東南大學(xué)-數(shù)字信號(hào)處理-吳鎮(zhèn)揚(yáng)-3-2

1、 二、雙線(xiàn)性變換法二、雙線(xiàn)性變換法 脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從S平面到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換zesT的多值對(duì)應(yīng)關(guān)系導(dǎo)致的,為了克服這一缺點(diǎn)，設(shè)想變換分為兩步： 第一步：將整個(gè)S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里； 第二步：通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。 由此建立S平面與Z平面一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。s平面s1平面z平面雙線(xiàn)性變換法的映射關(guān)系 為了將S平面的j軸壓縮到S1平面j1軸上的/T到/T 一段上，可通過(guò)以下的正切變換實(shí)現(xiàn)：0)2(tg1Tc這里C是待定常數(shù)，下面會(huì)講到用不同的方法確定C，可使模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字源波器的頻率

2、特性在不同頻率點(diǎn) 有對(duì)應(yīng)關(guān)系。 經(jīng)過(guò)這樣的頻率變換， 當(dāng)由 時(shí), 1由-/T經(jīng)過(guò)變化到/T ，即S平面的整個(gè)j軸被壓縮到S1平面的2/T 一段。通常取C=2/T,) 2/(2tgTTsTseecTscs1111)2(th1zzTsTsez1考慮z = ej, jjTjTeeTsjj)2(tg22cos)2/sin(2112再將 S1 平面通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面，即令將這一關(guān)系解析擴(kuò)展至整個(gè)S平面，則得到S平面到S1平面的映射關(guān)系：最后得S平面與Z平面的單值映射關(guān)系： 雙線(xiàn)性變換法的主要優(yōu)點(diǎn)是S平面與Z平面一一單值對(duì)應(yīng)，S平面的虛軸(整個(gè)j)對(duì)應(yīng)于Z平面 單位圓的一周，S平面的=0處對(duì)應(yīng)于

3、Z平面的=0處，對(duì)應(yīng)即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終 止于折疊頻率處，所以雙線(xiàn)性變換不存在混迭效應(yīng)。zzTssTsTz)/()/( 現(xiàn)在我們看看，這一變換是否符合我們一開(kāi)始提出的由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，從 S平面到Z平面映射變換的二個(gè)基本要求： 當(dāng) 時(shí)，得：jez jjtgTeeTsjj22112js2222221221|,221221TTTTzTjTTjTz01| ,0;1|zz時(shí)0對(duì)單位圓 , 即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。時(shí) 即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過(guò)雙線(xiàn)性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。如圖1。 圖 雙線(xiàn)性變換的頻率非線(xiàn)性關(guān)

4、系 小結(jié) 1) 與脈沖響應(yīng)不變法相比，雙線(xiàn)性變換的主要優(yōu)點(diǎn)：S平 面與Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系（靠頻率的嚴(yán)重非線(xiàn)性關(guān)系得到的），即整個(gè)j軸單值的對(duì)應(yīng)于單位圓一周，關(guān)系式為： 可見(jiàn)，和為非線(xiàn)性關(guān)系，如圖2。 22tgT 圖2 雙線(xiàn)性變換的頻率非線(xiàn)性關(guān)系 由圖中看到，在零頻率附近，接近于線(xiàn)性關(guān)系，進(jìn)一步增加時(shí)，增長(zhǎng)變得緩慢， (終止于折疊頻率處)，所以雙線(xiàn)性變換不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部 分超過(guò)折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象。,時(shí) 2)雙線(xiàn)性變換缺點(diǎn)： 與成非線(xiàn)性關(guān)系，導(dǎo)致： a. 數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)相對(duì)于模擬濾波器的幅頻響應(yīng)有畸變，(使數(shù)字濾波器與模擬濾波器在響應(yīng)與頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系上發(fā)生畸變)。 例

