整理平面向量空間向量知識(shí)點(diǎn)

1、精品文檔精品文檔平面向量§2.1.1、向量的物理背景與概念1、了解四種常見(jiàn)向量：力、位移、速度、加速度2、既有大小又有方向的量叫做向量.§2.1.2、向量的幾何表示1、帶有方向的線段叫做 有向線段,有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度2、向量AB的大小,也就是向量 AB的長(zhǎng)度或稱模,記作A1 ;長(zhǎng)度為零的向量叫做 零向量；長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量規(guī)定：零向量與任意向量平行.§2.1.3、相等向量與共線向量1、長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量§2.2.1、向量加法運(yùn)算及其幾何意義1、三角形

2、加法法那么 和平行四邊形加法法那么三角形加撫法那么平行四邊懸加法法那么2、a +b wa §2.2.2、向量減法運(yùn)算及其幾何意義F-1、與a長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做a的相反向量2、三角形減法法那么和平行四邊形減法法那么三毎理減潼法那么§2.2.3、向量數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義fc-B-1、規(guī)定：實(shí)數(shù)-與向量a的積是一個(gè)向量,這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘記作：'a,它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下:當(dāng)/ > 0時(shí), a的方向與a的方向相同；當(dāng).:,0時(shí), a的方向與a的方向相反2、平面向量共線定理：向量a a = 0與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù),使b二§2.3.1、

3、平面向量根本定理1、平面向量根本定理：如果e ,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)任 一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)5,2,使a 心 一2e2 §2.3.2、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示¥>*F1、 a = xi y j 二 x, y §2.3.3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1、設(shè)a = Xi, yi ,b = X2,y2 ,那么：*F a b = XiX2, yiy2,f * a - b = X - X2 , yi _ y2 , a / b ：= x1 y2 = x22、設(shè) A Xi, yi , B X2, y2,那么:AB a% -Xiy - &#

4、167;2.3.4、平面向量共線的坐標(biāo)表示i、設(shè) A Xi, yi , B X2, y ,C X3, y,那么 線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為 寧,¥, 厶ABC的重心坐標(biāo)為莘岀,上護(hù)3 .§.4.1、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義f-=p I r1、a b = a b cos 日. I2、 a在b方向上的投影為：a cos日.-2- 23、a = a 4、5、 a _ b ：= a b = 0.§.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角1、設(shè)a 二 ,b = X22 ,那么： a b = x/2 y y2甘-x1彳 T > 4 a _ b= a b 二0= %x2

5、 y1y2 =0 a / /b 二 a =,b 二約2x2 % = 0兩向量的夾角公式2、設(shè) A xn y! , B x2, y2,那么:3、cos ab_ X! X2yi y22 + y； Jx 22+y 224、點(diǎn)的平移公式平移前的點(diǎn)為 P(x,y)(原坐標(biāo)),平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P(x , y )(新坐標(biāo)),平移向量為_(kāi)x = x hPP =(h,k), 貝Vy = y+k.函數(shù)y = f(x)的圖像按向量a=(h,k)平移后的圖像的解析式為y-k=f(x-h).里.5.1、平面幾何中的向量方法里.5.2、向量在物理中的應(yīng)用舉例空間向量空間向量的許多知識(shí)可由平面向量的知識(shí)類(lèi)比而得.下面對(duì)空間

6、向量在立體幾何中證實(shí),求值的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)歸納.1、直線的方向向量和平面的法向量 直線的方向向量：假設(shè)A、B是直線l上的任意兩點(diǎn),那么AB為直線I的一個(gè)方向向量；與AB平行的任意非零向量也是直線I的方向向量.平面的法向量：假設(shè)向量n所在直線垂直于平面：.,那么稱這個(gè)向量垂直于平面 ：,記作n |,如果n _：,!那么向量n叫做平面：的法向量.平面的法向量的求法待定系數(shù)法 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.4 設(shè)平面:-的法向量為n =x, y, z.求出平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)a = (ai, a2,比),n a = 0 根據(jù)法向量定義建立方程組小b = 0 解方程組,取其中一組解,即得平面:-的法向量如圖1

7、、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系線線平行呻4設(shè)直線Ii,l2的方向向量分別是 a、b ,那么要證實(shí)li / I2, 即:兩直線平行或重合：二兩直線的方向向量共線.只需證實(shí)a / b ,即a = kb(k R).線面平行法一設(shè)直線I的方向向量是a,平面的法向量是u,那么要證實(shí)I / ：,只需證實(shí)a _ u ,即 a u = 0 即:直線與平面平行 一直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外法二要證實(shí)一條直線和一個(gè)平面平行,也可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與直線的方 向向量是共線向量即可面面平行假設(shè)平面的法向量為u ,平面：的法向量為V ,要證/ :,只需證u / v ,即證u =,V 即:兩平面

