D15無窮小無窮大ppt課件

1、 第一章 二、二、 無窮大無窮大 一、一、 無窮小無窮小 第五節(jié)機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 無窮小與無窮大三、三、 無窮小量的比較無窮小量的比較 當一、一、 無窮小無窮小定義定義1 . 假設假設0 xx 時 , 函數(shù),0)(xf則稱函數(shù))(xf0 xx 例如 :,0)1(lim1xx函數(shù) 1x當1x時為無窮小;,01limxx函數(shù) x1x時為無窮小;,011limxx函數(shù) x11當x)x(或為時的無窮小 .時為無窮小.)x(或機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明說明: 除 0 以外任何很小的常數(shù)都不是無窮小 ! 性質(zhì)性質(zhì) 1：無窮?。簾o窮小+（-）無窮小仍然是無窮小。）無窮小仍然是

2、無窮小。例如：例如：f (x) = sin x + x 0 xx 時 , 函數(shù),0)(xf(或 )x則稱函數(shù))(xf為0 xx定義定義1. 假設假設(或 )x那么時的無窮小 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 性質(zhì)性質(zhì) 2：無窮小乘有界函數(shù)仍然是無窮小。：無窮小乘有界函數(shù)仍然是無窮小。例如：例如：f (x) = x cos x 說明說明: 無限個無窮小之和不一定是無窮小無限個無窮小之和不一定是無窮小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 類似可證: 有限個無窮小之和仍為無窮小 . 其中 為0 xx 時的無窮小量 . 定理定理 1 . ( 無窮小與

3、函數(shù)極限的關系無窮小與函數(shù)極限的關系 )Axfxx)(lim0 Axf)(,證證: :Axfxx)(lim0,0,0當00 xx時,有 Axf)(Axf)(0lim0 xx對自變量的其它變化過程類似可證 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 Mxf)(二、二、 無窮大無窮大定義定義2 . 若任給若任給 M 0 ,000 xx一切滿足不等式的 x , 總有則稱函數(shù))(xf當0 xx 時為無窮大, 使對使對.)(lim0 xfxx若在定義中將 式改為Mxf)(則記作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正數(shù)正數(shù) X ) ,記作, )(Mxf總

4、存在機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 注意注意:1. 無窮大不是很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).2. 函數(shù)為無窮大 , 必定無界 . 但反之不真 !（考慮，提示震蕩函數(shù)。）機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例 . 證明證明11lim1xx證證: 任給正數(shù)任給正數(shù) M ,要使,11Mx即,11Mx只要取,1M則對滿足10 x的一切 x , 有Mx11所以.11lim1xx11xy假設 ,)(lim0 xfxx則直線0 xx 為曲線)(xfy 的垂直漸近線 .漸近線1說明說明:xyo機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 無窮小與無窮大的關系無窮小與無窮大的關系假設)(xf為無窮大,)(1x

5、f為無窮小 ;假設)(xf為無窮小, 且,0)(xf那么)(1xf為無窮大.那么(自證)據(jù)此定理 , 關于無窮大的問題都可轉化為 無窮小來討論.定理定理2. 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中,說明說明:機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 第一章 ,0時xxxxsin,32都是無窮小,三、無窮小的比較引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 ,0limCk定義定義.,0lim假設則稱 是比 高階的無窮小,)(o,lim假設假設假設, 1lim假設,0limC

6、或,設是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱 是比 低階的無窮小;則稱 是 的同階無窮小;則稱 是關于 的 k 階無窮小;則稱 是 的等價無窮小,記作機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例如例如 , 當當)(o0 x時3x26xxsin;xxtan;x20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x時xcos1是關于 x 的二階無窮小,xcos1221x且機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 證明證明: 當當0 x時,11nxxn1證證: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0時當 x11nxxn1nnba

7、)(ba1(naban 2)1nb機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理2 . 設設,且lim存在 , 那么lim lim證證:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 “等價無窮小代換法等價無窮小代換法”例 1：xxxx3sinlim30 xxx3lim031機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例 2：11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx21機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 32210limxxxx例例3. 求求解解: 原式 231x221x例例4. 求求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時當 x1)1 (312 x231x1cos x221x0limx原式32機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結內(nèi)容小結0lim,0, )0(C,1,0limCk1. 無窮小的比較設 , 對同一自變量的變化過程為無窮小, 且 是 的高階無窮小 是 的低階無窮小 是 的同階無窮小 是 的等價無窮小