人教版高數(shù)必修五第11講：一元二次不等式及其解法(教師版)

1、，元二次不等式及其解法薨大腦體操作業(yè)完成情況蜒教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點：正確理解一元二次不等式的解法；掌握一元二次不等式的不等式的解法；理解二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)系；教學(xué)難點：理解二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系。味引入0001. 一元二次不等式(1)知識梳理一元二次不等式的定義：一般地，含有1個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式，叫做一元二次等式；一元二次不等式的解集：使某個一元二次不等式成立的未知數(shù)的取值集合叫做這個一兀 二次不等式的解集；同解不等式：如果兩個不等式的解集相同，那么這兩個不等式叫做同解不等式。2.一元二次不等式與相應(yīng)的函數(shù)、方程之間的

2、關(guān)系0,0,0可分為2 2對于一元二次方程 ax bx c 0 a 0設(shè) b 4ac它的解按三種情況，列表如下:二次函數(shù)y ax2 bx c（a 0）的圖象元二次方程2ax bX c 0a 0的根2ax bX c 0(a 0)的解集2ax bX c 0(a 0)的解集3.4.5.y ax2 bx c有兩相異實根Xl,X2(XiX2)XXX1或 Xx2XX.,X X2-元二次不等式的解法步驟（1）（2）y ax2 bx c有兩相等實根b2aXlX2bX 2ay ax2 bx c無實根對不等式進(jìn)行變形，使一端為 0，且二次項系數(shù)大于 0； 計算相應(yīng)方程的根的判別式；當(dāng) 0時，求出相應(yīng)的一元二次方程

3、的兩根；根據(jù)一元二次不等式解集的結(jié)構(gòu)，寫出其解集。元一次不等式組求解。（4）注：若不等式左側(cè)可因式分解，則可轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的一元二次不等式的解法（1）（一看，二算，三寫）二次項系數(shù)含參數(shù)時，根據(jù)一元二次不等式的標(biāo)準(zhǔn)形式需要化二次項系數(shù)為正，所以要 對參數(shù)討論；解 得過程中，若 表達(dá)式含有參數(shù)且參數(shù)的取值影響定的需要，對參數(shù)進(jìn)行討論；方程的兩根表達(dá)式中如果有參數(shù)，需要對參數(shù)討論才能確定根的大小，這時要對參數(shù)進(jìn) 行討論。的符號，這時根據(jù) 的符號確不等式的恒成立問題（1）結(jié)合二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)用判別式法，當(dāng)X的取值為全體實數(shù)時，一般用此法;從函數(shù)的最值入手考慮，如大于零恒成立可轉(zhuǎn)化為最小值大于零；能

4、分離變量的盡量把參數(shù)和變量分離出來；數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形進(jìn)行分析，從整體上把握圖形。（4）分式不等式的解法將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，若能直接判斷出分子或分母的符號，則可求解，否則應(yīng) 化為以下形式：6.(1)蜒典例講練類型一： 一元二次不等式的解法；分式不等式的解法;例1.解下列不等式：2x23x 20解析:2Q 0,2x2 3x20的根是xi1,x22,所以不等式2x2 3x 20的解集為2x|x答案:2練習(xí)1.解下列不等式:2x 4x 40答案：x|x 2練習(xí)2.解下列不等式:x2 2x 30答案：RY 1例2.不等式乙丄3的解集是x13，移項得g 30通分得x 1 3xx解析：由x1

5、 2x0即0該不等式等價于1 2x x 0x 0即方程2 x11-x 0的兩根為丄,0故原不等式的解集為22x |x 0 或 x答案：x|x4練習(xí)3.不等式上一x 1答案： 1,13,oo 練習(xí)4.使不等式xx2成立的x的取值范圍是x1的解集是答案：(OOJ1)類型二含參數(shù)的一元二次不等式的解法例3.解關(guān)于x的不等式ax2a 1 x 1解析：若，a0，原不等式x 1若a0,原不等式x-或x 1 a若a0,原不等式x1-x 10a（1）當(dāng)a1，原不等式x（2）當(dāng)a1,原不等式丄x 1a（3）當(dāng)01a 1,原不等式1 x a綜上所述，當(dāng)a 0,解集為x|x -或01a當(dāng)a0，解集為x|x1xa 1