8、平行或重合 -兩平面的法向量共線.3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系線線垂直設(shè)直線J的方向向量分別是 a、b,那么要證實(shí)hJ,只需證實(shí)a b,即a,b=0.即：兩直線垂直 兩直線的方向向量垂直.線面垂直IIII法一設(shè)直線I的方向向量是a,平面的法向量是u,那么要證實(shí)I _ :,只需證實(shí)a / u ,即 a = 1 u法二設(shè)直線I的方向向量是a,平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量分別為m、n,假設(shè)a m =0 血,那么 l - :a n = 0即：直線與平面垂直 二?直線的方向向量與平面的法向量共線：二?直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線直線的方向向量都垂直.面面垂直假設(shè)平面二的法向量為u,平面：的法向量為V,要

9、證沱.卩,只需證u _ V,即證u心=0.即：兩平面垂直 一 兩平面的法向量垂直.4、利用向量求空間角求異面直線所成的角a, b為兩異面直線,A,C與B,D分別是a, b上的任意兩點(diǎn),a, b所成的角為二AC BD貝y cos日=略 1AC BDu的夾角為,那么二為的余角或的補(bǔ)角 的余角.即有：sin 日=|cos®| =求二面角定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)局部,其中的每一局部叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,每個(gè)半平面叫做二 面角的面,二面角的平面角是指在二面角-I - 的棱上任取一點(diǎn) O,分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線AO _

10、I,BO _丨,那么AOB為二面角-丨- -的平面角.如圖:IO-求法：設(shè)二面角:-1 -B的兩個(gè)半平面的法向量分別為m、n,再設(shè)m、n的夾角為,求直線和平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角1 1 1求法：設(shè)直線丨的方向向量為a,平面的法向量為u,直線與平面所成的角為二,a與面角二I . I：的平面角為二,那么二面角二為m、n的夾角或其補(bǔ)角鼎-：巴根據(jù)具體圖形確定 二是銳角或是鈍角:如果日是銳角,那么COST = cosl =即-arcco 如果日是鈍角,那么COST = - COS®| =-m n,即 v - arccos5、利

11、用法向量求空間距離點(diǎn)Q到直線I距離*_離為假設(shè)Q為直線I外的一點(diǎn),P在直線I上,a為直線I的方向向量,b =PQ,那么點(diǎn)Q到直線I距 h川aiib_a b2|a 1點(diǎn)A到平面:-的距離假設(shè)點(diǎn)P為平面:-外一點(diǎn),點(diǎn)M為平面內(nèi)任一點(diǎn),平面的法向量為n,貝U P到平面的距離就等于 MP在法向量n方向上的投影的絕對(duì)值n MPn MPn MP直線a與平面:-之間的距離當(dāng)一條直線和一個(gè)平面平行時(shí),直線上的各點(diǎn)到平面的距離相等.由此可知,直線到平面 的距離可轉(zhuǎn)化為求直線上任一點(diǎn)到平面的距離,即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.n MP兩平行平面:-,-之間的距離利用兩平行平面間的距離處處相等,可將兩平行平面間的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)

12、面距離.n Mp|即 d = .n異面直線間的距離設(shè)向量n與兩異面直線 a,b都垂直,M a,P,b,那么兩異面直線 a,b間的距離d就是MP<在向量n方向上投影的絕對(duì)值.三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也6、三垂線定理及其逆定理和這條斜線垂直*P0 丨.,0： |推理模式：PA ：二 A= a _ PAa 二：£,a _ 0A概括為：垂直于射影就垂直于斜線 .三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線的射影垂直.P0 _ ： ,0 二j推理模式：二A = a_AOa _：i,a_AP概括為：垂直于斜線就垂直于射影.7、三余弦定理設(shè)AC是平面內(nèi)的任一條直線,AD是的一條斜線 AB在內(nèi)的射影,且BD丄AD ,垂足為D.設(shè)AB與AD所成的角為 円,AD與AC所成的角為出,AB與AC所成的角為 V .貝U COST - COS 片 COS 門(mén)2 ."D8、 面積射影定理平面1內(nèi)一個(gè)多邊形的面積