5、如，一個(gè)模擬微分器，它的幅度與頻率是直線(xiàn)關(guān)系，但通過(guò)雙線(xiàn)性變換后，就不可能得到數(shù)字微分器bktgjHeHbkjHtgj2)()()(2b. 線(xiàn)性相位模擬濾波器經(jīng)雙線(xiàn)性變換后，得到的數(shù)字濾波器為非線(xiàn)性相位。 c.要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段恒定的，故雙線(xiàn)性變換只能用于設(shè)計(jì)低通、高通、帶通、帶阻等選頻濾波器。 雖然雙線(xiàn)性變換有這樣的缺點(diǎn)，但它目前仍是使用得最普遍、最有成效的一種設(shè)計(jì)工具。這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)濾波器都具有分段常數(shù)的頻響特性，如低通、高通、帶通和帶阻等，它們?cè)谕◣?nèi)要求逼近一個(gè)衰減為零的常數(shù)特性，在阻帶部分要求逼近一個(gè)衰減為的常數(shù)特性，這種特性的濾波器通過(guò)雙線(xiàn)性變換后，雖然頻率發(fā)生了非

6、線(xiàn)性變化，但其幅頻特性仍保持分段常數(shù)的特性。 例如，一個(gè)考爾型的模擬濾波器Ha(s)，雙線(xiàn)性變換后，得到的H(z)在通帶與阻帶內(nèi)都仍保持與原模擬濾波器相同的等起伏特性，只是通帶截止頻率、過(guò)渡帶的邊緣頻率，以及起伏的峰點(diǎn)、谷點(diǎn)頻率等臨界頻率點(diǎn)發(fā)生了非線(xiàn)性變化，即畸變。這種頻率點(diǎn)的畸變可以通過(guò)預(yù)畸來(lái)加以校正。預(yù)畸變： 即將模擬濾波器的臨界頻率事先加以畸變，然后通過(guò)雙線(xiàn)性變換后正好映射到所需要的頻率上。 利用關(guān)系式： 將所要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器臨界頻率點(diǎn) ，變換成對(duì)應(yīng)的模擬域頻率 ，利用此 設(shè)計(jì)模擬濾波器，再通過(guò)雙線(xiàn)性變換，即可得到所需的數(shù)字濾波器，其臨界頻率正是 。如圖所示。22iitgTiiii雙線(xiàn)

7、性變換時(shí)頻率的預(yù)畸 )計(jì)算H(Z) 雙線(xiàn)性變換比脈沖響應(yīng)法的設(shè)計(jì)計(jì)算更直接和簡(jiǎn)單。由于s與z之間的簡(jiǎn)單代數(shù)關(guān)系，所以從模擬傳遞函數(shù)可直接通過(guò)代數(shù)置換得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)。 置換過(guò)程: 頻響： 11112112)()(11zzTHsHzHazzTsa22)()(22tgTjHjHeHatgTaj 這些都比脈沖響應(yīng)不變法的部分分式分解便捷得多，一般，當(dāng)著眼于濾波器的時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)，采用脈沖響應(yīng)不變法較好，而其他情況下，對(duì)于IIR的設(shè)計(jì)，大多采用雙線(xiàn)性變換。 3.2 3.2 常用模擬低通濾波器特性常用模擬低通濾波器特性 為了方便學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器，先討論幾種常用的模擬低通濾波器設(shè)計(jì)方法，高通、帶通

8、、帶阻等模擬濾波器可利用變量變換方法，由低通濾波器變換得到。 模擬濾波器的設(shè)計(jì)就是根據(jù)一組設(shè)計(jì)規(guī)范設(shè)計(jì)模擬系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，使其逼近某個(gè)理想濾波器特性。 因果系統(tǒng)中式中ha(t)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，是實(shí)函數(shù)。 不難看出 0)()(dtethjHtjaa0sincos)()(dttjtthjHaa)()(jHjHaa定義振幅平方函數(shù) 式中 Ha(s)模擬濾波器 系統(tǒng)函數(shù) Ha(j)濾波器的頻率響應(yīng) |Ha(j)|濾波器的幅頻響應(yīng)又 S=j，2=-S2 A(2)=A(-S2)|S=j) 1 ()()()()()()()()()(222jsaaaaaaasHsHjHjHAjHjHjHA問(wèn)題：由A(-