6、,解集為 x|11，解集為11,解集為x | a答案:當(dāng)a 0,解集為x|x10，解集為x|1a 1,解集為 x|11，解集為1,解集為x|-a練習(xí)5.已知0 a，則不等式2a1-x 20的解集為（）aA. 2a,1aB. 1,2aaC.2a,aD. -,aa答案：A練習(xí)6.若不等式2x2 bx 10的解集為12,m，則b m答案：2類型三：有關(guān)不等式恒成立問題2例4.關(guān)于x不等式1 m x mxR恒成立,求實數(shù)m的取值范圍解析:原不等式等價于 mx2 mxm 10對x R恒成立(1)當(dāng)m 0時，不等式為10顯然成立當(dāng)m 0時，由不等式恒成立得m 0m24m m 10解得m綜上,m的取值范圍為

7、m 0答案:練習(xí)7.對任意的實數(shù)X，不等式mx2mx0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是（）A. 4,0B.( 4,0C. 4,0D. 4,0)答案：B練習(xí)8.不等式x22x 53a對任意實數(shù)X恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為（）A. 1,4B.(-,25,) C.(,14,)D. 2,5答案：A練習(xí)9.已知關(guān)于X的不等式x2 ax 2a 0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是答案：0,8練習(xí)10.函數(shù)fx Jx2 2a X 1 3的定義域為 R，試求a的取值范圍答案： 3,1宙VXVL 丄X) Q宀 9 WXWL 丄X) Q宀 Lwxwu Q廣 vxu Q L寸Ara帑寸vra - Q宀 Lvxvo_x

8、) 0ESB宙 vx>o_x) m宀LVXVL 丄X) <)滅«礙琴8 ovxe 、OVL、宀 Lwxwu 0宀LVXV2 丄X) -80應(yīng)邇 宀L代X帑z wx_x) <( )IXA.X l¥t宀gvxvL丄X 0宀Lvx帑gAX_x) 8 宀LWX帑gx_x) <( )02xf .0宀L代X帑ewx_x)0 宙 WXWL 丄X) -8 宙代X 帑 Lwx_x) <( -0 AIX+OAX 存 vx_x)0ovx 帑Tcxlx) 8ovxvrx) <L( )+ Lyvo 楓寸L寸vro V寸-8(8+ (L 8 )Q(QL)0(8+ =

9、) n(e 8)8(L7) <( )OA(x+e)(x L) n宙vxv 二X) .0宙 vxvo_x) m宀Lvxvo_x) <( m c< 亙 石vxvo_xh8 宀ovx土XTW 血帳楓 L當(dāng)a = 0 時，a2= a, xm 0 ；A. (1,3) B . ( s, 3)C.(汽 1) u (2 ,+s )D. ( s ,+s )答案：A13.下列選項中，使不等式x<1 <x2成立的x的取值范圍是（A . ( s, 1)答案： AB. (- 1,0)C. (0,1)(1 ,+s )4.若f（x）= X2+ mx 1的函數(shù)值有正值，則m的取值范圍是A . m

10、< 2 或 m> 2 B . 2< m< 21 < mv 3答案：A5.對于任意實數(shù)X,不等式(a 2)x2 2(a 2)x 4< 0 恒成立,則實數(shù) a的取值范圍（）A . ( s, 2)B.( s, 2C. (-2,2)D . ( 2,2答案：D6.不等式鋁<1的解集是答案：x< 4 或 x>3 7.若關(guān)于x的不等式一護(hù)+ 2x>mx的解集是x|0<x<2，則實數(shù)m的值是 答案：1 8.不等式X2+ x 2<0的解集為答案：x| 2<x<19. 不等式0W x2 2x 3< 5的解集為 答案：x

11、| 2<XW 1 或 3< x< 510. 若不等式ax2 + bx+ c>0的解集為x| 3<x<4，求不等式 bx2 + 2ax c 3b<0的解集.答案：ax2 + bx+ c>0 的解集為x| 3<x<4, a<0且3和4是方程ax2 + bx+ c= 0的兩根,b= a，解得 c= 12a不等式 bx2 + 2ax c 3b<0可化為ax2 + 2ax + 15a<0, 即 x2 2x 15<0，- 3<x<5, 所求不等式的解集為x| 3<x<5.11. 解關(guān)于 x 的不等式

12、 x2 (a + a2)x + a3>0(a R). 答案：原不等式可化為(x a)(x a2)>0.當(dāng) a<0 時，a<a2, x<a 或 x>a2;0<a<1 時，a2<a, x<a2或 x>a;a = 1 時，a2= a, xm 1 ； a>1 時，a<a2, x<a 或 x>a2.綜上所述，當(dāng)a<0或a>1時，原不等式的解集為x|x<a或x>a2；0<a<1時，原不等式的解集為x|x<a2或 x>a;a=0時，原不等式的解集為x|xM 0;a=1時，

