兩個計數(shù)原理與排列組合知識點及例題.doc

1、兩個計數(shù)原理與排列組合知識點及例題兩個計數(shù)原理內容1、分類計數(shù)原理：完成一件事，有 n類辦法，在第1類辦法中有iw種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法 在第 n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m> +m2 + +mn種不同的方法.2、分步計數(shù)原理：完成一件事，需要分n個步驟，做第1步驟有mi種不同的方法，做第2步驟有m2種不同的方法 做第n步驟有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=mi Xm2 X X mn種不同的方法.例題分析例1某學校食堂備有5種素菜、3種葷菜、2種湯?，F(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐。問可以配制出多少種不同的品種？ 分析：1、完成的這件事是

2、什么？2 、如何完成這件事？（配一個葷菜、配一個素菜、配一湯）3 、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）4 、運用哪個計數(shù)原理？5 、進行計算.解：屬于分步：第一步 配一個葷菜 有3種選擇第二步配一個素菜 有5種選擇第三步 配一個湯 有2種選擇共有 N=3X 5X 2=30 （種）2 、如何完成這件事？3 、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）4 、運用哪個計數(shù)原理？5 、進行計算。解：屬于分類：第一類從上層取一本書有5種選擇第二類 從下層取一本書 有4種選擇共有N=5+4=9 （種）（2）分析：1、完成的這件事是什么？6 、如何完成這件事？7 、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）8

3、、運用哪個計數(shù)原理？9 、進行計算.解：屬于分步：第一步從上層取一本書有5種選擇第二步從下層取一本書 有4種選擇共有 N=5X4=20 （種）例3、有1、2、3、4、5五個數(shù)字.（1）可以組成多少個不同的三位數(shù)？（2）可以組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)？（3）可以組成多少個無重復數(shù)字的偶數(shù)的三位數(shù)？（1）分析：1、完成的這件事是什么？2 、如何完成這件事？（配百位數(shù)、配十位數(shù)、配個位數(shù)）3 、它們屬于分類還是分步？（是否獨立完成）4 、運用哪個計數(shù)原理？5 、進行計算.略解：N=5 X 5 X 5 = 125 （個）【例題解析】1、某人有4條不同顏色的領帶和6件不同款式的襯衣，問可以有多少種不同

4、的搭配方法?例2 有一個書架共有2層，上層放有5本不同的數(shù)學書，下層放有 4本不同的語文書。（1）從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？（2）從書架上任取一本數(shù)學書和一本語文書，有多少種不同的取法?（1）分析：1、完成的這件事是什么？2、有一個班級共有46名學生，其中男生有21名.(1)現(xiàn)要選派一名學生代表班級參加學校的學代會，有多少種不同的選派方法？(2)若要選派男、女各一名學生代表班級參加學校的學代會，有多少種不同的選派方法?3、有0、1、2、3、4、5六個數(shù)字.(1)可以組成多少個不同的三位數(shù)？(2)可以組成多少個無重復數(shù)字的三位數(shù)？(3)可以組成多少個無重復數(shù)字的偶數(shù)的三位數(shù)?排列與

5、組合1 ,排列的概念：從n個不同元素中，任取m ( m n )個元素(這里的被取元素各不相 同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出 m個元素的一個排列 2 .排列數(shù)的定義：從n個不同元素中，任取m ( mn )個元素的所有排列的個數(shù)叫做從 n個元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號表示3 .排列數(shù)公式：Anm n(n l)(n 2)L(n m 1) ( m, n N,m n )4 .階乘：n!表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘規(guī)定0! 1.5 .排列數(shù)的另一個計算公式：A/j (n m)!6 .組合概念：從n個不同元素中取出m m n個元素并成一組，叫做從n個不同元素中 取出m個元

6、素的一個組合7 .組合數(shù)的概念：從n個不同元素中取出m m n個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n 個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號cm表示.Anm n(n l)(n 2)L (n m 1) mn!n8組合數(shù)公式:Cnf 或c n (n, m N ,且 m n)Amm!m!( n m)!9 .組合數(shù)的性質1： Cnm C/m.規(guī)定：Cn°10 .組合數(shù)的性質 2: C nm 1 = c nm +c nm 1 C ”+C+ +Cn n=2題型講解例1 分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)（1）6名學生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；（2） 6名學生排成一排，甲不在排頭也不在排