9、S2)Ha(S) 對(duì)于給定的A(-S2)，先在S復(fù)平面上標(biāo)出A(-S2)的極點(diǎn)和零點(diǎn)，由(1)式知，A(-S2)的極點(diǎn)和零點(diǎn)總是“成對(duì)出現(xiàn)”，且對(duì)稱(chēng)于S平面的實(shí)軸和虛軸，選用A(-S2)的對(duì)稱(chēng)極、零點(diǎn)的任一半作為Ha(s)的極、零點(diǎn)，則可得到Ha(s)。 為了保證Ha(s)的穩(wěn)定性，應(yīng)選用A(-S2)在S左半平面的極點(diǎn)作為Ha(s)的極點(diǎn)，零點(diǎn)可選用任一半。NcajjjHA22211)()()(2AN為濾波器階數(shù)， 如圖1其幅度平方函數(shù)：特點(diǎn)：具有通帶內(nèi)最大平坦的振幅特性，且隨f ，幅頻特 性 單調(diào) 。三種模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)：1）巴特沃茲濾波器 (Butterworth 濾波器) (巴特沃茲

10、逼近)圖1 巴特沃茲濾波器 振幅平方函數(shù) 通帶: 使信號(hào)通過(guò)的頻帶 阻帶：抑制噪聲通過(guò)的頻帶 過(guò)渡帶：通帶到阻帶間過(guò)渡的頻率范圍 c ：通帶邊界頻率。 過(guò)渡帶為零， 阻帶|H(j)|=0 通帶內(nèi)幅度|H(j)|=const.， H(j)的相位是線(xiàn)性的。 理想濾波器圖1中，N增加，通帶和阻帶的近似性越好，過(guò)渡帶越陡。在過(guò)渡帶內(nèi)，階次為的巴特沃茲濾波器的幅度響應(yīng)趨于斜率為-6NdB/倍頻程的漸近線(xiàn)。 通帶內(nèi)，分母/c1， ( /c)2N 1, 增加， A(2)快速減小。=c, ， ,幅度衰減 ，相當(dāng)于3dB衰減點(diǎn)。 21)0()(2AAc2121)(2A振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)： 令分母為零，得 可見(jiàn)，

11、Butterworth濾波器 的振幅平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，它們均勻?qū)ΨQ(chēng)地分布在|S|=c的圓周上。 例：為N=3階BF振幅平方函數(shù)的極點(diǎn)分布，如圖。NcaajSSHSH2)(11)()()()1(21cNPjS圖2 三階A(-S2)的極點(diǎn)分布 考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性，知DF的系統(tǒng)函數(shù)是由S平面左半部分的極點(diǎn)（SP3，SP4，SP5）組成的，它們分別為： 系統(tǒng)函數(shù)為： 令 ，得歸一化的三階BF： 如果要還原的話(huà)，則有3254323,jcpcpjcpeSSeS)()()(5433pppcaSSSSSSsH1c1221)(23SSSsHa1)/(2)/(2)/(1)(23cccassssHMATLAB設(shè)

12、計(jì)模擬設(shè)計(jì)模擬Butterworth filterz,p,k=buttap(N)確定確定N階歸一化的階歸一化的Butterworth filter 的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益(gain)( )(1)(2)()kH sspspsp Nnum,den=butter(N,Wc,s)確定階數(shù)為確定階數(shù)為N，3-db截頻為截頻為Wc(radian/s)的的Butterworth filter分子和分母多項(xiàng)式。分子和分母多項(xiàng)式。s 表示模擬域。表示模擬域。N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s)確定模擬確定模擬Butterworth filter的階數(shù)的階數(shù)N和和3-db截頻截頻W

13、c。Wc是由阻帶參數(shù)確定的。是由阻帶參數(shù)確定的。 例：設(shè)計(jì)滿(mǎn)足下列條件的模擬例：設(shè)計(jì)滿(mǎn)足下列條件的模擬Butterworth低通濾波器低通濾波器 fp=1kHz, fs=5kHz, Ap=1dB, As=40dBWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40;N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s);num,den = butter(N,Wc,s);omega = 0: 200: 12000*pi;h = freqs(num,den,omega);gain = 20*log10(abs(h);plot (omega/(2*pi),gain);xlabel

