+2 ) = 4，3+2.答案：4 ,;3+2三角函數(shù)的定義(多維探究)角度一利用三角函數(shù)的定義求值例 WH已知角a的終邊上一點 P(-y/3, m)( E0),且sin2m"=4，求 cos a , tana的值.【解】 設(shè)p(x, y).由題設(shè)知x=-0 y=mj所以 r2=| OP2=( J3)2+m2(O為原點)，r = d3+m,所以sinm 2mm所以 r = .3+ m2 = 2小，3+ m2= 8,解得 m= ± 率.當(dāng) m=木時，= 2也，x= y = f5,所以cos乎,tan a當(dāng)m=m時，r = 2吸，x=$，y

16、 =乖,所以cos角度二判斷三角函數(shù)值的符號例工-工(1)sin 2- cos 3 tan 4 的值()A.小于0B.C.等于0D.小存在(2)若 sin a tan a <0,且cos-<0,則角 a 是()tan aA.第一象限角C.第三象限角B.第二象限角D.第四象限角【解析】(1)因為十及小兀<4<3，所以 sin 2>0 , cos 3<0 , tan 4>0.所以 sin 2 - cos 3 - tan 4<0 ,所以選 A.(2)由 sin a tan a <0 可知 sin a , tan a 異號，則a為第二象限角或第三象

17、限角.由COs : <0可知cos a , tan a異號，則a為第三象限角或第四象限角.綜上可知，a為第三象限角.【答案】(1)A (2)C角度三以三角函數(shù)定義為背景的創(chuàng)新題例回 如圖所示，質(zhì)點 P在半彳全為2的圓周上逆時針運(yùn)動，其初始位置為Po(、/2,、/2),角速度為1,那么點P到X軸的距離d關(guān)于時間t的函數(shù)圖象大致為()【解析】因為R(、/2, 42)，所以/ ROx= ?.因為角速度為1,所以按逆時針方向旋轉(zhuǎn)時間兀t 后，得/ POP= t,所以/ POx= t -.兀由三角函數(shù)定義，知點P的縱坐標(biāo)為2sin t-,一，.，兀因此 d=2 sin t 一 了 .令 t =0,

18、貝U d = 2 sin 一1 =”.兀.當(dāng)t =了時，d=0,故選C.規(guī)牌忻徑(1)用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況已知角a終邊上一點P的坐標(biāo)，則可先求出點P到原點的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解；已知角a的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點的坐標(biāo)，求出此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求解.（2）判斷三角函數(shù)值符號及角位置的方法已知一角的三角函數(shù)值（sin a , cos a, tan a ）中任意兩個的符號， 可分別確定出角 終邊所在的可能位置，二者的交集即為該角的終邊位置，注意終邊在坐標(biāo)軸上的特殊情況.（3）利用單位圓解三角不等式（組）的一般步驟用邊界值定出角的終邊位置；根

19、據(jù)不等式（組）定出角的范圍；求交集，找單位圓中公共的部分；寫出角的表達(dá)式.1 . （2020 江西九江一模）若 sin x<0,且 sin（cos x）>0 ,則角 *是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析：選 D.因為一1w cos xwi,且 sin（cos x）>0 ,所以 0<cos xw 1,又 sin x<0,所 以角x為第四象限角，故選 D.2 .已知角a的始邊與x軸的正半軸重合，頂點在坐標(biāo)原點，角 a終邊上的一點P到原點的距離為R若a =-4,則點P的坐標(biāo)為（）B.(聲 1)A. (1 , V2)C.（啦，/）D. （1

20、 , 1）解析：選D.設(shè)點P的坐標(biāo)為（x, y）,sin則由三角函數(shù)的定義得x=q2cos7t7=1故點P的坐標(biāo)為（1 , 1）.解析：因為角a的終邊經(jīng)過點P（-x, 6）,且 cos a513'y=/sin 亍=1.所以x cos a = . 2-x +3613'55 .即x= 5或x= 2（舍去）,所以12 寸.sin a 12 nrt 11R,所以tan a=coTV=石'則赤F+高F1312+12 =23.答案：3基礎(chǔ)題組練1 .若角a的終邊經(jīng)過點 P（1 ,。3），則cos a + tan a的值為（A.1+產(chǎn)C.寧D.-1 2. 3解析：選A.因為角a的終邊

21、經(jīng)過點 P（1 , V3）,則x= 1, y = V3,=|0印=2,所以cos ax 1-=tanr 2'ya = x= v3，那么 cos a + tanA.2.若角a的終邊關(guān)于x軸對稱，則有（A.a + B =90°B.C.a + 3 =2k- 180° , kC ZD.a + 3 =180° + k - 360° , kC Z解析：選C.因為a與B的終邊關(guān)于x軸對稱,所以3 =2k - 180° a , kC Z,所以kJ.3.已知點P（tana）在第三象限，則角的終邊在（）A.第一象限D(zhuǎn).第四象限C.第三象限解析：選B.由題意

22、知tana <0, cos a <0,故 sina >0,根據(jù)三角函數(shù)值的符號規(guī)律可知，角a的終邊在第二象限.故選 B.4.已知點P（sin x-cos x, - 3）在第三象限，則 x的可能區(qū)間是（）兀A. 兀B.兀C.一萬,D.解析：選D.由點P（sin x-cos x,-3）在第三象限，可得sin x cos x<0,即sin x<cosx,所以一34+2k兀<x<4+2kjt, kCZ.當(dāng)k=0時，x所在的一個區(qū)間是5.已知角a =2kTt -kC Z)，若角e與角a的終邊相同，則y =sin 0cos 0|sin 0 | 十 |cos 0 |