7、尾；（3）從6名運動員中選出4人參加4 X 10。米接力賽，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4） 6人排成一排，甲、乙必須相鄰；（5） 6人排成一排，甲、乙不相鄰；（6） 6人排成一排，限定甲要排在乙的左邊，乙要排在丙的左邊（甲、乙、丙可以不相鄰）解：（1）分排坐法與直排坐法一一對應，故排法種數(shù)為A66 720（2）甲不能排頭尾，讓受特殊限制的甲先選位置，有 “種選法，然后其他5人選，有A5§種選法，故排法種數(shù)為A41 A55480（3）有兩棒受限制，以第一棒的人選來分類：乙跑第一棒，其余棒次則不受限制，排法數(shù)為As?；乙不跑第一棒，則跑第一棒的人有A9種選法，第四棒除了乙和第一棒選定

8、的人外，也有 a*4種選法，其余兩棒次不受限制，故有 A41 A41 A22種排法，由分類計數(shù)原理，共有 A3 A1 A1 A2 252種排法 54 44（4）將甲乙“捆綁”成“一個元”與其他4人一起作全排列共有 A22 As5 240種排法（5）甲乙不相鄰，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙選擇已排好的4人的左、右及之間的空擋插位，共有 A44 A§2 （或用6人的排列數(shù)減去問題（2）后排列數(shù)為A66240 480 ）（6）三人的順序定，實質是從 6個位置中選出三個位置，然后排按規(guī)定的順序放置這三人，其余人在3個位置上全排列，故有排法C63 A33 120種點評：排隊問

9、題是一類典型的排列問題，常見的附加條件是定位與限位、相鄰與不相鄰例2假設在10。件產品中有 3件是次品，從中任意抽取 5件，求下列抽取方法各多少種？ （1）沒有次品；（2）恰有兩件是次品；（3）至少有兩件是次品解：（1）沒有次品的抽法就是從97件正品中抽取5件的抽法，共有 C 975 64446024種（2）恰有2件是次品的抽法就是從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽2件的抽法，共有 C973c32 442320 種（3）至少有2件次品的抽法，按次品件數(shù)來分有二類：第一類，從97件正品中抽取3件，并從3件次品中抽取2件，有C973 c32種第二類從97件正品中抽取2件，并將3件次品全部抽取

10、，有C972c3?種按分類計數(shù)原理有C973 C32 C972C 33 4 4 6 9 7 6種點評：此題是只選“元”而不排“序”的典型的組合問題，附加的條件是從不同種類的元素中抽取，應當注意：如果第（3）題采用先從3件次品抽取2件（以保證至少有 2件是次品），再從余 下的98件產品中任意抽取3件的抽法，那么所得結果是C32C 983 4 6 6 2 8 8種，其結論是錯誤的，錯在“重復”：假設3件次品是A、B、C,第一步先抽 A、B第二步再抽C和其余2件正品，與第一步先 抽A、C （或B、C）,第二步再抽B （或A）和其余2件正品是同一種抽法，但在算式C32 c983中算作3種不同抽法 mm

11、 1 mm 1 m 1m m 1c例 3 求證： An 1 mAn 1 An ; C n C n 2Cn n - 證明：利用排列數(shù)公式左 n 1 !-m n 1 !n m n 1 ! m n 1 ! -rH Anm 右n m 1 ! n m !n m !n m !另一種證法：（利用排列的定義理解）從 n個元素中取m個元素排列可以分成兩類:An，1種，然后將a插入,第一類不含某特殊元素 a的排列有和川1第二類含元素a的排列則先從n 1個元素中取出 m 1個元素排列有共有m個空檔，故有m A-J種，因此Anmi m Anm i1 Anm利用組合數(shù)公式2n !inn 2另法:點評:mmc利用公式Cn