14、(Frequency in Hz); ylabel(Gain in dB);0100020003000400050006000-50-40-30-20-100Frequency in HzGain in dBN=4 Ap= 0.1098 dB As= 40.0000 dB 2）切比雪夫（chebyshev）濾波器 (切比雪夫多項(xiàng)式逼近) 特點(diǎn)：誤差值在規(guī)定的頻段上等幅變化。 巴特沃茲濾波器在通帶內(nèi)幅度特性是單調(diào)下降的，如果階次一定，則在靠近截止頻率 處，幅度下降很多，或者說(shuō)，為了使通常內(nèi)的衰減足夠小，需要的階次（N）很高，為了克服這一缺點(diǎn)，采用切比雪夫多項(xiàng)式逼近所希望的 。 切比雪夫?yàn)V波器的

15、在通帶范圍內(nèi)是等幅起伏的，所以同樣的通帶衰減，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要小。可根據(jù)需要對(duì)通帶內(nèi)允許的衰減量（波動(dòng)范圍）提出要求，如要求波動(dòng)范圍小于1db。 c2)( jH2)( jH振幅平方函數(shù)為)(11)()(2222cNaVjHAc1)coshcosh(1)coscos()(11xxNxxNxVN)(, 11)(,1xVxxxVxNN時(shí)有效通帶截止頻率與通帶波紋有關(guān)的參量， 大 ，波紋大。 0 1 VN（x）N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為 如圖1,通帶內(nèi) 變化范圍1 c ，隨/c ， 0 (迅速趨于零)當(dāng) =0時(shí)， N為偶數(shù)， ，min ， N為奇數(shù)， ， max，)2(cos11)0arcco

16、s(cos11)(22220NNjHa22011)(jHa1)(02jHa1)2(cos2N0)2(cos2N2111c2a)( jH2a)( jH 切比雪夫?yàn)V波器的振幅平方特性 2minmax111lg20)()(lg20jHjHaa)1lg(1021101.02)(dB221)(,AjHar時(shí) 給定通帶波紋值分貝數(shù) 后，可求 。有關(guān)參數(shù)的確定: a、通帶截止頻率c ，預(yù)先給定 b、通帶波紋為 c、階數(shù)N由阻帶的邊界條件確定。（ 、A事先給定） 222111AVcrNr221)(,AjHar時(shí))/cosh(/1cosh()coshcosh()(,12crNarAarNxNarxVx得時(shí)MAT

17、LAB設(shè)計(jì)模擬設(shè)計(jì)模擬type I Chebyshev filterz,p,k=cheb1ap(N,Ap);確定確定N階歸一化的階歸一化的Chebyshev filter 的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益的零點(diǎn)、極點(diǎn)和增益(gain)num,den=cheby1(N,Ap,Wc,s)確定階數(shù)為確定階數(shù)為N，通帶截頻為，通帶截頻為Wc(radian/s)的的Chebyshev filter。s 表示模擬域表示模擬域N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s)確定模擬確定模擬Chebyshev filter的階數(shù)的階數(shù)N。Wc=Wp(rad/s)例：設(shè)計(jì)滿(mǎn)足下列條件的模擬例：設(shè)計(jì)滿(mǎn)足下列條件的模擬C

18、B I型低通濾波器型低通濾波器 fp=1KHz, fs=5kHz, Ap=1dB, As=40dBWp=2*pi*1000;Ws=2*pi*5000;Ap=1;As=40;N,Wc=cheb1ord(Wp,Ws,Ap,As,s);num,den = cheby1(N,Ap,Wc,s);omega=Wp Ws; h = freqs(num,den,omega); fprintf(Ap= %.4fn,-20*log10(abs(h(1); fprintf(As= %.4fn,-20*log10(abs(h(2);omega = 0: 200: 12000*pi;h = freqs(num,den,omega);gain = 20*log10(abs(h);plot (omega/(2*pi),gain);xlabel(Frequency in Hz); ylabel(Gain in dB);Ap= 1.0000 As= 47.846711723311102187. 11088. 4102099. 6102187. 1)( ssssH0100020003000400050006000-60-50-40-30-20-100Frequency in HzGain in dB 3、橢圓濾波器（考爾濾波器） 特點(diǎn)：幅值響應(yīng)在通帶和阻帶內(nèi)都是等波紋的，對(duì)于給定的階數(shù)和給定的