(完整版)數(shù)軸標根法及習題

1、 數(shù)軸穿根法 一、概念簡介 “數(shù)軸標根法”又稱“數(shù)軸穿根法”或“穿針引線法”1.準確的說，應該叫做“序軸標根法”。序軸：省去原點和單位，只2.左邊的點表示的數(shù)比序軸上標出的兩點中，表示數(shù)的大小的數(shù)軸。 右邊的點表示的數(shù)小。 3.是高次不等式的簡單解法可以畫一條浪線從右上方依次4.為了形象地體現(xiàn)正負值的變化規(guī)律，這種畫法穿過最后一個點后就不再變方向，穿過每一根所對應的點， 俗稱“穿針引線法” 二、方法步驟第一步：通過不等式的諸多性質(zhì)對不等式進行移項，使得右側(cè)為0。（注意：一定要保證x前的系數(shù)為正數(shù)） 例如：將x3-2x2-x+2>0化為(x-2)(x-1)(x+1)>0 第二步：將不

2、等號換成等號解出所有根。 例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根為：x1=2，x2=1，x3=-1 第三步：在數(shù)軸上從左到右依次標出各根。 例如：-1 1 2 第四步：畫穿根線：以數(shù)軸為標準，從“最右根”的右上方穿過根，往左下畫線，然后又穿過“次右根”上去，一上一下依次穿過各 根。第五步：觀察不等號，如果不等號為“>”，則取數(shù)軸上方，穿根線以內(nèi)的范圍；如果不等號為“<”則取數(shù)軸下方，穿根線以內(nèi)的 的次數(shù)若為偶數(shù)則不穿過，即奇過偶不過。范圍。x 的根。例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0-1 1 2 在數(shù)軸上標根得： 畫穿根線：由右上方開始穿根。因為不等號為“&g

3、t;”則取數(shù)軸上方，穿跟線以內(nèi)的范圍。即： 。（如下圖所示）-1<x<1或x>2 三、奇過偶不過時，(x4)就是當不等式中含有單獨的或x偶數(shù)冪項時，如(x2)點了。還0奇數(shù)冪項，就要穿過0點的。但是對于X穿根線是不穿過有一種情況就是例如：（X-1)2.當不等式里出現(xiàn)這種部分時，線是不穿過1點的。但是對于如（X-1)3的式子，穿根線要過1點。也是奇過偶不過?？梢院唵斡洖椤捌娲┻^，偶彈回”，一稱“奇穿偶切”。 ）X-1)2（如圖三，為（ 四、注意事項運用序軸標根法解不等式時，常犯以下的錯誤： 1 出現(xiàn)形如（ax）的一次因式時，匆忙地“穿針引線”。 例1 解不等式x（3x）（x+1

4、）（x2）>0。 解 x（3x）（x+1）（x2）>0，將各根1、0、2、3依次標在數(shù)軸上，由圖1可得原不等式的解集為x|x<1或0<x<2或x>3。 事實上，只有將因式（ax）變?yōu)椋▁a）的形式后才能用序軸標根法，正確的解法是： 解 原不等式變形為x（x3）（x+1）（x2）<0，將各根1、0、2、3依次標在數(shù)軸上，由圖1，原不等式的解集為x|1<x<0或2<x<3。 2 出現(xiàn)重根時，機械地“穿針引線” 例2 解不等式（x+1）（x1）2（x4）3<0 解 將三個根1、1、4標在數(shù)軸上，由圖2得， 原不等式的解集為x|x

5、<1或1<x<4。（如圖二） 這種解法也是錯誤的，錯在不加分析地、機械地“穿針引線”。出現(xiàn)幾個相同的根時，所畫的浪線遇到“偶次”點（即偶數(shù)個相同根所對應的點）不能過數(shù)軸，仍在數(shù)軸的同側(cè)折回，只有遇到“奇次”點（即奇數(shù)個相同根所對應的點）才能穿過數(shù)軸，正確的解法如下： 解 將三個根1、1、4標在數(shù)軸上，如圖3畫出浪線圖來穿過各根對應點，遇到x=1的點時浪線不穿過數(shù)軸，仍在數(shù)軸的同側(cè)折回； 的點才穿過數(shù)軸，于是，可得到不等式的解集x=4遇到x|1<x<4且x1（如圖三） 3 出現(xiàn)不能再分解的二次因式時，簡單地放棄“穿針引線” 例3 解不等式x（x+1）（x2）（x31

6、）>0 解 原不等式變形為x（x+1）（x2）（x1）（x2+x+1）>0，有些同學同解變形到這里時認為不能用序軸標根法了，因為序軸標根法指明要分解成一次因式的積，事實上，根據(jù)這個二次因式的符號將其消去再運用序軸標根法即可。 解 原不等式等價于 x（x+1）（x2）（x1）（x2+x+1）>0， x2+x+1>0對一切x恒成立， x（x1）（x+1）（x2）>0，由圖4可得原不等式的解集為x|x<1或0<x<1或x>2 數(shù)軸標根法-練習題 26x+80的解集為 _ x1.不等式. 22x?x?6?0的解集為_ 2. 26x?5x?6?0的解

7、集為_ 3. 2?x?2x?3?0的解集為_ 4. 2?2x?7x?4?0的解集為_ 5. 2(x?3)(x?1)(x?5x?6)?0的解集為_ 6. 2x(x?1)(2?x)?0的解集為7. _ 232(x?4)(x?2)(x?1)?0的解集為_ 8. x?3?0 x9. 的解集為_ x?1?0 x?110. 的解集為_ 2?3x?x2?0 2x?2x?311. 的解集為_ x?3?1 x12. 的解集為_ 2?4x?x?1 2x?3x?2的解集為_ 13. 2+x20x?（142013廣東）不等式的解集為 _ 2 湖南）不等式x5x+60的解集為_ 201215（? _ ?2008北京）不等式 16的解集是（ （2011?巢湖模擬）不等式_ 的解集為17 200818（?楊浦區(qū)二模）不等式_ 的解為 _ 盧灣區(qū)二模）不等式200819（?的解集為 2 +5x不等式20x6_ 的解集為0 2 221不等式2x3x0 的解集為_ 24x+50的解集是 _ 22不等式x 10函數(shù) _ 的定義域是 11不等式_ 的解集為 12不等式_ 的解集是 的取值范m