12、 Cn】ni推得左 Cn CnCnCn證明排列、組合恒等式通常利用排列數(shù)、組合數(shù)公式及組合數(shù)基本性質已知f是集合A a, b, c, d到集合B 0,1,2的映射1)不同的映射f有多少個?(2)若要求fa fb f c f d 4則不同的映射f有多少個?分析：(1)確定一個映射 3需要確定a,b, c,d的像(2) a, b, c, d的象元之和為4,則加數(shù)可能出現(xiàn)多種情況，即 4有多種分析方案，各方案獨立且 并列需要分類計算解：(1) A中每個元都可選。,1,2三者之一為像，由分步計數(shù)原理，共有 3 3 3 334個不同映射(2)根據(jù)a, b, c, d對應的像為2的個數(shù)來分類，可分為三類：

13、第一類：沒有元素的像為2,其和又為4,必然其像均為1,這樣的映射只有一個；a 4 P 一012 個:第二類：一個元素的像是2,其余三個元素的像必為0,1,1，這樣的映射有第三類：二個元素的像是2,另兩個元素的像必為 0,這樣的映射有C 42 6個由分類計數(shù)原理共有1 + 12+6=19 （個）點評：問題（1）可套用投信模型：n封不同的信投入m個不同的信箱，有 mn種方法；問題（2）的關鍵結合映射概念恰當確定分類標準，做到不重、不漏例5四面體的頂點和各棱的中點共10個點（1）設一個頂點為A,從其他9點中取3個點，使它們和點A在同一平面上，不同的取法有多 少種？（2）在這10點中取4個不共面的點，

14、不同的取法有多少種？解：（1）如圖，含頂點A的四面體的三個面上，除點 A外都有5個點，從中取出3點必與點共面，共有3C 53種取法含頂點A的棱有三條，每條棱上有 3個點，它們與所對棱的中點共面，共有 3種取法根據(jù)分類計數(shù)原理和點 A共面三點取法共有3C53 3 33種（2）取出的4點不共面比取出的 4點共面的情形要復雜，故采用間接法：先不加限制任取 4 ,（Cio4種取法）減去4點共面的取法取出的4點共面有三類：第一類：從四面體的同一個面上的6點取出4點共面，有4c 64種取法第二類：每條棱上的3個點與所對棱的中點共面，有 6種取法第三類：從6條棱的中點取4個點共面，有 3種取法根據(jù)分類計數(shù)原

15、理4點共面取法共有4C 646369故取4個點不共面的不同取法有Cio4 4C646 3141 （種）點評：由點構成直線、平面、幾何體等圖形是一類典型的組合問題，附加的條件是點共線與不共線，點共面與不共面，線共面與不共面等小結：m個不同的元素必須相鄰，有Pmm種“捆綁”方法m個不同元素互不相鄰，分別“插入”到n個“間隙”中的m個位置有種不同的“插入”方法m個相同的元素互不相鄰，分別“插入”到n個“間隙”中的m個位置，有種不同的“插入”方 法若干個不同的元素“等分”為 m個組，要將選取出每一個組的組合數(shù)的乘積除以P/【例題解析】例1完成下列選擇題與填空題（1）有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲

16、投其中，則不同的投法有 種。 B.64 （2）四名學生爭奪三項冠軍，獲得冠軍的可能的種數(shù)是（）B.64 （3）有四位學生參加三項不同的競賽， 每位學生必須參加一項競賽，則有不同的參賽方法有； 每項競賽只許有一位學生參加，則有不同的參賽方法有 ; 每位學生最多參加一項競賽，每項競賽只許有一位學生參加，則不同的參賽方法 有 oA解析（1）完成一件事是“分步”進行還是“分類”進行，是選用基本原理的關鍵。將“投四封信”這件事分四步完成，每投一封信作為一步，每步都有投入三個不同信箱的三種方法，因此： N=3X 3X3X 3=34=81,故答案選 Ao本題也可以這樣分類完成，四封信投入一個信箱中，有C3左

17、投法；四封信投入兩個信箱中，“C3 212. 2 .,2）種投法；四封信投入三個信箱，有兩封信在同一信箱中，有2 3種投3424243、12 I 22223址.MIIK C<C人4c -） 4c二 A-81.故道 A-33424243直（2）因學生可同時奪得 n項冠軍，故學生可重復排列，將 4名學生看作4個“店”，3項冠軍看作“客”，每個“客”都可住進 4家“店”中的任意一家，即每個“客”有4種住宿法。由分步計數(shù)原理得：N=4X 4X 4=640 故答案選Bo（3）學生可以選擇項目，而競賽項目對學生無條件限制，所以類似（1）可得N=3，=81 （種）；競賽項目可以挑學生，而學生無選擇項目