23、tan 0 -+而F的值為()A. 1B. 1C. 3D. - 3.-TT . ., . .解析：選B.由a =2kTt- (kC Z)及終邊相同的角的概念知，角a的終邊在第四象限, 5又角e與角a的終邊相同，所以角0是第四象限角，所以 sin 0 <0, cos 0 >0, tan 0<0.所以 y= 1 + 11 = - 1.6 .已知a是第二象限角，P(x,45)為其終邊上一點，且cos a =Wx,則x =,一.x解析：因為 cos a =1千x +54x ,所以x= 0或x = J3或x= 43 ,又a是第二象限角，所以x=->/3.答案：37 .若圓弧長度等

24、于該圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)是解析：設(shè)圓半徑為r,則圓內(nèi)接正方形的對角線長為2r,所以正方形邊長為 J2r,所以圓心角的弧度數(shù)是一空=.2.答案：228 .已知點Rsine , cos 0)是角a終邊上的一點，其中 0 則與角a終邊相3同的最小正角為4, 一， 2解析：因為e =21，故p3亭2 ,故a為第四象限角且cos a =喙,所以a2"+*' kJ,所以與角,一 ，一,11 兀終邊相同的最小正角為- 611 71答案：T.119-已知際F=一忑丁,且lg(cos a)有意義.(1)試判斷角a所在的象限; 3（2）若角a的終邊上一點Mgm,且| OM= 1

25、（ O為坐標(biāo)原點），求m的值及sin a的值.一 ,1斛：由MF1 sin得 sin a <0,由 lg(cosa）有意義，可知COS a>0,所以a是第四象限角.(2)因為|OM=1,所以32 52+ m=，一小 一一一 4又a為第四象限角，故 n<0,從而mF 二,5sin a4 一 y_ m _ 4 則 cos(sin 0 ) - sin(cos0 ) = cos 5sin 5> 0.綜上，當(dāng)a>0時，cos(sin0 ) - sin(cos8)的符號為負(fù); 當(dāng) a<0 時，cos(sin 0 ) - sin (cos 0 )的符號為正. r=ToMi

26、 =不10.若角0的終邊過點 R4a, 3a)(aw0).(1)求 sin 0 +cos 0 的值；(2)試判斷 cos(sin 0 ) - sin(cos 0 )的符號.解：(1)因為角0的終邊過點 R4a, 3a)( aw 0),所以 x= 4a, y = 3a, r = 5| a| ,當(dāng) a>0 時，r=5a, sin 0 + cos 0 = 7. 5當(dāng) a<0 時，r = 5a, sin 0 + cos 6=5.(2)當(dāng) a>0 時，sin 8 =|e 0, -r , 52cos e =- 40 ,52貝U cos(sin 0 ) - sin(cos 0 )=cos

27、7 - sin -2 v 0; 55'.3 兀當(dāng) a<0 時,sin5c 一5，°，cos e =4 0, V ,52綜合題組練始邊與X軸的非負(fù)半軸1 . （2020 河北唐山第二次模擬）已知角a的頂點為坐標(biāo)原點,重合，終邊上一點A(2sina , 3)(sin a w 0),則 cos a =()B.1A. 2D.232解析：選A.由三角函數(shù)定義得tan32sin a即叫cos a32sin a,得 3cosoo-1 ,，,，2sin a =2(1 cos a ),解得 cos a =2或 cos a = - 2(舍去).故選 A.2 .已知sin a >sin

28、 3 ,那么下列命題成立的是（）A.若a,§是第一象限的角，則cosa >cos（38 .若a,B是第二象限的角，則tana >tan（3C.若a,B是第三象限的角，則cosa>cos§D.若a,§是第四象限的角，則tana >tan（3解析：選D.由三角函數(shù)線可知選 D.3.如圖,在RtPBO, / PBO= 90° ,以O(shè)為圓心、O助半徑作圓弧交 OPT A點.若圓弧 AB等分 POB勺面積，且/ AOB= a弧度，則;=.tan a解析：設(shè)扇形的半徑為r,則扇形的面積為2ar .,在RtAPOE, PB= rtan a ,則

29、 POB的面積為3r rtan a ,由題意得=r rtan a =2x = " r2,所以tan a = 2 a ,所以;一%一=222tan aJ1答案：24 .已知圓O與直線l相切于點A,點P, Q同時從A點出發(fā)，P沿著直線l向右運(yùn)動，Q沿著圓周按逆時針以相同的速度運(yùn)動，當(dāng)Q運(yùn)動到點A時，點P也停止運(yùn)動，連接OQ OP如圖)，則陰影部分面積 S, &的大小關(guān)系是 解析：設(shè)運(yùn)動速度為 m運(yùn)動時間為t ,圓O的半徑為r,則AQ= AP= tm,根據(jù)切線的性質(zhì)知 OAL AP,11所以 Si = 2tm ,一5扇形人0'S2=2tm ,一5扇形人0%所以S = S2恒成立.答案：Si=S25 .如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，角a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且與單位圓相 交于A點，它的終邊與單位圓相交于 x軸上方一點B,始邊不動，終邊在運(yùn)動. 若點B的橫坐標(biāo)為一4,求tan a的值； 5(2)若 A0助等邊三角形，寫出與角