13、原不等式的解集為X|XM 1.能力提升12. 如果ax2 + bx+ c>0的解集為x|x< - 2或x>4，那么對于函數(shù)f（x）= ax2 + bx+ c有（）A . f(5)<f(2)<f(- 1) B . f(2)<f(5)<f( - 1) C . f(2)<f(- 1)<f(5) D . f( - 1)<f(2)<f(5) 答案：C13. 不等式2x2 + mx+ n>0的解集是x|x>3或x< - 2，貝U m、n的值分別是（）A. 2,12C. 2,- 12D.- 2,- 12函數(shù)y=1異一1的定義

14、域是（）答案：D 14.-血-1)U (1,邁 -72,-1) u(1，邁)-2,- 1)U (1,2(-2,- 1) U (1,2) 答案：A15.已知關(guān)于x的不等式x2+ bx+ c>0的解集為x|x<- 1或x>2，貝U b2 + c2=（）C. 1答案：A16.不等式x2- ax- 6a2<0（a<0）的解集為（）A . (-s,- 2 a) U (3a ,+s ) B . (-2a,3a) 答案： DC. ( 8,3a) U (2 a ,+s ) d . (3a,- 2 a)117. a> 0, b> 0.不等式-bv xv a的解集為(1十

15、11A . x|xv- b或 x>?B. x|-avXV1 1 1 1 1 p C . x|xv- a或 x>PD . x|-bv xv 0 或 0V xv；答案：A18.已知函數(shù)x+ 2,f(x)= x + 2,xw 0，則不等式f（x） > x2的解集為（）x>0A . 1,1B . 2,2C. 2,1D . 1,2答案：A19.已知函數(shù)y= (m2 + 4m 5)x2 + 4(1 m)x + 3 對任意實數(shù)X，函數(shù)值恒大于零，則實數(shù) m的取值范圍是答案：1 w m<1920.已知集合A = x|3x 2 x2< 0, B = x|x av0且 BA,則

16、a的取值范圍是（）A. aw 1B. 1 < aw 2 C. a>2D. aw 2答案：A21.對于實數(shù)X,當(dāng)且僅當(dāng)nw x<n+ 1(n N +)時，規(guī)定x = n,則不等式4x2 36x + 45<0的解集答案：x|2w x<822. 解下列關(guān)于x的不等式:(1)(5 x)(x + 1) > 0;81一4/+ 18x > 0;一討+ 3x 5>0 ;(4) 2/+ 3x 2<0.答案：(1)原不等式化為(x 5)(x + 1) w 0,-1 w xw 5.故所求不等式的解集為x| 1 w xw 5.2 81原不等式化為4/ 18x+&q

17、uot;4 w 0,即(2x |)2w 0,9故所求不等式的解集為x|x = -.(3)原不等式化為 X2 6x+ 10<0,即(x 3)2 + 1<0 , x ?.故所求不等式的解集為?.原不等式化為2/ 3x + 2>0,3 7即 2(x+ 8>0故所求不等式的解集為R.23. 已知不等式x2 2x 3<0的解集為A,不等式X2+ X 6<0的解集為B.（1）求 An B；（2）若不等式 z+ax*b<0的解集為An B,求不等式答案： （1）由 X2 2x 3<0,得1<x<3,二 A= ( 1,3).由 X2 + X 6<

18、;0，得3<x<2, B= ( 3,2) , A n B = ( 1,2).1 a+ b= 0由題意，得4 + 2a + b= 0a= 1 解得b = 2 X2 + X 2<0,.X2 x+ 2>0,不等式X2X+ 2>0的解集為R.24. 已知不等式 ax2 + bx+ c>0的解集為x|a<x< p，其中ax2 + X+ b<0 的解集.3> a>0 ,求不等式cx2+ bx+ a<0的解集.答案：/ ax2 + bx+ c>0 的解集為x|a<x<p, a、p是方程ax2 + bx+ c= 0的兩根

19、，且 a<0.cba 伊，a+ P= C= a aP b= a( a+ p).aacx2 + bx+ a<0,. a ap2 a( a+ p)x+ a<0.整理，得 ap2x (a+ 9x+ 1>0. p> a>0 , a >0, X2 丄x+>0.方程X21 1 1X += 0的兩根為-、； apa p1 1 1 1 1x2(；+Dx+>0 的解集為x|x>；，或 x<?，1 1即不等式cx2+bx+ a<0的解集為x|x>a，或x<p .25. 解關(guān)于X的不等式：56X2 ax a2>0.答案：56x2 ax a2> 0可化為(7X a)(8x + a) > 0.當(dāng)當(dāng)a>0 時，8< 7，二 x&g