18、的機會，每一項可以挑4種不同學生，共有 N=43=64 （種）； 等價于從4個學生中挑選 3個學生去參加三個項目的競賽，每人參加一項， 故共有C3 3 43注：本題有許多形式，一般地都可以看作下列命題：n設集合A=a i,a 2,a 集合B=b i,b 2, ,b m,則f ： Af B的不同映射是m,f ： B- A 的不同映 射是nmo若n< m,則f： A- B的單值映射是：A：。例2 同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，則四 張賀年卡不同的分配方式有（）種種種種解法一由于共四人（用 1, 2, 3, 4代表甲、乙、丙、丁四人），這個數(shù)目不大，化

19、為填數(shù)問題之后，可用窮舉法進行具體的填寫:24 1 32 14 33 14 2再按照題后要求檢驗最終易知書34 129種分M方法。解法二記甲能沖、乙、丙、丁，鄧啊琴出的卡片可以耳¥至扣由其他三人之一收到，故有1種分配方式;3種分配方式;以乙收到為例,其他人收到卡片的情況可分為兩充 第一類：甲收到乙送出的卡片，這時丙、丁只有互送卡片第二類：甲收到的不是乙送出的卡片，這時，甲收到卡片的方式有 2種（分別是丙和丁送出的）。對每一種情況，丙、丁收到卡片的方式只有一種。因此，根據(jù)乘法原理，不同的分配方式數(shù)為3 X （ 1+2） =9o解法三 給四個人編號：1, 2, 3, 4,每個號碼代表1個

20、人，人與號碼之間的關系為一對一的 關系；每個人送出的賀年卡賦給與其編號相同的數(shù)字作為代表，這樣，賀年卡的分配問題可抽象為 如下“數(shù)學問題”：將數(shù)字1, 2, 3, 4,填入標號為1, 2, 3, 4的4個方格里，每格填寫一個數(shù)字， 且每個方格的編號與所填數(shù)字都不同的填法共有多少種（也可以說成：用數(shù)字1, 2, 3, 4組成沒有重復數(shù)字的4位數(shù)，而且每位數(shù)字都不等于位數(shù)的4位數(shù)共有多少個）？這時，可用乘法原理求解答案：首先，在第1號方格里填寫數(shù)字，可填上 2、3、4中的任一個數(shù)，有3種填法；其次，當?shù)?號方格填寫的數(shù)字為i （2<i（4）時，則填寫第i 種方格的數(shù)字，有3種填法；最后，將剩

21、卜的兩個數(shù)境與到空看的兩個空格里，只有1種填法（因為剩下的兩個數(shù)中，至少有1個與空著的格子的序號相同）。因此，根據(jù)乘法原理，得不同填法：3X 3X 1=9注： 本題是“亂坐問題”，也稱“錯排問題”，當元素較大時，必須用容斥原理求解，但元素 較小時，應用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理便可以求解，或可以窮舉。例3 宿舍樓走廊上有有編號的照明燈一排8盞.，為節(jié)約用電又不影響照明，要求同時熄掉其中3盞，但不能同時熄掉相鄰的燈，問熄燈的方法有多少種？解法一我們將8盞燈依次編號為 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8。在所熄的三盞燈中，若第一盞熄1號燈，第二盞熄3號燈，則第3盞可以熄5, 6, 7,

22、8號燈中的任意一盞，共有 4種熄法。若第一盞熄1號燈，第2盞熄4號燈，則第 3盞可以熄6, 7, 8號燈中的任意一盞。依次類推，得若1號燈熄了，則共有4+3+2+1 = 10種熄法。若1號燈不熄，第一盞熄的是 2號燈，第二盞熄的是4號燈，則第三盞可以熄6, 7, 8號燈中的仟章一盞，共有 3種熄法。依次類推得，若第一盞燈熄的是2號燈，則共有3+2+1=6種熄法。同理，若第一盞熄的是3號燈，則共有2+1=3種熄法。同理，若第一盞熄的是 4號燈，則有1種熄法。綜上所述共有：10+6+3+1=20種熄法。解法二 我們可以假定8盞燈還未安裝，其中 5盞燈是亮著的，3 盞燈不亮。這樣原問題就等 價于：將

23、5盞亮著的燈與3盞不亮的燈排成一排，使 3盞不亮的燈不相鄰（燈是相同的）。5盞亮著 的燈之間產生6個間隔（包括兩邊），從中插入3個作為熄滅的燈一一就是我們經常解決的“相鄰不3 相鄰”問題，采用“插入法”，得其答案為C6=20種。注 解法一是窮舉法，將所有可能的情況依次逐一排出。這種方法思路清晰，但有時較繁。方 法二從另外一個角度審題，認清其數(shù)學本質，抽象成數(shù)學模型，解題時有一種豁然開朗的感覺。例4 已知直線ax+by+c=O中的a,b,c 是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3 中的3個不同的元素， 并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數(shù)。a解 設傾斜角為。，由。為銳角，得

24、tan。=-。，即a、b異號。b（1）若 c=0, a、b 各有 3 種取法，排除 2 個重復（3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0 ），故有 3X 3-2=7 （條）。_（2）若cWO, a有3種取法，b有3種取法，而同時c還有4種取法，且其中任兩條直線均不相同，故這樣的直線有 3X3X4=36條，從而符合要求的直線共有7+36=43條。注：本題是1999年全國高中數(shù)學聯(lián)賽中的一填空題，據(jù)抽樣分析正確率只有。錯誤原因沒有 對c=0與cWO正確分類；沒有考慮c=0中出現(xiàn)重復的直線。例5 平面上給定10個點，任意三點不共線，由這10個點確定的直線中，無三條直線交于同一點（除原10點外），無

25、兩條直線互相平行。求：（1 ）這些直線所交成的點的個數(shù)（除原10點外）。（2）這些直線交成多少個三角形。解法一 （1）由題設這10點所確定的直線是C.o =45條。,這45條直線除原10點外無三條直線交于同一點，由任意兩條直線交一個點，共有 Cn 2個交點。而在原來10點上有9條直線共點于此。所以，在原來點上有IOC?9所以這些直線交成新的點是：C45 2-10C92=630o（2）這些直線所交成的三角形個數(shù)可如下求：因為每個三角形對應著三個頂點，這三個點來自 上述630個點或原來的10個點。所以三角形的個數(shù)相當于從這64。個點中任取三個點的組合，即C64o3=43 486080 （個）。解法

26、二 （1）如圖對給定的10點中任取 4個點，四點連成6條直線，這6條直線交3個新的 點。故原題對應于在10個點中任取 4點的不同取法的3倍，即這些直線新交成的點的個數(shù)是：3 c .10（2）同解法一。注 用排列、組合解決有關幾何計算問題，除了應用排列、組合的各種方法與對策之外，還要 考慮實際幾何意義。例6 （1）如果（x+1）2n展開式中，第四項與第六項的系數(shù)相等。求 n,并求展開式中的常數(shù)X項；（2）求（X1） 8展開式中的所有的有理項。24x解 （1）由 C2n3=C2n5,可得 3+5=2ll n=4 o設第k+l項為常數(shù)項 k 8-k -k k 8-2k則 T k+i=Cs x x =

27、Cs x 8-2k=0 ,即k=4 常數(shù)項為T5=Cs4=70o（2）設第k+l項有理項，則8 kITk 1 C8k 轉（ -X4）k 2 16 3kC8k （ _1 ）k 丁丁216 3k因為0<k<8,要使 e Z,只有使k分別取0, 4, 84 所以所求的有理項應為： ,351 ,Ti=x4,T 5= x,T 9=x 8256注 （1）二項式展開中，要注意“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”的區(qū)別;（2）在二項展開式中求得 k后，對應的項應該是k+l項。例7( 1 )求4X 6n+5n+,被20除后的余數(shù)；nl n-12n-2n-I(2) 7 +Cn 7 +Cn 7 + +Cn X 7除

28、以9,得余數(shù)是多少？(3)根據(jù)下列要求的精確度，求的近似值。精確到；精確至上解 (I )首先考慮4 6n+5向被4整除的余數(shù)。 n+1n+1n+11 n 2 n-1n5 =(4+1)=4 +Cn+14 +Cn+1 4 + +Cn+1 4+1其被4整除的余數(shù)為1被20整除的余數(shù)可以為1, 5, 9, 13, 17然后考慮4 6n+1+5n+1被5整除的余數(shù)。n，、 1 5n4+C2 "-2 + +C n- 5 + 1)nnn 被5整除的余數(shù)為4 其被20整除的余數(shù)可以為4, 9, 14, 19o綜上所述，被20整除后的余數(shù)為9o(n 1n-12n-2n-1 7nnn=(7+1)n-l=

29、8 n-l=(9-l) n-lnln-12n-2n-I n-1n n=9 -Cn 9 +Cn 9+ +(-l) Cn * 9+(-1) Cn-1(i)當n為奇數(shù)時原式=9n-Cn1 911-1 +Cn2 9n 2 + ( -1 ) nJ c 9-2 除以9所得余數(shù)為7o(ii)當n為偶數(shù)時 nln-12n-2n-I n-19-9 4 (.1) C9nnn除以9所得余數(shù)為 0,即被9整除。（3）5a： （ 1 + ）5= 1+01 二 335555523-5C5 X = c 5 X =8X 10當精確到時，只要展開式的前三項和，1+=,近似值為。當精確到時，只要取展開式的前四項和，1+=,近似值

30、為。注（1）用二項式定理來處理余數(shù)問題或整除問題時，通常把底數(shù)適當?shù)夭鸪蓛身椫突蛑?再按二項式定理展開推得所求結論。（2）用二項式定理來求近似值，可以根據(jù)不同精確度來確定應該取到展開式的第幾項。例8證明下列不等式：n n h n卜（1）_ （ _：）n （a. be xl x 是正實數(shù)）,n e N）;22（2）已知a、b為正數(shù)，且+_ =1，則對于n£N有（a+b） %11222n.2用。a b證明 （1）令 a=x+ 6 , b=x- 62an+bn=(x+ 6 ) n+(x- 6 )n n I n-1n n n 1 n-1n nn=X +Cn X 6 + 4-Cn 6 +X

31、 -Cn X 6 + (-1) Cn 6=2(x n+Cn2xn-2 5 2+Cn4xn-4 6 4+ )2xn即e (二)n22(2 ) (a+b) nnJ a n-1, _ n nnn(a+b)n=bn+Cn1bn-1 a+ +Cnnan上述兩式相加得：2(a+b) nn n 1 n-ln-1k(a n-k kn-k knn +=1,且a、b為正數(shù)a bab=a+b2 2vab -.ab4又 an-k bk+bn-k ak 2Va n b n =2( ab )n(k=l,2, ,n-l) 2(a+b) n 2 2a 呷 (i jab ) n 2 r n+ +c n-i 2g ab ) 1&

32、#187;A (a+b)n-a n-b n2 (C 1=+ +c n-i) (/ab ) nn nn,2 （2 n-2） 2n22n-2n+,注 利用二項式定理的展開式，可以證明一些與自然數(shù)有關的不等式問題。題（1）中的換元法稱之為均值換元（對稱換元）。這樣消去6奇數(shù)次項，從而使每一項均大于或等于零。題（2）中，由由稱位置二項式系數(shù)相等，將展開式倒過來寫再與原來的展開式相加，這樣充分利用對稱性來解 題的方法是利用二項式展開式解題的常用方法。例9已知（lax） 11展開式的第p,p+l,p+2三項的二項式系數(shù)構成等差數(shù)列，第n+1-p與第n+2-p項的系數(shù)之和為0,而（lax ）向展開式的第p+i與p+2項的二項式系數(shù)之比為 1 ：2。（1 ）求（1-ax ） n+,展開式的中間項；（2）求（1-ax ） 11的展開式中系數(shù)最大的項。解由題設得：2CnP C nP 1 CnP 1Cn11 P（ a）11 P Cm 】p（ a）n 1 p 0 p p 12Cn 1 C n in p由得，2CV=p_ CR+ Cn Pn 1 p p